高中数学人教A版选修(2-1)2.4.1《抛物线及其标准方程》word导学案

§2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标：1、掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程；进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。

一、主要知识：1、抛物线的定义：2二、典例分析：〖例1〗：（（1）已知抛物线的标准方程是26y x =,求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线经过点()4,2--,求它的标准方程。

（3）已知抛物线的焦点在直线上240x y --=，求它的标准方程。

（4）点M 与点()4,0F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程。

〖例2〗：斜率为1的直线经过抛物24y x =的焦点，与抛物线交于两点,A B ，求线段AB 的长。

〖例3〗：已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物上的动点，又有点()3,2A ，求PA PF +的最小值，并求出取最小值时P 点坐标。

三、课后作业：1、抛物线22(0)y ax a =≠的准线方程是（ ）A 、4a x =-B 、4a x =C 、4a x =-D 、4a x = 2、抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3412x y -=上，此抛物线的方程是（ ）A 、216y x =B 、212y x =C 、216y x =-D 、212y x =-3、抛物线280x y +=的准线方程是（ ）A 、2x =B 、2x =-C 、2y =D 、2y =-4、抛物线210y x =的焦点到准线的距离是（ ）A 、52B 、5C 、152D 、10 5、已知(),4M m 是抛物线2x ay =上的点，F 是抛物线的焦点，若5MF =，则此抛物线的焦点坐标是（ ） A 、()0,1-B 、()0,1C 、()0,2-D 、()0,2 6、过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于,A B 两点，则AB =（ ）A 、B 、4C 、8D 、2 7、①抛物线24(0)y px p =≠的焦点坐标是 ；②抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 ；③抛物线22(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离是2p a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 。

2.4.1 抛物线及其标准方程教学目标：1. 理解抛物线线的定义,2. 掌握抛物线的四种标准方程，及其特征.3. 强化坐标法求轨迹方程的步骤..一、新课引入1. 二次函数y=x2的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为 .2. 二次函数y=−x2+4x+3的是图像开口的抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.3. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，拖动点H，你能发现点M的轨迹满足的几何条件是什么？答：点M的轨迹满足的几何条件是.二、新知讲授1. 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（）的点的轨迹叫做抛物线.规定：点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的.2. 抛物线的标准方程：（1）焦点在x轴上，y2=（p>0）；（2）焦点在y轴上，x2=（p>0）.特征：当时，焦点在x轴上；当时，焦点在y轴上.三、典型例题例1. 概念辨析：若直线l经过点F，则点M的轨迹为.例3. 已知抛物线的标准方程为y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是F(0，−2)，求它的标准方程.例2. 已知点F是平面内一定点，直线l是平面内不经过F的定直线.H是l上任意一点，过点H作l的垂线l1，线段FH的垂直平分线m交l1于点M，求点M的轨迹方程.（记点F到直线l的距离为p（p>0））四、课堂练习练1. 根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是F(3，0)的抛物线的标准方程是.（2）准线方程是x=−1的抛物线的标准方程是.4（3）焦点到准线的距离是2，且焦点在x轴上的抛物线的标准方程是.练2. 求下列抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程：（1）抛物线y2=20x开口向，焦点坐标是，准线方程是；y开口向，焦点坐标是，准线方程是；（2）抛物线x2=12（3）抛物线2y2+5x=0开口向，焦点坐标是，准线方程是；（4）抛物线x2+8y=0开口向，焦点坐标是，准线方程是.练3. 已知二次函数y=ax2（a≠0）。

§2.4抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.3.明确抛物线标准方程中参数p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．知识点一抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1)．知识点二抛物线的标准方程思考抛物线的标准方程有何特点？[答案](1)是关于x，y的二元二次方程，且只有一个二次项，一个一次项，根据平方项可以确定一次项的取值范围．(2)p的几何意义是焦点到准线的距离．梳理由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：(1)抛物线的方程都是二次函数．(×) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p .(√) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 抛物线定义及应用例1 (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] A[解析] 由题意，知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义，得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，所以x 0＝1，故选A.(2)若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32x C ．y 2＝16x D ．y 2＝32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] C[解析] ∵点P 到点(4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1， ∴将直线x ＋5＝0右移1个单位， 得直线x ＋4＝0，即x ＝－4，易知点P 到直线x ＝－4的距离等于它到点(4,0)的距离．根据抛物线的定义，可知P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，可得p2＝4，得2p ＝16，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x ， 即P 点的轨迹方程为y 2＝16x ，故选C.反思与感悟 依据抛物线定义可以实现点线距离与线线距离的转化．跟踪训练1 (1)抛物线x 2＝4y 上的点P 到焦点的距离是10，则P 点的坐标为________． 考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] (6,9)或(－6,9)[解析] 设点P (x 0，y 0)，由抛物线方程x 2＝4y ， 知焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1， 由抛物线的定义，得|PF |＝y 0＋1＝10， 所以y 0＝9，代入抛物线方程得x 0＝±6.(2)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，点P 在抛物线上，且|PM |＝2|PF |，则△PMF 的面积为( ) A ．4B ．8C ．16D ．32考点 抛物线定义题点 抛物线定义的直接应用 [答案] B[解析] 如图所示，易得F (2,0)， 过点P 作PN ⊥l ，垂足为N . ∵|PM |＝2|PF |，|PF |＝|PN |， ∴|PM |＝2|PN |.设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|t |＝t28＋2， 解得t ＝±4，∴△PMF 的面积为12×|t |·|MF |＝12×4×4＝8.类型二 求抛物线的标准方程例2 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)设抛物线的标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p ＞0)， 又点(－3,2)在抛物线上，∴2p ＝43或2p ＝92，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)当焦点在y 轴上时，已知方程x －2y －4＝0， 令x ＝0，得y ＝－2，∴所求抛物线的焦点为(0，－2)， 设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 由p2＝2，得2p ＝8， ∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y ； 当焦点在x 轴上时，已知x －2y －4＝0， 令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4,0)， 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由p2＝4，得2p ＝16， ∴所求抛物线的标准方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值． 跟踪训练2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义，得5＝|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .类型三 抛物线的实际应用问题例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥，隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，P 距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计多长？(精确到1m)考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图所示，以抛物线状喷泉的最高点为原点，以过原点且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意有P (－1，－1)在此抛物线上，代入得p ＝12，故抛物线方程为x 2＝－y .又B 在抛物线上，将B (x ，－2)代入抛物线方程得x ＝2， 即|AB |＝2，则|O ′B |＝|O ′A |＋|AB |＝2＋1， 因此水池的直径为2(1＋2)m ，约为5 m ， 即水池的直径至少应设计为5 m.1．抛物线y 2＝x 的准线方程为( ) A ．x ＝14B ．x ＝－14C ．y ＝14D ．y ＝－14考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程 题点 求抛物线的准线方程 [答案] B[解析] 抛物线y 2＝x 的开口向右，且p ＝12，所以准线方程为x ＝－14.2．以F (1,0)为焦点的抛物线的标准方程是( ) A ．x ＝4y 2B ．y ＝4x 2C ．x 2＝4y D ．y 2＝4x 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程[答案] D[解析] ∵抛物线焦点为F (1,0)，∴可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，且p 2＝1，则p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x . 3．已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( )A ．0B.12C ．1D ．2 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] C[解析] 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义，得y M ＋1＝2，解得y M ＝1.4．一动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，圆心在抛物线x 2＝4y 上，则l 的方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝116C ．y ＝－1D ．y ＝－116考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] C[解析] 因为动圆过点(0,1)且与定直线l 相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l 的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x 2＝4y 上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l 为抛物线的准线，所以l ：y ＝－1.5．动点P 到直线x ＋4＝0的距离比它到点M (2,0)的距离大2，则点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的直接应用[答案] y 2＝8x[解析] 由题意可知，动点P 到直线x ＋2＝0的距离与它到点M (2,0)的距离相等，利用抛物线定义求出方程．1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2. 3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．。

选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）（第1课时）【知识要点】 抛物线的定义及其标准方程. 【学习要求】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是 . 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是 . 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是 . 上面两个事实说明了什么问题 .2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与 和 距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的 直线l 叫做抛物线的 .3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为 ,准线l 的方程为 ,推导出的抛物线方程为 .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程图形 焦点坐标 准线方程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程. 例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是 . 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积 .8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为 .9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程 .10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为 .28y x =上,且动圆恒与直线1. 一动圆的圆心在抛物线20x +=相切，则动圆比过定点 （ ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为 .选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）（第一课时）【教学目标】: 引导从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握抛物线的定义,准确推导出抛物线的标准方程.【重点】 ：对抛物线定义的理解及抛物线方程的推导. 【难点】 ：掌握抛物线的标准方程.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第64 页～第66页）1. 我们学过的二次函数221,2y x y x ==的图象是抛物线. 抛物线2y x =上的点到点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭和直线14y =-的距离的大小关系是相等. 抛物线212y x =上的点到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭和直线12y =-的距离的大小关系是相等. 上面两个事实说明了什么问题抛物线上的点到一个定点和一条定直线的距离相等.2.抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线：平面内与定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点直线l 叫做抛物线的准线.3.根据求曲线方程的步骤,你能想到几种不同的建系方法?能分别推导出对应的方程吗? 取经过点F 且垂直于直线l 的直线为轴,垂足为K ,并使原点与线段KF 的中点重合,建立直角坐标系xoy ,设(0)KF p p =>,那么焦点F 的坐标为,0)p（2,准线l 的方程为px=-2,推导出的抛物线方程为2px =2y .4.根据抛物线的方程,填写下面的表格: 标准方程 图形焦点坐标 准线方程22(0)y px p =>(,0)2p2p x =-22(0)y px p =->(,0)2p -2p x =22(0)x py p =>(0,)2p2p y =-22(0)x pyp =->(0,)2p -2p y =【基础练习】1．根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点是()3,0F ; (2) 准线方程式是14x =-; (3) 焦点到准线的距离是2.解: (1) 212y x =; (2) 2y x =; (3) 22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-. 2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 220y x =; (2) 212x y =; (3) 2250;y x += (4) 280x y += .解: (1) 焦点坐标F （5，0），准线方程x=-5 ;(2) 11焦点坐标F （0,），准线方程y=-88 ;(3) 55焦点坐标F （-，0），准线方程x=88;(4) 焦点坐标F （0,-2），准线方程y=2 . 【典型例题】例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1) 24x y =; (2) 235y x =;【审题要津】 抛物线的方程不是标准方程,可先把平方项的系数比到另一边,然后根据四种不同形式的标准方程写出焦点坐标和准线方程.解: (1)由24x y =得: 214x y =,由12,4p = 18p ∴= ,所以焦点为1(0,)16,准线方程为116y =-; (2)由235y x =得: 253y x =,552,36p p =∴=,所以交点坐标为5(,0)12,准线方程为 512x =-. 【方法总结】求抛物线的焦点坐标和准线方程,关键是把方程化成标准形式. 变式1：求抛物线2y ax =的焦点坐标和准线方程.解: 由2y ax =得: 21111,02,0)24x y a p p a a a a=>==∴当时，焦点为（,准线方程为14y a =-;210a x y a ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭当时，方程为,112,,2p p a a =-=-∴焦点为 1(0),4a 1，准线方程为y=-4a. 例2 抛物线的焦点在直线20x y -+=上,则抛物线的标准方程为 ( C ) (A) 2244x y y x =-=和 (B) 2244x y y x ==-和 (C) 2288x y y x ==-和 (D) 2288x y y x =-=和【审题要津】因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线20x y -+=上，所以抛物线的焦点为直线20x y -+=与坐标轴的焦点.解: 直线20x y -+=与两坐标轴的交点分别为(-2,0),(0,2).当(-2,0)为焦点时,抛物线的标准方程为28y x =-.当(0,2)为焦点时, 抛物线的标准方程为28x y = .【方法总结】知道了抛物线的焦点,则可求p ,求抛物线标准方程可直接代入标准方程. 变式2：求焦点在直线240x y --=上的抛物线的标准方程.解：直线240x y --=与坐标轴的交点为（4，0），（0，-2）.当焦点为（4，0）时,抛物线标准方程为216y x =;当焦点为（0，-2）时, 抛物线标准方程为28x y =-.例3 抛物线216x y =上的点P 到焦点的距离等于8,求点P 的坐标.【审题要津】根据给出的抛物线方程,求出抛物线的准线,由P 到焦点的距离等于8,知P 到准线的距离也是8,可求出P 点的纵坐标,代入抛物线方程,可求P .解: 由2168,p p ==∴得抛物线的准线为y=-4 ,设点P 的坐标为00(,)P x y ,则2000048,4,4168y y y x y x +=∴====±把代入得：,(8,0),(8,0).P ∴-【方法总结】借助于抛物线定义转化距离是解决此类问题常用的方法.变式3：在抛物线22y px =上,横坐标为4的点,到焦点的距离为5,则p 的值为 ( C ) (A)12(B) 1 (C) 2 (D) 41. 已知抛物线的焦点为（1，0），则抛物线的标准方程 ( C ). （A ）22y x = （B ）22y x =- （C ）24y x = （D ）24y x =- 2. 抛物线214y x =的焦点坐标为 （ C ）. （A ）(0,116) （B ）(116,0) （C ）(0,1) （D ）(1,0)3.已知抛物线的准线方程是2x =，则抛物线的标准方程( B ).(A) 28y x = (B) 28y x =-(C) 28x y = (D) 28x y =-4.抛物线22y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标是1111(,11),(,11)22-. 5. 抛物线2x ay =的准线方程是2x =,则a 的值为 ( C ).(A)18 (B) 8 (C) 18- (D) -86.抛物线24x y =-上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ).(A) 1716-(B) 1516- (C) 78- (D) 07.已知抛物线22(0)y px p =>上有一点(4,)M y ,它到焦点F 的距离为5,则(OFM O ∆为坐标原点）的面积2.8.已知圆222230x y x y +-+-=经过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则p 的值 为6.9.经过点(3,-2)的抛物线的标准方程223290y x x y =+=或.10.抛物线的焦点在y 轴上,点A (m,-2)在抛物线上,且AF =3,求抛物线的标准方程. 解：由题意可设抛物线标准方程为22(0)x py p =->，由AF =3知1,22pp =∴=， 所以抛物线标准方程为24x y =- .11.已知圆222230x y x y +-++=与抛物线22(0)y px p =->的准线相切，则抛物线的方程为28y x =- .1. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上,且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆比过定点（ B ）.（A ）(4,0) （B ）(2,0) （C ）(0,2) （D ）(0,-2)2.抛物线28(0)y px p =>上一点M 到焦点的距离为a ,则点M 到y 轴的距离为2a p - .。