高中数学 2_4_1 抛物线及其标准方程试题 新人教A版选修2-1

课后课时精练一、选择题．若抛物线＝(>)的焦点与椭圆＋＝的右焦点重合，则的值为( )．－．．－．解析：因为抛物线的焦点坐标为(，)，椭圆的右焦点坐标为()，依题意得＝，得＝，故选.答案：．若抛物线＝上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为( ) ．() ．(，－)．(，±) ．(－，±)解析：设(，)，因为点到焦点的距离等于它到准线＝－的距离，所以＝，＝±，故选.答案：．焦点在直线－－＝上的抛物线的标准方程为( )．＝或＝．＝或＝．＝或＝－．＝或＝－解析：直线－－＝与轴，轴的交点分别是()，(，－)，所以抛物线的焦点为()或(，－)，因此，所求抛物线的标准方程为＝或＝－.答案：．已知是抛物线＝的焦点，是该抛物线上的动点，则线段的中点的轨迹方程是( ) . ＝－ . ＝－. ＝－. ＝－解析：本题主要考查利用相关点法求轨迹方程．抛物线方程可化为：＝，焦点()，设线段的中点的坐标为(，)，(，)，则＝，＝－，代入抛物线方程得：()＝(－)，即＝－，故选.答案：. [·辽宁高考]已知点(－)在抛物线：＝的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为( ). －. －. －. －解析：本题考查抛物线方程、抛物线的简单几何性质、直线的斜率等基础知识，考查考生的运算求解能力．因为点在抛物线的准线上，所以－＝－，所以该抛物线的焦点()，所以＝＝－，选.答案：. [·河北省衡水中学期中考试]已知抛物线＝－上一定点(－)和两个动点，，当⊥时，点的横坐标的取值范围是( ). (－∞，－)∪[，＋∞). [－]. [，＋∞). (－∞，－]∪[，＋∞)解析：设(，－)，(，－)，∵⊥，∴·＝－，即＋(－)－＋＝，∵∈，，是抛物线上两个不同的点，∴必须有Δ＝(－)＋(－)≥，即＋－≥，解得≤－或≥.∴点的横坐标的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)，故选.答案：二、填空题。

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程1.在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是()A.直线B.抛物线C.圆D.双曲线解析：因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.答案：A2.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是()A.y2=xB.x2=yC.y2=-x或x2=-yD.y2=-x或x2=y解析：因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0).又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y.答案：D3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A. B.- C.8 D.-8解析：因为y=ax2,所以x2=y,其准线方程为y=2.又因为a<0,2=,所以a=-.答案：B4.(2019广西河池市高二期末)抛物线y=的焦点为F,点P在抛物线上,点O为坐标原点,若|PF|=5,则|PO|等于()A.6B.5C.5D.4解析：抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l为y=-1.设抛物线上的点P(m,n),则由抛物线的定义,可得|PF|=d(d为点P到准线的距离),即有n+1=5,解得n=4,∴P(±4,4),∴|PO|=4.故选D.答案：D5.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是()A.x+4=0B.x-4=0C.y2=8xD.y2=16x解析：依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x=-4 的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,其方程为y2=16x.答案：D6.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析：若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案：y2=8x(x>0)或y=0(x<0)7.导学号抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.解析：如图所示,不妨设B,F,FD=p,可解得B.在Rt△DFB中,tan 30°=,所以,解得p2=36,故p=6.答案：68.已知抛物线过点(1,-2),求抛物线的标准方程.解因为点(1,-2)在第四象限,所以设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).又点(1,-2)在抛物线上,所以4=2p,p=2或1=4p',p'=.故所求抛物线方程为y2=4x或x2=-y.9.导学号已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线=1的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.解设抛物线的方程为y2=2p x(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2.故所求抛物线方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1.∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点,∴c=1,即a2+b2=1.故双曲线方程为=1.∵点在双曲线上,∴=1,解得a2=或a2=9(舍去).同时b2=,故所求双曲线的方程为=1.。

抛物线(1)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．5．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________.6．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．9．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________． 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ．12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；抛物线(1)答案1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( B )．A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(4，0)D ．(－4，0)2．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( C )．A ．(8，8)B ．(8，－8)C ．(8，±8)D ．(－8，±8)3．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( A )． A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．65．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝________. －16．动点到点(3，0)的距离比它到直线x ＝－2的距离大1，则动点的轨迹是( D )．A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线7．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A )． A ．2 B ．3 C.115 D.37168．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．4 10．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ． y 2＝12x .12．(创新拓展)设F (1，0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；解：设N (x ，y )，由得点P 为线段MN 的中点，∴P (0，y 2)， M (－x ，0)， ∴＝(－x ，－y 2)，＝(1，－y 2)． 由＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x.。

2.4.1 抛物线及其标准方程姓名:___________班级:______________________一、选择题1.抛物线21y x m=的焦点坐标为( ) A.1,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2.抛物线218y x =-的准线方程是( ) A.132x = B.2y = C.132y =D.2y =- 3.若抛物线22y px =的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合,则p 的值为( )A.2-B.2C.4-D.44.抛物线2y ax =的准线方程是2y =,则a 的值为( ) A.18 B.18-C.8D.8- ()1,2-24y x =21=2x y 24y x = 24y x =212x y =-212x y =- 6.过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ,()22,B x y ,如果126x x +=,那么AB =( )A.8B.10C.6D.4 7.已知抛物线2:C y x =的焦点为F ,()00,A x y 是C 上一点,054AF x =,则0x =( )A.1B.2C.4D.88.已知抛物线()20y nx n =<与双曲线2218x y m -=有一个相同的焦点,则动点(),m n 的轨迹是( )A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.直线的一部分二、填空题 9.抛物线22y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标为_________.10.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切,则p 的值为________.11.已知抛物线()20y mx m =>的焦点与椭圆224192y x +=的一个焦点重合,则m =_______.三、解答题12.求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点()6,6M -;(2)焦点F 在直线:3260l x y --=上.13.设圆A 的方程为22100x y x +-=,求与y 轴相切,且与已知圆A 相外切的动圆的圆心M 的轨迹方程.14.已知抛物线()2:20C y px p =>,焦点为F ,准线为l ,抛物线C 上一点A 的横坐标为3,且点A 到准线l 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程;(2)若P 为抛物线C 上的动点,求线段FP 的中点M 的轨迹方程.参考答案1.D 【解析】221,,2,24p m y x x my p m m =∴=∴=∴=,焦点坐标为0,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点:根据抛物线方程求焦点坐标.2.B【解析】化抛物线方程218y x =-为标准方程28x y =-,因此抛物线218y x =-的准线方程为2y =,故选B.考点:由抛物线方程求准线方程.3.D【解析】由双曲线方程知:2222,4,2a b c c ==∴=∴=,右焦点为()2,0, 所以2, 4.2p p =∴= 考点:根据抛物线方程求焦点.4.B【解析】抛物线2y ax =的标准方程是21x y a =,则其准线方程为12,4y a=-= 所以18a =-.故选B.考点:根据抛物线的准线方程求参数.5.C【解析】由于点()1,2-在第四象限,故抛物线焦点可能在x 轴正半轴或y 轴负半轴上,则标准方程可分别设为()21120y p x p =>,()22220x p y p =->,代入点()1,2-,分别可得124p =,2122p =,故选C. 考点:求抛物线的标准方程.6.A【解析】根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离, 所以12628AB x x p =++=+=,故选A.考点:抛物线的定义.7.A【解析】抛物线2:C y x =的焦点为1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∵()00,A x y 是C 上一点,054AF x =, ∴005144x x =+,解得01x =. 考点:抛物线的定义.8.C 【解析】抛物线的焦点为,04n F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,根据题意知,此点也是双曲线的焦点,则有28+16n m =, ()2=161280n m n +<,所以动点(),m n 的轨迹是抛物线的一部分.考点:抛物线型的轨迹方程. 9.78【解析】由题意得,抛物线的标准方程为212x y =,准线方程为18y =-,设点00(,)M x y ,根据抛物线的定义可知,点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离,所以0118y +=,解得078y =. 考点:抛物线的定义与标准方程.10.2【解析】圆22670x y x +--=的圆心为(3,0),半径4r =,抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-,由题意可知34,22p p ⎛⎫--=∴= ⎪⎝⎭或14p =-(舍去). 考点:由抛物线的准线求参数. 11.12【解析】将抛物线()20y mx m =>的方程化为标准方程是21x y m=,所以其焦点是10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为抛物线()20y mx m =>的焦点与椭圆224192y x +=的一个焦点重合,因此291244m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得12m =,故应填12. 考点:由抛物线的焦点求参数.12.(1)26y x =-或26x y =(2)28y x =或212x y =-【解析】(1)由于点()6,6M -在第二象限,∴过M 的抛物线开口向左或开口向上. 若抛物线开口向左,则焦点在x 轴上,设其方程为()21120y p x p =>-, 将点()6,6M -代入,可得()13626p =-⨯-,∴13p =.∴抛物线的方程为26y x =-.若抛物线开口向上,则焦点在y 轴上,设其方程为()22220x p y p >=, 将点()6,6M -代入可得,23626p =⨯,∴23p =,∴抛物线的方程为26x y =. 综上所述,抛物线的标准方程为26y x =-或26x y =.(2)①∵直线l 与x 轴的交点为()2,0,∴抛物线的焦点是()2,0F , ∴22p =,∴4p =, ∴抛物线的标准方程是28y x =.②∵直线l 与y 轴的交点为()0,3-,即抛物线的焦点是()0,3F -, ∴32p =,∴6p =,∴抛物线的标准方程是212x y =-. 考点:根据条件求抛物线的标准方程.13.()2200y x x =>或()00y x =< 【解析】当0x >时,如图所示,圆A 的方程可化为()22255x y +=-,所以()5,0A .直线l 的方程为5x =-.结合已知条件,得动圆圆心M 到定点A 和到定直线l 的距离相等,所以动圆圆心M 的轨迹为抛物线.根据抛物线的定义可得其轨迹方程为()2200y x x =>. 当0x <时,圆M 与y 轴相切,若圆M 与y 轴切于原点,则必与圆A 相切.根据外切的条件,得M 的轨迹方程为()00y x =<,若圆M 与y 轴不相切于原点,则不符合条件.所以动圆圆心M 的轨迹方程为()2200y x x =>或()00y x =<. 考点:抛物线的定义及轨迹方程.14.(1)28y x =(2)24(1)y x =- 【解析】(1)抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-,∵抛物线C 上一点A 的横坐标为3,且点A 到准线l 的距离为5,∴根据抛物线的定义可知,352p +=,∴4p =,∴抛物线C 的方程是28y x =.(2)由(1)可知()20F ，,设()00,P x y ,(),M x y ,则002,2,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即0022,2,x x y y =-⎧⎨=⎩ 而点()00,P x y 在抛物线C 上,∴2008y x =,∴()()22822y x =-, 即()241y x =-,所以点M 的轨迹方程是()241y x =-. 考点:求抛物线的方程.。