201x-201X学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1 命题学案 北师大版选修1 -1

高中数学第一章常用逻辑用语1.2 充分条件和必要条件教案北师大版选修1-１编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章常用逻辑用语 1.2 充分条件和必要条件教案北师大版选修１－１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2 充分条件与必要条件≠q”.p则Q ,即1⎧⎪⎨⎪⎩的取值范围为点评:对于充分必要条件的判断，根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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河南省确山县高中数学第一章常用逻辑用语１．1 命题教案北师大版选修2-１编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河南省确山县高中数学第一章常用逻辑用语 1.１命题教案北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§１.１命题【教学目标】1。

命题的概念 2.能指出命题的条件和结论３.四种命题之间的转化【知识梳理】一、命题用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句,叫做 _＿_＿＿___＿__.判断为真的命题是＿____＿＿____,判断为假的命题是__________＿___．二、四种命题的形式原命题:若ｐ，则ｑ(p为命题的条件,q为命题的结论）.逆命题：＿___＿________＿____＿（交换原命题的条件和结论)．否命题:________＿＿____________（同时否定原命题的条件和结论)．逆否命题:_____＿＿__＿＿______＿___（交换原命题的条件、结论之后同时否定它们).三、四种命题的真假的关系若两个命题互为逆否命题,则它们有___＿____的真假性.若两个命题为互逆命题或互否命题,则它们的真假性＿＿_＿____.在四种形式的命题中真命题的个数只能为0或２或4．四、四种命题的关系【典型例题】例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?（1)空集是任何集合的子集;（２）若整数a是素数,则a是奇数;(３)指数函数是增函数吗?(4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行;（5)ｘ〉15.(6)祝大家新年快乐！例2 将下列命题改写成“若ｐ，则q”的形式，并判断真假;（1)垂直于同一条直线的两条直线平行；（２)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(４）等腰三角形两腰的中线相等；(5)偶函数的图像关于y轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面平行。

——教学资料参考参考范本——高中数学第一章常用逻辑用语1命题学案北师大版选修1_1______年______月______日____________________部门命题的定义及形式观察下列语句的特点：①两个全等三角形的面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上！④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x>2 013，则x>2 014.问题1：上述哪几个语句能判断为真？提示：①②.问题2：上述哪几个语句能判断为假？提示：⑤.问题3：上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？提示：③④.因为它们都不能判断真假．问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么？提示：条件为“x>2 013”，结论为“x>2 014”．1．命题(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．(2)判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．2．命题的形式数学中，通常把命题表示成“若p，则q”的形式，其中，p是条件，q是结论.四种命题及其关系观察下列四个命题：①若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；②若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；③若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；④若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题①的条件是命题②的结论，且命题①的结论是命题②的条件；对于命题①③，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题①④，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？提示：命题①④同为真，命题②③同为假．1．四种命题(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．(4)四种命题的条件、结论之间的关系如表所示：命题条件结论原命题p q逆命题q p否命题p的否定q的否定逆否命题q的否定p的否定2．四种命题间的关系原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题，互为逆否的两个命题真假性相同．1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．[对应学生用书P3]命题的概念及真假判断[例1] 判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？(2)一个正整数不是合数就是质数；(3)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；(4)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；(5)1＋2＋3＋…＋2 014；(6)这盆花长得太好了！[思路点拨] 根据命题的概念进行判断．[精解详析] (1)(5)(6)未涉及真假，都不是命题．(2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．(3)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．[一点通]1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题，只需举一个反例即可．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.答案：A2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.答案：B3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数可被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．解：(1)若一个数是偶数，则它可以被2整除．真命题；(2)若一个函数为奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题.四种命题及其关系[例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若ab＝0，则a＝0；(3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(4)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.[思路点拨] 找出命题的条件p和结论q.根据四种命题的条件和结论的关系写出其余三种命题．[精解详析] (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1.假命题．否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根．则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．(3)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．(4)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．[一点通]1．由原命题得到逆命题、否命题、逆否命题的方法：(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．2．原命题与其逆否命题真假相同；逆命题与否命题真假相同．4．有下列四个命题，其中真命题是( )①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“正方形的四条边相等”的逆命题；③“若m≥2，则x2＋mx＋1＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③ D．③④解析：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy＝1.真命题．②逆命题：四条边相等的四边形是正方形．假命题．③逆否命题：若方程x2＋mx＋1＝0无实根，则m<2.真命题．④原命题为假命题，逆否命题也为假命题．答案：C5．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若α＋β＝，则sin α＝cos β；(2)a，b，c，d∈R，若a＝c，b＝d，则ab＝cd.解：(1)逆命题：若sin α＝cos β，则α＋β＝；否命题：若α＋β≠，则sin α≠cos β；逆否命题：若sin α≠cos β，则α＋β≠.(2)逆命题：a，b，c，d∈R，若ab＝cd，则a＝c，b＝d；否命题：a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则ab≠cd；逆否命题：a，b，c，d∈R，若ab≠cd，则a≠c或b≠d.6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．解：(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.逆否命题的应用[例3] 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[思路点拨] 本题可直接写出其逆否命题判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．[精解详析] 法一：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真命题．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥.∵>1，∴a≥1.∴原命题为真．又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真．[一点通]由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．7．命题“若m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：当m>0时，Δ＝1＋4m>0，∴x2＋x－m＝0有实数根．∴原命题为真，故其逆否命题为真．答案：真8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(a－1)2－(2b)2＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确．1．互逆命题、互否命题、互为逆否命题都是说两个命题的关系，是相对而言的，把其中一个命题叫作原命题时，另外三个命题分别是它的逆命题、否命题、逆否命题．2．写四种命题时，大前提应保持不变．判断四种命题的真假时，可以根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同来判断．1．命题“若x＞1，则x＞－1”的否命题是( )A．若x＞1，则x≤－1 B．若x≤1，则x＞－1C．若x≤1，则x≤－1 D．若x＜1，则x＜－1解析：原命题的否命题是对条件“x＞1”和结论“x＞－1”同时否定，即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.答案：C2．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；③“若x≠y，或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.答案：B3．(湖南高考)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．答案：C4．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )A．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”B．真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”C．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”D．假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”解析：逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.答案：B5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是__________________________，q是_________________________．答案：一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．6．命题“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4真7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．解：原命题：若直线l1与l2平行，则l1与l2不相交；逆命题：若直线l1与l2不相交，则l1与l2平行；否命题：若直线l1与l2不平行，则l1与l2相交；逆否命题：若直线l1与l2相交，则l1与l2不平行．8．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．∵a＋b<0，∴a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第一章常用逻辑用语1命题二学案北师大版选修2_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念思考初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫作命题的逆命题？梳理知识点二四种命题间的相互关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？梳理(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性____关系.知识点三逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：①导出命题p的否定为真，即与原命题的条件矛盾；②导出q为真，即与假设“命题q的否定为真”矛盾；③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从否定结论出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1 四种命题的写法例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等.反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.命题角度2 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④类型二等价命题的应用例3 证明：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.反思与感悟因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.类型三反证法的应用例4 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.反思与感悟(1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：跟踪训练4 设a，b，c∈Z，且a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )A.若p，则綈qB.若綈q，则綈pC.若綈q，则pD.若q，则p2.下列命题为真命题的是( )A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________.4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.提醒：完成作业第一章§1(二)答案精析问题导学知识点一思考在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互为逆命题.梳理结论和条件逆命题否定否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二思考原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理(2)真真假真真假假假①相同②没有题型探究例1 解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.跟踪训练1 解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.例2 解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.跟踪训练2 B例3 证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”.若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).即原命题的逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.跟踪训练3 证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.例4 证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.∵π－3>0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，因此a，b，c中至少有一个大于0.跟踪训练4 证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.∴a2＋b2为偶数，而c2为奇数，∴a2＋b2≠c2与a2＋b2＝c2矛盾.∴假设不成立，原命题成立.当堂训练1.C2.A3.若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤14.45.解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题.。

2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案1北师大版选修1-1教学目标（1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力；（4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想．教学建议（一）教材分析1．知识结构首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识．2．重点难点分析本节的重点与难点是关于充要条件的判断．（1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系．（2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该：①首先分清条件是什么，结论是什么；②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立；③最后再指出条件是结论的什么条件．（3）在讨论条件和条件的关系时，要注意：①若，但，则是的充分但不必要条件；②若，但，则是的必要但不充分条件；③若，且，则是的充要条件；④若，且，则是的充要条件；⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．（4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断．①若，则是的充分条件；显然，要使元素，只需就够了．类似地还有：②若，则是的必要条件；③若，则是的充要条件；④若，且，则是的既不必要也不充分条件．（5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．（二）教法建议1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题．2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性．3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念．4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念．教学过程设计1．复习引入练习：判断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）：（1）若，则；（2）若，则；（3）全等三角形的面积相等；（4）对角线互相垂直的四边形是菱形；（5）若，则；（6）若方程有两个不等的实数解，则．（学生口答，教师板书．）（1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题．置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？答：看能不能推出，如果能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题．对于命题“若，则”，如果由经过推理能推出，也就是说，如果成立，那么一定成立．换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作．2．讲授新课（板书充分条件的定义．）一般地，如果已知，那么我们就说是成立的充分条件．提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间的关系．（学生口答）（1）“，”是“”成立的充分条件；（2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件；（3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件．从另一个角度看，如果成立，那么其逆否命题也成立，即如果没有，也就没有，亦即是成立的必须要有的条件，也就是必要条件．（板书必要条件的定义．）提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题．（学生口答）．（1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件；（2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件；（4）因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件；（5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件；（6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件．总结：如果是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作．（板书充要条件的定义．）3．巩固新课例1 （用投影仪投影．）（学生活动，教师引导学生作出下面回答．）①因为有理数一定是实数，但实数不一定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；②一定能推出，而不一定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；③、是奇数，那么一定是偶数；是偶数，、不一定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；④表示或，所以是成立的必要非充分条件；2019-2020年高中数学第一章常用逻辑用语充分条件和必要条件教案2北师大版选修1-1。

1.1 命题学习目标1.了解命题的概念。

2.通过实际的例子，让学生体会四种命题的关系。

学习重点命题的概念。

学习难点四种命题的关系。

学法指导学会从具体数学实例中抽象出命题概念的过程。

学习过程学习笔记（教学设计）【自主学习（预习案）】阅读教材P43 内容，完成下列问题：一.命题1.概念：2.真假命题：二.命题的结构1.一般地，每一个命题都可以写成"若P，则q"的形式，其中命题中的P叫做命题的----，q叫做命题的----,也就是说，命题由-----和------两部分组成。

三. 四种命题及其关系1.什么是原命题，逆命题，否命题，逆否命题.2.四种命题有什么关系？【合作学习（探究案）】小组合作完成下列问题探究一.例1 写出命题“对顶角相当”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断这四种命题的真假。

探究二;例2 设原命题是“若a=0, 则ab=0 ”。

（1）写出它的逆命题，否命题和逆否命题；（2）判断这四个命题是真命题还是假命题。

【当堂检测】1.把下列命题写成"若P，则q"的形式，并判断命题真假。

（1）当ac > bc 时， a > b；（2）已知x,y为正整数，当y=x+1时， y=3,x=2;（3）当abc=0时 ,a=0 或 b=0 或 c=0;2.课本p5练习1,2【当堂小结】1.通过实际的例子，让学生体会四种命题的关系。

2. 引导学生归纳总结出四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两个命题之间的等价关系【课后巩固（布置作业）】p习题1-1 1，2,35【纠错反思（教学反思）】。

命题教学目标： 1. 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式2..熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证3.培养学生简单推理的思维能力.教学重点： 1. 命题的改写2.四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系教学难点： 1.命题概念的理解.2.利用真假性之间的内在联系进行推理论证．授课类型：新授课教具准备：多媒体课件．教学过程：一、导入新课（用ppt给出）思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。

二．新课教授1. 教学命题的概念：①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）对数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行（52 =-（6）x>15（学生自练→个别回答→教师点评）分析加固对命题概念的理解2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①具体分析例1中的（2）（4）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式例2 指出下列命题的条件p和结论q：（会区分条件p和结论q）（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．②数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．也便于我们判断真假。

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1。

1 命题［A.基础达标］1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( ）A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D。

x＞1⇒/ x＞2,故选D.2．命题“若x〉a2＋b2，则x〉2ab”的逆命题是（)A．“若x〈a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2,则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2,则x≥2ab”D．“若x>2ab,则x>a2＋b2”解析：选D。

把命题“若x〉a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x〉2ab，则x>a2＋b2"．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是（）A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题,它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素;③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确,故选C。

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学第一章常用逻辑用语1命题一学案北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门学习目标 1。

理解命题的概念。

2。

会判断命题的真假。

3。

了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q”的形式。

知识点一 命题的概念思考1 在初中，我们已经学习了命题的定义，它的内容是什么？思考2 依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题。

①三角形外角和为360°；②连接A 、B 两点； ③计算3－2的值；④过点A 作直线l 的垂线；⑤在三角形中，大边一定对的角也大吗？梳理 (1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题。

(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”。

我们学习过的定理、推论都是命题。

(3)分类命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句知识点二 命题的结构思考1 在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪些知识？思考2 完成下列题目：(1)命题“等角的补角相等”：题设是________，结论是________。

(2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果______________，那么___________”。

梳理(1)数学中，通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是________，q是________。

(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式。

类型一命题的判断例1 (1)下列语句为命题的是( )B。

2＋3＝8A。

x－1＝0D。

这是一棵大树C。

你会说英语吗？(2)下列语句为命题的有________。

①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 015是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′。

反思与感悟判断一个语句是否是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题。