浙江省湖州、衢州、丽水三地市2020届高三上学期教学质量检测数学试卷(含答案)

的余弦值是▲.
16.一个口袋中有3个红球，3个白球，2个黑球，现从中任取3个球，
记取出的球的颜色有 种，则 ▲.
17.若实数 满足 ，则 的最小值是▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分14分）
在锐角 中，角 所对的边分别是 ， .
（Ⅰ）求角 的大小；
A. B. C. D.
9.已知数列 的前 项和是 ，前 项的积是 .
①若 是等差数列，则 是等差数列；
②若 是等比数列，则 是等比数列；
③若 是等差数列，则 是等差数列；
④若 是等比数列，则 是等比数列.
其中正确命题的个数有
A.1个B.2个C.3个D.4个
10.已知空间向量 两两的夹角均为 ，且 ， .若向量 满足 ， ，则 的最大值是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
注意事项：
用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效.
二.填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11.古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为 的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第 个“三角形数”是 ，则第5个“三角形数”是▲，前6个“三角形数”的和是▲.
当 时，存在 ，使得 ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，从而要使 有三个零点，必有 ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ ，令 ，则
∵当 时， ，∴ 在区间 单调递增，
∴ ，即 ．-------------------------------------------11分

衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷高三数学（2020.04）本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π= ()112213V h S S S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()R A B =I ðA ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆x 22+y 2=1的离心率是A. 12B. 13 C.√23 D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

2020届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,011|,1,P Q x x =-=-≤<，则P Q =（ ）A ．{}0B ．[]1,0-C ．{}1,0-D ．[)1,1-【答案】C【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】集合的交集是由两个集合的公共元素组合而成，故P Q ={}1,0-.故选：C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数1iz i+=(i 为虚数单位)，则复数z 的虛部是（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】先用复数除法运算化简z ，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()11i i z i i i +-==-⋅-，故虚部为1-. 故选：B3．已知实数,x y 满足236020,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是（ ）AB ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】画出可行域，计算原点到直线20x y +-=的距离，进而求得22x y +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，22x y +表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线20x y +-==其平方为2.故22xy +的最小值为2.故选：B.【点睛】本小题主要考查线性可行域的画法，考查点到直线的距离公式，考查非线性目标函数的最值的求法，属于基础题.4．若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别画出不等式1x y +≤和221x y +≤表示的区域，根据区域的包含关系判断出充分、必要条件.【详解】设(){},|1A x y x y =+≤其表示的区域是1111x y x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪--≤⎩，画出图像如下图所示，而(){}22,|1B x y x y =+≤表示的区域是单位圆圆上和圆内部分，由图可知，A 是B 的真子集，故“1x y +≤”是“221x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5．函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于πππ21π22sin2f ⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A 选项符合. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题. 6．已知随机变量,X Y 的分布列如下:若,,a b c 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()D X Y D >B ．()()E X E Y = C ．()()E X E Y <D ．()()D X Y D =【答案】D【解析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭， 由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.7．已知(,(A B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是（ ） A ．1d ≥ B ．01d <<C ．01d <≤D ．02d <<【答案】B【解析】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和2d 的大小关系，求得d 的取值范围. 【详解】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，也即,A B 到四条切线的距离都等于d ，符合题目的要求.圆心距2AB ==，由于两个圆外离，故AB d d >+，即022,01d d <<<<.故选：B. 【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.8．若函数()222,0,0x x x m x f x e mx e x ⎧---<=⎨-+≥⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(,1,) 0e ⋃+∞ B ．(),e +∞ C ．()20,1,() e ⋃+∞D ．2(,)e +∞【答案】C【解析】令()0f x =，然后进行分离常数m ，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得m 的取值范围. 【详解】()2010f e =+≠，故0x =不是()f x 的零点. 当0x ≠时，令()0f x =得222,0,0x x x x m e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩. 令()()20x e e g x x x +=>，()()2'21x x e e g x x--=，设()()()210x h x x e e x =-->，则()'0xh x xe =>，所以()h x 在()0,∞+上递增，而()20h =，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()'0g x <；当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >.即()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以当2x =时，()2min g x e =.结合二次函数的图像与性质，画出222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像如下图所示，由图可知，当01m <<或2m e >时，y m =与222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像有两个交点，也即()f x 恰有两个零点.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC △沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ）A ．,2βαβγ>> B ．,2βαβγ>< C ．,2βαβγ<> D ．,2βαβγ<< 【答案】D【解析】作出二面角B AC E --的平面角β,根据最小角定理，判断出正确选项. 【详解】如图，过D 作AC 的垂线，交AC 于F ，交BC 于G ，则EFG β=∠，且E D F ∠为ED 与平面ABCD 的线面角，由最小角定理,EDF EDO EDF EDA ∠<∠∠<∠，又2,2,EDF EDO EDA βαγ=∠=∠=∠，所以,2βαβγ<<.故选：D.【点睛】本小题主要考查面面角、线面角、线线角的概念和运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10．设数列{}n a 满足*111,1,n a mn a a e n N -+==+∈， 若对一切*,2n n N a ∈≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m ≥ B ．12m ≤≤C ． 3m ≥D ．23m ≤≤【答案】A【解析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得m 的取值范围. 【详解】设函数()1x mf x e -=+，则()1n n a f a +=.依题意有212x mx e -≤⎧⎨+≤⎩，注意到()1x m f x e -=+在区间(],2-∞上为增函数，故当2x =时，1x m e -+有最大值，即212m e -+≤，解得2m ≥.故选：A. 【点睛】本小题主要考查用函数的观点理解数列的递推关系，考查函数的单调性和最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.二、填空题11．双曲线22145x y -=的焦距为__________，离心率为__________【答案】632【解析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率. 【详解】依题意2,3a c ===，所以焦距26c =，离心率32c e a ==. 故答案为：（1）6；（2）32. 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.12．已知二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，则n =_______，含x 的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】7 64【解析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得n 的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和. 【详解】依题意二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，即()11214n C ⋅-=-，解得7n =.含x 的奇次项的二项式系数和为0246777712134764C C C C +++=+++=.故答案为：（1）7；（2）64.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求n 的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示(单位: cm )，则该几何体的体积为__________3cm ， 最长的棱长为__________cm .【答案】16 6【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体P ABCD -.由三视图可知，四边形ABCD 是直角梯形，且PA ⊥平面ABCD ，4,2PA AB AD DC ====，所以()3111424416cm 332ABCD V S PA =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.AC AB AD ==>=，PA 为三个直角三角形,,PAD PAC PAB 的公共直角边，所以PC PB PD >=，故最长的棱为6cm PC ==.故答案为：（1）16；（2）6.【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题.14．在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________【答案】45【解析】利用正弦定理求得sin B ，进而求得B 的大小，利用余弦定理求得AC . 【详解】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得sin B ABC 为锐角三角形，故45B =.而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=，在三角形ADC 中，由余弦定理得8AC ==.故答案为：（1）45；（2.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.15．已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，P 是直线: ()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =__________.【答案】【解析】根据椭圆的定义判断直线l 和椭圆相切，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意椭圆22:143x y C +=，则24a =，2a =，又因为，P 是直线:()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则此直线与椭圆相切.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简得22784120x mx m ++-=，判别式()24870m ∆=-=，解得m =故答案为：. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知平面向量,,a b c 满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=，， 则c r的取值范围为_________. 【答案】[]5,11【解析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c 的轨迹，由此求得c r的取值范围. 【详解】设,,OA a OB b OC c ===，依题意4AB a b ==-，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB ⋅=+⋅+()()OD DA OD DA =+⋅-2260OD DA =-=，即2226026064OD DA =+=+=，所以8OD =，故22OD OA OD -≤≤+，即610OA ≤≤，由于1c a AC -==，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+，即511c ≤≤.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[]1,1x ∈-时，() 1f x ≤，则12a b+的最大值是_________. 【答案】12-【解析】将()1f x ≤转化为221112x x a b x --≤-+≤-，画出2211,,12y x y x a b y x =--=-+=-的图像，结合图像求得12a b +的最大值.【详解】由()1f x ≤得，21121x x a b +-+-≤≤，即221112x x a b x --≤-+≤-.即当[]1,1x ∈-时，12y x a b =-+的图像夹在21y x =--与21y x =-之间.双变量问题先固定一个变量值或者范围，在[]1,1x ∈-中移动12y x a b =-+的图像，可知可取1b =-，变化a ，移动12y x a b =-+的图像，由图可知11a -≤≤，所以111112222a b a b +≤+≤-=-，即12a b +的最大值为12-.移动12y x a b =-+的图像，,a b 有无数种情况，但是最大值始终为12a b +12=-.故答案为：12-.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题18．已知平面向量()3,,02,a sinx cosx b cosx ⎛⎫⎪⎪⎝⎭==，函数()2()f x a b x R =+∈.(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域.【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈ (2)【解析】（1）先求得2a b +的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得()f x 的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数()f x 的对称轴.（2）根据（1）中所求()f x 的解析式，结合三角函数值域的求法，求得()f x 的值域. 【详解】(1)()23,2a b sinx cosx cosx +=+()f x ==由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以()f x ∈.所以()f x 的值城是【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.19．如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠=，11114AA CC BC AC ====，,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1) 证明见解析 (2)【解析】取AC 中点O ，AB 中点G ，分别以,,OG OF OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.（1）通过计算0BC EF ⋅=证得BC EF ⊥.（2）通过直线EB 的方向向量和平面11BCC B 的法向量，求得线面角的正弦值. 【详解】取AC 的中点O ，取AB 的中点G ，取BC 的中点F ，取11A C 的中点E .根据中位线的性质可知//,//OG BF OF BG ==，而90ABC ∠=，故四边形OGBF 为矩形.根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质定理可知，OE ⊥平面ABC .分别以,,OG OF OE 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则有2,()B ，()C -0,(,)F 1( 1,(0,0C E -,(1)因为()(4,0,0,BC EF =-=- 所以0BC EF ⋅=，故有BC EF ⊥(2)因为()(14,0,0,1,BC CC =-=， 设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则由10,0CC n BC n ⋅=⋅=，解得()0,2,1n =，2,(EB =-，故有cos ,355EB n sin EB n EB nθ⋅====⋅所以直线EB 与平面11BCC B .【点睛】本小题主要考查空间向量法证明线面垂直以及求线面角的正弦值，考查运算求解能力，属于基础题.20．已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)；(2)求证()*)1n N <∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解析 【解析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，由此猜想出{}n a 的通项公式.（2<，由此求和证得不等式成立.也可用数学归纳法，证得不等式成立. 【详解】解:(1)2311,23a a == 猜想1n a n====<=<1)1=(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n =时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N =∈时，不等式成立，即)1<，那么当1n k =+<)1成立，))11+<<只要证明()()12212231k k k +++++即证141k +<+，即证43k <+只要证明221624816249k k k k ++<++，显然成立， 所以1n k =+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N ∈不等式均成立. 【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式猜想数列的通项公式，考查利用放缩法证明不等式，考查数学归纳法的运用，属于中档题.21．如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 12p M ⎛-⎝(2)【解析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线方程，求得M 点的坐标.（2）设()00,M x y ，根据平行四边形的对称性求得,A N 两点的坐标，设出B 点坐标，利用1225S S =得到2001139,28y y y x p==，由AB MF k k =列方程，解方程求得M 的坐标，由此求得直线OM 的斜率. 【详解】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12px =-，所以y ==所以12p M ⎛-⎝ (2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分， 所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫-⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+ 所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =，所以20975248o y p x p-= 又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形面积公式，考查平行四边形的性质，考查斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 22．已知函数())f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()150424g a ln <≤-. 【答案】(1) 46y ln =- (2) 45a <≤【解析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）令()'0fx =，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式，利用换元法化简()g a 的表达式，利用导数，结合单调性以及()g a 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】(1)5a =时，()ln x x f x +-=()11f x x '=+- ()()446,'40,f ln f =-=所以，点()()4,4f 处的切线方程是46y ln =-； (2)()12212x f x x x -'=+=2a=1=，且2160a ∆=->，4a >，t =，得()2214t a t+=，且1t >. 因为()11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--，所以()()12121ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 令()12ln h t t t t=--则()()2222211221'10t t t h t t t t t --+=+-==> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为()154424h ln =-，所以14t <≤， 又因为()221124t a t t t+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. 【点睛】本小题主要考查求曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性以及取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。

一、单选题二、多选题1. 已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z 的虚部是（ ）A．B．C．D．2. 设各项为正的等比数列的公比，且，，成等差数列，则的值为（ ）A．B．C．D ．23. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；③若是平面α的法向量，是直线l 的方向向量，若l 与平面α平行，则；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．44.已知函数（），，的最大值为3，最小值为，则（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y (平方米)与时间t (月)之间的函数关系式是(a>0且a ≠1)，它的图象如图所示，给出以下命题，其中正确的有（）A ．池塘中原有浮草的面积是0.5平方米B ．第8个月浮草的面积超过60平方米C ．浮草每月增加的面积都相等D ．若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则2t 2>t 1+t 38. （多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题(高频考点版)浙江省衢州、丽水、湖州三地市2024届高三上学期11月教学质量检测数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．函数的图象关于直线对称C ．函数在上单调递减D．将函数图象向左平移个单位所得图象关于y 轴对称9. ______10. 已知，，，则点A 到直线BC 的距离为__________.11. 函数恒过定点 _______.12. 如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题：①由图知，即可以得到不等式；②由图知，即可以得到不等式；③由图知，即可以得到不等式；以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号）13.已知是数列的前n 项和，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和．14. 已知双曲线：的离心率为；(1)求此双曲线的渐近线方程；(2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围；15. 已知，求的解析式.16. 柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来证明一些距离最值问题，还可以借助其放缩达到降低题目难度的目的.数列满足，.(1)证明：数列为等差数列.(2)证明：；(3)证明：.。

E A. , 2
B. , 2 C. , 2 D. , 2
A
D
O
B
C
第 9 题图
10．设数列{an} 满足 a1 1, an+1 =ean m 1 ， n N* ，若对一切 n N* ， an 2 ，则实数 m
（Ⅱ）当
x


0,
2

时，求
f
(x)
的值域．
高三数学试题卷（共四页）——第 3 页
19．(本小题满分 15 分)
如图 ，已知 三棱 台 ABC A1B1C1 ，平 面 A1 ACC1 平面 ABC ， ABC 90 ，
BAC 30 ， AA1 CC1 BC A1C1 4 ， E, F 分别是 A1C1 ， BC 的中点．
恰有两个零点，则实数
m
的取值范围是
A. (0,1) (e, )
B. (e, )
C. (0,1) (e2 ,)
D. (e2 , )
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O ，BC AB ，现将 DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，
记 BOE ，二面角 B AC E 的平面角为 ，直线 DE 和 BC 所成角为 ，则
3．已知实数
x,
y
满足

x+y

2

0,
则 x2 +y2 的最小值是
y 0,
D． i
A． 2
B． 2
C． 4
D． 8
4．若 a,b R ，则“ a b 1”是“ a2 b2 1 ”的
A．充分不必要条件

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 1 ;
所以 a = 1 ...................................................14 分
19.（本题满分 15 分）
解：（Ι）因为 BC / / 平面 ADE ， BC �BCED ，且
平面B平C面ED I
l
恒成立，求实数
的值.
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷
高三数学卷参考答案（2020.04）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
D
B
C
D
A
A
B
C
D
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
( ) uuur
所以 BC = -1, 3, 0 ，
uuur ED
=
1 2
uuur BC
=
� � � �-
1 2
,
3 2
,
0
� � � �，
所以
D
� � � �-
1 2
,
3 2
,
3
� � � �，
uuur AD
=
�1 � � �2
,
3 2
,
3
� � � �.........9
分
高三数学试题卷（共四页）第 9 页
f ( f (x)) - f (x) = ( f (x) - x1)( f (x) - x2 ) = [ f (x) - x + x - x1][ f (x) - x + x - x1]

浙江省衢州湖州丽水三地市高三4月教学质量检测试题数学第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()RA B =A ．[)1,0- B.[]1,0- C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆的离心率是C.3. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。

《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。

”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. A. 21 B. 22 C. 23 D. 245.函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为6. 若实数满足约束条件，则的取值范围是A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D.[1, 16]7. 若0,0a b >> ,则“”是“1aba b≤+”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 已知，若存在实数b 使不等式对任意的恒成立，则A. b 的最小值为4B. b 的最小值为6C. b 的最小值为8D. b 的最小值为109.如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述 不正确．．．的是A. PD PB PC PA ⋅+⋅是定值.B. PA PD PD PC PC PB PB PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C. PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意>0,不等式恒成立，则实数a 的最小值为A ．B ． C. D ．第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）注意事项：用钢笔或签字笔将试题卷上的题目做在答题卷上，做在试题卷上的无效. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11.若复数，则|.12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知，，且数列{}n a n +是等比数列,则n a =n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ．14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆截得的弦长最短为 _.15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 aPb其中.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 .17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤, B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.19.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1.（Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）aa 已知数列{}n a 的前n 项和，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. （本小题满分15分） 如图，设抛物线方程为 (p ＞0),M 为直线 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. （本小题满分15分）已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCDAABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 12. ， 13.136416-， 14. -1,15. , 2416.17. 2230-≤≤a 或6223≤≤+a解析：方法一：设[]x x f x f f x f n n ==-)(,)()(01，由题意方程x x f =)(的存在实根，且都在函数)(x f y =的对称轴右侧（含对称轴）.因此有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥--02).1(204)1(22a a a a a a ； 解得2230-≤≤a 或6223≤≤+a方法二：设21,x x （21x x ≤）是方程x x f =)(的两个实根，则))(()(21x x x x x x f --=-))()()(()())((21x x f x x f x f x f f --=-=[][]11)()(x x x x f x x x x f -+--+-=)1)(1)()((2121+-+---x x x x x x x x .由题意，对任意21x x x ≤≤时，0)())((≤-x f x f f 即0121≥+-x x ，即可解得. 三、解答题：本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）解：（Ⅰ） 214tan ).4tan(14tan)4tan()4(tan tan =++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=πππππA A A A A ..........3分 581tan 1tan 2cos sin cos cos sin 2cos 2sin 22222=++=++=+A A A A A A A A A .......7分 （Ⅱ）由（1）21tan =A 可得：552cos ,55sin ==A A ；............9分又1sin 21==A bc S ,2=c 可得5=b ；......................11分 1cos 2222=-+=A bc c b a ;所以1=a ...................................................14分19.（本题满分15分）解：（Ι）因为//BC 平面ADE ，BC BCED ⊂，且BCED ADE DE =平面平面，..........3分所以//BC DE ...................5分a（Π）解法1如图所示建立空间直角坐标系，设2AB =各点的坐标分别为()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,3,0C ，()0,0,3E ，..........7分所以()1,3,0BC =-，113,,0222ED BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以13,,322D ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭， 13,,322AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.........9分所以21323,,3333AF AD ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2323,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭F .........11分 所以22323,,333⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭CF ，因为面ABE 的一个法向量是()03,0OC =，.....13分 设CF 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,OC CF OC CF OC CFθ⋅==⋅ a所以21sin 7=θ.........15分 解法2如图所示，延长,CD BE 交于P ，连接PA ,延长CF 交AP 于G ，显然G 为PA 的中点，OC ABE ⊥面,,.......7分所以CGO ∠即为设CF 与平面ABE 所成的角.......11分 因为32OC OG ==，,所以7=CG ,.........13分所以21sin 7∠=CGO .........15分20.（本题满分15分） 解：（I ）当1=n 时，，又因为0>n a ，所以，，6------------------------------------------------------------------------3分当2≥n 时，因为0>n a ，所以；-------------------------------------5分 所以数列{}n a 是等差数列，.----------------------7分（Ⅱ）由（1）题可得)1(+=n n b n ； -----10分所以 n b n >，22nn T n +>；--------------------------------12分又 212)1()1(+=++<+=n n n n n b n ； 所以2222)1(2nn n n n T n +=++<； ---------------------14分 综上可得22222nn T n n n +<<+. ---------------------15分 21.（本题满分15分）过A 点的切线方程为，过B 点的切线方程为，联立这两个方程可得,化简得(=0, 令x=0,y2, ∴y ∴直线AB 过(0,2p)点.（Ⅱ）记,,,,=设=t ,记,则,同理，,,,于是, ----------12分∴=---S,S,∴λ== 2 -------------------------------15分22.（本题满分15分）解：（Ι）当1a =时,()()21x f x x e -=-, ----------1分 所以()()2'21x f x x x e -=-++ ----------3分 令()()2'21=0x f x x x e -=-++，得221=0x x -++所以1212,12x x ==----------4分x(),12-∞-12-()12,12-+12+()12++∞， ()'f x -0 +0 -()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以()f x 单调递减区间为(,12-∞，()12+∞，单调递增区间为(12,12+ ----------7分 （Π）因为()()2'2x f x x x a e -=-++，1a >- ----------8分 所以12,x x 为方程()22=0x x x a e --++化简后即22=0x x a --的两相异根，此时，12122+=2=20i i x x x x a x x a ⎧⎪-⎨⎪-++=⎩， ----------9分所以()()()121'0+1x f x g x a e --=-()11x a e -=-+ ()()()1111221212112=2=22x x x x x f x x x a e x x e x x e ae ----=-=- ----------10分 所以()()()()2111'x f x f x g x λ≤-可以转化为 ()1121x x ae a e λ---≤-+，因为()2120,1i i x x a x -++=∈-∞，所以上式可化为()()()112112120x x x x e e λ---+-≤ 化简得：()12112201x x x e λ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-11分 ①当()1,0a ∈-时()10,1x ∈，21120x x -<， 所以1201x e λ-≥+恒成立，因为此时12211x e e ⎛⎫∈ ⎪++⎝⎭,1 所以1λ≥；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-12分②当=0a 时10x =，21120x x -=，所以※显然恒成立，即R λ∈；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄-13分③当()0,a ∈+∞时()1,0x ∈-∞，21120x x -> 所以1201x e λ-≤+恒成立，因为此时()1211x e∈+,2,所以1λ≤；┄┄┄┄┄┄14分 综上①②③可知：1λ= ----------15分。

衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷(第6稿)（2020.04）一、选择题1. 已知集合[]0,4A=，{}R|1B x x=∈≤，则BACR⋂)(（）A．[)1,0- B.[]1,0-C．[]0,1 D. (]1,42.椭圆x22+y2=1的离心率是（）A. 12B. 13C.√23D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．323B．163C．4 D．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。

《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。

”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. （）A. 21B. 22C. 23D. 245.函数()()lnx xf x e e x-=+的图象大致为（）6.若实数满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y≥0，则2x+3y的取值范围是（）A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D. [1, 16]7.若0,0a b>>,则“ab≤4”是“1aba b≤+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.任意a∈[−1,2]，若存在实数b使不等式|x2−ax|≤b对任意的x∈[0,2]恒成立，则（）A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确．．．的是（）第3题图DB CA第9题A. ⋅+⋅是定值.B. ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C.PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意x >0,不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．√eB ．2√eC. 2e D ．12e 二、填空题11.若复数z =21+i (i 为虚数单位），则|z|= . 12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知a 2=1，a 3=6，且数列{}n a n +是等比数列,则n a = n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ． 14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆x 2+y 2−2y −8=0截得的弦长最短为 . 15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 a P12b14其中a >0,b >0.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 . 17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤,B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：18.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为.已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.ABC ∆,,a b c19.如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1. （Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.已知数列{}n a 的前n 项和S n =a n 2+2a n4，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n =√S n ，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. 如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=SΔEAB S ΔMCD,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. 已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.。

衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷高三数学卷参考答案（2020.11）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 15 56 12. 5 80 13. 2 5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦14. 10-15.15 16.16717. 4三、解答题18.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin 6bc a bc A π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）求sin cos B C ⋅的取值范围.解：（1）由已知得cos sin 6A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭，---------------------------2分 所以1cos cos 22A A A =+,---------------------------------------4分 所以tan A =，所以6A π=；--------------------------------------6分 （2）sin cos sin cos 6B C C C π⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭1cos cos 22C C C ⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭---------------------------------------------8分 11sin 2264C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------------10分ABCD EFP因为ABC ∆是锐角三角形，所以,32C ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，--------------------------12分 572,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以11sin 2,622C π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------13分 所以111sin 20,2642C π⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------14分19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60BAD ∠=，2PA AD PD ===，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点． （Ⅰ）证明：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）当AP BD ⊥，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值 解：（1）取PD 的中点M ，连结AM ，ME ,--------------2分由已知////AF ME DC ，且12AF ME DC ==,所以四边形AFEM 是平行四边形，-----------------------3分所以//EF AM ，又EF ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ------------------6分所以//EF 平面PAD ；-----------------------------7分 （Ⅱ）解法一：取AD 的中点O ，连结PO ，∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∴PO BD ⊥ 又∵AP BD ⊥，∴BD ⊥平面PAD ，------------------------------------------9分 ∴BD AD ⊥又60BAD ∠=，∴24AB AD ==．--------------------11分过点C 作CG AD ⊥于点G ，连结PG ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知， CG ⊥平面PAD ，所以CPG ∠是直线PC 与平面PDC 所成角．-----------13分又CG =PG =45CPG ∠=， 即直线PC 与平面PDC 所成角为45．------------15分COP G MFED BA解法二：取AD 的中点O ，连结PO ， ∵2PA AD PD ===，PO AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， ∴PO BD ⊥ 又∵AP BD ⊥，∴BD ⊥平面PAD ，------------------------9分 ∴BD AD ⊥又60BAD ∠=，∴24AB AD ==．----------------------11分以D 为原点，射线DA DB ，分别为x 轴、y 轴建立如图的空间直角坐标系，则()000D ，，，()200A ，，，()00B，()20C -，(10P ，则(3CP =-，，又平面PAD 的法向量为()0,0,1n =，-------------------13分 设直线PC 与平面PDC 所成角为θ，则2sin 2n CP n CPθ⋅==⋅， 所以直线PC 与平面PDC 所成角为45．---------------------------------------------------15分 20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=.（Ⅰ）求2a ，3a 的值，并写出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n b =，数列{}nb 的前n 项和为n T，求证：当2n ≥时，312n T <<. 解（1）当1n =时，2212S S a +=，即22220a a --=n a >，22a =，2323S S a +=，解得33a =，------------------------------------4分由21121(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩，可得2211(2)n n n n a a a a n +++=-≥ 即111()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥0n a >，11(2)n n a a n +∴-=≥又21211a a -=-=C∴{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，1(1)n a n n ∴=+-=.----------------------------------------------------------7分（2）由（1）得，n T n=+++当2n ≥<=,-------------------------9分将上式对k 从1到n 求和，得11)1n T ≤+=，-------------12分注意到：12+>=--------------------14分 将上式对k 从1到1n -求和，得1331)222n n T T ->⇒>->---------------15分所以312n T <≤. 经验证，当1n =时，上式也成立.21.已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，点()1,G t -在M 的准线上. （Ⅰ）当G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（Ⅱ）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的 取值范围.G O解：（1）由已知12p=，2p =；------------------------------------------------2分 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =---------------------4分所以GF ==；------------------------------------------------------------6分 （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<， 所以4m t =，--------（1）且234t <-------（2）----------------------------------------------8分由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=， 则()21610m mt ∆=-->，------（3）且12y y -=------------------10分由241y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=----------------------------------------------------------------------------12分 因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-，所以2222122n m mt t =--=-，----------（4）-----------------------------------------------------14分 由（1）（2）（3）解得213124t <<， 由（4）得207n <<，即217k >，所以k >或k <分22.已知函数()1x f x e x =--，2()g x ax =（a ∈R ）． （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）设()()()2F x f x g x =-+，若当(),a t ∈+∞时，()F x 有三个不同的零点，求t 的最小值；（Ⅲ）当()0,x ∈+∞时，()()()ln 1f x x x g x ++⎡⎤⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．解：（1）∵()1e xf x '=-，由()0f x '=得，0x =--------------------2分∴()f x 在区间(],0-∞上单调递减，在区间[)0,+∞上单调递增，-----------4分 ∴函数()f x 的值域是[)0,+∞；----------------------------5分（2）()2e 1x F x ax x =--+，∴()21xF x e ax '=--，()2xF x e a ''=-当0a ≤时，()0F x ''>，()F x '单调递增又()00F '=，∴()F x '在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，∴()()00F x F ''≥=，∴()F x 在R 上单调递增，不合题意.-------------------------7分当0a >时，由()20xF x e a ''=->，得ln(2)x a >，∴()F x '在区间(],ln(2)a -∞上单调递减，在区间[)ln(2),a +∞上单调递增，∵(0)0F '=，12102aF e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭∴若102a <<，则在区间(],ln(2)a -∞上存在1x ，当()1,x x ∈-∞时，()0F x '>，当()1,0x x ∈时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>∴()F x 在区间()1,x -∞上单调递增，在区间()1,0x 上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增，此时函数()F x 有且只有一个零点．-------------------------------------9分当12a >时，存在()2ln(2)x a ∈+∞，，使得()222210x F x e ax '=--=， ∴()F x 在区间(),0-∞上单调递增，在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，从而要使()F x 有三个零点，必有()2222210xF x e ax x =--+<，∴()2222120ax a x --->，即()()22210x ax -+>，∴22x >，又∵2212x e a x -=，令()12x e h x x -=，则()()2112x x e h x x -+'=∵当2x >时，()0h x '>，∴()h x 在区间()2,+∞单调递增，∴()2124e a h ->=，即2min 14e t -=．-------------------------------------------11分（3）()()2ln 1f x x x ax ++⎡⎤⎣⎦()()21ln 1e -x x ax ⇔+， ∴()()()()()2ln 1111ln 11ln 1ln 1e -e -e -e x xxx x x x a x x x x ++==-++，---------------------13分 令()1e -x m x x=，则()()21e xx m x x -'=，令()()11e x x x ϕ=-+，则()e xx x ϕ'=，∵0x >，∴()0x ϕ'>，()x ϕ在()0,+∞上单调递增，∴()()1010ex ϕϕ>=->，于是()m x 在()0,+∞上单调递增，又由（1）知当()0,x ∈+∞时，e 1xx +恒成立，∴()ln 1x x >+，∴()()1ln(1)m x am x <+，∴a 的取值范围是(),1-∞．--------------------------15分。

湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学试题卷本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}(0M x x =-≥，{}(3)(1)0N x x x =--≥，则M N =IA.{}3x x ≥ B.{1x x ≤或}3x ≥ C.{1x x =或}3x ≥ D.{1x x =或}3x =2.已知i 1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=A.1- B.1C.i- D.i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则22MA MB MC MD +++=uuu ruuu ruuu ruuu rA.ABuuu rB.CDuuu rC.2ABuuu rD.12CDuuu r4.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是A.16B.19C.536D.7365.已知函数()cos f x a x ω=（0a ≠，0ω>）.若将函数()y f x =的图象向左平移π6ω个单位长度后得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x =在7π[0,]12上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是A.1024,)77[B.[16,4)7C.[10,4)7D.1624,)77[6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得45BCD ∠=o ，105BDC ∠=o ，100CD =米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角28ACB ︒∠=，则酒店的高度约是(参考数据：2 1.4≈，6 2.4≈，tan 280.53≈o )A.91米 B.101米C.111米D.121米7.已知(1,0)A 是圆O ：222x y r +=上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B 在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是A.54-B.52-C.5-D.25-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1y x x=+的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数12y x x=+的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是A.10252- B.552- C.1045- D.1045-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知α，β为两个平面，m ，n 为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是A.若//m n ，则//αβB.若m ，n 为异面直线，则α与β相交C.若α与β相交，则m ，n 相交D.若αβ⊥，则m n⊥10.若实数a ，b 满足1a ≤且100a b +≤，则A.ab 的最小值是100- B.ab 的最大值是99C.a b ab ++的最小值是201- D.a b ab ++的最大值是200（第6题图）11.已知正方形ABCD 中，2AB =，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥P ABC -的体积为V ,则下列命题正确的是A.若PA PC +=，则α的最大值是4π B.若PA PC +=，则V 的最大值是13C.若224PA PD +=，则V 的最大值是23 D.若224PA PD +=，则α的最大值是4π12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足DB EB OB ADAE==（O 为坐标原点），分别过D ，E 作x 轴平行线交抛物线C 于P ，Q 两点，则A.sin sin AOD BOD ∠=∠ B.OD OE⊥C.直线PQ 过定点1(,0)2D.五边形DPFQE 的周长7l >三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.8()()x y x y -+的展开式中72x y 的系数是▲.14.定义在R 上的非常数函数()f x 满足：()()f x f x -=，且(2)()0f x f x -+=.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x =▲.15.已知数列1，1，3，1，3，5，1，3，5，7，1，3，5，7，9，...，其中第一项是1，接下来的两项是1，3，再接下来的三项是1，3，5，依此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400n S >成立的最小正整数n 的值是▲.16.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）离心率为12e =，F 为椭圆C 的右焦点，A ，B是椭圆C 上的两点，且FA FB λ=.若FA FB ⊥，则实数λ的取值范围是▲.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*N n ∈，11222nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数，，是偶数.（1）求2a ，3a 的值，并证明数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列；（2）设12-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =.（1）求证：111B C A D ⊥；（2）若2AB =且二面角11A BC B --的余弦值为35，求点1A 到侧面11BB C C 的距离.19.（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B--=，且A C ≠.（1）求证：2B C =；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4a =，求线段BD 长度的取值范围.（第18题图）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p（01p<<），且每道题的作答情况相互独立.（i）记丙在一道抢答题中的得分为X，求X的分布列与数学期望；（ii）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p的取值范围.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中a b c d n+++=.()2P K k≥0.150.100.050.025 0k 2.072 2.706 3.841 5.024已知双曲线C ：2214x y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为(4,0).（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()e sin x f x a x bx =-+（0a >）.（1）当0b =时，函数()f x 在(0,)2π上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0b <时，设0x 是函数()f x 的极值点，证明：()0ln(2bf x b ≥--.（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2014．cos2y x π=(本题为开放题，只要满足图象中点()0,1为其对称中心，y 轴为其对称轴，且周期为4的函数都可以)15．5916．⎦⎤⎢⎣⎡+-374,374四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*N n ∈，11222nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数，，是偶数.（1）求2a ，3a 的值，并证明数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列；（2）设12-=n n a b （*N n ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T ．解（1）1212a a ==，3322210a a =+=．------------------------------------------------------2分题号12345678答案CDACBBCD题号9101112答案ABDBCACABD由题意得2121212+1221212128882+2244332333n n n n n n n n a a a a a ++----⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128+033a =≠，所以数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列．---------------------------------------5分（若用数列212+3n a -⎧⎫⎨⎩⎭前3项说明是公比为3的等比数列，但没有严格证明的只得3分）（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b ．---------------------------------------------------7分运用分组求和，可得()n T n n 321498--=．-----------------------------------------10分18．（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥平面11AA B B ，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且3CD DB =，11A A A B =．（1）求证：111B C A D ⊥；（2）若2AB =且二面角11A BC B --的余弦值为35，求点1A 到侧面11BB C C 的距离．解；（1）取AB 的中点O ，11B C 的中点E ，连接,,,AO OD AE DE ．因为3CD DB =，在三棱柱111ABC A B C -可得111A E B C ⊥，四边形1A ODE 为梯形，且//OD AE ，12OD AE =．因为2OB BD =，且60OBD ∠=o ，所以OD BC ⊥．------------------------------2分因为11A A A B =，所以1A O AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC I 平面11AA B B AB=所以1AO ⊥平面ABC ，所以1A O BC ⊥．----------------------------------------4分因为OD BC ⊥，1A O BC ⊥，1A O OD O =I ，所以BC ⊥平面1A ODE ，所以1BC A D ⊥．公众号：潍坊高中数学又11//B C BC ，所以111B C A D ⊥．--------------------------------------------------6分（2）由（1）知BC ⊥平面1A ODE ，所以BC DE ⊥，又1BC A D ⊥，所以1A DE ∠是二面角11A BC B --的平面角．------------------------------9分所以13cos 5A DE ∠=．作1A G DE ⊥，由（1）知1A G ⊥平面11BCC B ，设1A O h =，则1A A =，在1A DE ∆中，1A D =11BCC B 中，ED =，又1A E =在等腰三角形1A DE 中，解得h =所以15A G =．---------------------------------------------------------------------------12分19．（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B --=，且A C ≠．（1）求证：2B C =；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4a =，求线段BD 长度的取值范围．解：（1）由题意得222sin sin sin sin sin sin A C A CC B--=,即21sin sin sin sin A C C B+=．由正弦定理得22b c ac =+，--------------------------------------------------------------2分又由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，---------------------------------------------4分所以2cos c a c B =-，故sin sin 2sin cos C A C B =-，故sin sin()2sin cos C B C C B =+-，整理得sin sin()C B C =-，又ABC ∆为锐角三角形，所以C B C =-，因此2B C =．------------------------------6分（2）在BCD ∆中，由正弦定理得4sin sin BDBDC C=∠，所以4sin sin BDBDC C=∠．-------------------------------------------------------------------8分所以4sin 4sin 4sin 2sin sin 2sin 2cos C C C BD BDC C C C=====∠，因为ABC ∆为锐角三角形，且2B C =，所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64C ππ<<．-------------------------------------10分故cos 22C <<，所以3BD <<因此线段BD长度的取值范围．---------------------------------------------------12分20．（本题满分12分）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛．该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分．两个环节结束后，累计总分高者获胜．由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变．（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况．请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p （01p <<），且每道题的作答情况相互独立．（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p 的取值范围．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中a b c d n +++=．公众号：潍坊高中数学高三数学参考答案第5页共7页解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()()()()()()222206194 2.4 3.8411051015n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K ≥=；故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关．------------------------------------4分（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，丙在一道抢答题中的得分X 可能为1-，0，2．(1)0.60.20.12P X =-=⨯=，4(0)0.P X ==，(2)0.60.80.48P X ==⨯=故可列出X 的分布列如下：X1-02P0.120.40.48因此()10.1220.480.84E X =-⨯+⨯=．--------------------------------------------------------8分（ii ）在旧赛制下，丙的期望得分为330.84 2.523p p ⨯+⨯=+；在新赛制下，丙的期望得分为420.84 1.684p p ⨯+⨯=+．由题意得0.840.1p -≤，解得p 的取值范围为[0.74,0.94]．-------------------------------------------------------12分21．（本题满分12分）已知双曲线C ：2214x y -=，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 坐标为(4,0)．（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于R ，S 两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆2214x y +=交于点D ，E ，直线AD ，AE 与双曲线C 的另一个交点分别是点M ，N .试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.()20P K k ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.024旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020高三数学参考答案第6页共7页解：（1）由题意得，渐近线的斜率为12±．---------------------------------------1分可得直线PR 的方程为1(4)2y x =-，由221(4)244y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩解得53(,)24R -，同理53(,24S ．----------------------------------3分所以直线RS 的方程为52x =．--------------------------------------------------------4分（2）直线MN 过定点．--------------------------------------------------------5分设直线AD ，AE 的直线方程分别为12x t y =-和22x t y =-．由122244x t y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，2211(4)40t y t y +-=，解得12144D t y t =+，则2121284D t x t -=+．同理22244E t y t =+，则2222284D t x t -=+．--------------------------------------------------------7分又P ，D ，E 三点共线，而21122112244(,)44t t PD t t --=++uuu r ，22222222244(,44t t PE t t --=++uuu r 故221221222212212244224404444t t t t t t t t ----⨯-⨯=++++，解得1212t t =．-------------------------9分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程y kx m =+，所以1212122212x x t t y y ++=⋅=．即121212(2)(2)1212()()x x y y kx m kx m ++==++（*）由2244y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，整理得222(14)8440k x kmx m ----=，故2122212214008144414k km x x k m x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=-⎪⎪--⎪⋅=-⎩代入（*）化简解得2220m mk k --=，即()(2)0m k m k +-=，故m k =-或2m k =．-------------------------------------------11分当2m k =时，2y kx m kx k =+=+，经过点(2,0)-，不合题意，当m k =-时，y kx m kx k =+=-，经过点(1,0)，满足题意．因此直线MN 过定点(1,0)．-----------------------------------------------------------12分微信公众号：潍坊高中数学高三数学参考答案第7页共7页22．（本题满分12分）已知函数()e sin x f x a x bx =-+（0a >）．（1）当0b =时，函数()f x 在(0,)2π上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0b <时，设0x 是函数()f x 的极值点，证明：()0ln(2bf x b ≥--．（其中e 2.71828≈是自然对数的底数）解：（1）由题意知()e sin x f x a x =-在(0,2π上有极小值，则()e cos 0x f x a x '=-=在(0,2π有解，．---------------------------------2分故e cos x a x =，设e ()cos x g x x =（(0,2x π∈），显然e ()cos xg x x=在(0,)2π单调递增，又(0)1g =，2lim ()x g x π→=+∞，所以1a >．--------------------------------4分当1a >时，()e cos x f x a x '=-在(0,)2π单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫ ⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知(0,2πα∃∈，且()0='αf ，此时当(0,)x α∈时，()0f x '<，当(,2x πα∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)α上单调递减，()f x 在(,)2πα上单调递增，故()f x 在(0,2π上有极小值点．因此实数a 的取值范围1a >．--------------------------------------------------------6分（2）由题意知()e cos xf x a x b '=-+，故000()e cos 0x f x a x b '=-+=．()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=-----------------------------8分00000002e (sin cos )2e sin()4x xa x x bxb x bx bπ=-+++=-+++002e x bx b ≥++-．---------------------------------------------------------------10分设()2e x h x bx b =++-（R x ∈），则()2e x h x b '=+，当(,ln(2bx ∈-∞-时，()0h x '<，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,2ln b x 时，()0h x '>，所以()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-2ln ,b 上单调递减，()h x 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-,2ln b 上单调递增，所以()(ln(ln(22b bh x h b ≥-=--．因此()0ln()2bf x b ≥--成立．---------------------------------------------------------12分。

13. 14.
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中,角 所对的边分别是 ,已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ,---------------------------2分
所以 ,---------------------------------------4分
所以 ,所以 ；--------------------------------------6分
（2）
---------------------------------------------8分
,-------------------------------------------------------10分
21.已知椭圆 ,抛物线 的焦点是 ,点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时,求 的值；
（Ⅱ）如图,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,与抛物线 交于 两点,且
是 的中点,过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ,求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 , ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ,
则 ,------（3）且 ,------------------10分
由 消去 得 ,
所以 ,----------------------------------------------------------------------------12分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,----------（4）-----------------------------------------------------14分

衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11.14，21，16 14. 2，715. 18 16. 4 17. 83- 三、解答题：18.已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-1sin(2)62x πω--.......................................4分 因为T π=，所以1ω=.............................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()sin(2)62f x x π=--01()2f x =，所以0sin(2)6x π-=因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx ，所以02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦..............................................8分因为0sin(2)6x π-=<所以022,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0cos(2)63x π-=-..................................10分00003cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 6666666x x x x ππππππ=-+=---=-.........14分19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠= ，22BC AD ==，3PC =．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =因为//AD BC ，12AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形，所以//DE AF ，----------------------4分又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，因为PAB ∆是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，计算得2AB AC ==，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面PAB 所成角，------12分则PQC ∆中，3PQ QC PC ===，所以3sin 304EG PE ==，又BE =，--------14分所以sin EG EBG BE ∠==-----------------------15分 所以直线BE 与平面PAB． 解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y由已知条件得，2AB =，DC =，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()C ，()B ，----8分 设(),,P x y z ，由()()((22222222214249x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪-+-+=⎨⎪⎪+-+=⎩得9342P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B PACDEFQG所以5342AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，由560x z x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得平面PAB的法向量是()3,2n =- ，----------------12分又73,,884BE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，-----------------------14分 sin BE n BE nθ⋅==----------------------------15分 所以直线BD 与平面PAB20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2214n n S S +-=，214S =---------------2分所以数列{}2n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 24n S n =，又0n a >，所以0n S >，所以n S =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=当1n =时，12a =也满足上式，所以N n *∀∈都有n a =分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以1n S ==>=分 所以121111nS S S +++> ---------------------------------------------------10分又因为1(2)n n S =<=≥------------------12分 当2n ≥时1211111112n S S S S +++≤= ------------------14分 当1n =时上式也成立12111112n S S S <+++≤ ()N n *∈ ---------------------15分 21．已知F 是抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q . （Ⅰ）求,m p 的值； （Ⅱ）若0m >，且2PQQA QB =⋅，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）由2PF =得，122p+=，所以2p =，-------------------------2分 将1,x y m ==代入22y px =得，2m =±，--------------------------4分 （Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，-----------------------6分因为2PQ QA QB =⋅，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=,且124n ≠+，----------8分所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32n ≠-，------------------------------10分 由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，()()()21212132130n y y n y y ++-++=，()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分解得，32n =-（舍去）或12n =-， 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．---------------------15分（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，------------------6分由()421x ny y n x =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩解得Q 点的纵坐标是02231n y n -=+，------------------8分PQ =， -------------------------------------------10分()()()210201QA QB n y y y y ⋅=-+--()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12分因为2PQQA QB =⋅，所以()()()()()22222222342323116111n n n n PQ n n n n ⎛⎫+-- ⎪==++- ⎪+++⎝⎭化简得24830n n ++=，解得，32n =-（舍去）或12n =-， ---------------------------14分 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．--------------------15分22．已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈（Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.解：（Ⅰ）由题意()()()xx a x x x a a x x f 111'+-+=--+= ()()xx a x 1+-=-----------------------------------3分由()'0,0x fx >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤ ---------------------5分（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ,2上单调递减，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,aa 上单调递增， 又()3ln 2234492122322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a 所以 322a a f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ -----------------------------------7分 所以当322a ax ≤≤时，()()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,,2a M a b f b M a b f a b ⎛⎫≥-≥-⎪⎝⎭-----------------------------------9分所以 ()()()2,22-a a M a b f b f a b f f a ⎛⎫⎛⎫≥-+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------11分 即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-=-+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()412ln 212,2--=+==f f b a 时取等号-------15分。

衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷高三数学（2020.04）本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求.在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.参考公式：若事件,A B 互斥，则 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =若事件,A B 相互独立，则 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P AB P A P B = 锥体的体积公式若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-=L 球的表面积公式台体的体积公式 24S R π= ()1213V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， 343V R π=h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 (选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合[]0,4A =，{}R |1B x x =∈≤，则()R A B =I ðA ．[)1,0- B.[]1,0-C ．[]0,1 D. (]1,4 2.椭圆x 22+y 2=1的离心率是A. 12 B. 13 C.√23 D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体 的体积（单位：cm 3）是A ．323B ． 163 C ．4 D ．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

第1页 共9页衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 10- 14.1- 15. 1y x =- 16.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积. 解：（1）由题意得22222sin sin sin cos cos sin sin B C C B A A B ⋅+=-=-，-----------2分所以222b c a bc +-=-，故2221cos 22b c a A bc +-==-，------4分 因为0A π<<，所以sin 2A =.-----------------------------------5分（2）设CD x =，则2BD x =，在ADB ∆中，有2222244cos 28AD BD AB x c ADB AD BD x+-+-∠==⨯.第2页 共9页在ADC ∆中，有222224cos 24AD CD AC x b ADC AD CD x+-+-∠==⨯.----------------------------------7分 又πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以有2226212c x b =-+. 又2c b =，所以222b x =+. 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-.又3a x =，2c b =，2π3A =， 所以有22222194472x b b b b ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭.联立2222297b x x b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得3x b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以26c b ==，----------------------------------9分 所以11sin 362222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=.----------------------------------10分另解：由2BD DC =，2c b =，知AD 是BAC ∠平分线，所以3BAD CAD π∠=∠=在ADB ∆中，有222()423a c c =+-.在ADC ∆中，有221()423a b b =+-，所以22424(42)c c b b +-=+-结合2c b =解得26c b ==，所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====,BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.证：（1）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，知AB ⊥平面ADEF ，第3页 共9页故AB AF ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 另一方面，在ACF ∆中，222AF AC CF +=知AF AC ⊥，从而AF ⊥平面ABCD .-------4分 故AF AD ⊥，又AB AD ⊥，知AD ⊥平面BAF ，故AD AN ⊥，故BC AN ⊥，又N 是BF 中点，AF AB =，故AN BF ⊥，进而AN ⊥平面BCEF ,故AN CM ⊥.-------------------6分（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AF 所在的直线为x 、y 、z 轴，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B 、)0,2,0(D 、)2,1,0(E 、)34,32,32(M ，则)34,34,32(--=MD ，---------8分设面ABE 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AB n 得()1,2,0-=n，----------------10分则552sin =θ.------------------------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如右图： 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.第4页 共9页------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分2230(10818)5 3.84118121515K ⨯-==>⨯⨯⨯，-------------------------------4分故有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.-------------------------------5分（2）记事件A 代表“一袋中有4个合格品”，事件B 代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C 代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故3()5P B =,2()5P C =，下求()P B A ：由()()()()()P A P A B P B P A C P C =⋅+⋅----------------------------------------------------7分44413232864(5())(5())5555553125=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 故()()()8()()()9P A B P B P AB P B A P A P A ⋅===.-------------------------------12分 20．（本题满分12分）已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =-，证明：当01x <<时，3()3x f x >-；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π-上单调.第5页 共9页又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.-----------------------------------------------------------------------8分因为()022f ππ'=-<，所以函数()y f x =在[]0,π只能单调递减，由(0)10()(1)0f a f a π'=+≤⎧⎨'=-+≤⎩，解得1a =-.------------------------------------------------10分下证当1a =-时，()cos sin f x x x x =-在[]π,π-上单调.由于()f x 是奇函数，只要()y f x =在[]0,π单调，因为()sin 0f x x x '=-≤，所以()f x []0,π单调递减.----------------------------12分解法2：（2）因为()cos sin ()f x x x a x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数.--------------------------6分 要使函数()y f x =在[]π,π-上单调，只要函数()y f x =在[]0,π上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.------------------------------------------------------------------------8分 （i ）若(0)10f a '=+=，即1a =-时，()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()y f x =在[]0,π上单调递减，所以1a =-满足题意；（ii ）若(0)10f a '=+>，则()(1)0f a π'=-+<，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在12,(0,)x x π∈，使得当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,)x x π∈时，()0f x '<，所以()y f x =在1(0,)x 单调递增，在2(,)x π单调递减，因此1a >-不合题意；（iii ）若(0)10f a '=+<，则()(1)0f a π'=-+>，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在34,(0,)x x π∈，使得当3(0,)x x ∈时，()0f x '<，当4(,)x x π∈时，()0f x '>，所以()y f x =在3(0,)x 单调递减，在4(,)x π单调递增，因此1a <-不合题意；------------------10分 因此所求实数a 的取值范围是1a =-.-------------------------------------------------------------12分 21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．第6页 共9页（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足n b =*N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则2113(12)d d d +++=+，得12d =±，-------------2分 故12n n a +=或32n n a -=.-----------------------------------------4分（2）由{}n b 为等差数列，可设n b pn q =+，记{}n a 的公差为d ，故1(1)n a n d =+-.所以pn q +=，显然0p ≥，0pn q +≥，----------------------------6分 平方得22222224p n pqn q d n d ++=+-，该式对任意*n N ∈成立，故2222024p d pq q d ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，得20p d q ==⎧⎨=⎩.故21n a n =-，2n b n =.------------------------------------8分 因此11112(21)nnn k k k k T a b k k ====-∑∑， 一方面，11111112(21)22nnn k k k k T a b k k ====>-=-∑∑，故42n T >，------------------9分 另一方面，111211114442112(21)()()22nn n n n k k k k k k T a b k k k k k k ========+---∑∑∑∑22111122213(1)1nnk k k k k k n ==⎛⎫<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑.--------------------------------11分故整数．．λ的最小值为3.-------------------------------------------------------------------------12分法二：记{}n a 的公差为d ，则1b =，2b =3b =，-------------------------6分第7页 共9页上式平方后消去d 可得2222322135b b b b --=，结合3122b b b +=可知212b b =， 故2d =，21n a n =-，2n b n =.-----------------------------------------------------------------------8分下同方法一. 22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、ABE ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252ptpt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =(舍去)，所以抛物线C 的方程为22y x =.-------------------------------------------------------3分（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为():1AB l x my m R =+∈，与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，根据韦达定理知122y y m +=，122y y =-.-------------------------------------------------------5分由题意得直线1l 方程为1111111()2y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.直线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则第8页 共9页222122y y PQ =-.------------------------------------------------------------------6分 联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -， 则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.则222122y y RS =-. 联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，----------------------------------------------7分 则E 到直线AB l 的距离E AB d -==.由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，21,2d AB S AB d -=⋅=312E AB S AB d -=⋅=第9页 共9页222141122222E y y S RS y m =⋅=-.--------------------------------------------------10分所以212342=42S S m S S +==，得m = 所以直线AB的方程为：1x =+.-----------------------------------------12分。

2020届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,011|,1,P Q x x =-=-≤<，则P Q =（ ）A ．{}0B ．[]1,0-C ．{}1,0-D ．[)1,1-【答案】C【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】集合的交集是由两个集合的公共元素组合而成，故P Q ={}1,0-.故选：C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数1iz i+=(i 为虚数单位)，则复数z 的虛部是（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】先用复数除法运算化简z ，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()11i i z i i i +-==-⋅-，故虚部为1-. 故选：B3．已知实数,x y 满足236020,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是（ ）A． B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【解析】画出可行域，计算原点到直线20x y +-=的距离，进而求得22x y +的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，22x y +表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线20x y +-=的距离00222+-=，其平方为2.故22xy +的最小值为2.故选：B.【点睛】本小题主要考查线性可行域的画法，考查点到直线的距离公式，考查非线性目标函数的最值的求法，属于基础题.4．若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别画出不等式1x y +≤和221x y +≤表示的区域，根据区域的包含关系判断出充分、必要条件.【详解】设(){},|1A x y x y =+≤其表示的区域是1111x y x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪--≤⎩，画出图像如下图所示，而(){}22,|1B x y x y =+≤表示的区域是单位圆圆上和圆内部分，由图可知，A 是B 的真子集，故“1x y +≤”是“221x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5．函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于πππ21π22sin2f ⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A 选项符合. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题. 6．已知随机变量,X Y 的分布列如下:X32 1PabcY12 3Pabc若,,a b c 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()D X Y D >B ．()()E X E Y = C ．()()E X E Y <D ．()()D X Y D =【答案】D【解析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭， 由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.7．已知(,(A B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是（ ） A ．1d ≥ B ．01d <<C ．01d <≤D ．02d <<【答案】B【解析】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和2d 的大小关系，求得d 的取值范围. 【详解】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，也即,A B 到四条切线的距离都等于d ，符合题目的要求.圆心距2AB ==，由于两个圆外离，故AB d d >+，即022,01d d <<<<.故选：B. 【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.8．若函数()222,0,0x x x m x f x e mx e x ⎧---<=⎨-+≥⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(,1,) 0e ⋃+∞ B ．(),e +∞ C ．()20,1,() e ⋃+∞D ．2(,)e +∞【答案】C【解析】令()0f x =，然后进行分离常数m ，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得m 的取值范围. 【详解】()2010f e =+≠，故0x =不是()f x 的零点. 当0x ≠时，令()0f x =得222,0,0x x x x m e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩. 令()()20x e e g x x x +=>，()()2'21x x e e g x x--=，设()()()210x h x x e e x =-->，则()'0xh x xe =>，所以()h x 在()0,∞+上递增，而()20h =，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()'0g x <；当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >.即()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以当2x =时，()2min g x e =.结合二次函数的图像与性质，画出222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像如下图所示，由图可知，当01m <<或2m e >时，y m =与222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像有两个交点，也即()f x 恰有两个零点.故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC △沿着对角线AC 翻折成EAC ，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ）A ． ,2βαβγ>>B ．,2βαβγ>< C ．,2βαβγ<> D ．,2βαβγ<< 【答案】D【解析】作出二面角B AC E --的平面角β,根据最小角定理，判断出正确选项. 【详解】如图，过D 作AC 的垂线，交AC 于F ，交BC 于G ，则EFG β=∠，且EDF ∠为ED 与平面ABCD 的线面角，由最小角定理,EDF EDO EDF EDA ∠<∠∠<∠，又2,2,EDF EDO EDA βαγ=∠=∠=∠，所以,2βαβγ<<.故选：D.【点睛】本小题主要考查面面角、线面角、线线角的概念和运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10．设数列{}n a 满足*111,1,n a mn a a e n N -+==+∈， 若对一切*,2n n N a ∈≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m ≥ B ．12m ≤≤C ． 3m ≥D ．23m ≤≤【答案】A【解析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得m 的取值范围. 【详解】设函数()1x mf x e -=+，则()1n n a f a +=.依题意有212x mx e -≤⎧⎨+≤⎩，注意到()1x m f x e -=+在区间(],2-∞上为增函数，故当2x =时，1x m e -+有最大值，即212m e -+≤，解得2m ≥.故选：A. 【点睛】本小题主要考查用函数的观点理解数列的递推关系，考查函数的单调性和最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.二、填空题11．双曲线22145x y -=的焦距为__________，离心率为__________【答案】632【解析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率. 【详解】依题意2,3a c ===，所以焦距26c =，离心率32c e a ==. 故答案为：（1）6；（2）32. 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.12．已知二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，则n =_______，含x 的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】7 64【解析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得n 的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和. 【详解】依题意二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，即()11214n C ⋅-=-，解得7n =.含x 的奇次项的二项式系数和为0246777712134764C C C C +++=+++=.故答案为：（1）7；（2）64.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求n 的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示(单位: cm )，则该几何体的体积为__________3cm ， 最长的棱长为__________cm .【答案】16 6【解析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体P ABCD -.由三视图可知，四边形ABCD 是直角梯形，且PA ⊥平面ABCD ，4,2PA AB AD DC ====，所以()3111424416cm 332ABCD V S PA =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.2225AC AD CD AB AD =+=>=，PA 为三个直角三角形,,PAD PAC PAB 的公共直角边，所以PC PB PD >=，故最长的棱为226cm PC PA AC =+=.故答案为：（1）16；（2）6.【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题.14．在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 2,30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________ 【答案】45823-【解析】利用正弦定理求得sin B ，进而求得B 的大小，利用余弦定理求得AC . 【详解】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得2sin B =，由于三角形ABC 为锐角三角形，故45B =.而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=，在三角形ADC 中，由余弦定理得222cos75823AC AD DC AD DC =+-⋅⋅=-.故答案为：（1）45；（2）823-.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.15．已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，P 是直线: ()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =__________. 【答案】7【解析】根据椭圆的定义判断直线l 和椭圆相切，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，解方程求得m 的值. 【详解】依题意椭圆22:143x y C +=，则24a =，2a =，又因为，P 是直线:()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则此直线与椭圆相切.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简得22784120x mx m ++-=，判别式()24870m ∆=-=，解得7m =±.故答案为：7±. 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16．已知平面向量,,a b c 满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=，， 则c 的取值范围为_________. 【答案】[]5,11【解析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c 的轨迹，由此求得c 的取值范围. 【详解】设,,OA a OB b OC c ===，依题意4AB a b ==-，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB ⋅=+⋅+()()OD DA OD DA =+⋅-2260OD DA =-=，即2226026064OD DA =+=+=，所以8OD =，故22OD OA OD -≤≤+，即610OA ≤≤，由于1c a AC -==，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+，即511c ≤≤.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17．已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[]1,1x ∈-时，() 1f x ≤，则12a b+的最大值是_________. 【答案】12-【解析】将()1f x ≤转化为221112x x a b x --≤-+≤-，画出2211,,12y x y x a b y x =--=-+=-的图像，结合图像求得12a b +的最大值.【详解】由()1f x ≤得，21121x x a b +-+-≤≤，即221112x x a b x --≤-+≤-.即当[]1,1x ∈-时，12y x a b =-+的图像夹在21y x =--与21y x =-之间.双变量问题先固定一个变量值或者范围，在[]1,1x ∈-中移动12y x a b =-+的图像，可知可取1b =-，变化a ，移动12y x a b =-+的图像，由图可知11a -≤≤，所以111112222a b a b +≤+≤-=-，即12a b +的最大值为12-.移动12y x a b =-+的图像，,a b 有无数种情况，但是最大值始终为12a b +12=-.故答案为：12-.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题18．已知平面向量()3,,0,a sinx cosx b cosx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==，函数()2()f x a b x R =+∈.(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域.【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈ (2)【解析】（1）先求得2a b +的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得()f x 的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数()f x 的对称轴.（2）根据（1）中所求()f x 的解析式，结合三角函数值域的求法，求得()f x 的值域. 【详解】(1)()23,2a b sinx cosx cosx +=+()f x ==由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以()f x ∈.所以()f x 的值城是【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.19．如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=，30BAC ∠=，11114AA CC BC AC ====，,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【答案】(1) 证明见解析 (2)105【解析】取AC 中点O ，AB 中点G ，分别以,,OG OF OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.（1）通过计算0BC EF ⋅=证得BC EF ⊥.（2）通过直线EB 的方向向量和平面11BCC B 的法向量，求得线面角的正弦值. 【详解】取AC 的中点O ，取AB 的中点G ，取BC 的中点F ，取11A C 的中点E .根据中位线的性质可知//,//OG BF OF BG ==，而90ABC ∠=，故四边形OGBF 为矩形.根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质定理可知，OE ⊥平面ABC .分别以,,OG OF OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则有2,2()3,0B ，()2,23,0C - 0,23(,0,)F 1() 13,23,3)2(0,0C E -,(1)因为()(4,0,0,0,23,23BC EF =-=- 所以0BC EF ⋅=，故有BC EF ⊥(2)因为()(14,0,0,1,3,23BC CC =-=-， 设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则由10,0CC n BC n ⋅=⋅=，解得()0,2,1n =，2,2),23(3EB =-，故有23105cos ,35528EB n sin EB n EB nθ⋅====⋅⋅所以直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值105.【点睛】本小题主要考查空间向量法证明线面垂直以及求线面角的正弦值，考查运算求解能力，属于基础题.20．已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*1222()11n a a a n n N +∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解析 【解析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，由此猜想出{}n a 的通项公式. （2n a 22121n n <--+，由此求和证得不等式成立.也可用数学归纳法，证得不等式成立. 【详解】解:(1)2311,23a a == 猜想1n a n=1222222n a n n n n ===+ 222121n n <-++=<1)1=(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n =时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N =∈时，不等式成立，即)1<，那么当1n k =+<)1成立，))11+<<只要证明()()12212231k k k +++++即证141k +<+，即证43k <+只要证明221624816249k k k k ++<++，显然成立， 所以1n k =+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N ∈不等式均成立. 【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式猜想数列的通项公式，考查利用放缩法证明不等式，考查数学归纳法的运用，属于中档题.21．如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 2122p M p p ⎛-- ⎝ (2) 2【解析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线方程，求得M 点的坐标.（2）设()00,M x y ，根据平行四边形的对称性求得,A N 两点的坐标，设出B 点坐标，利用1225S S =得到2001139,28y y y x p==，由AB MF k k =列方程，解方程求得M 的坐标，由此求得直线OM 的斜率. 【详解】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12px =-， 所以22122p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以2122p M p p ⎛-- ⎝(2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分， 所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫-⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+ 所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =，所以20975248o y p x p-= 又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形面积公式，考查平行四边形的性质，考查斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 22．已知函数())f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <. (1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程； (2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()150424g a ln <≤-. 【答案】(1) 46y ln =- (2) 45a <≤【解析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）令'0fx，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式，利用换元法化简()g a 的表达式，利用导数，结合单调性以及()g a 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】(1)5a =时，()ln x x f x +-=()11f x x '=+- ()()446,'40,f ln f =-=所以，点()()4,4f 处的切线方程是46y ln =-； (2)()12212x f x x x -'=+=2a=1=，且2160a ∆=->，4a >，t =，得()2214t a t +=，且1t >. 因为()11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--，所以()()12121ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 令()12ln h t t t t=--则()()2222211221'10t t t h t t t t t --+=+-==> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增， 因为()154424h ln =-，所以14t <≤， 又因为()221124t a t t t+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. 【点睛】本小题主要考查求曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性以及取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。

湖州、衢州、丽水三地市教学质检测试卷高三数学注意事项:1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答.2.本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}1,011|,1,P Q x x =-=-≤<，则P Q =I （ ） A. {}0 B. []1,0-C. {}1,0-D. [)1,1-【答案】C 【分析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集.【详解】集合的交集是由两个集合的公共元素组合而成，故P Q =I {}1,0-. 故选：C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数1iz i+=(i 为虚数单位)，则复数z 的虛部是（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【分析】先用复数除法运算化简z ，由此求得z 的虚部.【详解】依题意()()()11i i z i i i +-==-⋅-，故虚部为1-. 故选：B3.已知实数,x y 满足236020,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是（ ）B. 2C. 4D. 8【答案】B 【分析】画出可行域，计算原点到直线20x y +-=的距离，进而求得22x y +的最小值.【详解】画出可行域如下图所示， 22xy +表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线20x y +-==，其平方为2.故22xy +的最小值为2.故选：B.【点睛】本小题主要考查线性可行域的画法，考查点到直线的距离公式，考查非线性目标函数的最值的求法，属于基础题.4.若,x y R ∈，则“1x y +≤”是“221x y +≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】分别画出不等式1x y +≤和221x y +≤表示的区域，根据区域的包含关系判断出充分、必要条件.【详解】设(){},|1A x y x y=+≤其表示的区域是1111x y x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪--≤⎩，画出图像如下图所示，而(){}22,|1B x y x y =+≤表示的区域是单位圆圆上和圆内部分，由图可知，A 是B 的真子集，故“1x y +≤”是“221x y +≤”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5.函数()(), ,00sin ),(xf x x xππ=∈-⋃的图象大致是（ ）A. B.C. D. 【答案】A【分析】利用特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于πππ21π22sin2f⎛⎫==>⎪⎝⎭，只有A选项符合.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.6.已知随机变量,X Y的分布列如下:X321 P a b c Y123 P a b c 若,,a b c成等差数列，则下列结论一定成立的是（）A. ()()D X Y D >B. ()() E X E Y =C. ()()E X E Y < D.()()D X Y D =【答案】D 【分析】,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.【详解】由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由①②得12,33b c a ==-. 所以()2243232333E X a b c a a a =++=++-=+， ()2282332333E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭， 由于484224333a a a ⎛⎫+--=-+ ⎪⎝⎭正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()222888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2225211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()D X Y D =. 故选：D.【点睛】本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.7.已知(,(A B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是（ ）A. 1d ≥B. 01d <<C. 01d <≤D.02d <<【答案】B 【分析】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆的四条公切线，根据圆心距和2d 的大小关系，求得d 的取值范围.【详解】分别以,A B 为圆心，半径为d 作圆，当两个圆外离时，可以作两个圆四条公切线，也即,A B 到四条切线的距离都等于d ，符合题目的要求.圆心距2AB ==，由于两个圆外离，故AB d d >+，即022,01d d <<<<. 故选：B.【点睛】本小题主要考查两个圆的位置关系，考查两圆外离时公切线的条数，考查化归与转化的数学思想方法，考查两点间的距离公式，属于基础题.8.若函数()222,0,0x x x m x f x e mx e x ⎧---<=⎨-+≥⎩恰有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()(,1,) 0e ⋃+∞ B. (),e +∞ C. ()20,1,() e ⋃+∞D. 2(,)e +∞【答案】C 【分析】令()0f x =，然后进行分离常数m ，利用数形结合的数学思想方法画出图像，结合图像求得m 的取值范围.【详解】()2010f e =+≠，故0x =不是()f x 的零点.当0x ≠时，令()0f x =得222,0,0x x x x m e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩.令()()20x e e g x x x +=>，()()2'21x x e e g x x--=，设()()()210x h x x e e x =-->，则()'0x h x xe =>，所以()h x 在()0,∞+上递增，而()20h =，所以当()0,2x ∈时，()0h x <，即()'0g x <；当()2,x ∈+∞时，()0h x >，即()'0g x >.即()g x 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以当2x =时，()2min g x e =.结合二次函数的图像与性质，画出222,0,0x x x x y e e x x ⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像如下图所示，由图可知，当01m <<或2m e >时，y m =与222,0,0x x x x y e e x x⎧--<⎪=⎨+>⎪⎩的图像有两个交点，也即()f x 恰有两个零点. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根据零点个数求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性、和最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9.如图，矩形ABCD 中心为, O BC AB >，现将DAC △沿着对角线AC 翻折成EAC V ，记BOE α∠=，二面角B AC E --的平面角为β，直线DE 和BC 所成角为γ，则（ ）A. ,2βαβγ>>B.,2βαβγ>< C.,2βαβγ<> D.,2βαβγ<< 【答案】D 【分析】作出二面角B AC E --的平面角β,根据最小角定理，判断出正确选项.【详解】如图，过D 作AC 的垂线，交AC 于F ，交BC 于G ，则EFG β=∠，且EDF ∠为ED 与平面ABCD 的线面角，由最小角定理,EDF EDO EDF EDA ∠<∠∠<∠，又2,2,EDF EDO EDA βαγ=∠=∠=∠，所以,2βαβγ<<.故选：D.【点睛】本小题主要考查面面角、线面角、线线角的概念和运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10.设数列{}n a 满足*111,1,n a mn a a e n N -+==+∈， 若对一切*,2n n N a ∈≤，则实数m 的取值范围是（ ） A. 2m ≥B. 12m ≤≤C. 3m ≥D.23m ≤≤【答案】A 【分析】根据题意列不等式，结合函数的单调性求得m 的取值范围.【详解】设函数()1x mf x e -=+，则()1n n a f a +=.依题意有212x mx e -≤⎧⎨+≤⎩，注意到()1x m f x e -=+在区间(],2-∞上为增函数，故当2x =时，1x m e -+有最大值，即212m e -+≤，解得2m ≥.故选：A.【点睛】本小题主要考查用函数的观点理解数列的递推关系，考查函数的单调性和最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.第II 卷（非选择题部分，共110分)注意事项:用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11.双曲线22145x y -=的焦距为__________，离心率为__________【答案】 (1). 6 (2). 32【分析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率.【详解】依题意2,3a c ===，所以焦距26c =，离心率32c e a ==. 故答案：（1）6；（2）32. 【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.12.已知二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，则n =_______，含x 的奇次项的二项式系数和的值是__________ 【答案】 (1). 7 (2). 64【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得n 的值.利用二项式系数公式，结合组合数的计算公式，计算出奇次项的二项式系数和.【详解】依题意二项式()*)2(nx n N -∈的展开式中，第二项的系数是14-，即()11214n C ⋅-=-，解得7n =.含x 的奇次项的二项式系数和为0246777712134764C C C C +++=+++=.故答案为：（1）7；（2）64.【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式项的系数求n 的值，考查求二项式展开式中指定项的二项式系数和，属于基础题.13.某几何体的三视图如图所示(单位: cm )，则该几何体的体积为__________3cm ， 最长的棱长为__________cm .【答案】 (1). 16 (2). 6 【分析】画出三视图对应的原图，根据锥体体积公式，求得几何体的体积，并计算出最长的棱长. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出原图如下图所示几何体P ABCD -.由三视图可知，四边形ABCD 是直角梯形，且PA ⊥平面ABCD ，4,2PA AB AD DC ====，所以()3111424416cm 332ABCD V S PA =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=.2225AC AD CD AB AD =+=>=，PA 为三个直角三角形,,PAD PAC PAB 的公共直角边，所以PC PB PD >=，故最长的棱为226cm PC PA AC =+=.故答案为：（1）16；（2）6.【点睛】本小题主要考查根据三视图求原图的体积和最长的棱长，考查空间想象能力，属于基础题.14.在锐角ABC △中，D 是线段BC 的中点，若2, 2,30AD BD BAD ==∠=︒，则角B =__________，AC =__________【答案】 (1). 45o (2). 823- 【分析】利用正弦定理求得sin B ，进而求得B 的大小，利用余弦定理求得AC . 【详解】在三角形ABD 中，由正弦定理得sin sin AD BD B BAD=∠，解得2sin B =，由于三角形ABC 为锐角三角形，故45B =o .而30,45,75BAD B ADC ∠=∠=∠=o o o ，在三角形ADC中，由余弦定理得222cos75823AC AD DC AD DC =+-⋅⋅=-o .故答案为：（1）45o ；（2）823-.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，P 是直线: ()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =__________.【答案】 【分析】根据椭圆的定义判断直线l 和椭圆相切，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意椭圆22:143x y C +=，则24a =，2a =，又因为，P 是直线:()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则此直线与椭圆相切.由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并化简得22784120x mx m ++-=，判别式()24870m ∆=-=，解得m =.故答案为：【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16.已知平面向量,,a b c r r r满足604,1a b a b c a ⋅=-=-=r r r r r r ，， 则c r 的取值范围为_________. 【答案】[]5,11 【分析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c r的轨迹，由此求得c r 的取值范围.【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，依题意4AB a b ==-u u u r r r ，设D 是线段AB 的中点，则()()a b OD DA OD DB⋅=+⋅+r r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()OD DA OD DA=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 2260OD DA =-=u u u r u u u r ，即2226026064OD DA =+=+=u u u r u u u r ，所以8OD =u u u r ，故22OD OA OD -≤≤+u u u r u u u r u u u r ，即610OA ≤≤u u u r ，由于1c a AC -==r r u u u r，所以C 在以A 为圆心，半径为1的圆上，所以11OA OC OA -≤≤+u u u r u u u r u u u r ，即511c ≤≤r.故答案为：[]5,11.【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 17.已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是_________. 【答案】12- 【分析】将() 1f x ≤转化为221112x x a b x --≤-+≤-，画出2211,,12y x y x a b y x =--=-+=-的图像，结合图像求得12a b +的最大值.【详解】由()1f x ≤得，21121x x a b +-+-≤≤，即221112x x a b x --≤-+≤-.即当[]1,1x ∈-时，12y x a b =-+的图像夹在21y x =--与21y x =-之间.双变量问题先固定一个变量值或者范围，在[]1,1x ∈-中移动12y x a b =-+的图像，可知可取1b =-，变化a ，移动12y x a b =-+的图像，由图可知11a -≤≤，所以111112222a b a b +≤+≤-=-，即12a b +的最大值为12-.移动12y x a b =-+的图像，,a b 有无数种情况，但是最大值始终为12a b +12=-.故答案为：12-.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)18.已知平面向量()3,,02,a sinx cosx b cosx ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==r r，函数()2()f x a b x R =+∈r r .(1)求函数()f x 图象的对称轴； (2)当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域. 【答案】(1),2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 3,6⎤⎦【分析】（1）先求得2a b +r r的坐标，然后根据向量模的做包运算，求得()f x 的表达式并进行化简，再根据正弦型函数的对称轴的求法，求得函数()f x 的对称轴.（2）根据（1）中所求()f x 的解+析式，结合三角函数值域的求法，求得()f x 的值域.【详解】(1)()23,2a b sinx cosx cosx +=+r r()()222cos 3()f x x sinx cosx =++2246sin x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，由262x k πππ+=+解得:,2()6k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 图象的对称轴是直线,2()6k x k Z ππ=+∈ (2) 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，72666x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以12,162sin x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦所以()(3,6f x ⎤∈⎦.所以()f x 的值城是(3,6⎤⎦【点睛】本小题主要考查平面向量坐标的线性运算，考查平面向量模的坐标运算，考查三角恒等变换，考查正弦型函数的对称轴、值域的求法，属于基础题.19.如图，已知三棱台111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，30BAC ∠=o ，11114AA CC BC AC ====，,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.【答案】(1) 证明见解+析【分析】取AC 中点O ，AB 中点G ，分别以,,OG OF OE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.（1）通过计算0BC EF ⋅=u u u r u u u r证得BC EF ⊥.（2）通过直线EB 的方向向量和平面11BCC B 的法向量，求得线面角的正弦值.【详解】取AC 的中点O ，取AB 的中点G ，取BC 的中点F ，取11A C 的中点E .根据中位线的性质可知//,//OG BF OF BG ==，而90ABC ∠=o ，故四边形OGBF 为矩形.根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质定理可知，OE ⊥平面ABC .分别以,,OG OF OE 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则有2,()B，()C -0,(,)F 1( 1,(0,0C E -,(1)因为()(4,0,0,BC EF =-=-u u u r u u u r所以0BC EF ⋅=u u u r u u u r，故有BC EF ⊥(2)因为()(14,0,0,1,BC CC =-=u u u r u u u u r，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =r，则由10,0CC n BC n ⋅=⋅=u u u u r r u u u r r ，解得()0,2,1n =r，2,(EB =-u u u r，故有cos ,35EB n sin EB n EB nθ⋅====⋅u u u r ru u u r r u u u r r所以直线EB 与平面11BCC B.【点睛】本小题主要考查空间向量法证明线面垂直以及求线面角的正弦值，考查运算求解能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 满足()*11()11,1n n a a n N n a +==∈+.(1)求23,a a ，并猜想{}n a 的通项公式(不需证明)； (2)求证()*1222()11n a a a n n N <+∈.【答案】(1) 2311,23a a ==;猜想1n a n=;(2)证明见解+析 【分析】（1）根据递推关系式求得23,a a ，由此猜想出{}n a 的通项公式. （2n a 22121n n <--+，由此求和证得不等式成立.也可用数学归纳法，证得不等式成立. 【详解】解:(1)2311,23a a == 猜想1n a n=1222222n a n n n n ===+ 222121n n <-++(22121n n =--+12n a a a 213352121n n --+)1=(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当1n =时，左边1==，右边)1==左边<右边，不等式成立；(2)假设*()n k k N =∈)1<，那么当1n k =+)1成立，))11+<只要证明()()12212231k k k +++<++即证141k +<+，即证43k <+只要证明221624816249k k k k ++<++，显然成立， 所以1n k =+时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*n N ∈不等式均成立.【点睛】本小题主要考查根据数列的递推关系式猜想数列的通项公式，考查利用放缩法证明不等式，考查数学归纳法的运用，属于中档题.21.如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB V 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 2122p M p p ⎛-- ⎝2【分析】（1）根据抛物线的定义，结合抛物线方程，求得M 点的坐标.（2）设()00,M x y ，根据平行四边形的对称性求得,A N 两点的坐标，设出B 点坐标，利用1225S S =得到2001139,28y y y x p==，由AB MF k k =列方程，解方程求得M 的坐标，由此求得直线OM 的斜率.【详解】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12p x =-， 所以22122p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以2122p M p p ⎛-- ⎝ (2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分， 所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =， 所以20975248o y p x p-= 又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k =【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查三角形面积公式，考查平行四边形的性质，考查斜率公式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数())f x lnx x a R =+-∈有两个极值点12,x x ，且12x x <.(1)若5a =，求曲线()y f x =在点()()4,4f 处的切线方程；(2)记()()()12g a f x f x =-，求a 的取值范围，使得()150424g a ln <≤-. 【答案】(1) 46y ln =- (2) 45a <≤【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）令()'0f x =，利用根与系数关系得到12,x x 的关系式，利用换元法化简()g a 的表达式，利用导数，结合单调性以及()g a 的取值范围，求得a 的取值范围.【详解】(1)5a =时，()ln x x f x +-=()11f x x '=+- ()()446,'40,f ln f =-=所以，点()()4,4f 处的切线方程是46y ln =-；(2)()11f x x '=+=2a =1=，且2160a ∆=->，4a >，t =，得()2214t a t +=，且1t >. 因为()11112f x lnx x lnx x =+-=--，()2222f x lnx x =--，所以()()12121ln 2x g a x x t lnt x t ⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 令()12ln h t t t t=--则()()2222211221'10t t t h t t t t t --+=+-==> 所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，因为()154424h ln =-，所以14t <≤， 又因为()221124t a t t t+==++在(]1,4上单调递增，所以45a <≤. 【点睛】本小题主要考查求曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性以及取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。