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5 第五章 频率特性及其图示

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系统的频率特性

系统的频率特性

三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为

第5章频域分析法

第5章频域分析法

自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线
伯德图
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
二、积分环节
1 传递函数： G( s ) s
1 频率特性： G (j ) j
幅频特性： M ( ) G(j )
1
相频特性： ( ) G(j ) 90
对数幅频特性： 1 L( ) 20lg M ( ) 20lg 20lg
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。
lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
采用对数坐标图的优点是：
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线
伯德图
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
四、惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1 1 频率特性： G (j ) jT 1
幅相曲线
1
对数幅频特性：
L( ) 20 lg G (j ) 20 lg 20 lg1 20 lg
2
T
2
1
T 1 20 lg
T 1
2
对数相频特性： G(j ) arctan T
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
近似对数幅频特性：
1 当 T
T 1，略去 (T )2 则得 时，

自动控制原理第五章

自动控制原理第五章

KT j 1 2T 2
0 : U(0) K
V (0) 0
1: T
:
U(1) K T2
U() 0
V(1) K T2
V() 0
●
●
K
●
0.707K
V(ω)
K/2 K
●
●
U(ω)
-K/2
●
10
3 由零、极点分布图绘制
1)在[s]上标出开环零极点；
G( j ) K K / T 1 jT j 1 / T
低频段 1
T
L( ) 20lg A( ) 20lg () arctgT 0
10
高频段
1
T
20lg A() 20lgT ( ) arctgT 900
转折频率 1
T
20lg A( ) 20lg 2 3.01 0db
( ) arctgT 450
15
20 0 -20 -40 -60 90 45 0 -45 -90
3) 振荡环节
1
G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1
n
1 T
0
4) 一阶微分 G(s) Ts 1 (T>0)
0 1
5) 二阶微分 G(s) (s / n )2 2 (s / n ) 1 (n 0, 0 1)
6) 纯滞后环节 G(s) e s
19
5-3-2 最小相位典型环节的频率特性
0.01
0.1
T
10
T
●
●
●
●
0.1
1/T1
10
T 0.1 () arctg0.1 5.70
T 1 ( ) arctg10 84.30

5 第五章 频率特性及其图示

5 第五章 频率特性及其图示
s j
系统的频率特性就等于在系统传递函数 G(s)中以s=jω代入后所得的结果G(jω)。
频率特性的特点（2）
（2）G(jω)是以ω为自变量的复变函数
G( j ) G( )e j ( ) G( ) ( ) Re G( j ) j Im G( j )
幅频特性
极坐标
相特性曲线）。
OA 端点A形成轨迹曲线，称为Gj的极坐标图（幅
G( j ) G( j ) e
jG ( j1 )
当ω ： 时， 0
A
极坐标图

0
极轴
直角坐标
G( j ) R( ) jI ( )
jI
IA
极坐标图
A R
0
RA
在直角坐标上表示的曲线也称为极坐标图
两种坐标形式间的转换
G ( ) G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( ) 1 Im( ) ( ) tg Re( )
Re( ) G( )cos ( ) Im( ) G( )sin ( )
极坐标图（Nyquist图）在直角坐标系或者极坐标系表示均可。
k
j 1)
G ( )
K ( i ) 2 1
m

k 1 i 1
i 1 n
(Tk ) 2 1
1
K a b
( ) tg ( i ) tg (Tk )
1 k 1
0：G(0) K；（0） 0
：G() 0；（） n m)90 （ K a)：n m 2 如 (T1j 1)(T2j 1) K b)：n m 3 如 (T1j 1)(T2j 1)(T3j 1)

第五章 频率特性分析法

第五章 频率特性分析法

由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、

第五章 频率特性法(5.4)——稳定裕度

第五章 频率特性法(5.4)——稳定裕度

5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定裕量
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)，
闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1
1+G(jω) = 0 s=jω
稳定裕量的定义 Kg G(jωg) =1
G( jc )－
= –180o G(jωg) -1 ωg
幅值裕量 Kg=
1
G(jωg)
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相位裕量 =180o +∠G(jωc)
0dB
幅值裕量: KgdB=－20lg G ( j g ) c
40 20 0 -20dB/dec 6.32 4 -40dB/dec 10
10 ≈1 0.25ωc2
ω
ωc=6.32
-20
-60dB/dec
(c ) 180
=180o-90o-tg-10.25×6.23 - tg-10.1×6.23
()
0 -90 -180
γ
ω
=90o-57.67o -32.3o = 0.03o
1 3
解：
10
由上式可见G(jω)与坐标轴无交点。 40 0.5 2<ω<10 2.5s ∵G(j∞)=0∠-1800, ∴h=∞
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确 定系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)

自动控制原理--第5章 频域分析法

自动控制原理--第5章 频域分析法
例如，惯性环节对数幅频特性和相频特性分别为
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数

自动控制原理 第五章 频率特性) ppt课件

自动控制原理 第五章 频率特性) ppt课件
无法观察到这种稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分 量（从全解的形式中理解）总可以分离出来。
系统微分方程的全解＝齐次通解+稳态特解 稳态特解就是稳态分量，即频率特性定义中要用到的量。
2019/11/12
PPT课件
19
19
（5）频率特性的求取
① 根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态
数给定了，则系统的频率特性也完全确定。
② 系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率 当输入量频率改变，则输出、输入量的幅值之比A（）和
它们的相位移（）也随之改变。所以 A（）和（）都是 的函数。这是由于系统中的储能元件引起的。
2019/11/12
PPT课件
18
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③ 频率特性是一种稳态响应，但表示的是系统动态特性 频率特性是在系统稳定的前提下求得的，对于不稳定系统则
b() d ()
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关于ω的奇PP次T课件幂多项式
13
13
G( j) arc tan( b ) arc tan( d )
a
c
G( j) arc tan( bc ad )
ac bd
tan(a b) tan a tan b 1 tan a tan b
uo
t t
8
8
RC网络的输入与输出的关系为：
T
duo dt
uo

ui
式中，T RC ，为时间常数。取拉氏变换并代入初始条件得
1
1 A
Uo (s)

Ts
1[Ui (s)
Tuo0
]
Ts[ 1s源自22 Tuo0
]
拉氏反变换得

自动控制原理 第五章第二节幅相频率特性(上)

自动控制原理 第五章第二节幅相频率特性(上)

（6） 振荡环节
G(s) =
s2
2 n
+
2
n
s
+
2 n
=
(
s
1 )2 + 2
s
=
2 n

+ 1 (s − 1 )(s − 2 )
1
n
n
G(jω)
=
1−
ω2 ωn2
+
j2ξ
ω ωn
G=
1
[1
−
2
2 n
]2
+ [2 2
n
]2
G
=
−arctan
1
−
ωn
2
2 n
G(j0) = 10 G(j) = 0 − 180
5.2 幅相频率特性（Nyquist图）（上）
⑺ 二阶复合微分
G(j ) = 1 − 2
G(s) = T2s2
+ j2
+
2
Ts
+
T=1
1=
n
(
s
n
)
2
+
2
s
n
+1
2 n
n
G=
[1
−
2
2 n
]2
+
[2
n
]2
2
G + = arctan
n 2
1
-
2 n
5.2 幅相频率特性（Nyquist图）（上）
0.707 ( 45)
= 0.707
( = 45) 0 0.707
( 45 90)
=0 ( = 90)

四川大学自动控制原理课件-第五章-频率分析法资料

四川大学自动控制原理课件-第五章-频率分析法资料

A2 A(ω)A1,
A(ω) A2 A1
1 1T2ω2
幅频特性
-arc(tgTω)
频率特性：
相频特性
幅频特性和相频特性
频率特性与传递函数的关系：
G(s)1 , 令sjω T s1
G ()jjT 11
1
ejarc(Ttg) A( )ej
1T2ω2
结论：
幅频特A性 ω ( )和相频特 (性 )分别为
注：即使存在纯时滞环节也同样适用（下页例）
例：G 设 1(s)2G (s) s11es,
H(s)1
R(s) Er(s)
R(s) 2 ,即r(t)sin2(t)
G1(s)
-
Y(s) G 2(s)
s24
H(s)
e(s)E R r ((s s))1 G 1 k (s s ) 1 e se s
用后面的判据可 知系统稳定
2 1 2 1
且A 有 2()P 2() Q 2()。
jQ
jQ
A
以为变量0（ ），计算 A、 或
P
0P
P、Q，即可P在 、Q坐标系下描点绘图。
计算列表：
ω0
1
2
5
∞
A(ω) 1 φ(ω) 0
0.707 0.45
0.196
0
－45° －63.4° －78.69° －90°
描点后可得惯性环节 的幅相频率特性图
② 相频特性表示系统在不同频率正弦信号作用 下稳态输出的相位移；
③ 已知系统的传递函数，令 s=jω，可得系统 的频率特性（无论稳定与否）；
④ 频率特性虽然表达的是频率响应的稳态特性， 但包含了系统的全部动态结构参数，反映了 系统的内在性质；频率从0→∞的稳态特性反 映了系统的全部动态性能。

自动控制原理第五章PPT课件

自动控制原理第五章PPT课件

s (1 0 .1 s)
s1 0 .1 s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
.
23
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右 半部分
➢ 比例环节：-K
➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中. T>0
24
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳
定极点产生的发散或震荡分量。
.
8
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 jG(s)estds
2 j j 式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换 存在，可令s=j,则有
d () 是 关 于 的 奇 函 数 。
.
5
.
6
因而
1
G (j) c b 2 2 ( () ) d a 2 2 ( () ) 2 ,
G (j) a r c ta n b ()c () a ()d () a ()c () d ()b ()
G ( j )c a (( )) jjd b ( ( ) )G (j )ej G (j)
Tddut0u0ui
TRC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
U o ( s ) T s 1 [ U i( s ) T u o 0 ] T s 1 [ s 2 2 T u o 0 ]

第五章 频率法

第五章 频率法
二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2
当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞；
当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1，然2 后 单调增至∞。
Im
2
Ar
Re
O
1
5.2.8 延迟环节
(s

sn
)

R s2
2

A1

A2
n

Bi
s j s j i1 s si
用留数法计算系数
A1
lim (s s j
j)G(s) R s2 2
R G(j) R
2j
2j
G( j)
e jG( j)
A2

lim (s
s j
惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
ω→∞
ω=0 O
Re
1
L / dB
0 0.1/T
20

0° 0.1/T
-90°
精确曲线
3.01dB
1/T
10/T
20dB/dec
1/T
10/T
一阶惯性环节的对数幅频特性曲线通常用两端直 线渐近线来近似，在转折频率以前与0dB线重合，在 转折频率以后是斜率为-20dB/dec的直线。
sC
3
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
Uc
(s)

1 Ts
1Ur
(s)

1 Ts

自动控制原理课件第5章频率特性法.ppt

自动控制原理课件第5章频率特性法.ppt

2021年5月13日
EXIT
第5章第7页
5.1.1 频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正 弦输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常 系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与 输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是 输入正弦信号频率的函数。
下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概 念：
因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法 需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简 化求解过程。
2021年5月13日
EXIT
第5章第25页
对于上例所举的一阶电路，
其幅频特性和相频特性的表达
式分别为：
1
ui(t)
A（ω）= 1+T 2ω2
（ω）= -arctanTω
2021年5月13日
EXIT
第5章第8页
示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信 号，其传递函数为
R
G(s)= U 0(s)= 1
ui(t)
Ui(s) Ts+1
i(t) C u0(t)
RC网络
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
2021年5月13日
EXIT
第5章第9页
R i(t)
C u0(t)
RC网络
G( j) 1 jT 1
G(s)=
U 0(s)= 1 Ui(s) Ts+1
系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应 特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形 式。对于一个稳定系统，系统所有的特征根的实部均为 负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此， 系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号。

自动控制原理第5章 频率特性分析法

自动控制原理第5章 频率特性分析法

Kce jt

Kce jt
Kc

Gs s
X
j s

j s
j
s j

G j
2j
X
Kc

Gs s
X
j s

j s

j
s j

G
j
2j
X
e e G j G s s j G j G j jG j B() j
知识要点
频率特性是一种数学模型,主要包括三种图形：
幅相频率特性曲线（又称极坐标或Nyquist曲线）， 利用Nyquist稳定判据可由开环频率特性判别闭环系 统的稳定性
对数频率特性曲线（又称Bode图），用相位裕度和幅 值裕度来反映系统的相对稳定性。
对数幅相频率特性曲线（又称Nichols曲线），利用 等M圆和等N圆可由开环频率特性求闭环频率特性， 进而定性或定量分析系统的时域响应。
G(s)

N(s) D(s)


s

p1


s
N(s)
p2


s

pn

设 pi互不相同的实数
若： x(t) X sin t,
则X (s)

X s2 2

s
X
js
j
Y (s)

s

N (s)
p1 s

pn


s

X
j s

j
第一节 频率特性的基本概念
一、频率特性的定义
R
+
+

频率特性及其图示法

频率特性及其图示法

幅
值 比
r=sinωt
1
R(s)
0.5s 1 Y(s)
ω=0.2π ω=1π
ω=5π
考
ω=0.2π
察
相
位
差
ω=1π
ω=5π
结论 推广到一般，得出以下
：
1、对稳定的线性系统作用正弦信号，其稳态输出
仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。
2、幅值比 B 和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，
A
2
整理：U
2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
A是幅值，ω是角频率.
稳态响应
，是频率的函数。
利用频率特性研究的系统必须是稳定的系统。
一阶线性系统
r=Asinωt
K
R(s)
Ts 1
Y(s)
当输入
r Asint时， R(s)
A s2 2
Y (s) G(s)R(s)
K A Ts 1 s2 2
K
A
b a a
Ts 1 (s j )(s j ) Ts 1 s j s j
A
∴ G( j) 是频率特性函数。
关于频率特性的总结：
1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳 态后输出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位 都发生变化，而且它们都是频率的函数。
2、将传递函数 G(s)中的s 用 j 代替得 G( j) , G( j)
即为频率特性。 G( j) 为幅值比，又称幅频特性。 G( j) 为相位差，又称相频特性。

机械控制理论基础(第五章 系统的频率特性)

机械控制理论基础(第五章 系统的频率特性)

Imaginary Axis
Phase (deg)
-45 -90 -135 -180 -2 10
-1 0 1 2
-2
-1
0 Real Axis
1
2
3
10
10 Frequency (rad/sec)
10
10
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图
7.
二阶微分环节
传递函数： G( s) T 2 s 2 + 2Ts + 1 频率特性：
频率特性的求取：已知系统传递函数G(s)，令
s=jw代入，即得
第五章 系统的频率特性 §5-1频率特性
例：已知系统传递函数G(s) = K/(Ts+1)，求系统
的频率特性及对正弦输入Asinwt的稳态响应
解：系统的频率特性G(jw) = K/(jTw+1)
当r(t) = Asinwt时
Bode Diagram 0 -5
Magnitude (dB)
-10 -15 -20 -25 -30 0
渐近线 转角频率
渐近线
Phase (deg)
-45
-90 -1 10
10 10 Frequency (rad/sec)
0
1
10
2
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图
3.
一阶微分环节
在初步设计和分析中，能满足要求； ③ 可以利用样板方便地画出准确的对数幅频特性和对 数相频特性曲线； ④ 从试验得出的对数频率特性曲线能够简便地确定系 统（元件）的传递函数； ⑤ 可以在很宽的频率范围内研究系统。
第五章 系统的频率特性 §5-2 典型环节的频率特性图

自动控制原理--频率特性及其表示法 ppt课件

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由复阻抗的概念求得
图5.3 RC串联电路
Uo ( j) G( j) 1 1
Ui ( j)
1 RCj 1 jT
式中: T RC
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9
1 频率特性的基本概念
RC电路的频率特性 G( j) G( j) e j()
由该电路的结构和参数决定，与输入信号的幅
幅值衰减。
频率特性可应用到某些非线性系统的分析中去
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13
1 频率特性的基本概念
频率特性的求取
根据定义求取 对已知系统的微分方程，把正弦输入函数代
入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦 量的复数比即可得到。
根据传递函数求取 用s=j代入系统的传递函数即可得到。
通过实验的方法直接测得
幅相频率特性
幅相频率特性的图示 也称为奈奎斯特曲线（奈氏图）或极坐标图。
极点
坐标轴
(i )
A(i )
(a)
jI() R(i)
jI ( )
I (i )
(i) R()
A(i )
(2)
A(2 )

(1) A(1)
R()
G( j1)
G( j2)
(b)
(c)
图5.4 幅相频率特性表示法
系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和 稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系 统性能的影响，指出系统改进方向。
频率特性可以由实验确定，这对于难以建立动 态模型的系统来说，很有用处。
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2
5.1 频率特性及其表示法
1 频率特性的基本概念 2 频率特性的表示
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出近似解。
两种图示法： 极坐标图示法和对数极坐
标图示法。
Nyquist图（奈氏图）
在复平面上，用一个矢量来表示某一频率ω下
的量G(jω)。矢量的幅值为G(ω)=| G(jω) |，相 角为φ(ω)=∠ [G(jω) ]。当频率ω从0→∞变化时， 矢量的轨迹就表示频率特性。 把频率特性在复平面上用极坐标表示的几何图 形，称为频率特性的极坐标图，或称Nyguist图。 一般的习惯，把开环系统的频率特性极坐标图 称为Nyquist图。
小结： 0，1，2型系统的奈氏图曲线在从0 下都终于原点，终点切线为nm。 但起点不
同，顺时针在s平面上旋转。
系统类型 (0) (∘) () (∘)
0
1
0
-90
-(n-m)90
-(n-m)90
2
-180
-(n-m)90
第三节 频率特性的对数坐标图 （Bode图）
对数频率特性曲线（Bode图）
另外：系统的频率特性G(jω)，也等于系
统在单位正弦函数作用下的稳态响应 y∞(ωt)对该正弦函数1(t)cosωt的比。
y (t ) G( j ) cos t G( j ) 1(t ) cos t 1(t ) cos t
频率特性的特点（1）
（1） G ( j ) G ( s )
s j
系统的频率特性就等于在系统传递函数 G(s)中以s=jω代入后所得的结果G(jω)。
频率特性的特点（2）
（2）G(jω)是以ω为自变量的复变函数
G( j ) G( )e j ( ) G( ) ( ) Re G( j ) j Im G( j )
幅频特性
第一节 频率特性
频率特性
ui=Uicosωt
线性网络
u0=U0cos(ωt+φ)
如图线性电路中双端口网络，设其输入端加正
弦电压ui=Uicosωt，则电路知识可知，稳态输 出电压为u0=U0cos(ωt+φ)，即：输出的稳态响 应总具有与输出相同的频率，这一结论具有普 遍意义。（证明过程见P106-108）
G ( )
K ( i ) 2 1
m
(Tk ) 2 1
k 1
i 1 n
b
a
( ) 90 tg 1 ( i ) tg 1 (Tk )
i 1 k 1
0：G(0) ；（0） 90 ：G() 0；（） n m)90 （ K a)：n m 2 如 j (Tj 1) K b)：n m 3 如 j (T1j 1)(T2j 1)
两种坐标形式间的转换
G ( ) G ( j ) Re 2 ( ) Im 2 ( ) 1 Im( ) ( ) tg Re( )
Re( ) G( )cos ( ) Im( ) G( )sin ( )
极坐标图（Nyquist图）在直角坐标系或者极坐标系表示均可。
3) 2型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1) s 2 ( k s 1)
k 1 i j ) H ( j )
K ( i j 1)
i 1
m
( j ) 2 ( k j 1)
k 1
n
G ( )e j ( )
G( ) G( j )
相频特性
( ) G ( j )
2 2
Re G( j ) Im G( j )
Im G ( j ) tg Re G ( j )
1
系统的频率特性由幅频特性和相频特性构成
第二节 频率特性的极坐标图 （Nyquist图）
基本概念
频率特性分析法—图解法—方便迅速求
0 ζ 1
1 T 2 T j 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 T ) (2 T ) (1 T ) (2 T ) 1 G ( ) ： 0 (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
2 2
2 T ( ) tg 2 2 1 T
Bode图的优点
1．展宽视野，便于研究细微部分的变化规律（ω： 0→1000或更多）。 2．对频率特性取对数后，其各因子之间的乘除 运算便转化成了加减运算使运算简单了。 3．Bode图是由频率特性中各因子的“叠加”而 构成的，故它能反映出各因子对总Bode图形状 的影响。这对分析系统中不同环节的作用以及 由某些环节综合为一个整体，都是非常方便的。 4．可以采用由折线构成的具有高精度的渐近特 性，以近似的代替精确的Bode图，容易绘制。
s

1
G ( j ) e j G ( ) 1 φ( )
=0,2k/,...
奈氏图非常有用，它是用开环频率特性分析闭环 控制系统性能 主要是稳定性。 开环系统频率特性
G ( s) H ( s) s j G ( j ) H ( j )
开环传函的求法：打开闭环求通路之积 Gi 奈氏图绘制：取ω=0,1,2,…逐点计算G、 或Re、Im，描点绘线成图。
10 例 绘制 频率特性Nyquist图 ( s 1)(0.1s 1) 10 解： G ( j ) ( j 1)(0.1 j 1) G1 ( j )G2 ( j )G3 ( j )
G1 ( j ) 10 G2 ( j ) G3 ( j ) 1 1 2 1 e jarctg e
结论： – 线性系统在正弦相量作用下的稳态响应是一 个与输入信号同频率的正弦相量。 定义： – 稳定的线性系统在单位正弦相量作用下的稳 态响应为频率响应。 – 系统稳态响应的正弦相量对输入的正弦相量 的比，称为系统的频率特性，即：
y (t ) G ( j )e jt G ( j ) jt 1 (t ) 1(t )e
1
G ( )： 0 1
( )： 180 0
0
： 0 G ( )： 0 1 ( )： 180 0
0
0.5
1.0 0
Mr, r 谐振频率和 谐振峰值
G ( ) 0 1 有M r , r 1 半圆曲线
6. 迟延环节：G( s) e
高阶系统奈氏图
1) 0 型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1)
m
(
k 1
m
i 1 n
( m n)
k
s 1)
其频率特性
G ( j ) H ( j ) K ( i j 1)
i 1 n
(
k 1
G ( )e j ( )
第五章 频率特性及其图示
频率特性及其图示
第一节 频率特性 第二节 频率特性的极坐标图(Nyquist图)
第三节 频率特性的对数坐标图(Bode图)
第四节 由闭环频率特性估计暂态性能 第五节 由开环Nyquist图确定闭环频率
特性
本章主要讲第一节、第二节和第三节的内容
以前我们曾讨论了阶跃、斜坡、抛物线 等函数的输入信号对控制系统的作用， 现在考虑另一种重要函数——正弦函数 作为输入信号对系统的作用，从而引出 有关频率特性的概念。

曲线为一个半圆 1 Re( ) (T ) 2 1 T Im( ) (T ) 2 1
0.5
1.0 0
Re( 0.5)2 Im2 ( ) 0.52
圆方程
1 5. 二阶振荡环节：G ( s) 2 2 T s 2Ts 1
1 G ( j ) 2 T ( j ) 2 2 Tj 1
极坐标
相特性曲线）。
OA 端点A形成轨迹曲线，称为Gj的极坐标图（幅
G( j ) G( j ) e
jG ( j1 )
当ω ： 时， 0
A
极坐标图

0
极轴
直角坐标
G( j ) R( ) jI ( )
jI
IA
极坐标图
A R
0
RA
在直角坐标上表示的曲线也称为极坐标图
jarctg (0.1 )
1 (0.1 )
2
G ( )
10 1 2 1 (0.1 ) 2
( ) tg 1 tg 1 (0.1 )
0,0.5,1, 2, ,10
G 10,8.9, ,0.71
10
0 , 29.4 , ,129.3
-90
1 2
5 10 20 50 100
对数相频特性
互为倒数的对数频率特性图的性质：
图形关于实轴对称，因为互为倒数的对数频
率特性的Lm、是大小相等，符号相反。
典型环节频率特性的极坐标图
1. 比例环节 G ( s) K
jI()
j0
G( j ) K j 0 Ke 1 2. 积分环节 G ( s ) s 1 1 j2 G ( j ) e j
3. 微分环节 G( s) s
G ( j ) j e 相位超前90
2) 1型系统的奈氏图
G(s) H (s)
K ( i s 1) s ( k s 1)
k 1 i 1 n
m
( m n)
G ( j ) H ( j )
K ( i j 1) j ( k j 1)
k 1 i 1 n
m
G ( )e j ( )
j
K
R()
相位滞后90 模减小

2
模增大
1 4. 惯性环节：G ( s ) Ts 1 1 1 G ( j ) e jarctgT 1 jT (T ) 2 1 ： 0 G( )： 0 低通滤波器 1