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山东省2015届高三冲刺模拟(二)数学理试题

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绝密★启用前 试卷类型A山东省2015届高考模拟冲刺卷（二）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（ ）A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A BC D 5、在ABC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ）AB ．1CD ．26、直线L 过抛物线()2:20C ypx p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M 的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(modm b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为（ ）A ．2011B ．2012C ．2009D ．201010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =，则函数()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）A ．4B ．8C ．6D ．10xxxx第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k π-=⎰，直线1y kx =+交圆22:1P xy +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ． 13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ．14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数． 则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1， （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。

，设PM=tMC ，试确定t 的值在平面xoy 内，不等式224+≤x y 确定的平面区域为U ，不等式组2030-≥⎧⎨+≥⎩x y x y 确定的平面区域为V ． （Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U 中任取3个“整点”，求这些“整点”中恰好有2个“整点”落在区域V 中的概率；（Ⅱ）在区域U 中每次任取一个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点落在区域V 中的个数为X ，求X的分布列和数学期望．在数列}{n a 中,任意相邻两项为坐标的点),(1+n n a a P 均在直线k x y +=2上,数列}{n b 满足条件:)(,211*+∈-==N n a a b b n n n ． （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式; （Ⅱ）若,,1log 212n n nn n c c c S b b c +++== 求26021+>-+n S n n 成立的正整数n 的最小值．已知椭圆C: 23，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=++y x 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设斜率不为零的直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点0D(0,)y 在线段AB 的垂直平分线上，且D D 4A B ∙=，求0y 的值（Ⅲ）若过点M （1,0）的直线与椭圆C 相交于P, Q 两点，如果9253-≤⋅≤-（0为坐标原点），且满足MQ PM t MQ PM ⋅=+||||，求实数t 的取值范围．已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R)，211()() (0)2g x x m x m m=-+>，且()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0,2)内有且仅有一个极值点，求m 的取值范围；（Ⅲ）设1(,) ()M x y x m m>+为两曲线() ()y f x c c =+∈R ，()y g x =的交点，且两曲线在交点M 处的切线分别为12,l l ．若取1m =，试判断当直线12,l l 与x 轴围成等腰三角形时c 值的个数并说明理由．山东省2015年高考模拟冲刺卷参考答案文科数学（二）1---5B D D A C 6--10 C D D A B 11．(0,1) 12．70 13．．316-15．①②④16．解：（Ⅰ）2()cos1)888f x x x x πππ=-2sin()4444x x x ππππ==+，…2分所以，函数)(x f 的最小正周期为284T ππ==． ………………3分由222442k x k ππππππ-≤+≤+（Z ∈k ）得8381k x k -≤≤+（Z ∈k ），∴函数)(x f 的单调递增区间是[]83,81k k -+（Z ∈k ）………………………………5分（Ⅱ）(2)2sin()2cos 244f πππ=+==(4)2sin()2sin 44f πππ=+=-=(4,P Q ∴……………7分||||23, ||OP PQ OQ ∴==从而2cos ||||OPOQ POQ OP OQ ⋅∠===⋅sin POQ ∴∠==，………………………………………………10分 设OPQ ∆的外接圆的半径为R ，由||2sin PQ R POQ =∠||2sin 2PQ R POQ ⇒===∠∴OPQ ∆的外接圆的面积292S R ππ==………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）函数()2y f x =-在区间(0,)+∞上有两个不同的零点，∴()20f x -=，即2240ax x -+=有两个不同的正根1x 和2x1212020404160a x x a x x aa ≠⎧⎪⎪+=>⎪∴⎨⎪=>⎪⎪∆=->⎩104a ⇒<<…4分114()416P A ∴== …………………6分（Ⅱ）由已知：0,0a x >>，所以()f x ≥()f x ≥min ()f x ∴=()2b x f >在()0,x ∈+∞恒成立 2b ∴>……()* ……………………………8分当1a =时，1b =适合()*； 当2,3,4,5a =时，1,2b =均适合()*； 当6a =时，1,2,3b =均适合()*； 满足()*的基本事件个数为18312++=．…10分 而基本事件总数为6636⨯=，…………11分 121()363P B ∴==． …………12分 18．证明：（Ⅰ） 连结BD 和AC 交于O ，连结OF ，…………………………………………1分ABCD 为正方形，∴O 为BD 中点，F 为DE 中点，BE OF //∴， ………4分BE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF//BE ∴平面ACF ．……………………………5分（Ⅱ） 作EG AD ⊥于G⊥AE 平面CDE ，⊂CD 平面CDE ，CD AE ⊥∴，ABCD 为正方形，CD AD ∴⊥，,,AE AD A AD AE =⊂平面DAE ，⊥∴CD 平面D A E ，……………7分 CD EG ∴⊥，AD CD D =，EG ∴⊥平面ABCD ………8分⊥AE 平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，AE DE ∴⊥，2AE DE ==，AD ∴=，EG = …10分∴四棱锥ABCD E -的体积21133ABCD V S EG =⨯=⨯=………12分 19．解：（Ⅰ）2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=21212121[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a --+-∴+--+--=即21212n n a a +--=…………4分21n n b a -=，121212n n n n b b a a ++-∴-=-={}n b ∴是以111b a ==为首项，以2为公差的等差数列 ......5分 1(1)221n b n n =+-⨯=- (6)分 （Ⅱ）对于2[3(1)]22[(1)1]0,n n n n a a ++--+--=当n 为偶数时，可得2(31)22(11)0,n n a a ++-+-=即212n n a a +=， 246 , , , a a a ∴是以212a =为首项，以12为公比的等比数列；………………………8分当n 为奇数时，可得2(31)22(11)0,n n a a +--+--=即22n n a a +-=，135 , , ,a a a ∴是以11a =为首项，以2为公差的等差数列…………………………10分21321242()()n n n T a a a a a a -∴=+++++++11[(1()]122[1(1)2]212n n n n -=⨯+-⨯+-2112n n =+-…12分 20．解：（Ⅰ）()ln g x ax x =-，(1)g a ∴=，1()g x a x'=-()g x 在(1,(1))g 处的切线l 与直线350x y --=垂直，1(1)13g '∴⨯=- 1(1)123a a ⇒-⋅=-⇒=-………3分（Ⅱ）()f x 的定义域为R ，且 ()e xf x a '=+．令()0f x '=，得ln()x a =-． …4分O ACB EF G若ln()0a -≤，即10a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在[0,2]x ∈上为增函数，∴m i n ()(0)1f x f ==；…………5分若ln()2a -≥，即2a e≤-时，()0f x '≤，()f x 在[0,2]x ∈上为减函数，∴2min ()(2)2f x f e a ==+；……6分 若0ln()2a <-<，即21e a -<<-时，由于[0,ln ())x a ∈-时，()0f x '<；(ln(),2]x a ∈-时，()0f x '>，所以min ()(ln())ln()f x f a a a a =-=--综上可知22min 21, 10()2, ln(),1a f x e a a e a a a e a -≤<⎧⎪=+≤-⎨⎪---<<-⎩………8分 （Ⅲ）()g x 的定义域为(0,)+∞，且 11()ax g x a x x-'=-=．0a <时，()0g x '∴<，()g x ∴在(0,)+∞上单调递减．………9分 令()0f x '=，得ln()x a =-①若10a -≤<时，ln()0a -≤，在(l n (),)a -+∞上()0f x '>，()f x ∴单调递增，由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；……………10分 ②若1a <-时，ln()0a ->，在(,ln())a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减；在(ln(),)a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增．由于()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数． 综上，当10a -≤≤时，不能存在区间M ，使得)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性；当1a <-时，存在区间(0,ln()]M a ⊆-，使得)(x f 和()g x 在区间M 上均为减函数．………………13分21解：（I ）设圆心P 的坐标为(,)x y ，半径为R 由于动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=相切，且与圆222:(3)1F x y -+=相内切，所以动圆P 与圆221:(3)81F x y ++=只能内切12||9||1PF R PF R =-⎧∴⎨=-⎩1212||||8||6PF PF F F ⇒+=>=……2分 ∴圆心P 的轨迹为以12, F F 为焦点的椭圆，其中28, 26a c ==，2224, 3, 7a c b a c ∴===-=故圆心P 的轨迹C ：221167x y +=……………………4分 （II ）设112233(,), (,), (,)M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+ 由221167x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22222112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 2232232112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+∴⎨⎪=⎪+⎩ 2222233222112112112(1)||716716716m m OQ x y m m m +∴=+=+=+++ ……………………………6分 由2231167x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：22(716)42490m y my ++-= 1212224249,716716m y y y y m m ∴+=-=-++∴||MN ==21|y y =-=2256(1)716m m +==+…8分∴2222256(1)||1716112(1)||2716m MN m m OQ m ++==++ ||MN 和2||OQ 的比值为一个常数，这个常数为12………9分 （III ）//MN OQ ，∴QMN ∆的面积OMN =∆的面积 O 到直线:3MN x my =+的距离d =2221156(1)||22716716m S MN d m m +=⋅=⨯=++…11分t =，则221m t =-(1)t ≥ 22848497(1)16797t S t t t t===-+++97t t +≥97t t =，即t =亦即7m =±时取等号）∴当7m =±时，S 取最大值14分。

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山东省高三数学冲刺模拟(二)试题 理

山东省高三数学冲刺模拟(二)试题 理

山东省2015年高考模拟冲刺卷（二）理科数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于（ ） A ．2B ．3C ．11D ．62、在ABC ∆中，设命题BcA b C a p sin sin sin :==，命题ABC q ∆:是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝（ ） A ．22B ． 2C ．－ 22D ．－ 24、如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（ ）A BC D 5、在A BC ∆中，c ,b ,a 分别为C ,B ,A 的对边，如果c ,b ,a 成等差数列，︒=30B ，ABC ∆的面积为23，那么=b（ ）A B ．1 C D ．26、直线L 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且与C 相交于A 、B 两点，且AB 的中点M的坐标为()3,2，则抛物线C 的方程为（ ）A ．2224y x y x ==或B ．2248y x y x ==或C ．2268y x y x ==或D ．2228y x y x ==或7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．3160B ．160C ．23264+D ．2888+8、．如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为9、设）为整数（0,,>m m b a ，若a和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记作)(mod m b a ≡，已知),10(mod ,22212020202202120b a C C C a ≡++++=且 则b 的值可为 （ ）A ．2011B ．2012C ．2009D ．201010、若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =()()xH x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为（ ）A ．4B ．8C ．6D ．10xx xx第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知21k d x π-=⎰，直线1y k x=+交圆22:1P x y +=于,A B 两点，则AB = ．12、已知()f x 为定义在（0，+∞）上的可导函数，且()'()f x xf x >，则不等式21()()0x f f x x-<的解集为 ．13、已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合B A ⋂= ． 14、若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102ea a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= ．15、给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即m x =}{．在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =定义域是R ，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k kx ∈=对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数．则其中真命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知)1,sin 32cos 2(x x +=，),(cos y x -=，且m n ⊥． （Ⅰ）将y 表示为x 的函数)(x f ，并求)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,对应的边长，若()32Af =，且2=a ，4b c +=，求ABC ∆的面积．17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1， （Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30。

山东省济南市2015届高三数学下学期第二次模拟试卷理(含解析)

山东省济南市2015届高三数学下学期第二次模拟试卷理(含解析)

2015年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．复数z=的虚部是（）A． B．﹣ C． D．﹣3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A． B． C． D．4．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则ω=（）A． 8 B． C． D．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f （）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为（）A． 0.5 B． 1 C． 2 D． 47．在不等式组确定的平面区域中，若z=x+2y的最大值为9，则a的值为（） A． 0 B． 3 C． 6 D． 98．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a 的值为（）A．﹣1 B． C． 2 D． 39．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=﹣x2（x∈R）存在1级“理想区间”B．函数f（x）=e x（x∈R）不存在2级“理想区间”C．函数f（x）=（x≥0）存在3级“理想区间”D．函数f（x）=loga（a x﹣）（a＞0，a≠1）不存在4级“理想区间”二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是．12．二项式（x+）4的展开式中常数项为．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为．14．已知正方形ABCD，M是DC的中点，由=m+n确定m，n的值，计算定积分sinxdx= ．15．如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是cm．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．17．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D﹣AF﹣C为45°，求CE的长．19．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a2，c2，b2，依次成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．k BP•k BQ=e2（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．21．已知函数f（x）=a x﹣2x（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．2015年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：直接利用充要条件判断即可．解答：解：集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”一定有“p⊆Q”，都是p⊆Q，可得m=3或5，所以后者推不出前者，所以集合P={1，m}，Q={1，3，5}，则“m=5”是“p⊆Q”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充要条件的判断与应用，集合的包含关系的应用，基本知识的考查．2．复数z=的虚部是（）A． B．﹣ C． D．﹣考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简，然后求出复数的虚部．解答：解：复数z====﹣．复数的虚部是．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A． B． C． D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，利用P（B|A）=可得结论．解答：解：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，所以P（B|A）==．故选：C．点评：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．4．如图所示，点P是函数y=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0）的图象的最高点，M、N是图象与x轴的交点，若，则ω=（）A． 8 B． C． D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析：首先判定△MPN为等腰直角三角形，然后通过它的性质求出MN的长度，再求出周期T，进而求得ω．解答：解：因为=0，所以，则△MPN是等腰直角三角形，又点P到MN的距离为2，所以MN=2×2=4，则周期T=2×4=8，所以ω==．故选C．点评：本题主要考查正弦型函数的轴对称性及直角三角形的性质．5．已知f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f （）=（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．﹣﹣1考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期以及函数的奇偶性，通过函数的解析式求解即可．解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（）=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣（）=1．故选：B．点评：本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性，函数值的求法，考查计算能力．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出y的值为（）A． 0.5 B． 1 C． 2 D． 4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=2时不满足条件|x|＞3，计算并输出y的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=﹣5满足条件|x|＞3，x=8，满足条件|x|＞3，x=5，满足条件|x|＞3，x=2，不满足条件|x|＞3，y=4，输出y的值为4．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．7．在不等式组确定的平面区域中，若z=x+2y的最大值为9，则a的值为（） A． 0 B． 3 C． 6 D． 9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的最大值是7，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；由z=x+2y得y=﹣，则截距最大，z也最大，∵z的最大值为9，∴阴影部分对应的图象在直线x+2y=9的下方，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大．由，解得，即B（3，3）∵B也在直线y=a上，∴a=3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合确定z取得最大值对应的最优解是解决本题的关键．8．已知正实数m，n满足m+n=1，且使取得最小值．若曲线y=x a过点P（，），则a 的值为（）A．﹣1 B． C． 2 D． 3考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先根据基本不等式等号成立的条件求出m，n的值，得到点P的坐标，再代入到函数的解析式中，求得答案．解答：解：=（m+n）（+）=1+16++≥17+2=25，当且仅当n=4m，即m=，n=时取等号，∴点P（，），∴=，∴α=．故选：B点评：本题考查了基本不等式的应用以及函数的解析式，属于基础题．9．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（b，0），由（ b+c）：（c﹣b）=5：3可求得b，c 关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．解答：解：∵抛物线y2=4bx的焦点F（b，0），线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3的两段，∴（b+c）：（c﹣b）=5：3，∴c=4b，∴c2=a2+b2=a2+，∴．∴此双曲线的离心率e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；② f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=﹣x2（x∈R）存在1级“理想区间”B．函数f（x）=e x（x∈R）不存在2级“理想区间”C．函数f（x）=（x≥0）存在3级“理想区间”D．函数f（x）=loga（a x﹣）（a＞0，a≠1）不存在4级“理想区间”考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析： A、B、C中，可以找出定义域中的“理想区间”，从而作出正确的选择．D中，假设存在“理想区间”[a，b]，会得出错误的结论．解答：解：A中，当x≥0时，f（x）=x2在[0，2]上是单调增函数，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在1级“理想区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f（x）=e x在[a，b]上是单调增函数，且f（x）在[a，b]上的值域是[e a，e b，]，∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；C中，因为f（x）==在（0，1）上为增函数．假设存在[a，b]⊂（0，1），使得f （x）∈[3a，3b]则有，所以命题正确；D中，若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“4级理想区间”[m，n]，则由，得即m，n是方程loga（a x﹣）=4x的两个根，即m，n是方程a4x﹣a x=0的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“4级理想区间”[m，n]，∴D结论错误故选：D．点评：本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据分布，即可得到甲乙两地浓度的方差的大小关系解答：解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定，而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中，∴甲地的方差较小．故答案为：甲点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．12．二项式（x+）4的展开式中常数项为 4 ．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理展开式的通项公式，x的指数为0，求解即可．解答：解：二项式（x+）4的展开式的通项公式为：=，令12﹣4r=0可得r=3，二项式（x+）4的展开式中常数项为：．故答案为：4．点评：本题考查二项式定理的应用，特殊项的求法，考查计算能力．13．已知圆C过点（﹣1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为（x+3）2+y2=4 ．考点：圆的标准方程．专题：综合题；直线与圆．分析：根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（﹣1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C 的标准方程即可．解答：解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|，∴圆心C到直线l的距离|CD|=，弦长|AB|=2，则r==|x+1|，整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=﹣3，∴圆心C（﹣3，0），半径为2，则圆C方程为（x+3）2+y2=4．故答案为：（x+3）2+y2=4．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．14．已知正方形ABCD，M是DC的中点，由=m+n确定m，n的值，计算定积分sinxdx= 1 ．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据向量的意义求出m，n的值，再根据定积分的计算法计算即可．解答：解：∵=+=+=+=﹣+=﹣+=m+n，∴m=﹣，n=1，∴sinxdx=sinxdx=﹣cosx|=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的几意义以及定积分的计算，属于基础题．15．如图，三个半径都是5cm的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径R是5cm．考点：球内接多面体．分析：根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．解答：解：解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，∵小球的半径为5cm，∴三个球心之间的长度为10cm，即OA=××10=cm．，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣5，AB=5，∴（）2+52=（R﹣5）2即=（R﹣5）2∴R﹣5=，R=5+cm．故答案为：5．点评：本题主要考查了球的相切问题的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC 的值，利用三角形面积公式即可求出S．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），∴函数f（x）=•=cos（2x﹣）+cos2x﹣sin2x=cos（2x﹣）+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=，得sin（2A+）=，∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，解得：A=，又a=2，B=，∴由正弦定理=，得b==，∵A=，B=，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积S=absinC=×2××=．点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．17．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，非常数等比数列{b n}的公比是q，且满足：a1=2，b1=1，S2=3b2，a2=b3．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=2b n﹣λ•，若数列{c n}是递减数列，求实数λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；（Ⅱ）化简c n=2b n﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得c n+1＜c n对n∈N*恒成立，运用参数分离和数列的单调性，求得最大值，即可得到所求范围．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则2+a2=3q，且a2=q2，即有q2﹣3q+2=0，解得q=2或1（舍去），即有a2=4，d=2，则a n=2n，b n=2n﹣1；（Ⅱ）c n=2b n﹣λ•=2n﹣3nλ，由题意可得c n+1＜c n对n∈N*恒成立，即有2n+1﹣3n+1λ＜2n﹣3nλ，即2λ3n＞2n，即2λ＞（）n对n∈N*恒成立．由f（n）=（）n为递减数列，即有f（n）的最大值为f（1）=，则有2λ＞，解得．故实数λ的取值范围为（，+∞）．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，同时考查数列的单调性，注意转化为不等式的恒成立问题，考查运算能力，属于中档题．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）若二面角D﹣AF﹣C为45°，求CE的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，BC⊥EC，AC∩EC=C，可得BC⊥平面ACEF，从而BC⊥AF；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角D﹣AF﹣C为45°，利用向量的夹角公式，即可求CE的长．解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=3所以AB2=AC2+BC2，由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．…（2分）又因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD所以BC⊥EC．…（4分）又因为AC∩EC=C，所以BC⊥平面ACEF，又AF⊂平面ACEF所以BC⊥AF．…（6分）（Ⅱ）解：因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C﹣xyz．设CE=h，则C（0，0，0），，，，所以，．…（8分）设平面DAF的法向量为=（x，y，z），则令．所以=（，﹣3，）．…（9分）又平面AFC的法向量=（0，1，0）…（10分）所以cos45°==，解得．…（11分）所以CE的长为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．19．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，D，E，F分别是它们的中点，SA=SB=SC=2，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，加上点S，把这四个点每两个点相连后得到一个“空间体”，记这个“空间体”的体积为X（若点S与所取三点在同一平面内，则规定X=0）．（Ⅰ）求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）求随机变量X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点的所有不同的取法，再求出其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法，然后利用古典概型概率计算公式求得所求事件“X=0”的概率；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．然后利用古典概型概率计算公式分别求出概率，列出频率分布表，再由期望公式求期望．解答：解：（Ⅰ）从A、B、C、D、E、F六个点中任取三个点共有种不同的取法，其中所选取的3个点与点S在同一平面内的取法有不同取法，∴所求事件“X=0”的概率P（X=0）=；（Ⅱ）由题意可得X的所有可能取值为0，．由（Ⅰ）得：P（X=0）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=，P（X=）=．∴随机变量X的分布列为：X 0P∴E（x）=．点评：本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，属中档题．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为e，半焦距为c，B（0，1）为其上顶点，且a2，c2，b2，依次成等差数列．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且．k BP•k BQ=e2（i）试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，结合c2+b2=a2，可求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合k BP•k BQ=e2，求出m，n的关系，即可得出直线PQ过定点M，并求出M点坐标；（ii）确定P或Q在以BM为直径的圆T，与椭圆方程联立，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由题意，b=1，a2+b2=2c2，∵c2+b2=a2，∴a2=3，c2=2，∴，e==；（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为x=my+n，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入椭圆方程可得（3+m2）y2+2mny+n2﹣3=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，∴k BP•k BQ=•=e2=，整理可得n2﹣2mn﹣3m2=0∴n=﹣m或n=3m，∴直线PQ的方程为x=my﹣m=m（y﹣1）（舍去）或x=my+3m=m（y+3），∴直线PQ过定点（0，﹣3）；（ii）由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM=90°或∠BQM=90°，则P或Q在以BM为直径的圆T 上，即在圆x2+（y+1）2=4上，与椭圆方程联立得y=0或1（舍去），∴P或Q只可以的椭圆的左右顶点，∴直线PQ的斜率为±．点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=a x﹣2x（a＞0，且a≠1）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）的值恒非负，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）存在极小值g（a），求g（a）的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）当x≤0时，由指数函数的值域和不等式的性质，f（x）的值恒非负；当x＞0时，运用对数的运算性质和参数分离，令g（x）=，x＞0，求得导数，判断单调性，求出最大值即可得到a的范围；（Ⅲ）讨论①0＜a＜1时，由单调性可得f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，通过单调性，求得极小值，令x=，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，通过导数判断单调性，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x﹣2x，f′（x）=2x ln2﹣2，曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=4ln2﹣2，切点为（2，0），则有曲线f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣0=（4ln2﹣2）（x﹣2），即为y=（4ln2﹣2）x﹣8ln2+4；（Ⅱ）当x≤0时，a x＞0，a x﹣2x≥0恒成立．x＞0时，f（x）≥0即为a x≥2x，xlna≥ln（2x），即有lna≥，令g（x）=，x＞0，g′（x）=，令g′（x）=0，则x=，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增，x＞时，g′（x）＜0．g（x）递减．g（x）max=g（）==，即lna，解得a≥，则a的取值范围是[，+∞）；（Ⅲ）f′（x）=a x lna﹣2，①0＜a＜1时，a x＞0，lna＜0，f′（x）＜0，f（x）在R上递减，f（x）无极值；②a＞1时，设f′（x）=0的根为t，a t=，t=，f（x）在（﹣∞，t）递减，在（t，+∞）递增，f（x）的极小值为f（t）=a t﹣2t=2•，即g（a）=2•，则a＞1，＞0，令x=，则h（x）=x﹣xlnx，x＞0，h′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，h′（x）=0，解得x=1，h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，即有h（x）的最大值为h（1）=1，即g（a）的最大值为1，此时a=e2．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．。

山东省东营市2015年高考第二次模拟考试数学理试题及答案

山东省东营市2015年高考第二次模拟考试数学理试题及答案


y 与 x 的函数关系的是（
）
第Ⅱ卷 非选择题（共 100 分）
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．已知 9a 3, lg x a , 则 x _________.
12．（ 1 x2 ）3 的展开式中的常数项为 x
13．已知 f ( x)
x 2, (x 0), 2 sin x, (0 x
O
B
EOA ＝ FOB ＝2 x ( 0 x
), 若游客在路线 DE 、 DF 上观赏
4
D
所获得的 “满意度 ”是路线长度的 2 倍，在路线 EF 上观赏所获得的 “满意度 ”是路线的长度，假定该果
园的 “社会满意度 ”y 是游客在所有路线上观赏所获得的 “满意度 ”之和，则下面图象中能较准确的反映
件 C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则 C = AB U ABU AB，且 A，B独立 .
由上表可知， P ( A) = 1 ， P(B) = p . 2
所以 P( C) = P( AB) + P( AB) + P( AB )
1
1
1
= ? (1 p) + ? p
p
= 1+ 1 p.
2
2
16．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别
C B
P A
图6
为 a ， b ， c ，其中 c 2 ， 且 cos A b
3
.
cos B a 1
(Ⅰ )求 a ， b ， C.
(Ⅱ )如图，设圆
O 过 A, B, C 三点，点
P
AB
B. 越接近于圆
山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理

山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理

山东省青岛市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知11abi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=A ．3B ．2C ．5 D2. 已知集合2{|lg(2)}M x y x x ==-，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是A ．30B ．31C ．32D ．334. 已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是 A ．1{,4}4 B ．{1,4} C ．1{1,}4 D ．1{1,,4}45. 已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图， 当输入的值为25时，则输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．76. 设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥ 7. “2-≤a ”是“函数ax x f -=)(在[1,)-+∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，)1(log )(2+=x x f ，则()f x 在区间3(1,)2内是A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ；12. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布2(110,10)N ，已知(100110)0.34P X ≤≤=，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；14. 若函数sin()(0,0)6A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ；15. 若不等式2222()y x c x xy -≥-对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知向量2(sin ,cos )33x x a k =,(cos ,)3xb k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈，且函数()f x 的最大值为12.（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且a =求AB AC ⋅的最小值.17．（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：第14题图6正（主）视图侧（左）视图第13题图现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13 .（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分12分） 如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B a=，2AB a =，1AA =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求二面角1D BC C--的余弦值的大小.注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.19．（本小题满分12分） 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈． （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及C 1BED F A B1A 1D 1C其前n 项和nS ．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 22221 (0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，若椭圆2C 上存在关于直线:l 1143y x =+对称的两个不同的点，求椭圆2C 的离心率e 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数1()1ln a f x x x =-+（a 为实数）．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，且存在a 满足()≥h a 18+λ，求λ的取值范围；（Ⅲ）已知*N n ∈，求证：11111ln(1)12345n n +<++++++．高三自主诊断试题数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 12. 8 13.32 14．232- 15．4三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅-221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332xx x x xk x x k k k k k+=-=-=--……2分222()sin()2232322342x x k x kπ=--=-- ……………………5分因为R x ∈，所以()f x的最大值为1)122k =，则1k = …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()sin()2342x f x π=--，所以21()sin()02342A f A π=--=化简得2sin()34A π-=因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-<则2344A ππ-=，解得34A π= …………………………………………………8分因为2222240cos 222b c a b c A bc bc +-+-=-==，所以2240b c ++=则22402b c bc +=≥+，所以20(2bc ≤= ……………10分则3cos20(14AB AC AB AC π⋅==≥-所以AB AC ⋅的最小值为20(1 …………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率111111114323433P =⨯+⨯+⨯= ……………2分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率1121133P P =-=-= …………………4分 （Ⅱ）由题意可知，6,7,8,9,10ξ=则111(6)4312P ξ==⨯=11111(7)43234P ξ==⨯+⨯=1111111(8)4343233P ξ==⨯+⨯+⨯=11111(9)23434P ξ==⨯+⨯=111(10)4312P ξ==⨯=………………………………………………………………10分所以ξ的分布列为则11111()67891081243412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………………………12分18．（本小题满分12分） 证明：（Ⅰ）连接11A C ，AC ，分别交11,,B D EF BD于,,M N P ，连接1,MN C P由题意，BD ∥11B D因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………2分又因为11,2A B a AB a==，所以111122MC A C a ==又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以142NP AC a== 所以1MC NP= 又因为AC ∥11A C ，所以1MC ∥NP所以四边形1MC PN为平行四边形所以1PC ∥MN 因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D因为1PC BD P =，所以平面11EFB D ∥平面1BDC …………………………………5分（Ⅱ）连接1A N，因为11A M MC NP==，又1A M ∥NP所以四边形1A NPM为平行四边形，所以PM ∥1A N由题意MP ⊥平面ABCD ，1A N ∴⊥平面ABCD ，1A N AN ∴⊥因为11A B a=，2AB a =，1AA =，所以1A N MP ===因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥所以，以,,PA PB PM 分别为,,x y z 轴建立如图所示的坐标系则,0)B，(0,,0)D，(,0,0)C，1()2C a -所以(0,,0)BD =-，1(,)BC =-，(,,0)BC =………………………………………………………7分设1111(,,)n x y z =是平面1BDC 的法向量，则11100n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩1111020ax ⎧=⎪∴⎨⎪-=⎩，10y ∴=，令11z =，则1x 1(3,0,1)n = ……………………………………………9分设2222(,,)n x y z =是平面1BCC 的法向量，则21200n BC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2222200⎧-=⎪∴⎨⎪=⎩令21y =，则21x =-，2z =所以2(n =- ………………………………11分所以1212120cos ,n n n n n n -+⋅<>===所以二面角1D BC C--的余弦值的大小为7………………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且(112)50(17)(12)(13)5d q d q d d +=⎧⎨++=++++⎩即(112)5026d q d q +=⎧⎨+=⎩ 解得：22d q =⎧⎨=⎩，或 由于{}n b 是各项都为正整数的等比数列，所以22d q =⎧⎨=⎩……………………………………2分 从而1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． ……………………………………4分（Ⅱ）12n n b -=21log n b n+∴=811()2n n n d d -++∴= ， 7121()2nn n d d -+++= 两式相除：212n nd d +=，由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d = 135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列 ……………………………………………………………6分∴当n 为偶数时，1218()2n nn d -=⨯= ……………………………………………………………7分13124()()n n n S d d d d d d -=+++++++22221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]4811221122nnn n n⨯-⨯-=+=-+-=--- …………9分∴当n 为奇数时，112116()2n nn d +-=⨯=…………………………………………………………10分13241()()n n n S d d d d d d -=+++++++112211221116[1()]8[1()]112232[1()]16[1()]482()112221122n n n n n+-+-⨯-⨯-=+=-+-=---∴,,2n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，48,482(),2nn n S ⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩ …………………12分20．（本小题满分13分）n为奇数 n 为偶数 n 为偶数 n 为奇数解：（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003292p x x y y px ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ ………………………2分解得：001,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==……①…………………………………………5分设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆2C 上关于直线:l 1143y x =+对称的两点， :4MN y x λ=-+ 由2222 1 4x y m n y x λ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩22222222(16)80m n x m x m m n λλ⇒+-+-=……（*）则42222222644(16)()0m m n m m n λλ∆=-+->， 得：222160m n λ+->……②………………………………………………………………7分 对于（*），由韦达定理得：21222816m x x m n λ+=+ 212122224()216n y y x x m n λλ∴+=-++=+MN 中点Q 的坐标为2222224(,)1616m n m n m n λλ++将其代入直线:l 1143y x =+得：222222141164163n m m n m n λλ=⨯+++……③……………………………………………………9分由①②③消去λ，可得：217m <<，椭圆2C 的离心率2c e m m ==，∴1e << ………………………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a =时，11()1ln f x x x =-+， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）221()a a x f x x x x -'=-=，由()0f x '=x a ⇒=由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………5分 由于存在a 满足()≥h a 18+λ，所以max ()≥h a 18+λ……………………………………6分对于函数2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= ①当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==， 由max ()≥h a 18+λ29188⇒≥+λλ，结合0λ≤或83λ≥可得：19≤-λ或83λ≥ ②当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==， 由max()≥h a 18+λ108⇒≥+λ，结合403λ<≤可知：λ不存在；③当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 由max()≥h a 18+λ1688⇒-≥+λλ，结合4833λ<<可知：13883≤<λ 综上可知：19≤-λ 或138≥λ………………………………………………………………9分（Ⅲ）当1a =时，21()xf x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，∴11()1ln f x x x =-+在1x =处取得最大值(1)0f = 即11()1ln (1)0f x f x x =-+≤=，∴11ln x xx -≤，……………………………………11分 令 1n x n =+，则11ln n n n +<，即1ln(1)ln n n n +-<，∴ln(1)ln(1)ln1[ln(1)ln ][ln ln(1)](ln 2ln1)n n n n n n +=+-=+-+--++- 1111121n n n <++++--．故11111ln(1)12345n n +<++++++． ………………………………………………14分。