第8讲-高阶偏导数与极值

第8讲 高阶导数与二元函数极值讲授内容一、高阶偏导数由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：),(22y x f x z x xz xx =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂， ).,(22y x f y z y y z yy =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ ),,(2y x f x z y y x zxy =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ ),(2y x f y z x x y z yx=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂例1 求函数xy z arctan=的所有二阶偏导数. 解：()22222222y x xyyx yx xz +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂， ().22222222y x xyy x x y yz +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂(),22222222y x y x yx yy y x z+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂∂ (),22222222y x y x y x x x x y z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂注意：从上面例子看到， 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.例2 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=.0 ,0,0 ,,22222222y x y x y x y x xy y x f解： 它的一阶偏导数为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++++-=,0 ,0,0 ,4,2222222222222y x y x yx y x y y x y x y y x f x ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+-=,0 ,0,0 ,4,2222222222222y x y x yx y x x y x y x x y x f y 进而求f 在（0，0）处的混合偏导数，得 ()()(),1lim0,0,0lim0,00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy ()()()1lim0,00,lim0,00=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f x y y x yx ．由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？定理17.7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在点),(00y x 连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy = .这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。

如三元函数),,(z y x f u =，若下述六个三阶混合偏导数),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f zyx yxz xzy zxy yzx xyz 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等.例3 1）设,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f z 求22x z ∂∂，.2y x z ∂∂∂ 2）设(),,y x xy f z -= 求22x z∂∂，.2y x z ∂∂∂ 解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：.,),,(yx v x u v u f z ===由复合函数求导公式有.1vf y uf xv v f xu u f xz ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂注意，这里vfu f∂∂∂∂,仍是以v u ,为中间变量y x ,为自变量的复合函数．所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂v f y u f x x1z22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=x v v f x u u v f y x v v u f x u u f 2222221,12222222v fy v u f y u f ∂∂+∂∂∂+∂∂= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂v f y u f y y x z12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f 222222211 .1222322vf yvf yx vu f y x ∂∂-∂∂-∂∂∂-=二、中值定理先介绍凸区域的概念．若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域．这就是说对任意两点D y x P y x P ∈),(),,(222111和一切),10(≤≤λλ，恒有.))(),((121121D y y y x x x P ∈-+-+λλ定理17.8（中值定理） 设二元函数f 在凸开域2R D ⊂上连续，在D 的所有点内都可微，则对D 内任意两点,int ),(),,(D k b h a Q b a P ∈++，存在某),10(<<θθ，使得.),(),(),(),(k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x θθθθ+++++=-++证：令 ).,()(tk b th a f t ++=Φ它是定义在[]1,0上的一元函数，由定理中的条件知()t Φ在[]1,0上连续，在()1,0内可微．于是根据一元函数中值定理，存在)10(<<θθ使得 ).(')0()1(θΦ=Φ-Φ 由复合函数的求导法则.),(),()('k k b h a f h k b h a f y x θθθθθ+++++=Φ定理17.9（泰勒定理） 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得 +∂∂+∂∂+=++),()(),(),(000000y x f ykx h y x f k y h x f ++∂∂+∂∂ ),()(!21002y x f ykx h+∂∂+∂∂),()(!100y x f ykxh n n()).,()(!11001k y h x f ykxh n n θθ++∂∂+∂∂++ 称为二元函数f 在点0P 的n 阶泰勒公式，其中.),(),()(00000im i im im mi i mmkh y x f yx Cy x f ykxh--=∂∂∂=∂∂+∂∂∑例４ 求yx y x f =),(在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）. 解：由于,2,4,100===n y x ，因此有().0)4,1(,ln ),(.1)4,1(,ln ),(,12)4,1(,)1(),(,0)4,1(,ln ),(,4)4,1(,),(,1)4,1(,),(222221121===+==-=======----y yy xy y y xy x y x y yy x y x yf x xy x f f x yxxy x f f xy y y x f f x x y x f f yxy x f f x y x f将它们代入泰勒公式，即得().)4)(1()1(6)1(4122ρo y x x x x y+--+-+-+=三、极值问题定义 设函数f 在点()000,y x P 的某邻域)(0P U 内有定义．若对于任何点()()0,P U y x P ∈成立不等式()()，或)()()(00P f P f P f P f ≥≤则称函数f 在点0P 取得极大（或极小）值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．由定义可见，若f 在点()00,y x 取得极值，则当固定0y y =时，一元函数()0,y x f 必定0x x =在取相同的极值上．同理，一元函数()y x f ,0在0y y =也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下： 定理17.10（极值必要条件） 若函数f 在点()000,y x P 存在偏导数，且在0P 取得极值，则有 ()().0,,0,0000==y x f y x f y x反之，若函数f 在点0P 满足()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，则称点0P 为f 的稳定点．定理17.10指出：若f 存在偏导数，则其极值点必是稳定点。

但稳定点并不都是极值点，如例函数xy y x h =),(，原点为为其稳定点，但它在原点并不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。

例如22),(y x y x f +=在原点没有偏导数，但0)0,0(=f 是f 的极小值．定理17.11（极值充分条件） 设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内具有二阶连续导数，且0P 是f 的稳定点. 则有(ⅰ)当()()0)(,0020>->P f f f P f xy yy xx xx 时，f 在点0P 取得极小值；(ⅱ)当()()0)(,0020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时，f 在点0P 取得极大值；(ⅲ)当()0)(02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；(ⅳ)当()0)(02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．例5 求61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值．解： 由方程组 ⎩⎨⎧=+==-=01010,062y f x f yx 得f 的稳定点()1,30-P ，由于()()()().20)(,10,0,202000=-===P f f f P f P f P f xy yy xx yy xy xx 因此f 在点0P 取得极小值.8)1,3(-=-f 又因f 处处存在偏导数，故)1,3(-为f 的惟一极值点．例6 讨论xy x y x f +=2),(是否存在极值．解：由方程组0,02===+=x f y x f y x ，得稳定点为原点)0,0(．因,012<-=-xy yy xx f f f ，故原点不是f 的极值点。

又因f 处处可微，所以f 没有极值点。