导数 极值 最值问题

导数极值最值问题1. 引言在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它表示了函数在某一点的变化率。

导数在许多实际问题中都有广泛的应用，其中之一就是求解导数极值最值问题。

本文将介绍导数极值最值问题的基本概念、求解方法和实际应用。

2. 导数极值最值问题的基本概念导数极值最值问题是指在给定函数的定义域内，寻找函数取得最大或最小值时对应的自变量取值。

其中，导数起到了至关重要的作用。

2.1 极大值和极小值在函数曲线上，如果某一点处的函数值比该点邻近的其他点都大（或都小），那么这个点就被称为极大值点（或极小值点）。

而相应的函数值则称为极大值（或极小值）。

2.2 导数与变化率导数可以理解为函数曲线上某一点处切线斜率的极限。

它表示了函数在该点附近的变化率。

当导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数等于零时，则可能存在极值点。

2.3 极值的必要条件对于可导函数来说，极值点一定满足导数为零的条件。

这是因为在极值点处，函数的变化率为零。

3. 求解导数极值最值问题的方法为了求解导数极值最值问题，我们可以采用以下步骤：3.1 确定定义域首先要确定函数的定义域，即函数在哪个区间内进行讨论。

3.2 求解导数对给定函数进行求导，得到它的导函数。

3.3 导数为零的点求解导函数为零的点，即找到可能存在极值点的位置。

3.4 导数符号变化通过分析导数符号变化来确定极大值和极小值点。

当导数从正变负时，存在极大值；当导数从负变正时，存在极小值。

3.5 极大值和极小值验证将求得的可能存在极大、极小值点代入原函数中验证是否满足条件。

同时还需考虑边界情况和特殊点。

4. 导数极值最值问题的实际应用导数极值最值问题在实际中有广泛应用，下面以两个例子来说明。

4.1 最大利润问题假设一个公司生产某种商品，销售价格为P（元/件），销售量为Q（件）。

成本函数为C(Q)（元）。

我们希望确定最佳的销售量，使得公司的利润最大。

根据经济学原理，利润等于总收入减去总成本。

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为.【考点】导数与最值2.已知函数，其中。

（1）若，求函数的极值点和极值；（2）求函数在区间上的最小值。

【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2）【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得极值点，把极值点代入原函数得极值。

（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。

试题解析：解：（1）当时，。

2分令，得或。

所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数。

4分[所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。

8分（2）当时，是R上的增函数，在区间上的最小值为。

10分当时，。

在区间上是减函数，在区间上，是增函数。

12分所以，在区间上的最小值为， 13分。

14分综上，函数在区间上的最小值为。

【考点】导数在求极值及最值中的应用；3.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.4.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．5.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是( ) A．(1－ln 2)B．(1＋ln 2)C．D．(1＋ln 2)【答案】B【解析】设P(,),则点P到直线4x＋4y＋1＝0的距离= =，设==（），所以= =，当时，＜0，当时，，所以在（0,）是减函数，在（，）上是增函数，所以当=时，==，所以= .【考点】点到直线距离公式；利用导数求最值6.求函数的极值【答案】，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【解析】求函数的极值，首先找到定义域使得函数有意义，其次求导函数，令其等于零，分析函数的单调性，从而找到极值点，求出极值.试题解析：根据题意可知函数定义域为，因为，所以，令，可得，当变化时，有下表-↗↗由上表可知，当时，有极大值且极大值为；当时，有极小值且极小值为【考点】导数法求极值.7.已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则 ( )A．-2或2B．-9或3C．-1或1D．-3或1【答案】A.【解析】对函数进行求导即，确定函数的单调性并判断函数的极值点，即令，可得或；令，可得；于是知函数在上单调递减，在，上单调递增，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值.利用函数的图像与轴恰有两个公共点知，极大值等于0或极小值等于0，由此可解出的值．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．8.已知x=-是函数f(x)=ln(x+1)-x+x2的一个极值点。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数 (R)．(1)当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．【答案】（1）当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为.（2）a的取值范围是．【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2）根据= ，得到△= = .据此讨论：①若a≥1，则△≤0，此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0），,得到结论.②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有．给出当变化时，的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出结论.试题解析：（1）当时，，∴.令="0," 得. 2分当时,, 则在上单调递增;当时,, 则在上单调递减;当时,, 在上单调递增. 4分∴当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. 6分（2）∵= ，∴△= = .①若a≥1，则△≤0， 7分∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0），,∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分②若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．∴．当变化时，的取值情况如下表：x x（x，x）x++11分∵,∴.∴=.同理. ∴.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．而当时,, 13分故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是． 14分【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.2.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为()A．B．C．D．以上都不对【答案】B【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B．【考点】函数的极值与最值．5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)＝x e x，则()．A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)＞0时，则x＞－1，函数y＝f(x)是增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.9.若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间内有极值，所以导数在区间内必有零点，于是.【考点】1.导数的公式与法则；2.函数的零点.10.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值11.在处有极小值，则实数为 .【答案】1【解析】由得，又在处有极小值，故，解得或，当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极小值；当时，有，函数在单调递增，在单调递减，故在处有极大值.综上可知.【考点】利用导数处理函数的极值12.已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间.【答案】（1），无极大值；（2）见解析.【解析】（1）先找到函数的定义域，在定义域内进行作答，在条件下求出函数的导函数，根据函数的单调性与导数的关系，判断函数的极值；（2）先求出函数的导函数，其导函数中含有参数，所以要进行分类讨论，对分三种情况，，进行讨论，分别求出每种情况下的函数的单调增区间和单调减区间.试题解析：（1）函数的定义域是， 1分当时，，所以在上递减，在上递增，所以函数的极小值为，无极大值； 4分（2）定义域， 5分①当，即时，由，得的增区间为；由，得的减区间为； 7分②当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 9分③当，即时，由，得的增区间为和；由，得的减区间为； 11分综上，时，的增区间为，减区间为；时，的增区间为和，减区间为；时，的增区间为和，减区间为. 13分【考点】1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.13.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.14.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.15.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”。

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

导数极值最值问题导数极值最值问题是高中数学中非常重要且常见的问题之一。

它是微积分中的一个重要内容，通过求函数的导数来研究函数在某些点上的极值和最值问题。

下面是一些相关的参考内容。

一、定义和概念1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h，它表示函数在该点的瞬时变化率。

2. 极值的定义：函数f(x)在某个区间的局部极大值或极小值称为极值。

3. 最值的定义：函数f(x)在某个区间的最大值或最小值称为最值。

二、求导法则1. 基本求导法则：如常数函数求导、幂函数求导、指数函数求导等。

2. 和差法则：导数的和、差等于导数的和、差。

3. 积法则：导数的积等于其中一个函数在点上的导数乘以另一个函数在点上的值，再加上其中一个函数在点上的值乘以另一个函数在点上的导数。

4. 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

三、求解极值问题的步骤1. 求导：先求函数的导数f'(x)。

2. 导数为0的点：解方程f'(x) = 0，求出所有导数为0的点。

3. 导数不存在的点：找出导数不存在的点，也就是函数不可导的点。

4. 极值点的判断：对于导数为0的点和导数不存在的点，判断它们是否是函数的极值点。

5. 极值点的分类：根据二阶导数f''(x)的符号来判断极值点的性质。

a. 若f''(x) > 0，表示f(x)在该点上有极小值。

b. 若f''(x) < 0，表示f(x)在该点上有极大值。

c. 若f''(x) = 0，表示f(x)在该点上无极值，需进一步判断。

6. 求最值：将极值点的函数值代入原函数，求出极值。

四、举例说明以函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2为例，来说明如何求解其极值问题。

1. 求导：f'(x) = 3x^2 - 8x + 5。

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】试题分析：b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33b a ．?当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当⎩⎨⎧-==114b a 时，)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,311(<'-∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以⎩⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（）A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()0,+∞D ．()(),10,-∞-+∞【答案】B 【解析】考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2131)(23-++-=在)4,0(上无极值，而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则32()21f x x kx x =--+的极大值为（） A ．2B ．52C ．3D ．72【答案】B 【解析】考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值．【变式演练5】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()332212121210x x a x x a x x ++++++≤,即()()()()()221212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦,由于()()2'321f x x a x a =+++,令()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因()2410a a ∆=-+>,故()12122133x x a a x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或122a ≤≤，因此,当1a ≤-或122a ≤≤时,不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦.考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内,则实数a 的取值范围是．2a << 【解析】考点：导数与极值．类型二求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点；第二步计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2若函数()2x f x e x mx =+-，在点()()1,1f 处的斜率为1e +． （1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值． 【答案】（1）1m =；（2）()max f x e =. 【解析】试题分析：（1）由(1)1f e '=-解之即可；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=，所以函数在区间0[1,]x -上单调递减，在区间0[,1]x 上单调递增，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，求之即可.试题解析：（1）()2x f x e x m '=+-，∴()12f e m '=+-，即21e m e +-=+，解得1m =； 实数m 的值为1；（2）()21x f x e x '=+-为递增函数，∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<，存在[]01,1x ∈-，使得()00f x '=，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，()()112,1f e f e --=+=，∴()()max 1f x f e ==考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题，属中档题；导数的几何意义是拇年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练7】已知xe x xf 1)(+=. （1）求函数)(x f y =最值；（2）若))(()(2121x x x f x f ≠=，求证：021>+x x .【答案】（1）)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值；（2）详见解析. 【解析】试题解析：（1）对)(x f 求导可得x x x x e xe e x e xf -=+-='2)1()(， 令0)(=-='x exx f 得x=0. 当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； 当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 当x=0时，)(x f 取最大值1)0()(max -==f x f ，无最小值. （2）不妨设21x x <，由（1）得当)0,(-∞∈x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增；当),0(+∞∈x 时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减， 若)()(21x f x f =，则210x x <<，考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明. 【变式演练7】已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-. （Ⅰ）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ）若函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点1212,()x x x x <且21ln 2x x ->，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，；（Ⅱ）2ln 2ln 2ln()133a >--. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，得极值点为1x e =，分情况讨论10t e <<及1t e≥时，函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）当函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点，即'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1212,()x x x x <，问题等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点，由)(x G 单调性结合函数图象可知当min 1()()ln 22a G x G >==时，12,x x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln 2x x -=时，由题意1122ln 210ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩，214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--.试题解析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，可得1x e=，∴①10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1(,2)t e+上单调递增，∴函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值为11()f e e=-，②当1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ∴==，min110()1ln ,t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨⎪≥⎪⎩，； 两式相减可得1122ln2()2ln 2x x x x =-=- 214x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时2ln 2ln 2ln()133a =--，所以，实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln()133a >--；考点：导数的应用．【变式演练8】设函数()ln 1f x x =+. （1）已知函数()()2131424F x f x x x =+-+,求()F x 的极值； （2）已知函数()()()()2210G x f x ax a x a a =+-++>,若存在实数()2,3m ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,求实数a 的取值范围.【答案】（1）极大值为0，极小值为3ln 24-；（2）()1ln 2,-+∞.【解析】()(),'F x F x 随x 的变化如下表:当1x =时,函数()F x 取得极大值()10F =;当2x =时,函数()F x 取得极小值()32ln 24F =-.③当112a <,即12a <时,函数()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增,在1,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,要存在实数()2,3x ∈,使得当(]0,x m ∈时,函数()G x 的最大值为()G m ,则()122G G a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,代入化简得()()1ln 2ln 2104a a ++->*.令()()11ln 2ln 2142g a a a a ⎛⎫=++-> ⎪⎝⎭,因()11'104g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立,故恒有()111ln 20,222g a g a ⎛⎫>=->∴> ⎪⎝⎭时,()*式恒成立;综上，实数a 的取值范围是()1ln 2,-+∞.考点：函数导数与不等式． 【高考再现】1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+． （i ）设0a =,则()(2)x f x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2ab <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点．综上,a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x x g x xe x e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--． 所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<． 考点：导数及其应用2.【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证23)()(/>-x f x f ，根据单调性求解.（1）20<<a ，12>a， 当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增； 当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； （2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a 时，120<<a， 当)2,0(ax ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ， 令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x . 则)()()()(/x h x g x f x f +=-， 由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326'()x x h x x--+=， 设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

导数与函数的极值与最值1. 函数的极值⑴．判断 f (x 0)是极值的方法一般地，当函数 y ＝f (x )在点 x 0 处连续时，①．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＞0，右侧 f ′(x )＜0，那么 f (x 0)是极大值； ②．如果在 x 0 附近的左侧 f ′(x )＜0，右侧 f ′(x )＞0，那么 f (x 0)是极小值． ⑵．求可导函数极值的步骤：①．求 f ′(x )；②．求方程 f ′(x )＝0 的根；③．检查 f ′(x )在方程 f ′(x )＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 y ＝f (x )在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2. 函数的最值⑴．在闭区间[a ，b ]上连续的函数 y ＝f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．⑵．若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递增，则 f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数 f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．⑶．设函数 f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求 f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①．求 f (x )在(a ，b )内的极值；②．将 f (x )的各极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3. 利用极值求参数1. 极值点使得导函数为0，即极值点为导函数的零点.2. 极值点的个数就是导函数变号零点的个数3. 方法：①直接法：直接求方程，得到方程的根，在通过解不等式确定参数取值范围； ②分离参数法：将参数分离，构造新函数转化成求最值或者值域的问题； ③数形结合：先对解析式变形，在坐标系中画出函数图像，通过找交点求解.题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点 (2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中（文））函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x =B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【解析】(1)对于A 选项，当122x -<<时，()0f x '>，当122x <<时，()0f x '<，12为()f x 的极大值点，A 选项正确；对于B 选项，当2x <-时，()0f x '<，当122x -<<时，()0f x '>，2-为()f x 的极小值点，B 错误； 对于C 选项，当122x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，2为()f x 的极小值点，C 选项错误； 对于D 选项，由于函数()y f x =为可导函数，且405f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，45不是()f x 的极值点，D 选项错误.故：A. (2)函数的导数为2233()2(1)(3)6(1)f x x x x x '=-⨯=-， 当()0f x '=得0x =或1x =，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<， 所以1x =是极小值点.当0x <时，()0f x '<，当01x <<时，()0f x '<， 所以0x =不是极值点.故选B .【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）【解析】()223f x x x =+-'，由2230x x +-=得31x =-或 函数()321313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，()3,1-上为减函数， ()1+∞，上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值点为1.选A 2．（2019·安徽高二月考（文））已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调区间和极值.【答案】（1）f (x )=x 2-4lnx （2）函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为22ln 2-，无极大值 【解析】（1）()2bf x ax x'=+， 因为点M (1,1)处的切线方程为2x +y -3=0，所以()()11122f a f a b ⎧==⎪⎨=+=-'⎪⎩,所以14a b =⎧⎨=-⎩，则f (x )=x 2-4lnx ;（2）定义域为(0,+∞),()24242x f x x x x-'=-=,令()0f x '=，得x =. 列表如下：故函数()f x 的单调递增区间是(，单调递减区间是)+∞.极小值为222ln 2f=-=-，无极大值.题型二 求最值【例2】（2019·黑龙江铁人中学高二期中 ）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ） A ．4 B ．2 C ．0 D ．－2【答案】B【解析】令()2360f x x x '=-=，解得0x =2x =.()()()()02,22,12,10f f f f ==--=-=，故函数的最大值为2，所以本小题选B.【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____【解析】二次函数()y f x = 在[]0,2x ∈ 单调递增，当(]2,3x ∈ 单调递减故在x=0时取得最小值，即a=2题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)（2019·河北唐山一中高三期中（理））若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）．A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1(2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三（文））若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】(1)A(2)A(3)C 【举一反三】1.已知是函数的极小值点，则的范围是_____2.已知是函数的极小值点，则取值范围________3.已知函数有两个极值点，且，则（ ）4.（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是____．5.若函数在区间内有极值，则取值范围（ C ）0x =()()()22222f x x a x a x a=-++a ()(),02,-∞⋃+∞1x =()()()2202xk f x x e x kx k =--+>k ()0,e ()221ln f x x x a x =-++12,x x 12x x <D ()212ln 2.4A f x +<-()212ln 2.4B f x -<()212ln 2.4C f x +>-()212ln 2.4D f x ->()()()2122ln 02ax f x a x x a =-++>1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭a6. 若函数在上有小于零的极值点，实数的取值范围是（ ）7. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数取值范围______.8. 已知函数在区间上至少有一个极值点，实数取值范围______ 课后训练：1．（2019·江西高三期中（文））若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(),1-∞ C ．(],2-∞ D ．()2,+∞【答案】D 【解析】依题意()'2666f x x mx =-+，由于函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，所以()'2666fx x mx =-+在区间()1,+∞上有正有负，由于二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，对称轴为2m x =，2364660m ∆=-⨯⨯>，解得2m <-或2m >.当2m <-时，对称轴12mx =<-，()'060f =>故此时在区间()1,+∞上()'0f x >，函数()f x 单调递增，没有极值点.当2m >时，由于()'16661260f m m =-+=-<，且二次函数()'2666f x x mx =-+开口向上，故()'2666f x x mx =-+区间()1,+∞上必存在零点，也即()f x 在区间()1,+∞上存在极值点. 故选：D.2．（2019·陕西高三（文））函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤【答案】C【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C 。

导数极值最值问题导数极值是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、经济、工程等领域的问题求解中。

对于一个函数，在某一点处取得最大值或最小值，我们称之为极值。

导数极值问题则是求解函数导数为零的点，以及在这些点处的函数值，以确定函数的极值。

为了解决导数极值问题，我们需要掌握相关的理论、方法和技巧。

下面是一些相关内容的参考：1. 导数的定义：首先，我们需要了解导数的定义，即一个函数在某一点处的导数是该函数在该点的斜率。

对于函数y=f(x)，其导数可以表示为dy/dx，也可以表示为f'(x)或y'，表示函数f(x)对于自变量x的变化率。

2. 极值的判定条件：在一般情况下，求解导数极值的思路是找出函数的导数为零的点，然后判断这些点是否为极值点。

判定导数为零的点是否为极值点，需要应用导数的增减性或二阶导数的符号判定方法。

其中，- 导数的增减性：若导数在某点的左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；若导数在某点的左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点。

- 二阶导数的符号判定：若函数的二阶导数大于零，则该点为极小值点；若二阶导数小于零，则该点为极大值点；若二阶导数等于零，则该方法无法判断。

这些判定条件可以帮助我们确定极值点的性质。

3. 极值问题的求解步骤：一般来说，求解导数极值问题的步骤如下：- 求出函数的导数；- 找出导数为零或不存在的点，即驻点；- 判断驻点是否为极值点，并求解极值点的函数值；- 若函数的定义域是一个闭区间，还需比较区间端点处的函数值。

这些步骤可以帮助我们系统化地求解导数极值问题。

4. 实际问题的应用：导数极值问题在实际问题中有广泛的应用，例如：- 经济学中的最优化问题；- 物理学中的最小作用量原理；- 工程学中的控制系统设计等。

学习与掌握导数极值问题的相关理论和方法，对于解决这些实际问题具有重要意义。

总之，导数极值问题是高等数学中一个重要的主题，通过分析函数导数为零的点及其性质，可以确定函数的极值点。

导数与函数的极值、最值【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．【知识点】1．函数的极值(1)函数的极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f′(a)=0；而且在点x =a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x= b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一　利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．命题点1　根据函数图象判断极值1(2024·四川广安·二模)已知函数f x =ax+1e x，给出下列4个图象：其中，可以作为函数f x 的大致图象的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】对a的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.【详解】由题意知，f x 定义域为R，当a=0时，f x =e x，由指数函数的单调性可知函数f x 单调递增，可对应①；当a>0时，f x =ax+a+1e x，令f x =0可得：x=-a+1a<0，所以当x∈-∞,-a+1a时，f x<0，当x∈-a+1a ,+∞时，f x >0，所以，函数f x 先减后增，且当x<-1a时，f x <0，此时可对应②；当a<0时，f x =ax+a+1e x，当f x =0时x=-a+1a，当x∈-∞,-a+1a时，f x >0，当x∈-a+1a ,+∞时，f x <0，所以，函数f x 先增后减，当a<-1时，x=-a+1a<0，且此时0<-1a<1，所以可对应③，当-1<a<0时，x=-a+1a>0，此时-1a>1，所以可对应④.故选：D2(23-24高三上·黑龙江·阶段练习)如图是函数y=f x 的导函数y=f x 的图象，下列结论正确的是()A.y=f x 在x=-1处取得极大值B.x=1是函数y=f x 的极值点C.x=-2是函数y=f x 的极小值点D.函数y=f x 在区间-1,1上单调递减【答案】C【分析】根据导函数的正负即可求解y=f x 的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当x<-2时，f x <0,f x 单调递减，当x≥-2时，f x ≥0,f x 单调递增，故x=-2是函数y=f x 的极小值点，y=f x 无极大值.故选：C3(2023·河北·模拟预测)函数f(x)=1x4-1x2的大致图象是()A. B.C. D.【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数法判断.【详解】解：因为函数f (x )=1x4-1x 2的定义域为：x |x ∈R ,x ≠0 ，且f -x =f x ，所以函数f x 是偶函数，当x >0时，f x =-4x -51-12x 2 ，令fx =0，得x =2，当0<x <2时，f x <0，当x >2时，f x >0，所以当x =2时，f x 取得极小值，故选：D4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率小于零B.函数f (x )在区间(-1，1)上单调递增C.函数f (x )在x =1处取得极大值D.函数f (x )在区间(-3，3)内至多有两个零点【答案】D【详解】解析：由题意，得f ′(1)=0，所以曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率等于零，故A 错误；当x ∈(-1，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(-1，1)上单调递减，故B 错误；当-2<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >1，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x =1不是f (x )的极值点，故C 错误；当x ∈(-3，-2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(-2，3)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，所以当f (-2)<0时，f (x )在(-3，3)上没有零点；当f (-2)=0时，f (x )在(-3，3)上只有一个零点；当f (-2)>0时，f (x )在(-3，3)上有两个零点．综上，函数f (x )在区间(-3，3)内至多有两个零点，故选D .命题点2　求已知函数的极值5(2024·宁夏银川·一模)若函数f (x )=x 2-ax -2 e x 在x =-2处取得极大值，则f (x )的极小值为()A.-6e 2B.-4eC.-2e 2D.-e【答案】C【分析】由题意求出a 的值，进而求出f x ，再解出极小值即可.【详解】因为函数f (x )=x 2-ax -2 e x 在x =-2处取得极大值，则f x =x 2+2-a x -2-a ⋅e x ，x ∈R 且f -2 =0，即4-22-a -2-a =0，所以a =2；所以f x =x 2-2x -2 ⋅e x ，f x =x 2-4 ⋅e x =x +2 x -2 e x ，令f x =0，则x =2或x =-2，由x ∈-∞,-2 ,f x >0，x ∈-2,2 ,f x <0，x ∈2,+∞ ,f x >0，所以f x 在-∞,-2 ,2,+∞ 上单调递增，在-2,2 上单调递减.所以函数f x 在x =-2处取得极大值，f 极小=f 2 =-2e 2.故选：C .6(2023·全国·模拟预测)函数f x =2x -tan x -π在区间-π2,π2的极大值、极小值分别为()A.π2+1，-π2+1B.-π2+1，-3π2+1C.3π2-1，-π2+1D.-π2-1，-3π2+1【答案】D【分析】求出f x ，由f (x )<0、f (x )>0可得答案．【详解】由题意，得f(x )=2-sin x cos x =2-1cos 2x =2cos 2x -1cos 2x，当x ∈-π2,-π4 ∪π4,π2 时，2cos 2x -1<0，f (x )<0；当x ∈-π4,π4时，2cos 2x -1>0，f (x )>0．所以f (x )在-π2,-π4 上单调递减，在-π4,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减．当x =-π4时，f (x )取得极小值，为f -π4 =-3π2+1；当x =π4时，f (x )取得极大值，为f π4 =-π2-1．故选：D ．7(多选)(2024·全国·模拟预测)已知f (x )=e xx,x >0,-x 2-4x -1,x ≤0, 则方程f 2(x )-(k +3)f (x )+3k =0可能有( )个解.A.3 B.4C.5D.6【答案】BCD【分析】方程f 2(x )-(k +3)f (x )+3k =0得f (x )=3或f (x )=k ，作出函数图象，数形结合判断解的个数.【详解】f (x )=e x x x >0 ，有f(x )=e x x -1 x 2，当0<x <1时f (x )<0，f (x )单调递减；当x >1时f (x )>0，f (x )单调递增，当x =1时，f (x )有极小值f 1 =e.f (x )=-x 2-4x -1x ≤0 ，由二次函数的性质可知，f (x )在-∞,-2 上单调递增，在-2,0 上单调递减，当x =-2时，f (x )有极大值f (-2)=3.由f (x )=e xx,x >0,-x 2-4x -1,x ≤0 的图象如图所示，由f 2(x )-(k +3)f (x )+3k =0得f (x )=3或f (x )=k ，由图象可知f (x )=3有3个解，f (x )=k 可能有1，2，3，4个解，故方程f 2(x )-(k +3)f (x )+3k =0可能有4，5，6，7个解.故选：BCD .【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f x =0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ,b 上是连续不断的曲线，且f a ⋅f b <0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点8(2024·辽宁鞍山·二模)f x =x 2e -x 的极大值为．【答案】4e2【分析】借助导数研究函数的单调性即可得其极大值.【详解】f x =2xe -x +x 2-e -x =2x -x 2 e -x =-x x -2 e -x ，当x ∈-∞,0 ∪2,+∞ 时，f x <0，当x ∈0,2 时，f x >0，故f x 在-∞,0 、2,+∞ 上单调递减，在0,2 上单调递增，故f x 有极大值f 2 =22e -2=4e2.故答案为：4e2命题点3　已知极值(点)求参数9(2024·全国·模拟预测)设x 1,x 2为函数f x =x x -2 x -a (其中a >0)的两个不同的极值点，若不等式f x 1 +f x 2 ≥0成立，则实数a 的取值范围为()A.1,4B.0,4C.0,1D.4,+∞【答案】A【分析】导函数为二次函数，x 1,x 2为对应的一元二次方程的两根，由f x 1 +f x 2 ≥0，代入函数解析式，结合韦达定理化简，可解出实数a 的取值范围.【详解】因为f x =x x -2 x -a ，所以f x =3x 2-22+a x +2a ．又函数f x 有两个不同的极值点x 1,x 2，所以Δ=4a 2-2a +4 >0,x 1+x 2=22+a3,x 1x 2=2a 3.解法一：由f x 1 +f x 2 ≥0，得x 31+x 32-a +2 x 21+ x 22 +2a x 1+x 2 ≥0，即x 1+x 2 x 1+x 2 2- 3x 1x 2 -a +2 x 1+x 2 2-2x 1x 2 +2a x 1+ x 2 ≥0∗ ．将x 1+x 2,x 1x 2的值代入(*)式，得a 2-5a +4≤0，解得1≤a ≤4，故选：A ．解法二：函数y =ax 3+kx a ≠0 为奇函数，图象的对称中心为0,0 ，则函数y =a x -m 3+k x -m +n 图象的对称中心为m ,n 设g x =ax 3+bx 2+cx +d =a x -m 3+k x -m +n ，a x -m 3+k x -m +n =ax 3-3amx 2+3am 2+k x +n -am 3-km ，比较系数，有-3am =b 3am 2+k =c n -am 3-km =d，解得m =-b 3a ,k =c -b 23a ,n =2b 327a2-bc 3a +d =g -b3a 所以函数g x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 图象的对称中心为-b 3a ,g -b3a，即若f x 存在两个相异的极值点x 1,x 2，则其对称中心为点x 1,f x 1 和点x 2,f x 2 的中点，即f x 1 +f x 2 2=f x 1+x22．由题设得f x 1 +f x 2 ≥0，即f x 1+x 22 ≥0，即f 2+a3≥0，所以a >0,a +23a +23-2 a +23-a ≥0,解得1≤a ≤4.故选:A ．10(2024·四川绵阳·三模)若函数f x =12ax 2-x +b ln x a ≠0 有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是()A.a >0,b <0B.a <0,b >0C.ab <14D.ab >0【答案】C【分析】求导，构造函数g x =ax 2-x +b a ≠0 ，利用二次函数零点的分布，结合分类讨论以及极值点的定义即可求解.【详解】fx =ax -1+b x =ax 2-x +b x，令g x =ax 2-x +b a ≠0 ，Δ=1-4ab ，若Δ=1-4ab ≤0，则g x =ax 2-x +b ≥0或g x =ax 2-x +b ≤0，此时f x 单调，不存在极值点，故不符合题意，若Δ=1-4ab >0，则方程g x =ax 2-x +b =0有两个实数根，由于f x =12ax 2-x +b ln x a ≠0 有唯一极值点，故g x =ax 2-x +b =0只能有一个正实数根，若另一个实数根为0，此时b =0，显然满足条件，若令一个实数根为负根，则ba <0，故ab <0，结合选项可知，ab <14一定成立，故选：C11(2024·辽宁·一模)已知函数f x =x 3+ax 2+bx +a 2在x =-1处有极值8，则f 1 等于．【答案】-4【分析】求导，即可由f -1 =8且f -1 =0求解a ,b ，进而代入验证是否满足极值点即可．【详解】f x =3x 2+2ax +b ,若函数f x 在x =-1处有极值8，则f -1 =8,f-1 =0,即-1+a -b +a 2=83-2a +b =0,解得：a =3,b =3或a =-2,b =-7，当a =3,b =3时，f x =3x 2+6x +3=3(x +1)2≥0，此时x =-1不是极值点，故舍去；当a =-2,b =-7时，f x =3x 2-4x -7=3x -7 x +1 ，当x >73或x <-1时，f x >0，当-1<x <73,f x <0，故x =-1是极值点，故a =-2,b =-7符合题意，故f x =x 3-2x 2-7x +4，故f 1 =-4.故答案为：-412(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =ln x -x 2+ax -2a ∈R ．(1)若f x 的极值为-2，求a 的值；(2)若m ，n 是f x 的两个不同的零点，求证：f m +n +m +n <0．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】(1)对函数f x 求导，再根据函数与导数的关系研究函数f x 的性质，即可得解；(2)由题意f m +n +m +n =1m -n m -n m +n -ln m n ，再设m >n >0，t =mn，进而构造函数g t =t -1t +1-ln t t >1 ，利用函数的单调性进行证明即可.【详解】(1)由题知f x 的定义域为0,+∞ ，fx =1x -2x +a =-2x 2+ax +1x．由f x =0可得2x 2-ax -1=0，解得x 1=a -a 2+84(舍去)，x 2=a +a 2+84，且ax 2=2x 22-1，∴f x 在0,x 2 上单调递增，在x 2,+∞ 上单调递减，∴f x 有极大值f x 2 =ln x 2-x 22+ax 2-2=ln x 2-x 22+2x 22-1 -2=ln x 2+x 22-3．设h x =ln x +x 2-3，则h x 在0,+∞ 上单调递增，且h 1 =-2，故x 2=1，即a +a 2+84=1，解得a =1．(2)由条件可得f m =ln m -m 2+am -2=0，f n =ln n -n 2+an -2=0，两式相减，可得ln mn -m 2-n 2 +a m -n =0，故a =m +n -ln m nm -n，f m +n +m +n =1m +n-2m +n +a +m +n=1m +n -ln m nm -n =1m -n m -n m +n -ln m n．不妨设m >n >0，t =mn，则t >1，要证f m +n +m +n <0，只需证明m -n m +n -ln mn<0，即证t -1t +1-ln t <0．设g t =t -1t +1-ln t t >1 ，则gt =2t +12-1t =2t t +1 2t t +1 2=-t 2+1t t +1 2<0，∴g t 在1,+∞ 上单调递减，g t <1-11+1-ln1=0，故f m +n +m +n <0．【点睛】方法点睛：(1)研究函数零点、极值时，一般需要求导分析函数、导函数的单调性，并结合特值进行分析判断；(2)证明有关零点的不等式时，需要观察不等式，构造常用函数g t =t -1t +1-ln t t >1 证明即可.题型二　利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．命题点1　不含参函数的最值13(2024·陕西·模拟预测)∀x ∈1,2 ，有a ≥-x 2ln x +x 2恒成立，则实数a 的取值范围为()A.e ,+∞B.1,+∞C.e2,+∞ D.2e ,+∞【答案】C【分析】构造函数μx =-x 2ln x +x 2,x ∈1,2 ，求导可得函数的单调性，即可求解最值μx max =μe =e 2，进而a ≥μx max 即可.【详解】由a ≥-x 2ln x +x 2在x ∈1,2 上恒成立，令μx =-x 2ln x +x 2,x ∈1,2 ，则μ x =-2x ln x -x +2x =-2x ln x +x =x -2ln x +1 ．令μ x =0，则x =e ，当x ∈1,e 时，μ x >0，故μ x 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,2 时，μ x <0，故μ x 在e ,2 上单调递减；则μx ≤μe =e 2，所以a ≥e2故选:C14(2024·四川·模拟预测)已知f x =x 2-2x +a ln x -x ，若存在x 0∈0,e ，使得f x 0 ≤0成立，则实数a 的取值范围是.【答案】-1,+∞【分析】先用导数证明不等式x -ln x -1≥0，然后对a ≥-1和a <-1分类讨论，即可得出结果.【详解】设g x =x -ln x ，则g x =1-1x =x -1x，从而当0<x <1时g x <0，当x >1时g x >0.所以g x 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，故对任意x >0有x -ln x =g x ≥g 1 =1，即x -ln x -1≥0.一方面，当a ≥-1时，由于f 1 =1-2-a =-1-a ≤0，故存在x 0=1使得f x 0 ≤0成立；另一方面，当a <-1时，由于对任意x ∈0,e 都有f x =x 2-2x +a ln x -x =x -1 2-1+a ln x -x =x -1 2+-a x -ln x -1=x -1 2+-a x -ln x -1 +-a -1≥0+0+-a -1 (这里用到x -1 2≥0，-a >0，x -ln x -1≥0)=-a -1>0，所以对任意x ∈0,e 都有f x >0.综上，a 的取值范围是-1,+∞ .故答案为：-1,+∞ .【点睛】关键点点睛：对于求取值范围问题，本质上就是要确定一个集合，使得命题成立的充要条件是参数属于该集合. 故本题中我们从两个方面入手，证明了存在x 0∈0,e 使得f x 0 ≤0的充要条件是a ∈-1,+∞ ，即可解决问题15(2024·上海徐汇·二模)如图，两条足够长且互相垂直的轨道l 1,l 2相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点A ,B 分别在l 1,l 2上滑动(A ,B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计)，直杆上的点P 满足OP ⊥AB ，则△OAP 面积的取值范围是.【答案】(0,63]【分析】令∠OAB =x 0<x <π2，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出△OAP 的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设∠OAB =x 0<x <π2，则OA =AB cos x =8cos x ,AP =OA cos x =8cos 2x ，因此△OAP 的面积f (x )=12OA ⋅AP sin x =32sin x cos 3x ，0<x <π2，求导得f (x )=32(cos 4x -3sin 2x cos 2x )=32cos 4x (1-3tan 2x )，当0<x <π6时，f (x )>0，当π6<x <π2时，f (x )<0，即函数f (x )在0,π6 上递增，在π6,π2上递减，因此f (x )max =f π6 =32×32 3×12=63，而f (0)=f π2 =0，则0<f (x )≤63，所以△OAP 面积的取值范围是(0,63].故答案为：(0,63]16(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =ln x ．(1)求函数g x =f xx的最值．(2)证明：xe x-14x 4-e 2-34x 3-ef x >0(其中e 为自然对数的底数)．【答案】(1)最大值为g e =1e，无最小值；(2)证明见解析.【分析】(1)先求出函数的导数，根据导数得出函数的单调区间，从而得出函数的最值.(2)不等式转化为e x-14x3-e2-34x2-e ln xx>0，结合(1)知ln xx≤1e，从而证明：ex-14x3-e2-34x2-1≥0，再结合导数求函数的最小值证得结果.【详解】(1)由题意知g x =ln xx，定义域为0,+∞，从而g x =1-ln x x2．所以当x∈0,e时，g x >0；当x∈e,+∞时，g x <0．所以函数g x 在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减．所以函数g x 的最大值为g e =1e，无最小值．(2)欲证xe x-14x4-e2-34x3-ef x >0，只需证e x-14x3-e2-34x2-e ln xx>0．由(1)知ln xx≤1e，从而e ln xx≤1，当且仅当x=e时取等号．下面证明：e x-14x3-e2-34x2-1≥0．设h x =e x-14x3-e2-34x2-1,x>0，则h x =e x-34x2-e2-32x．设H x =e x-34x2-e2-32x，则H x =e x-32x-e2-32．设F x =e x-32x-e2-32，则Fx =e x-32，故当x∈0,ln 3 2时，F x <0；当x∈ln32,+∞时，F x >0．所以函数F x 在0,ln 3 2上单调递减，在ln32,+∞上单调递增．由于F0 =5-e22<0,F2 =e2-32>0,F ln32=32-32ln32-e2-32<0，故设存在唯一的x0∈ln 3 2 ,2，使F x0 =0，且当x∈0,x0时，F x <0，当x∈x0,+∞时，F x >0．故函数H x 在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增．又H0 =1,H1 =e-e22+34=4e+3-2e24<0,H2 =e2-3-e2-3=0，所以存在唯一的x1∈0,1，使H x1=0，故当x∈0,x1∪2,+∞时，H x >0；当x∈x1,2时，H x <0．从而函数h x 在0,x1,2,+∞上分别单调递增，在x1,2上单调递减．因为h0 =e0-0-0-1=0,h2 =e2-2-e2-3-1=0，所以h x ≥0在0,+∞上恒成立，当且仅当x=2时取等号．因为取等条件不相同，所以e x-14x3-e2-34x2-e ln xx>0恒成立，即xe x-14x4-e2-34x3-ef x >0成立．【点睛】本题第(2)问考查的是利用导数证明不等式．证明时有三个关键点：一是不等式的等价变形，由第(1)问的提示可知，需要把所证明的不等式两端同时除以x，使不等式等价转化为e x-14x 3-e 2-34x 2-e ln xx>0；二是放缩法的应用，由(1)知ln x x ≤1e ，从而e ln x x ≤1，此时只需再证明不等式e x-14x 3-e 2-34x 2-1≥0即可；三是构造函数h x =e x-14x 3-e 2-34x 2-1，通过求导研究h x 的单调性，进一步求得h x 的最小值，在研究h x 单调性的过程中，需要注意特殊点、端点，以及隐零点的讨论．命题点2　含参函数的最值17(2024·四川成都·模拟预测)已知函数f (x )=e x -12(a +1)x 2-bx (a ，b ∈R )没有极值点，则ba +1的最大值为()A.e2B.e 2C.eD.e 22【答案】B【分析】转化为f (x )=e x -1a +1x -b ≥0恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到b ≤1a +1+ln a +1 a +1，故b a +1≤ln a +1 +1a +12，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.【详解】函数f x =e x -12a +1x 2-bx 没有极值点，∴f (x )=e x -1a +1x -b ≥0，或f (x )≤0恒成立，由y =e x 指数爆炸的增长性，f (x )不可能恒小于等于0，∴f (x )=e x -1a +1x -b ≥0恒成立．令h x =e x -1a +1x -b ，则h x =e x -1a +1，当a +1<0时，h x >0恒成立，h x 为R 上的增函数，因为e x ∈0,+∞ 是增函数，-1a +1x -b ∈-∞,+∞ 也是增函数，所以，此时h (x )∈-∞,+∞ ，不合题意；②当a +1>0时，h x =e x -1a +1为增函数，由h x =0得x =-ln a +1 ，令h x >0⇔x >-ln a +1 ，h x <0⇔x <-ln a +1 ，∴h x 在-∞，-ln a +1 上单调递减，在-ln a +1 ，+∞ 上单调递增，当x =-ln a +1 时，依题意有h x min =h -ln a +1 =1a +1+ln a +1 a +1-b ≥0，即b ≤1a +1+ln a +1 a +1，∵a +1>0，∴ba +1≤ln a +1 +1a +12，令a +1=x (x >0)，u x =ln x +1x2x >0 ，则u x =x -ln x +1 ⋅2x x4=-2ln x +1x 3，令u x >0⇔0<x <1e ，令u x <0，解得x >1e，所以当x =1e 时，u x 取最大值u 1e=e2.故当a +1=1e，b =e 2，即a =e e -1，b =e 2时，b a +1取得最大值e 2.综上，若函数h x 没有极值点，则b a +1的最大值为e2.故选：B .【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0，通过构造函数，借助导数研究函数的最小值，从而得解.18(23-24高三下·重庆·阶段练习)若过点a ,b 可以作曲线y =ln x 的两条切线，则()A.b >ln aB.b <ln aC.a <0D.b >e a【答案】A【分析】设切点坐标为(x 0,y 0)，由切点坐标求出切线方程，代入坐标(a ,b )，关于x 0的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为(x 0,y 0)，由于y =1x ，因此切线方程为y -ln x 0=1x 0(x -x 0)，又切线过点(a ,b )，则b -ln x 0=a -x 0x 0，b +1=ln x 0+ax 0，设f (x )=ln x +ax，函数定义域是(0,+∞)，则直线y =b +1与曲线f (x )=ln x +a x 有两个不同的交点，f (x )=1x -a x 2=x -ax 2，当a ≤0时，f (x )>0恒成立，f (x )在定义域内单调递增，不合题意；当a >0时，0<x <a 时，f (x )<0，f (x )单调递减，x >a 时，f (x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (a )=ln a +1，结合图象可知b +1>ln a +1，即b >ln a .故选：A .19(2024·全国·模拟预测)函数f x =x +2 ln x +1 -ax 只有3个零点x 1，x 2，x 3x 1<x 2<x 3<3 ，则a +x 2的取值范围是．【答案】2,10ln23【分析】由题意对函数求导，为判断导数与零的大小关系，对导数再次求导求其最值，利用分类讨论思想，结合零点存在性定理，建立不等式组，可得答案.【详解】函数f x =x +2 ln x +1 -ax 的定义域为-1,+∞ ，则f x =ln x +1 +x +2x +1-a ．设g x =f x ，则g x =1x +1-1x +1 2=xx +1 2，所以当x ∈-1,0 时，g x <0，f x 单调递减，当x ∈0,+∞ 时，g x >0，f x 单调递增，所以f x ≥f 0 =2-a ．当2-a ≥0，即a ≤2时，f x ≥0，f x 单调递增，且f 0 =0，此时f x 只有1个零点，不满足题意；当2-a <0，即a >2时，由f1e a -1 =ln 1e a -1+1+1e a-1+21ea -1+1-a =e a +1-2a >0，f e a -1 =ln e a -1+1 +e a-1+2e a-1+1-a =1+1ea >0存在m ∈-1,0 ，n ∈0,+∞ ，使得f m =0，f n =0，当x ∈-1,m ∪n ,+∞ 时，f x >0；当x ∈m ,n 时，f x <0，所以f x 在-1,m 上单调递增，在m ,n 上单调递减，在n ,+∞ 上单调递增，又f 0 =0，易知f m >0，f n <0，由f1ea-1 =1ea-1+2 ln1ea-1+1-a1ea-1=-2ae -a <0，f e a -1 =e a -1+2 ln e a -1+1 -a e a -1 =2a >0，则f x 在-1,m ，n ,+∞ 上各有1个零点，此时满足题意.所以a >2，且x 2=0．由x 3<3，得f 3 =5ln4-3a >0，得a <10ln23．所以a +x 2的取值范围是2,10ln23．故答案为：2,10ln23.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对a 分a ≤2和a >2讨论，当a >2时，需要利用零点存在性定理证明其满足题意，再根据x 3<3，则f 3 =5ln4-3a >0，解出即可.4.2024·北京海淀·一模)已知函数f (x )=xe a -12x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )=f (x )+e -2a ,x ∈(0,+∞)存在最大值，求a 的取值范围.【答案】(1)f (x )的增区间为-∞,2 ，减区间为(2,+∞)(2)a ≥-1【分析】(1)对函数求导，得到f(x )=ea -12x 1-12x ，再求出f(x )>0和f(x )<0对应的x 取值，即可求出结果；(2)令h (x )=f (x )+e -2a ，对h (x )求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出h (x )的单调区间，进而得出h (x )在(0,+∞)上取值范围，从而将问题转化成2e a -1+e -2a ≥e -2a 成立，构造函数m (x )=e x -1+e -2x ，再利用m (x )的单调性，即可求出结果.【详解】(1)易知定义域为R ，因为f (x )=xe a -12x ，所以f(x )=e a -12x -12xe a -12x =e a -12x 1-12x ，由f (x )=0，得到x =2，当x <2时，f (x )>0，当x >2时，f (x )<0，所以，函数f (x )的单调递增区间为-∞,2 ，单调递减区间为2,+∞ .(2)令h (x )=f (x )+e -2a ，则h (x )=f (x )，由(1)知，函数f (x )的单调递增区间为-∞,2 ，单调递减区间为2,+∞ ，所以h (x )在x =2时取得最大值h (2)=2e a -1+e -2a ，所以当x >2时，h (x )=xe a -12x +e -2a >e -2a =h (0)，当0<x <2时，h (x )>h (0)，即当x ∈(0,+∞)时，h (x )∈h (0),h (2) ，所以函数g (x )=xea -12x +e -2a 在(0,+∞)存在最大值的充要条件是2e a -1+e -2a ≥e -2a ，即2e a -1+e -2a +e -2a 2=e a -1+e -2a ≥0，令m (x )=e x -1+e -2x ，则m (x )=e x -1+e -2>0恒成立，所以m (x )=e x -1+e -2x 是增函数，又因为m (-1)=e -2-e -2=0，所以m (a )=e a -1+e -2a ≥0的充要条件是a ≥-1，所以a 的取值范围为-1,+∞ .【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第(2)问，构造函数h (x )=xe a -12x +e -2a ，利用函数单调性得到x ∈(0,+∞)时，h (x )∈h (0),h (2) ，从而将问题转化成2e a -1+e -2a ≥e -2a ，构造函数m (x )=e x -1+e -2x ，再利用m (x )的单调性来解决问题【课后强化】基础保分练一、单选题1(2023·广西·模拟预测)函数f x =x 3+ax 在x =1处取得极小值，则极小值为()A.1B.2C.-2D.-1【答案】C【分析】求出函数f (x )的导数，利用极小值点求出a 值，再借助导数求出极小值作答.【详解】依题意，f x =3x 2+a ，因为函数f (x )在x =1处取得极小值，则f 1 =3+a =0，解得a =-3，此时f x =3x 2-3=3(x +1)(x -1)，当x <-1或x >1时，f (x )>0，当-1<x <1，时f (x )<0，因此函数f (x )在-∞,-1 ,1,+∞ 上单调递增，在(-1,1)上单调递减，所以函数f x =x 3-3x 在x =1处取得极小值f (1)=-2.故选：C2(2024·四川凉山·二模)若f x =x sin x +cos x -1，x ∈-π2,π ，则函数f x 的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.【详解】f x =sin x +x cos x -sin x =x cos x ,当x ∈-π2,0 时，f x <0，f x 单调递减，当x ∈0,π2 时，f x >0，f x 单调递增，当x ∈π2,π 时，f x <0，f x 单调递减，又f -π2 =π2-1>0，f 0 =0，f π2 =π2-1>0，f π =-2<0，则f x =x sin x +cos x -1的草图如下：由图象可得函数f x 的零点个数为2.故选：C .3(2024·黑龙江哈尔滨·一模)在同一平面直角坐标系内，函数y=f x 及其导函数y=f x 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为0,1，则()A.函数y=f x ⋅e x的最大值为1B.函数y=f x ⋅e x的最小值为1C.函数y=f xe x的最大值为1 D.函数y=f xe x的最小值为1【答案】C【分析】AB选项，先判断出虚线部分为y=f x ，实线部分为y=f x ，求导得到y=f x ⋅e x在R上单调递增，AB错误；再求导得到x∈(-∞,0)时，y=f(x)e x单调递增，当x∈(0,+∞)时，y=f(x)e x单调递减，故C正确，D错误.【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为y=f x ，实线部分为y=f x ，故y =f x ⋅e x+f x ⋅e x=f x +f x⋅e x>0恒成立，故y=f x ⋅e x在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，y =f (x)e x-f(x)e xe x2=f (x)-f(x)e x，由图像可知x∈(-∞,0)，y =f (x)-f(x)e x>0恒成立，故y=f(x)e x单调递增，当x∈(0,+∞)，y =f (x)-f(x)e x<0，y=f(x)e x单调递减，所以函数y=f(x)e x在x=0处取得极大值，也为最大值，f0e0=1，C正确，D错误.故选：C4(2024·陕西安康·模拟预测)已知函数f x =ae2x+be x+2x有2个极值点，则()A.0<a<b216B.b>0C.a<4bD.b>2a【答案】A【分析】求出函数的导函数，令t=e x，依题意可得关于t的方程2at2+bt+2=0有两个不相等的正实根t1、t2，则2a≠0Δ>0t1+t2>0t1t2>0，即可判断.【详解】函数f x =ae2x+be x+2x的定义域为R，且f x =2ae2x+be x+2，依题意f x =0有两个不相等实数根，令t=e x，则关于t的方程2at2+bt+2=0有两个不相等的正实根t1、t2，所以2a ≠0Δ=b 2-16a >0t 1+t 2=-b 2a >0t 1t 2=1a >0，所以0<a <b216，b <0.故选：A5(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =a sin x +cos xe x+x 在0,π 上恰有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.0,22e π4B.-∞,e πC.0,e πD.22e π4,+∞【答案】D【分析】函数f x 在0,π 上恰有两个极值点，fx 在0,π 上有两个变号零点，分离常数得a =e x 2sin x，转化为两函数图象有两个不同的交点，利用数形结合思想进行求解；或直接求函数f x 的单调性，求图象在0,π 上与x 轴有两个交点的条件.【详解】解法一：由题意可得f x =-2a sin xex+1，因为函数f x 在0,π 上恰有两个极值点，所以f x 在0,π 上有两个变号零点．令fx =-2a sin x e x+1=0，可得a =e x 2sin x ，令g x =e x 2sin x ,x ∈0,π ，则直线y =a 与函数y =g x ，x ∈0,π 的图象有两个不同的交点，g x =2e x sin x -cos x 2sin x 2=22e x sin x -π4 2sin x 2，当x ∈π4,π 时，g x >0，所以g x 在π4,π 上单调递增，当x ∈0,π4 时，g x <0，所以g x 在0,π4上单调递减，又g π4 =22e π4，当x 趋近于0时，g x 趋近于+∞，当x 趋近于π时，g x 趋近于+∞，所以可作出g x 的图象如图所示，数形结合可知a >22e π4，即实数a 的取值范围是22e π4,+∞，故选：D ．解法二 由题意可得f x =-2a sin xex+1．因为函数f x 在0,π 上恰有两个极值点，所以f x 在0,π 上有两个变号零点．当a ≤0时，f x >0在0,π 上恒成立，不符合题意．当a >0时，令h x =fx =-2a sin x e x +1，则hx=22a sin x -π4 e x，当x ∈π4,π 时，h x >0，h x 单调递增，当x ∈0,π4时，h x <0，h x 单调递减，因为h 0 =h π =1，h π4 =1-2a e π4，所以h π4 =1-2a eπ4<0，则a >22e π4，即实数a 的取值范围是22e π4,+∞，故选：D ．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.二、多选题6(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =ae x +bx在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则()A.ab >0B.b a ≤4e2C.4a -be 2>0 D.对于任意非零实数a ，总存在实数b 满足题意【答案】AD【分析】根据给定条件，分类讨论，逐项判断即可.【详解】由题意，得f x =ae x-b x 2=ax 2e x -b x 2.令f x =0，得x 2e x =b a .令g x =x 2e x ，则g x =x x +2 e x .当x ∈-∞,-2 ∪0,+∞ 时，g x >0，此时g x 单调递增；当x ∈-2,0 时，g x <0，此时g x 单调递减.∵g -2 =4e 2,g 0 =0，当x →-∞时，g x →0，∴当0<b a <4e2时，f x 在定义域内既存在极大值点又存在极小值点.故A 正确，B 不正确.当a <0时，由0<b a <4e2知，当b <0时，4a -be 2<0，故C 不正确.对于任意非零实数a ，总存在实数b ，使得0<b a <4e2成立，故D 正确.故选：AD .7(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【分析】计算数列首项及第二项可判定A ，利用等差数列的定义及S n ,a n 的关系可判定C ，从而求出S n 的通项公式结合基本不等式、函数的单调性可判定B 、D .【详解】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n ≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确.故选：BCD 三、填空题8(2024·上海黄浦·二模)如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段CE ,DF 与分别以OC ,OD 为直径的半圆弧组成)表示一条步道.其中的点C ,D 是线段AB 上的动点，点O 为线段AB ,CD 的中点，点E ,F 在以AB 为直径的半圆弧上，且∠OCE ,∠ODF 均为直角.若AB =1百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】π2+42【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接AE ,BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接AE ,BE ，显然∠AEB =90°，由点O 为线段AB ,CD 的中点，得两个半圆步道及直道CE ,DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则AC =12-x ,BC =12+x ，又CE ⊥AB ，则Rt △ACE ∽Rt △ECB ，有CE 2=AC ⋅BC ，即有DF =CE =14-x 2，因此步道长f (x )=214-x 2+πx =1-4x 2+πx ，0<x <12，求导得f (x )=-4x 1-4x 2+π，由f(x )=0，得x =π2π2+4，当0<x <π2π2+4时，f (x )>0，函数f (x )递增，当π2π2+4<x <12时，f(x )<0，函数f (x )递减，因此当x =π2π2+4时，f (x )max =1-4π2π2+42+π22π2+4=π2+42，所以步道的最大长度为π2+42百米.故答案为：π2+429(2023·江西赣州·模拟预测)当x =0时，函数f x =ae -x +bx 取得极小值1，则a +b =.【答案】2【分析】求导函数f x =-ae -x +b ，根据f (0)=a =1f (0)=-a +b =0求得a ,b 的值，检验极值点后可得a +b 的值.【详解】函数f x =ae -x +bx ，则f x =-ae -x +b 当x =0时，函数f x =ae -x +bx 取得极小值1，所以f (0)=a =1f (0)=-a +b =0，解得a =1,b =1，所以f x =-e -x+1=e x -1ex ，则函数在x ∈-∞,0 时，f x <0，函数单调递减；在x ∈0,+∞ 时，f x >0，函数单调递增；符合x =0是函数的极值点；故a +b =2.故答案为：2.四、解答题10(2023·河南洛阳·一模)已知函数f x =12x 2+1x +12．(1)求f x 的图像在点2,f 2 处的切线方程；(2)求f x 在12,2上的值域．【答案】(1) 7x -4y -2=0；(2)2,3 ．【分析】(1)把点2,f 2 代入函数解析式，得切点坐标，通过求导，得到切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．(2)解不等式f x >0，得函数增区间，解不等式f x <0，得函数减区间，结合x ∈12,2，确定函数单调性，求得最值，进而得出f x 在12,2上的值域．【详解】(1)因为f x =12x 2+1x +12，所以f x =x -1x2，所以f 2 =3，f 2 =74，故所求切线方程为y -3=74x -2 ，即7x -4y -2=0．(2)由(1)知f x =x 3-1x 2=x -1 x 2+x +1 x 2，x ∈12,2 ．令f x >0，得1<x ≤2；令f x <0，得12≤x <1．所以f x 在12,1上单调递减，在1,2 上单调递增，所以f x min =f 1 =2．又f 12 =218，f 2 =3，因为f 2 >f 12，所以2≤f x ≤3，即f x 在12,2上的值域为2,3 ．11(2024·上海静安·二模)已知k ∈R ，记f (x )=a x +k ⋅a -x (a >0且a ≠1)．(1)当a =e (e 是自然对数的底)时，试讨论函数y =f (x )的单调性和最值；(2)试讨论函数y =f (x )的奇偶性；(3)拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数y =f (x )的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数y =f (x )的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．(不必证明)【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)①当k <0时，函数y =f (x )有对称中心12log (-k ),0，理由见解析；②答案见解析.【分析】(1)当a =e 时，求得f (x )=e x -k ⋅e -x ，分k ≤0和k >0，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；(2)根据题意，分别结合f (-x )=f (x )和f (-x )=-f (x )，列出方程求得k 的值，即可得到结论；(3)根据题意，得到当k <0时，函数y =f (x )有对称中心12log (-k ),0 ，且k <0时，对于任意的x ∈R ，都有-x ∈R ，并且f (log a (-k )-x )=-f (x )．【详解】(1)解：当a =e 时，函数f (x )=e x +k ⋅e -x ，可得f (x )=e x -k ⋅e -x ，若k ≤0时，f (x )>0，故函数y =f (x )在R 上单调递增，函数y =f (x )在R 上无最值；若k >0时，令f (x )=0，可得x =12ln k ，当x ∈-∞,12ln k 时，f x <0，函数y =f (x )在-∞,12ln k 上为严格减函数；当x ∈12ln k ,+∞ 时，f x >0，函数y =f (x )在12ln k ,+∞ 上为严格增函数，所以，当x =12ln k 时，函数取得最小值，最小值为f 12ln k =2k ，无最大值．综上：当k ≤0时，函数f (x )在R 上无最值；当k >0时，最小值为2k ，无最大值．(2)解：因为“y =f (x )为偶函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有f (-x )=f (x )”即对于任意的x ∈R ，都有-x ∈R ，并且a x +k ⋅a -x =a -x +k ⋅a x ；即对于任意的x ∈R ，(k -1)(a x -a -x )=0，可得k =1，所以k =1是y =f (x )为偶函数的充要条件．因为“y =f (x )为奇函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有f (-x )=-f (x )”，即对于任意的x ∈R ，都有-x ∈R ，并且-a x -k ⋅a -x =a -x +k ⋅a x ，即对于任意的x ∈R ，(k +1)(a x +a -x )=0，可得k =-1，所以k =-1是y =f (x )为奇函数的充要条件，当k ≠±1时，y =f (x )是非奇非偶函数.(3)解：①当k <0时，函数y =f (x )有对称中心12log (-k ),0，当k <0时，对于任意的x ∈R ，都有-x ∈R ，并且f (log a (-k )-x )=-f (x )．证明：当k <0时，令f (x )=0，解得x =12log a (-k )为函数y =f (x )的零点，由f (x )=a x +k ⋅a -x ，。

导数极值最值问题
摘要：
1.导数极值最值问题的概念
2.求解导数极值最值问题的方法
3.导数极值最值问题在实际问题中的应用
正文：
一、导数极值最值问题的概念
导数极值最值问题是微积分中的一个重要问题，主要涉及到函数在某一特定区间内的极值和最值。

极值是指函数在该区间内的局部最大值或最小值，而最值则是指函数在该区间内的全局最大值或最小值。

求解导数极值最值问题，可以帮助我们更好地理解函数在某一特定区间内的变化规律，并为解决实际问题提供理论依据。

二、求解导数极值最值问题的方法
求解导数极值最值问题的方法主要包括以下几个步骤：
1.确定函数的定义域：首先，我们需要明确函数的定义域，即函数可以取值的区间。

2.求导：其次，我们需要求出函数的导数，以研究函数在定义域内的变化规律。

3.确定临界点：然后，我们需要找出函数的临界点，即导数为零的点。

这些点可能是函数的极值点或拐点。

4.判断极值：接着，我们需要通过二阶导数检验，判断临界点是极值点还是拐点。

5.比较极值与端点值：最后，我们将函数在区间内的极值与端点值进行比较，得出函数在该区间内的最值。

三、导数极值最值问题在实际问题中的应用
导数极值最值问题在实际问题中有广泛的应用，例如经济学中的成本最大化、物理学中的速度问题等。

通过求解导数极值最值问题，我们可以找到函数的极值和最值，从而为实际问题的解决提供理论依据。

总之，导数极值最值问题是微积分中的一个重要问题，涉及到函数在某一特定区间内的极值和最值。

第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以.试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.5.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是()【答案】D【解析】若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则易得a＝c.∵选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，其中a≠0，则[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝a(x＋1)·(x＋3)e x，∴x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴x＝－>0，且开口向下，∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b<0，也满足条件；选项D中，对称轴x＝－<－1，且开口向上，∴a>0，b>2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图像矛盾，故选D.6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xe x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．7.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．8.如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（Ⅰ）求函数的解析式及的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）当时，函数取得最大值8.【解析】（Ⅰ）确定三角形面积，主要确定底和高.（Ⅱ）应用导数研究函数的最值，遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数正负，比较极值与区间端点函数值”.利用“表解法”形象直观，易以理解.试题解析：（Ⅰ）由已知可得，所以点的横坐标为, 2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以， 4分所以所以的面积为. 6分（Ⅱ） 7分由，得（舍）,或. 8分函数与在定义域上的情况如下：2+↘12分所以当时，函数取得最大值8. 13分【考点】三角形面积，应用导数研究函数的最值.9.设.（1）若时，单调递增，求的取值范围；（2）讨论方程的实数根的个数.【答案】(1)；（2）见解析.【解析】(1)求出函数导数，当时，单调递增，说明当时，，即在恒成立，又函数在上递减，所以；（2）将方程化为，令，利用导数求出的单调区间，讨论的取值当时，，当时，，所以当时，方程无解，当时，方程有一个根，当时，方程有两个根.试题解析：（1）∵∴∵当时，单调递增∴当时，∴,，函数在上递减∴（2）∴令当时∵∴即在递增当时∵∴即在递减∵当时当时∴①当时，方程无解②当时，方程有一个根③当时，方程有两个根【考点】利用导数求函数最值、利用导数研究函数取值、函数和方程思想.10.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值11.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。

高三数学利用导数求最值和极值试题1. 函数f(x)＝x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．【答案】3【解析】f′(x)＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )． A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[，2) D ．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得又a >0，解得<a <2，故选D.3. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ，因为在上有极值，所以【考点】有解，，即，，所以],故选B.【考点】1.函数的导数；2.向量的数量积以及向量的夹角.4. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】①当时，不等式对任意实数恒成立；②当时，不等式可变形为，由不等式的解集为，且设，令，解得． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由此可知，当时，函数取得极小值，也即最小值，且．．故选A．【考点】利用导数研究函数的极值5.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系6.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.7.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.8.已知且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（）A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】D【解析】,函数在处取得极大值，在处取得极小值，由知函数有3个零点，则有，即解得，即，，所以，.【考点】1.函数的极值；2.函数的零点.9.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，.【考点】考查函数的零点.10.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.11.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是_______________【答案】或；【解析】本试题主要是考查了一元三次函数的极值问题的运用。

完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。

二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。

题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。

方法技巧专题12 函数单调性、极值、最值与导数问题解析篇【一】判断函数单调性1.例题【例1】已知函数()xf x ax e =-判断函数()f x 的单调性。

【解析】由题意可求，()´xf x a e =-1.当0a ≤时，()()´0,f x f x <在R 上为减函数；2.当0a >时，令()´0f x >，解得x lna <, 令()´0f x <，解得x lna > 于是()f x 在(,ln ]a -∞为增函数，在[ln ,)a +∞为减函数；【例2】已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R ，讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间． 【解析】()222121()1(1)(1)a f x x ax x x x x +'=-=-+++，设g (x )＝x 2－ax ＋1， ∵x ＞0，∴①当a ＜0时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；②当a ＞0时，222()1124a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-⎪⎝⎭. 当1－24a ≥0，即0＜a ≤2时，g (x )＞0，f ′(x )＞0在x ∈(0，＋∞)上恒成立，此时函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞2时，方程g (x )＝0的两根分别为12,22a a x x +==，且0＜x 1＜x 2， ∴当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(0，x 1)上单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，故函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(x 2，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤2时，函数f (x )的单调增区间为(0)∞，＋，没有减区间；当a ＞2时，函数f (x )的减区间为12()x x ，；增区间为(0，x 1)，(x 2，＋∞)．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数()xf x e =，()()210g x ax x a =++>.设()()()g x F x f x =，讨论函数()F x 的单调性；【解析】因为2()1()()xg x ax x F x f x e++==， 所以221(21)'()xx a ax x ax a x a F x e e -⎛⎫-- ⎪-+-⎝⎭==， ①若12a =，2'()0xax F x e-=≤.∴()F x 在R 上单调递减. ②若12a >，则210a a->， 当0x <，或21a x a ->时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >，∴()F x 在(,0)-∞，21,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.③若102a <<，则210a a-<， 当21a x a -<，或0x >时，'()0F x <，当210a x a-<<时，'()0F x >. ∴()F x 在21,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递减，在21,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 【练习2】已知x ax x x ax x f +--=2221ln )()(，求)(x f 单调区间. 【解析】该函数定义域为），（∞+0（第一步：对数真数大于0求定义域）令x ax x f ln 12)('）（-=，解得121,12x x a==（第二步，令导数等于0，解出两根21,x x ） （1）当0≤a 时，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减 （第三步，1x 在不在进行分类，当其不存在得到0≤a ；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121=a 时即21=a '(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增， （第五步，x 1在区间时，进行比较大小，当21x x =得到21=a 第四步图像判断正负）①当1210<<a 时，即21>a'1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a∈<单调减（当21x x <得到21>a ；第四步图像判断正负）②当121>a 时，即210<<a'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a∈<单调减（21x x >得到210<<a ；第四步图像判断正负）综上可知：0≤a ，'(0,1),()0,()x f x f x ∈>单调增，'(1,),()0,()x f x f x ∈+∞<单调减；21=a ，'(0,),()0,()x f x f x ∈+∞>单调增 21>a '1(0,),(1,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[,1],()0,()2x f x f x a ∈<单调减210<<a ，'1(0,1),(,)()0,()2x x f x f x a ∈∈+∞>单调增，'1[1,],()0,()2x f x f x a ∈< 单调减【二】根据单调性求参数 1.例题【例1】（1）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是 . （2）函数()()2244xf x exx =--在区间()1,1k k -+上不单调，实数k 的范围是（ ）（3）若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为 .（4）若函数()2ln f x ax x x =+-存在增区间，则实数a 的取值范围为 .【解析】（1）因为函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调减区间为(],1a -∞-，又函数()f x 在区间(],4-∞上是减函数，则(],4-∞⊆(],1a -∞-，则14a -≥，解得：3a ≤-， （2）()()2244xf x exx =--，()()228x f x e x '∴=-，令()0f x '=，得2x =±. 当2x <-或2x >时，()0f x '>；当22x -<<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =的极大值点为2-，极小值点为2.由题意可得121k k -<-<+或121k k -<<+，解得31k -<<-或13k <<. （3）由2450x x -++>，即2450x x --<，解得15x -<<. 二次函数245y x x =-++的对称轴为2x =.由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5．要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增， 则()()32,22,5m m -+⊆，即32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得423m ≤<.（4）若函数()f x 不存在增区间，则函数()f x 单调递减， 此时()1210f x ax x'=+-≤在区间()0,∞+恒成立， 可得2112a x x ≤-，则22111111244x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，可得18a ≤-，故函数存在增区间时实数a 的取值范围为1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【例2】已知函数32()3()f x ax x x x =+-∈R 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,-+∞ B ．()()3,00,-+∞C ．()(),00,3-∞ D ．[)3,-+∞【解析】（1）2'()361f x ax x =+-，∴()f x 有三个单调区间，∴036120a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，解得3a >-且0a ≠．故选B ．2.巩固提升综合练习 【练习1】函数321()3f x ax x a =-+在[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．2a >D ．2a ≥【答案】D【解析】由题意得：()22f x ax x '=-()f x 在[]1,2上单调递增等价于：()0f x '≥在[]1,2上恒成立即：220ax x -≥ 222x a x x∴≥=当[]1,2x ∈时，22x≤ 2a ∴≥本题正确选项：D【练习2】已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1（a ∈R ）在(−23,−13)内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,√3] B ．(−∞,√3] C ．(√3,+∞) D ．(√3,3)【答案】C【解析】f ′(x )=3x 2+2ax +1 假设f(x) 在(−23,−13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x) 在(−23,−13)内递增，即有x ∈ (−23,−13)时不等式f ′(x )=3x 2+2ax +1≥0恒成立，即x ∈ (−23,−13)时，a ≤−32x −12x =−32(x +13x)恒成立，解得a ≤√3，所以函数f(x) 在(−23,−13)内存在单调递减区间，实数a 的取值范围是(√3,+∞)故选C【练习3】若函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B【解析】22222122(2)(1)()ln '()1(0)x x x x f x x x f x x x x x x x+-+-=++⇒=+-==> 1x ≥单调递增，01x <<单调递减.函数2()ln f x x x x=++在区间[],2t t +上是单调函数 区间[],2t t +上是单调递减不满足只能区间[],2t t +上是单调递增. 故1t ≥故答案选B【三】函数的极值问题1.例题【例1】(1)函数3()12f x x x =-的极大值点是_______，极大值是________。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值4.若函数在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，3)B．(－∞，3)C．(0，+∞)D．【答案】D 【解析】∵，且f(x)在(0，1)内有极小值． ∴．5. 已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则的值等于( ) A ．B ．C ．D ．1【答案】D ． 【解析】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．，当，即时，，在上单调递增；当，即时，，在上单调递减．当时，取最大值，故选D ．【考点】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．6. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式； （2）求W 的最小值及相应的角α． 【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分 （2）W． 设，则． 11分令得，即，得．列表+0所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.7.已知函数.（1）若在处取得极大值，求实数的值；（2）若，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】(1) 本小题首先利用导数的公式和法则求得原函数的导函数，通过列表分析其单调性，进而寻找极大值点；(2) 本小题结合（1）中的分析可知参数的取值范围影响函数在区间上的单调性，于是对参数的取值范围进行分段讨论，从而求得函数在区间上的单调性，进而求得该区间上的最大值.试题解析：（1）因为令，得，所以，随的变化情况如下表：↗↘↗(2)因为所以当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递减在时，，单调递增又，当时，在取得最大值当时，在取得最大值当时，在，处都取得最大值0. 14分综上所述，当或时，取得最大值当时，取得最大值当时，在，处都取得最大值0当时，在取得最大值.【考点】1.导数公式；2.函数的单调性；3.分类讨论.8.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系9.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.10.已知函数（1）当时，求函数在上的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、极值和最值、不等式等基础知识，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入，得到解析式，对它求导，列出表格，通过单调性，判断极值；第二问，证明不等式转化为求函数的最小值大于0；第三问，利用第二问的结论，令，利用放缩法得到，再利用对数的性质和裂项相消法求和，得到所证不等式.试题解析：（1）当时，1分变化如下表+00+极大值， 4分（2）令则 6分∴在上为增函数。

1 / 33高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题9导数-极值、最值问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 3．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．1．已知函数32()6f x x x ax =-+的图象经过点()2,2A ． （1）设t R ∈，讨论()f x 在(),t +∞上的单调性；（2）若()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，求m 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）⎡⎢⎣⎦．【分析】（1）求出函数解析式，求导数，对t 分类讨论即可求解；（2）根据（1）只需满足()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩即可求解．【解析】（1）因为()22162f a =-=，所以9a =，32()69f x x x x =-+，()()()2'()343331f x x x x x =-+=--，当1x <或3x >时，'()0g x >，当13x <<时，)'(0g x <，所以：①当1t <时，()f x 在(),1t 和()3,+∞上递增，在()1,3上递减；3 / 33②当13t ≤<时，()f x 在(),3t 上递减，在()3,+∞上递增； ③当3t ≥时，()f x 在(),t +∞上递增；（2）因为()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，所以由（1）可得()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩，解得1m ≤≤故m的取值范围为⎡⎢⎣⎦．2．已知函数()x xf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设存在[)01,x ∈+∞，使得()()30003f x a x x <-+成立，求正实数a 的取值集合A ；（2）若a A ∈，比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六）【答案】（1）1,2e e ∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）答案见解析． 【分析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值()10g <，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数()()1ln 1h x x e x =---，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．【解析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+， 则()()2131x x g x e a x e +'=--．当1x 时，210,10x xe x e->-， 又0,a >故()0g x '>,所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞的最小值是()112.g e e a -=+- 由于存在[)01,,x ∞∈+使()0030030x x e e a x x -+--+<成立,当且仅当最小值()10.g <故120,e e a -+-<即1,2e e a -+>则1,.2e e A ∞-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（2）令函数()()1ln 1,h x x e x =---则()11e h x x-=-'． 令()0,h x '=得1x e =-，当()0,1x e ∈-时(),0,h x '<故()h x 是()0,1e -上的单调减函数． 当()1,x e ∞∈-+时(),0,h x '>故()h x 是()1,e -+∞上的单调增函数 所以()h x 在()0,∞+上的最小值是()1h e -．注意到()()10h h e ==， 所以当()()1,10,1x e e ∈-⊆-时()()(),110.h e h x h -<<= 当()()1,1,x e e e ∞∈-⊆-+时()(),0h x h e <=, 所以()0h x <对任意的()1,x e ∈成立．①当()1,1,2e e a e e -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时(),0,h a <即()11ln ,a e a -<-从而11;a e e a --< ②当a e =时11,a e e a --=；③当()(),1,a e e ∞∞∈+⊆-+时()(),0,h a h e >=即()11ln a e a ->-，故11a e e a -->.综上所述，当1,2e e a e -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时11,;a e e a --<当a e =时11,a e e a --=；当(),a e ∈+∞时，11a e e a -->．【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．已知函数21()ln 21()-=--+∈a f x x ax a R x． （1）当104a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数2121()()2a g x x f x x-=++，当||1a >时，若函数()g x 的极大值点为1x ，证明：2111ln 1->-x x ax ．5 / 33【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先求出2(1)(221)()x ax a f x x-+-'=-，再对a 分类讨论得到函数()f x 的单调性； （2）通过分析得到21112x a x +=，所以2311111111122x lnx ax x x x lnx -=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，再利用导数证明()1h x >-即得证．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2221212(21)(1)(221)()2a ax x a x ax a f x a x x x x -----+-'=-+=-=-， ①当0a =时，21()x f x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ②当104a <<时，由()0f x '=，解得11x =，2112x a=-， 此时11102a->>， ∴当(0,1)x ∈，1[12a-，)+∞时，()0f x '，函数()f x 单调递减， 当[1x ∈，11)2a-，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 综上所述，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在[1，)+∞上单调递增， 当104a <<时，()f x 在(0,1)，1[12a -，)+∞时，单调递减，在[1∈，11)2a -，单调递增．（2）221211()()2122a g x x f x x ax lnx x -=++=-++， 2121()2x ax g x x a x x-+∴'=-+=，当||1a >时，即1a >或1a <-时，令()0g x '=，则2210x ax -+=的两个根为1x ，2x ， 函数()g x 的极大值点为1x ，120x x ， 又121=x x ，122x x a +=，1a ∴>，101x <<，由1()0g x '=，可得211210x ax -+=，则21112x a x +=，3231111111111111222x x x lnx ax x lnx x x x lnx +∴-=-=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，231()22x h x lnx ∴'=-++， 2113()3x h x x x x-∴''=-+=，(0,1)x ∈，当03x <<时，()0h x ''>，当13x <<时，()0h x ''<，()h x ∴'在上单调递增，在，1)上单调递减，3()()03h x h ∴''=-，()h x ∴在(0,1)上单调递减， ()h x h ∴>（1）1=-，故21111x lnx ax ->-．【名师点睛】在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数（一般导函数是超越函数）的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题． “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径．利用二次求导解题时，要注意“导下去，看正负；倒回来，看图象”，“导下去，看正负”指一直对函数求导，直到你能确定导数的正负，确定前面函数的单调区间为止，才停止求导；“倒回来，看图象”指的是根据导数求出对应函数的单调性，再求出端点函数值、拐点值等，画出原函数的图象，逐步分析得到最初的函数的单调性． 4．已知函数()2x x f x e e =-，()2ln 2ag x x x x x =-- （1）求()f x 的极值；（2）若()1,x ∈+∞时，()f x 与()g x 的单调性相同，求a 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮优化提升高考数学复习考点知识与题型专题讲解7 / 33专题训练（新高考地区专用）【答案】（1）极小值()11f e=，无极大值；（2）0a ≤．【分析】（1）根据函数的极值的概念可求得结果；（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增，所以()g x 在()1,+∞单调递增，利用导数转化为ln xa x≤在()1,+∞恒成立，构造函数()ln xp x x=，()1,x ∈+∞，利用导数求出()p x 的值域即可得解． 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()1x x f x e-'=，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．所以()f x 有极小值()11f e=，无极大值．（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．则()g x 在()1,+∞单调递增，即()1ln 1ln 0g x x ax x ax '=+--=-≥在()1,+∞恒成立，即ln x a x ≤在()1,+∞恒成立，令()ln x p x x =，()1,x ∈+∞；()21ln xp x x -'=， 所以当()1,x e ∈时，()0p x '>；当(),x e ∈+∞时，()0p x '<，所以()p x 在()1,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，又()1,x ∈+∞时，()0p x >，所以()10,p x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以0a ≤．【名师点睛】将函数在指定区间上的单调性转化为导函数的不等式恒成立是解题关键．5．已知函数()()2,ln f x ax g x x ==（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与yg x 有两条公切线，求a 的取值范围．【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【分析】（1）由导数得出函数()F x 的单调性，进而得出最值；（2）由题意得出当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，构造函数()2ln xh x x =，利用导数得出其最大值，从而得出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-()()212120x F x x x x x -'=-=>，令()0F x '=且0x >可得x =()02F x x '>⇒>，()002F x x '<⇒<<即函数()F x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增min11ln 2ln 22221122F F =--⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由函数()f x 和()g x 的图象可知: 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x >在0,上恒成立设()2ln x h x x =，()312ln xh x x -'=令()312ln 0,x h x x x-=='=()()000x h x h x x >⇒<<<⇒'>'即函数()h x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减即max 12h he ==，因此，12a e >【名师点睛】解决本题的关键在于利用导数得出函数的单调性，进而得出最值．6．已知函数()()2sin 10f x x x =->，()5sin 3g x x x =-+． （1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()g x f x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月）9 / 33【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导函数()'f x ，由()'f x 确定单调性，得极小值也即为最小值． （2）不等式()()g x f x >化为3sin 40x x -+．引入函数()3sin 4x x x ϕ=-+()ϕx 的最小值即可证明．【解析】（1）()2cos f x x '，令()0f x '=，得cos x =，故在区间[]0,π上，()f x '的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >时，5sin 32sin 1x x x -+-， 即证：当0x >3sin 40x x -+． 令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0x ϕ'<， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()()g x f x >．【名师点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式．解题方法是不等式变形后，引入新函数，利用导数求得新函数的最值，从而得证不等式成立．7．已知函数12()()sin f x x m x =--，其中14m <-．（1）当1m =-时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点．【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考 【答案】（1）220x y +-=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程．（2）令()()cos g x f x x '==-，可证()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在定理可得()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点，结合其()g x '在该零点附近的符号可证()'f x 的单调性，结合零点存在定理可证()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点． 【解析】（1）当1m =-时，12()(1)sin f x x x =+-，则()cos f x x '=-， 所以1(0)2f '=-，又(0)1f =，所以所求切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．（2）由题意得，()cos f x x '=-．令()cos g x x =-，则321()sin 4()g x x x m '=-+-，因为3214()y x m =--和sin y x =均在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()'g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，11 / 33 又3214)0)(0(g m --'=<，32110242g m ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g t '=， 则当()00,x t ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 又14m <-，则14m ->12>，即1>，2>，所以(0)10g =-<，1032g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，02g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x =-=， 所以当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，函数()f x 单调递减； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极小值点0x ． 【名师点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算．8．已知函数()()()ln x f x e x m x m x =-+++，2m ≤．（1）若直线:1l y x =+是函数()f x 的切线，求m 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明．【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试【答案】（1）1m =；（2）单调递增函数，证明见解析．【分析】（1）设切点的坐标为(),n t ，求出()f x '，根据直线l 与函数()f x 的图象相切可得出关于t 、m 、n 的方程组，解出这三个未知数的值即可；（2）利用导数证得()()1ln 2ln x e x x x m ≥+≥+≥+，从而可得出()0f x '≥，即可得出结论．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(),m -+∞．对函数()f x 求导可得()()ln x f x e x m -'=+．设直线l 关于函数()f x 的切点为(),n t ，则有()()()1ln ln 1n n t n t e m n m n n e m n ⎧=+⎪=-+++⎨⎪-+=⎩，解方程组可得1m =，0n =，1t =；（2）由第（1）问可得()()ln x f x e x m -'=+，令()()1x g x e x =-+，则()1x g x e '=-．可知当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>．即()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，于是有()()()100x g x e x g =-+≥=，即有1x e x ≥+恒成立．构造函数()()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'． 可知当()2,1x ∈--时，()0h x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0h x '>．即()h x 在()2,1--上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，于是有()()()()1ln 210h x x x h =+-+≥-=，即有()ln 21x x +≤+恒成立．当2m ≤时，()()ln ln 21x m x x +≤+≤+成立．综上可得()1ln x e x x m ≥+≥+，即有()0f x '≥恒成立，故函数()f x 为单调递增函数．【名师点睛】本题考查切线的定义，利用待定系数法求参数，利用放缩法证明函数的单调性．该题的本质构造了两个函数x y e =、()ln 2y x =+的公切线1y x =+，并分别与其进行对比，以得到比较的目的．13 / 339．设函数()1()x x a a f x e -=+>． （1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值．【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由题意得()ln x x f x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln x x ae a ae a==． 因为1a >，所以1ln 0a >，所以1log ln ae x a =． 当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减． 因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值． （2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一， 因为ln (1)a f e a'-=-．令()ln a g a a =，则()21ln 0a a g a '-==，得a e =． 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增，所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10a f ae '-=-<． 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>．又()1ln 1a e f a '=-．因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>． 当2a ≥时，()10f '>．即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-．所以n m -的最小值为2．【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是利用导数结合零点存在性定理得出()10f '-<，()10f '>，得出,m n 的可能值．10．已知函数()x f x e ax =-，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 在[0,1]上的单调性；（2）若函数()()ln(1)cos g x f x x x =++-，则是否存在实数a ，使得函数()g x 在0x =处取得极小值？若存在，求出a 值；若不存在，说明理由．【试题来源】广东省广州市天河区2021届高考二模【答案】（1）答案见详解；（2）存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值【分析】（1）求出导函数，讨论1a ≤、1a e <<或a e ≥，结合函数的单调性与导数之间的关系进行求解即可．（2）求出()1sin 1x g x e a x x '=-+++，根据极值的定义可得()020g a '=-=，得出2a =，再证明充分性，利用导数证明当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递增；再构造函数令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，证明当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递减．【解析】（1）由()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，因为[0,1]x ∈，则[]1,x e e ∈，当1a ≤时，()0x f x e a '=-≥，函数在[0,1]上单调递增；当1a e <<时，令()0x f x e a '=-≥，解得ln ≥x a ，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <，即函数在[]ln ,1a 上单调递增，在[)0,ln a 上单调递减；当a e ≥时，()0x f x e a '=-≤，函数在[0,1]上单调递减；（2）()()()ln(1)cos cos ln 1x g x f x x x e ax x x =++-=--++，15 / 33()1sin 1x g x e a x x '=-+++， 显然0x =是函数()g x 的极小值点的必要条件为()020g a '=-=，即2a =，此时()1sin 21x g x e x x '=++-+，显然当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()11sin 21sin 2sin 011x g x e x x x x x x '=++->+++->>++， 当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()22311131122x x x x x ⎛⎫+-+=++> ⎪⎝⎭， 故213112x x x <-++，令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则()202x x m x e -'=-≤，故()m x 是减函数， 故当0x <时，()()01m x m >=，即212xx e x <++， 令()1sin 2h x x x =-，则()1cos 2h x x '=-， 当10x -<<时，()1cos102h x '>->，故()h x 在()1,0-上单调递增， 故当10x -<<时，()()00h x h <=，即1sin 2x x <， 故当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1sin 21x g x e x x '=++-+ 2223112202222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≤+++-+-+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，当2a =时，0x =是()g x 的极小值点，即充分性也成立，综上，存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解题的关键是结合函数的单调性、极值和导数之间的关系进行构造函数，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，考查了化归与转化思想，综合性比较强．11．已知数列()*11nn a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ． （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值．【试题来源】山东省淄博市2021届高三一模考试【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-． 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立．（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值．【解析】（1）要证()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数：只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+，17 / 33 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立， 其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++'，由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=； 当12a ≥时，20x ≤，在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増， 由于()()00g x g >=1212a <<时，()20,1x ∈，在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增；且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+， 得11ln 2a ≤-1211ln 2a <≤-时不等式成立， 当021a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立，综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-． 【名师点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用．12．已知函数221()2()2x ax f x x x a e =+-∈R （ 2.71828e =…是自然对数的底数）． （1）若()f x 在(0.2)x ∈内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（2）1a =时，计论关于x 的方程211()2|ln |()2x f x x x b x b xe⎡⎤-++=∈⎢⎥⎣⎦R 的根的个数． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模【答案】（1）22e e a <<；（2）答案见解析．【分析】（1）若()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，则()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，等价于0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．令()x g x e ax =-，分类讨论()g x 有两个变号根时a 的范围；（2）化简原式可得2()|ln |,(0,)x x h x x b x e=--∈+∞，分别讨论(1,)x ∈+∞和(0,1)x ∈时()h x 的单调性，可得()h x 的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合()h x 的单调性可以得到零点个数．【解析】（1）由题意可求得()()22(2)()2x x x a x x x e ax f x x e e '---=+-=，因为()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，所以()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，即0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．设()x g x e ax =-，则()x g x e a '=-，①当0a 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件．②当0a >时，令()0x g x e a '=-=得ln x a =，当ln 2a ，即2a e 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=-<，所以()g x 在(0,2)上单调递减，不符合条件；当ln 0a ，即01a <时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件；当0ln 2a <<，即21a e <<时，()g x 在(0,ln )a 上单调递减，(ln ,2)a 上单调递增，若要0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根，则(0)0,(2)0,(ln )0,0ln 2,g g g a a >⎧⎪>⎪⎨<⎪⎪<<⎩，解得22e e a <<． 综上所述，22e e a <<．19 / 33（2）设2211()|ln |()2|ln |,(0,)2x x x h x x f x x x b x b x xee ⎡⎤=--+-=--∈+∞⎢⎥⎣⎦， 令2x x y e =，则212x x y e '-=，所以2x x y e =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （ⅰ）当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则2()ln x x h x x b e =--，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 因为2210,0xe x x->>，所以()0h x '>，因此()h x 在(1,)+∞上单调递增． （ⅱ）当(0,1)x ∈时，ln 0x <，则2()ln x x h x x b e =---，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 因为()22221,,1,01,1,x x xe e e e x x ∈><<∴>即21,xe x -<-，又211,x -<所以22()210x x e h x e x x '-⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，因此()h x 在(0,1)上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当(0,)x ∈+∞时，2()(1)h x h e b -=--，当2(1)0h e b -=-->，即2b e -<-时，()h x 没有零点，故关于x 的方程根的个数为0，当2(1)0h e b -=--=，即2b e -=-时，()h x 只有一个零点，故关于x 的方程根的个数为1，当2(1)0h e b -=--<，即2b e ->-时，①当(1,)x ∈+∞时，221()ln ln ln 1x x h x x b x b x b e e ⎛⎫=-->-+>-- ⎪⎝⎭，要使()0h x >，可令ln 10x b -->，即()1,b x e +∈+∞； ②当(0,1)x ∈时，121()ln ln ln 12x x h x x b x e b x b e -⎛⎫=-----+>--- ⎪⎝⎭，要使()0h x >， 可令ln 10x b --->，即()10,b x e --∈，所以当2b e ->-时，()h x 有两个零点，故关于x 的方程根的个数为2，综上所述：当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为0，当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为1，当2b e ->-时，关于x 的方程根的个数为2．13．已知函数()()210,2x f x e ax x a =->∈R ． （1）当1a =时，比较()f x 与 1x +的大小； （2）若()f x 有两个不同的极值点12 , x x ，证明：1122ln (1)x a x x x <-． 【试题来源】四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测【答案】（1）()()10f x x x >+>；（2）证明见解析．【分析】（1）令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，再利用导数法判断()g x 与0的关系．（2）根据()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，转化为1 x ，2 x 为方程x e a x=的两个不同实根有11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x lnlnx lnx x x x x x =-=-=-，进而将问题转化为()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-，再由（1）得到2112x x e x >++，即2112e x x x >++，然后作出函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象，利用数形结合法求解．【解析】（1）当1a =时，()()2102x f x e x x =->， 令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，则()1x g x e x '=--． 令()1x u x e x =--，则()1x u x e '=-，可知()1x u x e '=-为()0,∞+上的增函数， 则()()00u x u ''>=，则()u x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00u x u >=，即()0g x '>，所以()g x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00g x g >=，所以不等式212x x e x ->+在()0,∞+上成立，21 / 33所以()()10f x x x >+>．（2）()xf x e x α'=-，因为()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，所以1 x ，2 x 为方程()0f x '=两不等根，即1 x ，2 x 为方程xea x=的两个不同实根，令()xe h x x =，()()21x e x h x x-'=，令()0h x '>，得1x >；令()0h x '<，得1x <， 则()h x 在()1,+∞上递增，在()0,1上递减， 所以当1x =时，()h x 取得最小值为()1h e =，所以a e >，不妨设1201x x <<<，且11x e ax =，22xe ax =，则11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x ln lnx lnx x x x x x =-=-=-， 故只需证明()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-． 由（1）知2112xx e x >++，所以22111212x x ex x x x++>=++， 令()112x x x ϕ=++()0x >，则()2222x x x ϕ-'=可得()x ϕ在(上递减，)+∞上递增，函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象如图所示，令()3434,x x x x <为方程()x a ϕ=两不等根，即()22120x a x +-+=的两个实根，则34342(1),2,x x a x x +=--⎧⎨=⎩由图可知，31240x x x x <<<<， 即421311110x x x x <<<<，所以43123434341111x x x x x x x x --<-==1a =<=-，所以()21121x x a x x -<-，故原不等式()11221x lna x x x <-得证． 【名师点睛】利用导数证明不等式常构造函数φ(x )，将不等式转化为φ(x )＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x )的单调性、最值，判定φ(x )与0的关系，从而证明不等式．14．已知函数()()21ln 0f x x ax x a a=-+>． （1）当1a e=时，求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在(000x x x =<<处取得极值，且()00f x >，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）12y e x e e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭；（2）⎫⎪⎪⎝⎭． 【分析】（1）求出()f e 、()f e '，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出()222a x x a f x ax -++'=，求得0x =，由()00f x >可得出(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，构造函数()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<利用导数分析函数()h x 在(上单调递增，由()00hx >可得出01x <进而可解得正实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a e =时，()2ln x f x x ex e=-+，则()12x f x e x e '=-+， 所以()21f e e e =-+，()12f e e e'=+-，所以切线方程为()211212y e x e e e e x e e e ⎛⎫⎛⎫=+--+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23 / 33（2）()221122a x x af x ax x a ax-++'=-+=，设()222g x a x x a =-++，则3180a ∆=+>．因为0x >，由()0g x >，可得2104x a <<，此时()0f x '>； 由()0g x <，可得x >()0f x '<． 所以，函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．所以，0x =，则()()0f x f x =极大值且有220020a x x a -++=，可得20021x ax a =+，02114x a +=<a >所以()()0020000002ln 11ln ln 0222x a x x x f x x ax x a a a+-=-+=+-=>，且()()222000000ln 21ln 10f x x ax ax x ax =-+-=+->，所以，21ln ax x >-， 因为0x <012ln 0x ->，即002001ln 12ln x x a x x -<<-，即002001ln 12ln x x x x -<-，整理得(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，设()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<则()324ln 334ln 33x x x h x x x x x-+'=-+=， 0x <<1ln 2x<，所以34ln 0x ->，即当0x <<()0h x '>． 所以，函数()h x 在(上单调递增，()10h =，由()()001h x h >=，可得01x << 即2114a<<1a <<．因此，实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭． 【名师点睛】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值． 15．已知函数()()2sin 10f x x x =->，())))112sin g x e x x =⋅++．（1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()f x g x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月） 【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值； （2）要证()()f x g x >，只要证()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，可得0x >时，()0x ϕ>，从而有()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >【解析】（1）()2cos f x x '，令0fx，得cos x =，25 / 33故在区间[]0,π上，fx 的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0fx，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0fx，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >))2sin 112sin x x x ->++，即证：当0x >时，()()11h x x x =-+>．()())11h x x x x '=+3sin 4x x =-+，令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0ϕ'<x ， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0ϕ'>x ， 所以()ϕx 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()0h x '>， 即()h x 是0,上的增函数，所以()()01h x h >．【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()f x g x >转化为()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，进而可判断()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题16．已知0a >，函数()2xe f x x a=+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 存在极值点1x 、2x ，求证：()()1212e af x f x a--<⋅．【试题来源】江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期二模考前热身模拟 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求得()()()2222x e x x a f x xa -+'=+，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出122x x +=，12x x a =，2112x a x +=，2222x a x +=，将所证不等式转化为证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅，即()()11211111210x x x e x e x ------<，令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，证明出()0F t <对任意的()0,1t ∈恒成立即可． 【解析】（1）当0a >时，函数()2xef x x a=+的定义域为R ，且()()()2222x e x x a f x xa -+'=+．对于方程220x x a -+=，44a ∆=-．①当0∆>时，即()0,1a ∈时，令()0f x '=，11x =21x = 由()0f x '<可得11x <<27 / 33由()0f x '>可得1x <或1x >所以函数()f x在(,1-∞上单调递增，在(1上单调递减，在()1++∞上单调递增；②当0∆≤时，即[)1,a ∈+∞时，()()()22220x e x x a f x xa -+'=≥+，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）可得01a <<，且1x 、2x 是220x x a -+=的两根． 由根与系数关系可得122x x +=，12x x a =．设1201x x <<<，则()f x 在1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值， 所以()()12f x f x >．因为2112x a x +=，2222x a x +=，所以命题等价于证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅， 整理得121121121x x x e x e x x ---<-，即()()11211111210x x x e x e x ------<．令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，()0,1t ∈， 则()()2t tF t t e e -'=--，()0,1t ∈，令()2t tg t e e -=--，易知()g t 在()0,1上单调递增．因为()020g =-<，()10g >，所以存在()00,1t ∈，使()00g t =，当()00,t t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减；当()0,1t t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增， 所以()()(){}max 0,10F t F F <=，所以()()11211111210x x x e x e x ------<成立，所以()()1212e a f x f x a--<⋅．【名师点睛】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．17．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【试题来源】浙江省金华市武义第三中学2021届高三下学期2月月考 【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()x x xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果．【解析】（1）由题意()1x e ax g x x --=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11x x x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增 ()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增29 / 33（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x -≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x→→-==，所以1a =，此时()()()()1,22x x x xh x e e x h x e e x '=--=--，令()22,x x e x τ=--则()21xx e τ='-，当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>，()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增，又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=，()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增， ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭． 【名师点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下：（1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确。

高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．个B．个C．个D．个【答案】A【解析】函数为增函数, 函数为减函数, 当且左侧,右侧时为极小值点,从而只有一个满足,答案选A..【考点】函数的导数与极值2.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为.【考点】导数与最值3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数，且是函数的极值点。

给出以下几个问题：①；②；③；④其中正确的命题是__________。

（填出所有正确命题的序号）【答案】①③【解析】的定义域为，，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有。

【考点】导数在求函数极值中的应用5.已知函数在处有极大值．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线相切，求的取值范围；（Ⅲ）当时，函数的图象在抛物线的下方，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．试题解析：（Ⅰ），或，当时，函数在处取得极小值，舍去；当时，，函数在处取得极大值，符合题意，∴．（3分）（Ⅱ），设切点为，则切线斜率为，切线方程为，即，∴．令，则，由得，．函数的单调性如下：↗极大值↘极小值↗∴当时，方程有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线相切．（8分）（Ⅲ）∵当时，函数的图象在抛物线的下方，∴在时恒成立，即在时恒成立，令，则，由得，．∵，，，，∴在上的最小值是，．（12分）【考点】等比关系的确定；利用导数研究函数的极值．6.已知函数，在点处的切线方程是（e为自然对数的底）。

导数极值最值问题1. 引言在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。

导数极值最值问题是微积分中的经典问题之一，它涉及到如何通过求导来确定函数的极值和最值。

在本文中，我们将详细介绍导数极值最值问题的概念、求解方法以及一些相关的应用。

2. 导数极值概念2.1 极大值和极小值给定一个函数f(x)，如果存在某个x0使得在x0的某个邻域内，对于任意x≠x0都有f(x)<f(x0)，那么称f(x0)为函数的极大值。

类似地，如果存在某个x0使得在x0的某个邻域内，对于任意x≠x0都有f(x)>f(x0)，那么称f(x0)为函数的极小值。

2.2 驻点和临界点给定一个函数f(x)，如果存在某个x=c使得f′(c)=0或者导数在c处不存在（即左右导数不相等），那么称c为函数的驻点或者临界点。

2.3 极值定理如果一个函数在某个区间的内部有极值，那么该函数在极值点处的导数必然为零或者不存在。

这是由于在极值点附近，函数的变化率应该为零。

3. 导数极值求解方法3.1 使用导数判别法对于一个函数f(x)，要找到它的极值，可以通过以下步骤进行：1.求出f′(x)，得到导数表达式。

2.解方程f′(x)=0，求出驻点。

3.将驻点带入原函数f(x)，得到相应的函数值。

4.比较驻点处和区间端点处的函数值，确定最大值和最小值。

需要注意的是，在求解过程中还需要考虑开区间和闭区间、无穷大和无界问题。

此外，在解方程f′(x)=0时可能会遇到多个解或者无解的情况，需要加以分析和讨论。

3.2 使用二阶导数判别法除了使用一阶导数判别法外，还可以使用二阶导数判别法来确定函数的极值。

具体步骤如下：1.求出f′(x)和f″(x)，得到一阶和二阶导数表达式。

2.解方程f′(x)=0，求出驻点。

3.对于每个驻点c，计算f″(c)的值。

–若f″(c)>0，则c为极小值点。

–若f″(c)<0，则c为极大值点。

–若f″(c)=0，则无法确定极值类型，需要进一步分析。