单级倒立摆的PID控制
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自动化专业综合设计报告
设计题目：单级倒立摆的PID控制器设计
所在实验室：运动控制实验室
指导教师：杨世勇
学生姓名: 刘新
班级: 文自082-2 学号: 200890517216 撰写时间： 2012.3.18
成绩评定：
一、设计目的
掌握PID 控制器设计、整定及其在MATLAB 环境下的实现方法
二、设计要求
设计倒立摆的PID 控制系统
三、设计内容
建立单级倒立摆的数学模型；设计倒立摆的控制器；仿真实现倒立摆（角度）的稳定控制
四、设计分析
1.倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：
(1)摆杆及小车都是刚体。
(2) 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象。
(3) 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，而且无滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。
(4) 实验过程中的库仑摩擦、各种动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。
对摆杆进行受力分析，建立一级倒立摆系统的数学模型。
对摆杆的受力分解如图3所示。
图中1θ为摆杆与竖直方向的夹角。
'11F 为小车对摆杆的水平分力，'12F 为小车对摆杆的竖直分力。
图 对摆杆的受力分析
水平方向的方程为： 1
1111111111111122121212211sin cos )cos ()sin ('θθθθθθθl m l m x m l x m l x dt
d m dt x d m F F -+='+=+==-
(1)
竖直方向的方程为： 1
1111111111111221212121121cos sin )sin ()cos ('θθθθθθθ l m l m l m l dt
d m dt y d m F F g m --='-===+- (2)
将两个方程合并：
()
θθθcos sin 2x
ml mgl ml I -=++ (3) 当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，则可以进行如下处理：()
0,sin ,1cos 2=-=-=θ
φφφ 为了得到控制理论的习惯表达，即u 为一般控制量，用u 代表控制量的输入力F ，线性化得到数学模型方程为： ()
x
ml mgl ml I =-+φφ2 (4) ()u x
ml x b x m M =-++ (5)
将(4)，(5)进行拉普拉斯变化为：
()()()()()()()()()s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I =-++=-+22222φφφ (6)
整理后得以u 为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数，将上式整理得：
()()()()
()q bmgls q mgls m M s q ml I b s s q ml s U s s 2232421G -+-++==φ (7) 其中()()()[]
22ml ml I m M q -++=
2.单级倒立摆系统物理参数
M 小车质量 1.096Kg
M 摆杆质量 0.109Kg
b 小车摩擦系数 0.1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到质心的长度 0.25m
I 摆杆质量 0.0034Kg*m*m
将上述参数代入，就可以得到系统的实际模型。
3.PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。
当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或者得不到精确的数学模型时，控制理论的其他技术难以采用，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。
即当我们不完全了解几个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最合适用PID控制技术。
PID控制，实际中也有P、PI和PD控制。
4.（1）P（比例）控制器
比例控制器，又称P控制器，其传递函数为：
Gc(s)=Kp
显然，调整P控制器的比例参数Kp，将改变系统的开环增益，从而对系统的性能产生影响。
比例控制器能实时成比例地反映系统的偏差信号，一旦有偏差，控制器立即产生控制作用，以使偏差减少。
（2）PD（比例—微分）控制器
比例—微分控制器，简称PD控制器，其传递函数为;
Gc(s)=Kp(1+Tds)
PD控制器既具有相位超前的特性，其帧频特性又有正斜率段，因而它是一种超前校正系统。
PD控制器使系统增加了一个开环零点，会使系统的稳定性及平衡性得到改善；当参数选择适当时，将使系统的调节时间变短；对稳定精度没有影响；但会使系统抗高频干扰的能力下降。
（3）PI（比例—积分）控制器
比例—积分控制器，简称PI控制器，在实际工程中得到了广泛的应用。
它的传递函数为： Gc(s)=Kp(1+1/Tis)
PI控制器的相频特性为负，即具有相位滞后特性，故它也是一种滞后校正装置。
由于积分环节的引入，使得当系统偏差为零时，PI控制器能维持一恒定的输出作为系统的控制作用，这就使得系统有可能运行于无静差的状态。
积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti，Ti越大，积分作用越弱。
五、设计结果
%以摆杆角度为输出的倒立摆开环传递函数及其脉冲响应
M = 1.096;
m = 0.109;
b = 0.1;
I= 0.0034;
g = 9.8;
l = 0.25;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; %simplifies input
num1 = [m*l/q 0 0]
den1 = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0] num2=[-(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q]
den2=den1
%open loop system response for impluse signal
Kd=20
Kp=100
Ki=1
numPID=[Kd Kp Ki];
denPID=[1 0];
numc=conv(num1,(denPID));
denc=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1));
t = 0 : 0.01 : 5;
impulse ( numc , denc , t )
axis ( [ 0 5.5 -0.2 0.4])
矩阵相加的程序：
function[poly]=polyadd(poly1,poly2)
if length(poly1)<length(poly2)
short=poly1;
long=poly2;
else
short=poly2;
long=poly1;
end
mz=length(long)-length(short);
if mz>0
poly=[zeros(1,mz),short]+long;
else
poly=long+short;
end
end
六、设计总结
通过几天的课程设计，使我熟悉并了解了MATLAB设计仿真的基本思路和方法。
最终采用常规的PID控制器控制倒立摆，通过MA TLAB的仿真结构显示具有对倒立摆的摆杆角度的控制，倒立摆系统能达到稳定。
设计中遇到很多问题，通过与同学的交流和查阅相关资料，以及老师的悉心指导，最终完成了此项设计，不仅培养了独立学习的能力，而且还扩展了自己的知识体系，这些无形的东西将是我一生取之不尽，用之不竭。
