Bers型空间之间的加权微分复合算子

加权Bergman空间上的加权复合算子的开题报告
1. 研究背景和意义
在现代数学中，加权Bergman空间是一种重要的函数空间，具有广泛的应用和研究价值。

它是一种带权$L^2$空间，以一定的权函数为基础来描述函数的正则性和增长性。

加权Bergman空间在复分析、调和分析、偏微分方程等领域中都有涉及。

而加权复合算子是一种将一个函数映射到另一个函数的算子，同时保持函数增长率和正则性。

加权复合算子在函数空间中的作用和应用非常广泛，是研究加权Bergman空间的一个重要手段。

因此，本文将从加权Bergman空间和加权复合算子两个方面入手，探讨加权复合算子在加权Bergman空间中的性质和应用。

2. 研究内容和方法
本文将首先介绍加权Bergman空间的定义和基本性质，包括内积、范数等。

然后介绍加权复合算子的定义和基本性质，包括可数性、紧性等。

在此基础上，我们将研究加权复合算子在加权Bergman空间中的一些性质，包括其可逆性、紧性等，并进一步探讨其在该空间中的应用。

本文的方法主要包括函数分析和复分析等数学方法和工具，利用已有的文献和研究结果作为参考和支持。

3. 预期达到的目标和意义
通过本文的研究，预期能够深入理解加权Bergman空间和加权复合算子的相关性质和应用，为进一步研究和探讨相关问题提供帮助。

同时，探究加权复合算子在加权Bergman空间中的性质和应用，有助于发现新的数学问题和应用，对相关领域的学术研究具有重大意义。

第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性赵鹏飞,㊀毕淑娟,㊀刘振杰(哈尔滨学院信息工程学院,哈尔滨150080)摘㊀要:利用微分形式的Poincaré-Sobolev 不等式证明了当1<p <n 时复合算子T D G 的高阶L P 可积性,然后进一步讨论了p ȡn 的情形,获得了复合算子的高阶范数估计,并利用该结果对L p 可积微分形式证明了局部加权范数不等式成立㊂关键词:复合算子;高阶可积性;微分形式DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.018中图分类号:O175.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0144-05Higher Integrability of the Composite Operator T D Gfor Differential FormsZHAO Pengfei,㊀BI Shujuan,㊀LIU Zhenjie(School of Information Engineering,Harbin University,Harbin 150080,China)Abstract :We firstly prove the higher integrability of the composite operator T D G by using Poincaré-Sobolev inequalities when 1<p <n .Then further consider the case of p ȡn and obtain the higher order norm estimation of composite operators,by which theweighted norm inequality for L p integrable differential forms is proved.Keywords :the composite operator;higher integrability;differential forms㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2021-11-08基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:毕淑娟(1970 ),女,博士,副教授;刘振杰(1969 ),男,博士,副教授.通信作者:赵鹏飞(1981 ),男,硕士,E-mail:pengfeizhao81@.0㊀引㊀言近年来,随着对微分形式算子理论研究的展开,算子的有界性及其高阶可积性对研究拟正则映射和微分形式A -调和方程理论有十分重要的意义[1-8]㊂2009年,Ding 等[9-10]首先对同伦算子与投影算子的复合算子的奇异积分问题进行了研究㊂之后,Bi 等[11-13]对同伦算子及其复合算子的强(p ,q )型不等式进行了研究,证明了算子在加权L p 空间的有界性㊂近几年,Y.Xing [14]㊁H.Gao [6-7,15]㊁Y.Lu [16-17]和Y.Tong [18]等对算子的高阶可积性以及拟线性椭圆方程解的全局可积性进行了研究,取得了一系列丰富的成果㊂本文的主要目的是研究同伦算子T ㊁Dirac 算子D 和Green 算子G 的复合算子T D G 的高阶可积性,并进一步得到当p ȡn 时,复合算子的高阶L p 范数估计㊂为了方便,首先介绍一些符号和术语㊂设E ⊂ℝn 为一有界域,|E |为E 的Lebesgue 测度,n ȡ2㊂Λl (ℝn )表示定义在ℝn 上的l -形式全体所构成的空间㊂D ᶄ(E ,Λl )表示定义在E 上的所有可微l -形式所构成的空间㊂L p loc (E ,Λl)表示定义在E 上的系数局部可积的l -形式全体所构成的空间㊂1㊀预备知识Hodge 星算子定义为∗u =ð1ɤi 1< <i k ɤn(-1)σu i 1, ,i k (x )dx j 1Λ Λdx j n -k其中j 1< <j n -k ,(i 1, ,i k ,j 1, ,j n -k )为(1, ,n )的全排列,σ为全排列的逆序数㊂利用外微分算子d 和Hodge 星算子可以定义Hodge 上微分算子d ∗=(-1)nl +1∗d ∗,Dirac 算子定义为D =d +d ∗㊂同伦算子T 为T.Iwaniec 和A.Lutoborski 在证明Poincaré引理过程中引入的一个重要算子㊂对每个y ɪE ,首先定义一个线性算子k y :C ɕ(E ,Λl)ңC ɕ(E ,Λl -1)为(k y u )(x ;ξ1, ,ξl -1)=ʏ10tl -1u (tx +y -ty ;x -y ,ξ1, ,ξl -1)d t定义1㊀同伦算子T :C ɕ(E ,Λl )ңC ɕ(E ,Λl -1)定义为Tu =ʏEφ(y )k yu d y其中φɪC ɕ0(E )且满足ʏEφ(y )d y =1㊂然后T.Iwaniec 等研究了同伦算子的L p理论,将同伦算子的定义拓展到T:L 1loc(E ,Λl)ңL 1loc(E ,Λl -1),并证明了对所有的u ɪΩq ,p (E ,Λl ),有如下分解u =dTu +Tdu(1)其中Ωq ,p (E ,Λl -1)表示满足u ɪL p(E ,Λl -1)且du ɪL p(E ,Λl)的全体(l -1)-形式所构成的集合㊂对于算子T 有如下估计式Tω s ,B ɤC diam(B ) ω s ,B (2)成立,其中B 为ℝn 中的球,1<p <n ㊂关于同伦算子的更多性质可参看文[1],[19]㊂令u ɪD ᶄ(E ,Λl ),l -形式u E ɪD ᶄ(E ,Λl )定义为u E =|E |-1ʏEu (y )d y ,l =0dTu ,l =1,2, ,n{定义2[2]㊀Green 算子G 定义为G :C ɕ(E ,Λl )ңΗʅɘC ɕ(E ,Λl )其中Gu 是ΗʅɘC ɕ(E ,Λl )中满足Poisson 方程ΔGu =u -H (u )的唯一解㊂如果w (x )>0a.e.且在ℝn 上局部可积,则称w (x )为权函数㊂L p (E ,Λl ,w )表示加权的L p 空间,其范数定义为 u p ,E ,w =(ʏE|u |pw (x )d x )1/p㊂1972年,B.Muckenhoupt [20]在研究极大算子的性质时给出了A r 权的概念㊂定义3㊀如果定义在E ⊂ℝn 上的权函数w (x )满足sup B ⊂E 1|B |ʏBw d x ()1|B |ʏB1w()1r -1d x()r -1<ɕ则称w (x )在E 上满足A r (E )条件㊂下面的Poincaré-Sobolev 不等式出现在文[1]中㊂引理1㊀若u ɪD ᶄ(B ,Λl ),du ɪL p (B ,Λl +1),l =0,1, ,n ,则u -u B ɪL npn -p (B ,Λl )且有不等式(ʏB|u -u B |np n -pd x )n -p npɤC p (n )(ʏB|du |pd x )1p其中B 为有界凸区域中的任意球体㊂引理2[2]㊀设u 为定义在E 上的光滑的微分形式,1<s <ɕ,则存在一个与u 无关而与s 有关的正常数C (s ),使得不等式dd ∗Gu s ,B + d ∗dGu s ,B + dGu s ,B + d ∗Gu s ,B + Gu s ,B ɤC (s ) u s ,B对所有满足B ⊂E 的球都成立㊂设φ(x )为定义在[0,ɕ)上的严格增凸函数,φ(0)=0,u 为定义在有界域E ⊂ℝn 上满足对任意λ>0及μ({x ɪE :|u -u E |>0})>0都有φ(λ|u |+|u E |)ɪL 1(E ,μ)的微分形式,其中,μ为由d μ=w (x )d x 定义的Radon 测度,w (x )为权函数㊂可以证明对任意的a >0,ʏEφ12|u -u E|()d μɤC 1ʏEφ(a |u |)d μɤC 2ʏEφ(2a |u -u E|)d μ(3)其中C 1,C 2为正常数㊂2㊀定理证明定理1㊀设u ɪL p loc (E ,Λl)为定义在E 上的光滑微分形式,1<p <n ,D 为Dirac 算子,G 为Green 算子,T 为同伦算子,0<s <np (n -p )-1,则存在与u 无关,与n ,s ,p 有关的常数C 使得TDGu s ,B ɤC u p ,σB其中:B ⊂σB ⊂E ,σ为某个大于1的常数㊂541第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性证明:这里将分成两步来完成证明㊂1)如果|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0则由引理1和引理2,有TDGu-(TDGu)B np n-p,BɤC p(n) dTDGu p,BɤC p(n) DGu-TdDGu p,BɤC p(n)( DGu p,B+ TdDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C dDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C u p,B)ɤC u p,B在式(3)中取φ(t)=t np n-p,则有(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p npɤC(ʏB|TDGu-(TDGu)B|np n-p d x)n-p np由L p空间的单调性,若0<s<np(n-p)-1,则(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p np 于是有(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏσB|u|p d x)1p㊂2)假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|=0则TDGu=(TDGu)B㊀在B上几乎处处成立,因此TDGu为闭形式,进而TDGu为A-调和方程的解㊂于是由式(2)和引理2,有TDGu p,σBɤC diam(B) DGu p,σBɤC|B|1n u p,σB又由Hölder不等式有TDGu s,BɤC|B|1s-1p TDGu p,σB故TDGu s,BɤC|B|1n+1s-1p u p,σB于是定理得证㊂定理2　设uɪL p loc(E,Λl)是定义在E上的一个光滑微分形式,pȡn,T是同伦算子,D是Dirac算子,G是Green算子㊂则对于任意的实数s>1,有TDGuɪL s loc(E,Λl),进而存在一个与u无关的常数C使得,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B其中B⊂E为E中的任意球㊂证明:首先当1<sɤp时,由引理2和式(3),有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B显然成立㊂接下来证明当s>p时,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,σB成立㊂假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0令m=sp-1,记q=mnp/(n+mp)㊂因为n-p ɤ0,所以q-p=[p(m(n-p)-n)](n+mp)-1<0即q<p,而1<q=mnp/(n+mp)<n㊂于是由引理1㊁引理2和L p空间的单调性,有(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC2(ʏB|dTDGu|q d x)1q=C2(ʏB|DGu-T(d(DGu)|q d x)1qɤC3(ʏB|DGu|q d x)1q+C4(ʏB|T(d(DGu)|q d x)1qɤC5(ʏB|u|q d x)1q+C6(ʏB|u|q d x)1qɤC7|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p(4)因为|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0,所以若在式(3)中取φ(t)=t nq(n-q),则对任意的微分形式ω,可得(ʏB|ω|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC8(ʏB|ω-ωB|nq(n-q)d x)(n-q)nq(5)在式(5)中用TDGu代替ω,有(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq n-q d x)n-q nq(6)因为nq/(n-q)=mp=s,再一次利用L p空间的单调性,式(6)和式(4),有(ʏB|TDGu|s d x)1s=(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC10|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p=641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C10|B|1s+1n-1p(ʏB|u|p d x)1p因此有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B于是定理得证㊂需要指出的是,以往得到的关于同伦算子和Green算子的高阶可积性结论均仅对A-调和方程的解成立,而定理1和定理2的结果表明对于满足一定条件的指数s,p,对任意在E上局部L s可积的微分l-形式,复合算子的高阶可积性仍然成立㊂3㊀应㊀用近年来,关于算子在加权微分形式L p空间有界性问题的研究已取得一些成果,但由于在证明过程中需要用到弱逆Hölder不等式,因此关于加权不等式的结论仅对A-调和方程的解成立㊂而由定理2,则可得到对任意L p可积的微分形式均成立的加权结果㊂引理3㊀如果w(x)ɪA r(E),则存在与w无关的常数γ>1和C>0,使得w γ,BɤC|B|(1-γ)γ w 1,B(7)对所有球B⊂E都成立㊂定理3㊀设E为有界凸区域,n<p<ɕ,T为同伦算子,D为Dirac算子,G为Green算子,如果权函数w(x)满足A r(E)条件,其中1<r<p/n,则对任意uɪL p(E,Λl),存在与u无关的常数C使得 TDGu p,B,wɤC u p,B,w对所有的球B⊂E都成立㊂证明:由于w(x)满足A r(E)条件,由引理3,存在常数γ>1和正数C1使得对所有的球B⊂E有 w γ,BɤC1|B|(1-γ)γ w 1,B取t=γp/(γ-1),则由Hölder不等式有 TDGu p,B,wɤ(ʏB|TDGu|t d x)1t(ʏB wγd x)1γp= TDGu t,B w 1pγ,B(8)这样,将式(7)代入式(8)中,有TDGu p,B,wɤC2|B|(1-γ)γp TDGu t,B w 1p1,B(9)记m=p/r,则由定理2可以得到TDGu t,BɤC3 u m,B(10)其中C3与t,m,n有关㊂再由式(9)和式(10),有 TDGu p,B,wɤC4|B|(1-γ)γp u m,B w 1p1,B 又由于1/p+(r-1)/p=1/m,于是由Hölder不等式有u m,Bɤ(ʏB(|u|w1p)p d x)1pʏB1w()1r-1d x()p r-1= u p,B,wʏB1w()1r-1d x()p r-1(11)注意到wɪA r(E),因此存在常数C5>0使得对所有的球B⊂E,有1|B|ʏB wdx()1p1|B|ʏB1w()1(r-1)d x()(r-1)p<C5<ɕ这样,再由式(10)和式(11),立即有TDGu p,B,wɤC6|B|1-γPγ|B|1P|B|r-1P u p,B,w=C6|B|r P+1-γPγ u p,B,wɤC6|D|r P+1-γPγ u p,B,wɤC7 u p,B,w结论得证㊂4㊀结论本文证明了微分形式L s空间同伦算子T㊁Green 算子和Dirac算子的复合算子T D G当1<p< n时的高阶可积性,并进一步证明了复合算子当pȡn时的高阶范数估计以及对L p可积微分形式成立的局部加权范数不等式㊂参考文献:[1]㊀IWANIEC T.,LUTOBORSKI A.Integral Estimates forNull Lagrangians[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1993,125(1):25.[2]㊀SCOTT C.Theory of Differential Forms on Manifolds[J].Transactions of the American Mathematical Society,1995,347(6):2075.[3]㊀毕卉,于冰,李贯锋.复合算子的Lipschitz和BMO范数不等式[J].黑龙江大学自然科学学报,2017,34(5):556.BI Hui,YU Bing,LI Guanfeng.Lipschitz and BMONorm Inequalities for the Composite Operator[J].Journalof Natural Science of Heilongjiang University,2017,34(5):556.[4]㊀AGARWAL R.P.,DING Shusen,NOLDER C.Ine-qualities Fordifferential Forms[M].Springer,2009.[5]㊀高红亚,褚玉明.拟正则映射与A-调和方程[M].北741第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G的高阶可积性京:科学出版社,2013.[6]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,DENG Hua,et al.Global Integrability for Solutions to Quasilinear EllipticSystems[J].Manuscripta Mathematica,2021,164:23.[7]㊀GAO Hongya,HUANG Miaomiao,REN Wei.GlobalRegularity for Minimizers of Some Anisotropic VariationalIntegrals[J].J.Optimization Theory and Applications,2021,188(2):523.[8]㊀NOLDER C.Global Integrability Theorems for A-harmon-ic Tensors[J].Journal of Mathematical Analysis and Ap-plications,2000,247(1):236.[9]㊀DING Shusen,LIU Bing.A Singular Integral of the Com-posite Operator[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(8):1271.[10]DING Shusen,LIU Bing.Dirac-harmonic Equations forDifferential Forms[J].Nonlinear 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Harmonic E-quations for Differential Forms[J].Advances in AppliedClifford Algebras,2017,27(4):3167. [18]TONG Yuxia,LIANG Shuang,ZHENG Shenzhou.Inte-grability of Very Weak Solution to the Dirichlet Problemof Nonlinear Elliptic System[J].Electronic Journal ofDifferential Equations,2019,2019(1):1. [19]GOLᶄDSHTEIN V.,TROYANOV M.Sobolev Inequali-ties for Differential Forms and Lq,p-cohomology[J].Journal of Geometric Analysis,2006,16(4):597.[20]MUCKENHOUPT B.Weighted Norm Inequalities for theHardy-Littlewood Maximal Operator[J].Transactions ofthe American Mathematical Society,1972,165:207.(编辑:温泽宇)841哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀。

数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。

试论导函数、原函数的一些性质。

ﻫ２。

有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。

ﻫ3。

数学中一些有用的不等式及推广.4。

函数的概念及推广.ﻫ5。

构造函数证明问题的妙想。

6.对指数函数的认识。

ﻫ7。

泰勒公式及其在解题中的应用。

8。

导数的作用。

9。

Ｈiｌbert空间的一些性质。

ﻫ10。

Banaｃｈ空间的一些性质。

ﻫ１1。

线性空间上的距离的讨论及推广。

12。

凸集与不动点定理．ﻫ１3。

Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。

最佳逼近问题。

ﻫ１5。

线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。

1７。

泛函分析中的不变子空间。

ﻫ19.范数的概念及性质．２0。

正交与正交基的概念。

22。

隐函数存在定理的再证明。

ﻫ２3.线性空间的等距同构。

2１。

压缩映像原理及其应用.ﻫ24。

列紧集的概念及相关推广。

２５。

Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。

26。

Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。

27。

重积分与累次积分的关系.28。

可积函数与连续函数的关系。

２９。

有界变差函数的概念及其相关概念。

ﻫ30。

绝对连续函数的性质。

3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。

33。

可测函数的定义及其性质。

ﻫ３４．分部积分公式的32。

可测函数与连续函数的关系。

ﻫ推广。

35。

Fatoｕ引理的重要作用。

36.不定积分的微分的计算。

ﻫ37。

绝对连续函数与微积分基本定理的关系。

ﻫ3８。

Ｓchwartz 不等式及推广。

39。

阶梯函数的概念及其作用.40。

Fourｉer级数及推广。

ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。

ﻫ42。

Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。

44。

数学分析中的构造法证题术,43。

函数的各种收敛性及它们之间的关系。

ﻫ4５。

用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。

微积分与辩证法49。

在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。

单位球上bloch型空间之间的加权复合算子单位球上的Bloch型空间是一个在复平面上定义的向量空间，它是由一类具有特殊性质的函数组成的。

这些函数满足了一定的增长条件和平均条件，使得它们在计算上更加可控和可预测。

在量子力学、调和分析和复变函数等领域中，Bloch型空间具有广泛的应用。

加权复合算子是Bloch型空间中的一个重要概念，它描述了将两个Bloch型函数通过复合而得到的新函数。

在加权复合算子中，我们将两个Bloch型函数的复合进行加权处理，从而得到一个新的Bloch 型函数。

这个加权处理的方式可以是线性的，也可以是非线性的。

在实际应用中，我们常常根据具体问题的需求选择合适的加权方法。

加权复合算子在Bloch型空间中具有重要的意义和指导性。

它可以帮助我们研究Bloch型函数之间的关系，理解它们的性质和特点。

通过加权复合算子，我们可以得到新的函数，通过对这些新函数的研究，我们可以获得关于原始函数的更多信息。

这对于解决复杂的数学和物理问题非常有帮助。

在具体的应用中，加权复合算子在量子力学中有着广泛的应用。

量子力学研究的是微观世界的物理现象，而Bloch型函数可以用来描述量子态的演化和相互作用。

通过加权复合算子，我们可以研究不同量子态之间的转换和变化。

这对于理解和设计各种量子系统，如自旋系统、电子系统和原子系统等，具有重要的意义。

此外，加权复合算子在调和分析和复变函数中也有重要的应用。

调和分析是研究调和函数和调和级数的数学分支，而复变函数则是研究复平面上的函数的数学分支。

Bloch型函数在这两个领域中有着广泛的应用，通过加权复合算子，我们可以探索它们与其他函数的关系，研究它们的性质和变换规律。

这对于进一步发展调和分析和复变函数理论，解决数学难题，具有重要的指导意义。

综上所述，单位球上的Bloch型空间和加权复合算子是一对紧密相关的概念。

加权复合算子在Bloch型空间中具有重要的意义和指导性，它帮助我们研究Bloch型函数的性质和特点，探索其与其他函数的关系，并在量子力学、调和分析和复变函数等领域中发挥重要作用。