(精选3份合集)2020届南京外国语学校高考数学模拟试卷

江苏省南京外国语学校（仙林分校）2015届高考数学模拟试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=__________．2．已知复数z=（3﹣4i）•i，则|z|=__________．3．双曲线的离心率是__________．4．若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__________．5．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的__________条件．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个．若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是__________．7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为__________．8．执行如图算法框图，若输入a=3，b=，则输出的值为__________．9．若△A BC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量，，若，则∠C等于__________．10．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=2，a3+a4+a5=8，则a4+a5+a6=__________．11．函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，π]的单调减区间为__________．12．若关于x的不等式（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值集合是__________．13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥60成立，则实数m的最小值为__________．14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f （t）≥kt”是假命题，则正实数k的取值范围是__________．二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明（1）EF∥平面PAD；（2）EF⊥平面PDC．17．数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式．18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．（1）将S表示为x的函数；（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？19．已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．江苏省南京外国语学校（仙林分校）2015届高考数学模拟试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则A∩（∁U B）={2，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，∴∁U B={2，4，6}，A∩（∁U B）={2，4}，故答案为：{2，4}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知复数z=（3﹣4i）•i，则|z|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=（3﹣4i）•i=3i+4，则|z|==5．故答案为：5．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．双曲线的离心率是．考点：双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程易知a、b，然后通过其性质c2=a2+b2求得c，最后由其离心率e=得出答案．解答：解：由题意知a2=2，b2=1，所以c2=a2+b2=3，则a=，c=，所以该双曲线的离心率e==．故答案为．点评：本题考查双曲线的标准方程与性质．4．若命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（﹣4，0）．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．解答：解：命题“∃x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命题，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范围是（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．点评：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．5．已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：∵角α，β的终边在第一象限，∴当α=+2π，β=，满足α＞β，但sinα=sinβ，则sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，若当α=，β=+2π，满足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分条件，故答案为：既不必要也不充分条件．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个．若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是．考点：等可能事件的概率．专题：常规题型．分析：这是一个古典概型，在大小相同的4个球中任意选取2个球有C42种取法，题目要求所选的2个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色，满足条件的事件数是C21C21种结果，根据古典概型公式得到结果．解答：解：由题意知这是一个古典概型，∵在大小相同的4个球中任意选取2个球有C42种取法，∵题目要求所选的2个球恰好不同色包含选的两个球一个红色一个白色，∴满足条件的事件数是C21C21种结果，∴P==，故答案为：点评：本题是一个古典概型，在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为30．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中所有小长方形的和为1，求出正中间一个小长方形的面积（频率），即可得出频数．解答：解：根据频率分布直方图中，所有小长方形的和（即频率和）为1，设正中间一个小长方形的面积为x，则其它10个小长方形面积的和为3x，∴x+3x=1，解得x=；∴正中间一组的频数为120×=30．故答案为：30．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．8．执行如图算法框图，若输入a=3，b=，则输出的值为．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查的是循环结构程序，我们很难写出程序运行结果对应的数学模型表达式，故可采用模拟试验的方法，即模拟程序运行，将程序运行过程各变量的值用表格表示，逐步分析，最后得到正确的答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环_____a_____b循环前_________/______3_____第一圈_________是__________第二圈_________是__________第三圈_________是__________第四圈_________否故最后输出的a值为．故答案为：点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．若△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量，，若，则∠C等于．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：利用向量垂直，求出数量积为0时的关系式，利用余弦定理求解即可．解答：解：向量，，若，所以：=0即：a2﹣c2+b2=ab，所以cosC=，∠C是三角形内角，所以∠C=故答案为：点评：本题考查平面向量的坐标运算，余弦定理的应用，是基础题．10．在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=2，a3+a4+a5=8，则a4+a5+a6=±16．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可知==都等于公比q的平方，由已知条件列出关于公比q的方程，求出q的值，然后再根据==都等于公比q的立方，把公比q的值代入即可求出值．解答：解：设等比数列的公比为q，由a1+a2+a3=2，则a3+a4+a5=q2（a1+a2+a3）=2q2=8，即q2=4，q=±2；所以a4+a5+a6=q3（a1+a2+a3）=±8×2=±16．故答案为：±16点评：本题主要考查了等比数列的性质，属基础题．学生做题时注意公比q的值有两个．11．函数f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，π]的单调减区间为[，π]（也可以写成（））．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的单调性可求出满足条件的所有x的区间，再结合x的范围可求出答案．解答：解：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）令，∴，k∈Z∵x∈[0，π]∴所求单调减区间为：[，π]故答案为：[，π]．点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性．考查对基础知识的掌握程度和理解程度．三角函数是2015届高考的重点，每年必考，一定要强化复习．12．若关于x的不等式（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则实数a的取值集合是{5}．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得a＞0，x＞0，设f（x）=（ax﹣50）lg，可得当x无限趋近于0时，f （x）无限趋近于﹣∞，当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于﹣∞，把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点，进一步得到=2a，由此求得a的取值集合．解答：解：（ax﹣50）lg≤0对任意的正实数x恒成立，则a＞0，x＞0，设f（x）=（ax﹣50）lg，当x无限趋近于0时，f（x）无限趋近于﹣∞，当x无限趋近于+∞时，f（x）无限趋近于﹣∞，若f（x）≤0恒成立，需f（x）有唯一的零点，由f（x）=0，得ax﹣50=0或lg=0．解得：x=，x=2a．若f（x）有唯一的零点，则=2a，那么a2=25，即a=5．∴实数a的取值集合是{5}．故答案为：{5}．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，把f（x）≤0恒成立转化为f（x）有唯一的零点是解答该题的关键，是中档题．13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥60成立，则实数m的最小值为29．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：令y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1=0，可得d n=x2﹣x1=2n﹣1．利用等比数列的前n项和公式可得S n=2n﹣1．log2（S n+1）≥60化为n（m﹣n2）≥60，，变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：令y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1=0，解得，，∴d n=x2﹣x1=2n﹣1．∴S n==2n﹣1．∴log2（S n+1）≥60化为n（m﹣n2）≥60，∴==90，取n=3时，m取得最小值29．故答案为：29．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、基本不等式的性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f （t）≥kt”是假命题，则正实数k的取值范围是（，1]．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，由图象观察得出k的取值范围．解答：解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数；画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），则由（lnx）′=，得k=，即lnm=km，解得m=e，k=；设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，∴k的取值范围是（，1]．故答案为：（，1]．点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．解答：解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．点评：考查指数函数的单调性，空集的概念，对数函数的定义域，一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E，F分别为PC，BD的中点．证明（1）EF∥平面PAD；（2）EF⊥平面PDC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：（1）若证明EF∥平面PAD，关键是要找到平面PAD内一条可能与EF平行的直线，分别图形后发现PA即为所求，故连接AC后，利用中位线的性质，即可临到结论．（2）若证明EF⊥平面PDC，我们要证明EF与平面PDC中两条相交直线均垂直，已知中底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，结合（1）中结论，易证明出：CD⊥PA 且PA⊥PD，根据线面垂直的判定定理即可得到结论．解答：证明：（1）连接AC，在△CPA中，因为E，F分别为PC，BD的中点，所以EF∥PA．而PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以直线EF∥平面PAD．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，且CD⊥AD，所以CD⊥PA．又因为PA⊥PD，且CD，PD⊂平面PDC，所以PA⊥平面PDC．而EF∥PA，所以EF⊥平面PDC．点评：本题考查的知识眯是直线与平面平等的判定及直线与平面垂直的判定，熟练掌握线面关系的判定定理是解答此类问题的关键．17．数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意知（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，知c=2．（2）由题意知a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，所以．由此可知a n=n2﹣n+2（n=1，2，）解答：解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=2．（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，所以．又a1=2，c=2，故a n=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立，所以a n=n2﹣n+2（n=1，2，）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．18．如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．（1）将S表示为x的函数；（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C点坐标给出来，代入方程求出p的值，然后分两段表示出S的值．（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题．解答：解：（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设曲线段BC所在抛物线方程为y2=2px（p＞0）．将点C（1，1）代入，得2p=1．所以曲线段BC的方程为y=（0≤x≤1）．又由点C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x﹣1（1≤x≤2），而GA=2﹣x，所以，（2）①当0＜x≤1时，因为，所以，令S′=0得．当时，S′＞0，所以此时S递增；当时，S′＜0，所以此时S递减，所以当时，．②当1＜x＜2时，因为．所以当x=时，．综上，因为，所以当米时，．答：当x取值为米时，矩形AEFG的面积最大为．点评：本题充分考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值．19．已知椭圆E：+=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（Ⅲ）在平面上是否存在一点P，使得=？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（1）由题易知圆C的圆心为（）而a=，b=2可求出圆心为（﹣4，0）又圆C恰好经过坐标原点O故半径为4所以圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）可利用直线FG与直线l联立求出t点坐标再利用中点坐标公式求出G（﹣3，y G）再代入圆C的方程求出y G进而求出FG的方程为y=（x+2），然后利用圆心到直线的距离公式求出C（﹣4，0）到FG的距离d=再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而求解．（3）假设存在P（s，t），G（x0，y0）使得=成立利用两点间的距离公式化简可得方程3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0再结G（x0，y0）在圆C即x02+y02+8x0=o可得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0对所有的x0，y0．成立故2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0所以s=4，t=0即存在p（4，0）满足题意．解答：解：（1）∵a=，b=2∴c=2∴左准线方程为x==﹣4∴圆心为（﹣4，0）∵圆C恰好经过坐标原点O故半径为4∴圆C的方程为（x+4）2+y2=16（2）由题意知，得G（﹣3，y G），代入（x+4）2+y2=16，得y=所以FG的斜率为K=y=，FG的方程为y=（x+2）所以C（﹣4，0）到FG的距离d=，直线FG被圆C截得弦长为2=7 故直线FG被圆C截得弦长为7．（3）设P（s，t），G（x0，y0），则由，得，整理得3（x02+y02）+（16+2s）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0①又G（x0，y0）在圆C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=o②②代入①得（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0又G（x0，y0）为圆C上任意一点可知，2s﹣8=0，2t=0，16﹣s2﹣t2=0解得s=4，t=0．所以在平面上存在一点p，其坐标为（4，0）．点评：此题第一问主要考查了利用椭圆的有关知识求圆的方程关键是要知道椭圆的左准线方程是x=．第二问考查了利用圆心到直线的距离公式求出d再利用半径，d，弦长的一半构成直角三角形再采用勾股定理即可求解．对于第三问较难但思路较简单即假设存在P （s，t），G（x0，y0）使得=成立，关键是得出（2s﹣8）x0+2ty0+16﹣s2﹣t2=0后怎么办是难点！实质上这是恒成立的问题只需系数和常数项为0即可求出s，t．20．已知函f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，试求实数m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）由已知中函数f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）=2x2﹣8lnx﹣14x 与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．解答：解：（1）因为f′（x）=2x﹣，所以切线的斜率k=f′（x）=﹣6又f（1）=1，故所求切线方程为y﹣1=﹣6（x﹣1）即y=﹣6x+7．（2）（x＞0）当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=﹣x2+14x=﹣（x﹣7）2+49如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解有唯一解设h（x）=2x2﹣8lnx﹣14x（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表x （0，4） 4 （4，+∞）h'（x）﹣0 +h（x）↘极小值﹣24﹣16ln2 ↗由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，∴h（x）的最小值为﹣24﹣16ln2，当m=﹣24﹣16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．。

2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。

南京市外国语学校高三下学期英语一模试题第一部分听力（共两节，满分20 分）第一节(共5小题)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What does the man want to do? :A．Apply for a job.B．Borrow the woman's car.C．Fill out an application for a loan2．When is the baseball game?A．On Thursday. B．On Friday. C．On Saturday.3．What does the man suggest the woman do?A．Hire a tutor. B．Practice more often. C．Join a study group4．What was the original price of the Jacket?A．$50 B．$75 C．$1005．What are the speakers talking about?A．A book. B．A play. C．A role.第二节(共15小题)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6至7题。

6．Why does the man come to town?A．To take some training. B．To see the dentist. C．To do some shopping.7．What does the man think needs improving?A．The lighting. B．The footpaths. C．The trains.听第7段材料，回答第8至9题。

2020年江苏省南京市十校高考数学模拟试卷(5月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x∈N|1≤x≤3}，B={2,3，4，5}，则A∪B=_______．2.复数z=(3+i)⋅i的实部是______．3.如图，茎叶图记录了A,B两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则较为稳定的那组同学成绩的方差为________．4.执行如图所示的伪代码，输出的结果是____________．5.某兴趣小组有2名女生和3名男生，现从中任选2名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为_____________．6.已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=1，S4=3，则S8=______．7.设函数f(x)={−x 2,x<0,g(x),x>0,若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．8.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图象向左平移π3个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是______．9.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，直线y=43x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为______．10. 以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．11. 在平行四边形ABCD 中，AD =√2，AB =2，若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．12. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ab +ba =6cosC ，则tanCtanA +tanCtanB 的值是______． 13. 已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2,2)，若AP 2+AQ 2=40，则弦PQ的长度的最大值为____________．14. 函数f(x)=x 3−ax 2+3ax +1有极值，则实数a 的取值范围是____． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA−sinB sinC=b+ca+b ．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)求4sinB −cosC 的取值范围．16. 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA =DP ．求证：(1)MN//平面PBC ； (2)MD ⊥平面PAB ．17. 2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O 1、O 2之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，O 1O 2⊥AB 于点M.设∠AO 2M =θ， (1)当θ=π4时，求喷泉ABCD 的面积S ；(2)求cosθ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大？18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且点(1,√32)在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求直线l 的方程．19.已知函数f(x)=ax2+x−1+lnx(a∈R)在点(12,f(12))处的切线与直线x+2y+1=0垂直．(Ⅰ)求函数的极值；(Ⅱ)若f(x)≥m−mx−x2在[1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．20.(本小题满分16分)已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，公比为q(q≠1).令A={k|a k=b k,k∈N∗}．(1)若A={1,2}，①当a n=n，求数列{b n}的通项公式；②设a1>0，q>0，试比较a n与b n(n≥3)的大小？并证明你的结论．(2)问集合A中最多有多少个元素？并证明你的结论．21.已知圆C:x2+y2=1在矩阵A=[a00b ](a>0,b>0)对应的变换作用下变为椭圆x29+y24=1，求a，b的值．22.在极坐标系中，已知圆C经过点P(2√2,π4)，圆心为直线ρsin(θ−π3)=−√3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．23.若x>1，求x+1x−1的最小值．24.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=1，PA=AB=√2，点E是棱PB的中点．(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值；(2)求二面角B−EC−D的余弦值．25.设数列{a n}同时满足以下三个条件：①对任意的n∈N※，a n∈N※，其中a2=2;②对任意的n∈N※，a n<a n+1;③对任意的正整数m，n，a mn=a m·a n(1)求a4，a8的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：{1,2,3,4,5}解析：本题考查集合的并集运算，属基础题．解：集合，B={2,3，4，5}，则A∪B={1,2,3,4,5}．故答案为{1,2,3,4,5}．2.答案：−1解析：解：∵z=(3+i)i=3i−1，∴z的实部为−1．故答案为：−1．先对复数进行化简，然后根据z=a+bi的实部为a，可求．本题考查复数代数形式的乘法运算，复数的基本概念，是基础题．3.答案：83解析：本题考查了茎叶图的数据统计中，求平均数以及方差，关键是熟记公式．由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．解：由已知可得甲的平均成绩为89+92+953=92，方差为13[(89−92)2+(92−92)2+(95−92)2]=6；乙的平均成绩为90+92+943=92，方差为13[(90−92)2+(92−92)2+(94−92)2]=83，。