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高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：1、解： (,)()f x y x y x y y +-=+[]1()()()2x y x y x y =++-- (,)()2x f x y x y ∴=- 2、解：22cos (,)1x e y f x y x y =++在点（1，0）连续 '221cos cos0lim 11102x x y oe y e e x y →→∴==++++ 3、解：原式=0000(2,)(,)lim 22h of x h y f x y h→+-⋅ 0000(,)(,)lim h o f x h y f x y h→--+- ='''0000002(,)(,)3(,)x x x f x y f x y f x y +=4、解：若(,)z f x y =可微，则,z z x y∂∂∂∂存在， 反之成立，故偏导数存在是可微必要条件5、解：()xy dz e ydx xdy =+在（1，1） '()dz e dx dy =+6、解：（1）2(,1)1()z x x x x ϕ=++=2()1x x x ϕ∴=--（2）222(,)1z x y x y y x x =++--（3）212z xy x x∂=+-∂ 7、解：22222200R x y x y r ⎧--≥⎪⎨+->⎪⎩ ∴定义域{}2222(,)R D x y r x y =<+< 8、解：'2'4,2x y f x a y f xy b =++=+又(1,1)0f =，'(1,1)0y f =即410a ++=，20b +=5,2a b ∴=-=-9、解：令222'1,2,x F x y z F x =++-=''2,2y z F y F z ==（2）z x x z ∂=-∂，z y y z ∂=-∂ （3）22231(0)z z xy z x x y z y z y x∂∂-∂=+==∂∂∂∂∂ 20XXXX 、解：方程两边全微分：2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+-(23)[2cos(23)1]0dx dy dz x y z +-+--=∴23dx dy dz +=,2123z x =,2223z y = 故22122z z x y += 20XXXX 、解：令'',,z z x z F e xyz F yz F e xy =-=-=-''2x z F z yz x F e xy∂=-=∂- 20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）交换二次积分次序：原式＝I=2100(,)y dy f x y dx ⎰⎰20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）选择积分次序：为了不分片先对y 分积分，后对x 积分原式＝221121()x dx x d y -⎰⎰=2211()1x x dx y x -⎰ 20XXXX、解：（1）画出积分区域D （2）为了不分片先对x 分积分，后对y 积分 原式＝2111222000(1)y dy y dx y y dy +=+⎰⎰⎰ ＝11530011118535315y y +=+=⎰⎰ 20XXXX 、解：（1）画出12D D D += 1:01,02D y x y ≤≤≤≤ 2:13,03D y x y ≤≤≤≤-（2）交换积分次序I ＝()2302x x dx f x y dy -⋅⋅⎰⎰ 20XXXX 、解：（1）画出积分域D（2）交换积分次序I ＝21120sin sin y y o y y y dy dx x dy y y y=⋅⎰⎰⎰ ＝110sin cos o dy dy y +=⎰⎰ 111cos cos sin 000y y y y -+-1sin1=-20XXXX 、解：（1）画出积分区域D（2）改用极坐标定限，计算2cos 3204cos sin r r I d rdr rπθπθθθ=⎰⎰ 22cos 204sin cos 2r d πθπθθθ=⋅⎰324sin cos 2d ππθθθ=⋅⎰3242cos cos d ππθθ=-⎰ 42411cos 28ππθ=-= 20XXXX 、解：（1）画出12D D D +=（2）改用极坐标定限，计算2204R r I d e rdr ππθ-=⋅⎰⎰ 201242rR e ππ-⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111428R R e e ππ--=⋅-=- 20XXXX 、解：（1）化为无条件极值 22()z x z x =+-一元函数的极值（2）'22(2)0x z x x =--=， 440,1x x -==''40xx z =>极小值221(21)2z =+-= 注：22'(2),20,x F x y x y F x λλ=+++-=+= '20y F y x y λ=+=→=代入约束条件2x y +=得驻点1,1x y ==。
微积分练习册[第八章］多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：(1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f (2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4)若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7）函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2。
求下列极限： （1)xy xy y x 42lim0+-→→（2)x xyy x sin lim0→→(3）22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→3。
证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5。
函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0,0)处是否连续？为什么习题8—2偏导数及其在经济分析中的应用1。
填空题 (1)设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （2)设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ； （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4)设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ； （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在(1,1）点的二阶偏导数4。
