2020人教版八年级下册数学第十七章勾股定理17.1勾股定理同步练习含答案

17.1勾股定理 同步练习

一、选择题

1、在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．

2、如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ）

A．12 cm2 B．15 cm2 C．144 cm2 D．306 cm2

3、我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）

A． B． C． D．

4、如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝2，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）

A．2.2 B． C． D．

5、如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是（ ）

A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺

6、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为（ ）

A．3 B．3 C．6 D．6

7、如图，有一个由传感器控制的灯A装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )

A．4 m B．3 m C．5 m D．7 m

8、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是(

)

A．(3＋8)cm B．10 cm C．14 cm D．无法确定

9、如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（ ）

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米

10、如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（ ）米 A. B. C. +1 D. 3

11、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了该图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2016次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）

A. 1 B. 2015 C. 2016 D. 2017

12、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5

D. 6

二、填空题

13、若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为

．

14、.如图，写出字母所代表的正方形面积，SA= ，SB .

15、如图所示，在，是的平分线，cm，求的长 .

16、 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

17、为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，则图书室E应该建在距点A

km处，才能使它到两所学校的距离相等。

18、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC=5，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

三、简答题

19、在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）

20、如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．

21、如图，客轮沿折线A－B－C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A－B－C的某点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍。

（1）选择：两船相遇之处E点（ ）。

A、在线段AB上 B、在线段BC上 C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上

（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。

22、《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km／h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m的C处，过了2 s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为50 m，则这辆小汽车超速了吗?说明理由．

23、问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．

24、如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，

（1）如图△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，求证：△ABC是“美丽三角形”；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长．

参考答案

一、选择题

1、C；2、C；3、D；4、D；5、C；6、D；7、A；8、B；9、A；10、C；11、D；12、C

二、填空题

13、 13

14、625 144

15、

16、8

17、10 km

18、76

三、简答题

19、解：∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m，AC=5m， ∴（m），

∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，

∴CD=13﹣0.5×10=8（m），

∴（m），

∴）（m）．

答：船向岸边移动了）m．

20、解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．

∵AB=A′B′，

∴A′O2+OB′2=40．

∴OB′==．

∴BB′=6﹣．

21、解：（1）B

（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过D作DF⊥CB于F，连结DE，

则DE＝，AB＋BE＝

∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中点

∴DF＝100，EF＝300－

在Rt△DEF中，，解得

∵＞200，故DE＝

答：设货轮从出发到两船相遇共航行了海里。

22、超速

23、定理表述： 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．

证明：∵S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE，

＝×2+，

又∵S四边形ABCD＝＝，

∴＝×2+，

∴（a+b）2＝2ab+c2，

∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，

∴a2+b2＝c2．

24、（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝1，

由勾股定理得，AD＝＝2，

∴AD＝BC，即△ABC是“美丽三角形”；

（2）解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图2，

BC＝＝3，

当BC边上的中线AE等于BC时，

AC2＝AE2﹣CE2，即BC2﹣（BC）2＝（2）2， 解得，BC＝4，

综上所述，BC＝3或BC＝4．