高中数学_2.4.1 函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。

本节课的内容起到了承上启下的作用。

本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。

难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。

通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。

二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。

理解函数零点和方程的根的关系。

(3)理解函数零点存在的判定条件。

2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。

3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。

学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。

教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。

(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。

函数与方程函数的零点（一）教学目标1、知识技能目标：(1)通过观察二次函数的图象，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程根的关系.(2)理解并会应用函数零点存在的判定方法。

2、过程方法目标：(1)在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合思想的意义和价值.(2)通过运用多媒体的教学手段，引导学生主动研究函数的零点与方程根的关系，层层深入,各个击破,体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣.3、情感态度、价值观目标：(1)培养学生自主发现、探究实践的能力，增强学生数形结合的思维意识.(2)在解题的过程中，逐步养成扎实严格、实事求是的科学态度.（二）教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法.难点：1.利用函数的零点作图.2.理解零点存在定理.（三）教学方法本节课采用了“问题驱动式翻转谐振课堂模式”，坚持以学为本，教师为学生的学习提供智慧的服务，实现教学方式的翻转。

采用探究、归纳、启发、诱导、讲练结合的教学方法，借助多媒体和投影仪等直观呈现教学内容，加强师生互动、生生互动，提高课堂效率。

（二）以旧带新，引入课题利用课前小测引入转化思想，函数与方程的转化、数与形的转化。

以旧带新，降低学习难度，激发学习兴趣（三）总结归纳，形成概念分组讨论，探究零点中需要注意的问题，以及三个等价关系。

（四）典型例题例1．求下列函数零点老师规范解题步骤（五）巩固练习练习1：口答下列函数的零点通过练习1巩固学生求零点的方法；练习2强化零点与方程根的关系，以及分类讨论的思想（六）零点性质通过观察函数图象，引导学生发现零点的两条性质：变号，同号小组讨论，分享看法，提升观察、分析、归纳能力（七）典型例题强化求零点的步骤，并引导作出函数图象。

（八）追根溯源和学生一起了解方程的求根公式的发展历程二次方程求根公式三次方程求根公式四次方程求根公式五次及以上方程求根公式及数学家通过了解数学史，让学生了解数学背景。

（九）零点存在性定理通过观察图象引导学生总结出异号有零点的结论，并对零点存在性定理展开讨论，找出其中的关键词。

2.4.1《函数的零点》教学设计一、教材与教学分析1．函数的零点在教材中的地位本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容，它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上，对函数知识的进一步延伸和拓展，为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。

它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用，地位至关重要。

2．教学目标分析①知识能力方面：（1）.掌握函数零点的概念，会求函数的零点.（2）.掌握二次函数零点的判定方法.（3）.会运用性质做出简单三次函数的大致图像.②数学核心素养方面：（1）.在探索方程根与函数零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生数学抽象与数学建模素养；(2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中；培养学生数形结合与直观想象的核心素养.3.教学的重点：函数零点的概念与性质；判定二次函数零点的个数；会求函数的零点.教学的难点：函数零点的应用值为四、函数零点的性质 性质1，问题1．请同学们通过列表研究一次，二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的？ 问题2．如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？问题3．如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴一定有什么关系？ 性质2，问题4.通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？1.通过列表，学生从数上理解函数零点的性质12.通过几何画板的演示，使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。

3.培养学生分析问题探究问题的能力，培养学生数形结合思想，直观想象的核心素养。

师：观察函数12-=x y ，2()6f x x x =--的图像，在零点两侧附近函数值的符号是如何变化的？一生投影展示，大胆给出结论 师：性质1.（板书）师：如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？生：不变号师：如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴有什么关系？生：相交师：通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？师：性质2（板书） 五、性质简单应用 1.运用零点的性质，求函数22)(23+--=x x x x f 的零点，画出函数的图像。

2.4函数的零点【学情分析】本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

【学习内容分析】本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。

函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。

由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。

这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

函数的零点教案设计※教案背景（1）、课题：函数的零点（2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点（3）、课时：1课时※教材分析（1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。

函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

（2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。

※教学目标：1、知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。

（2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。

2、过程与方法（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。

（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。

※教学重点：是函数零点的概念及求法※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法：※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。

※教学环节（一）、课前延伸1、知识链接，温故知新求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。

通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。

《函数的零点》教案及反思兴化市第一中学张俊1 教材目标知识与技能：1、了解函数零点的概念，能够结合具体方程，说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系．2、理解函数零点存在性定理，了解图象不间断的意义及作用．过程与方法：1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．情感、态度与价值观：1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．2、体验规律发现的快乐．2 教材分析本节内容为苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第2章《函数与方程》的2.5.1，主要内容为函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．因此函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位．本节课不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．3 教学重点函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存在零点的判定方法．4 教学难点发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．5 教学结构设计（一）创设情境，以旧带新1、你会解吗？（1）；（2）．意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．2、请你填空，探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0根函数图象图象与x轴的交点问题1：从该表你可以得出什么结论？意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.（二）启发引导，形成概念．问题2：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？意图：为引出函数零点的概念做准备．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例．师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场用几何画板展示类似如下函数的图象：，，，．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．问题4：你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？（学生讨论，教师补充归纳）说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．引导学生归纳：判别式ΔΔ＞0 Δ＝0 Δ＜0方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1 =x2没有实数根函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象函数y=ax2+bx+c (a>0)的无零点零点（二）逐层推进，深化概念．讨论：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习：求下列函数的零点：（1），（2）．意图：（1）使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根），（2）产生认知冲突，激发学生求知欲．引导学生据练习题（2）提出问题：如何判断函数有没有零点？（三）实例探究，归纳定理．零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．让学生通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系得出不严密的结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x∈[，2]；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]；意图：通过简单的练习适应定理的使用．（3）．意图：由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断一条曲线，且f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．（四）正反例证，臧息相辅例1 求证：函数在区间上存在零点．意图：巩固函数零点存在定理．思考：判断函数是否有零点?若有在哪里？有几个？例2判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．（× ）（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上图象是不间断的，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．（× ）（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．（× ）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“图象不间断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．（四）课堂小结，作业布置小结：本节课你学到了什么？除此外，你还有什么收获？作业：书第81页题1、2教后反思本节课自始至终都运用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃．1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题．本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的关系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，几何画板画图象，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学．2、渗透数学思想方法重在平时当学生有一天不再学习数学了，我们给他们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法．本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方式的合理渗透，如特殊一般，数形结合，类比归纳等的交叉运用．3、问题设计合理通过层层深入，由浅入深，由特殊到一般的阶梯式问题，有效的降解了本课的难点，帮助学生实现了思维的腾飞．美中不足的是教学重点不是太突出，零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务．在这一任务的达成度方面，本课还需更加浓墨重彩的予以突出．另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向．继续阅读。

各位评委老师，各位同事，下午好！我是高一数学组李媛，今天我说课的题目是《函数的零点》，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》B版必修一2.4.1。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计六个方面来进行阐述。

【教材分析】从中学教材结构看，本节起着承上启下的作用。

本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。

给出函数零点概念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应承载建立函数与方程数学思想的任务。

本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点求法及性质，这两者显然是为“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的。

【学情分析】在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。

但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。

因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系有较为全面的认识。

【教学目标分析】根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：了解函数的零点的概念，理解方程的根与函数零点之间的关系。

过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力培养学生的归纳概括能力。

能力与情感目标：培养学生独立思考,自主观察和探究的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。

【重难点分析】教学重点：函数零点的概念及求法。

教学难点：利用函数的零点作图。

【教法分析和学法指导】结合本节课的教学内容和学生的认知水平：在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用体验学习及问题探究教学方法，通过学生亲历教师预设的各种问题情景，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养学生的独立探究能力和态度。

函数的零点教案设计【百度搜索】 /stu1_course/0910shang/08281006001/SK_SX_13_01_003/。

说明：通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x 轴交点与相应方程根的关系。

这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。

3、自主学习，了解概念自学课本第70页，通过二次函数62--=x x y 的图像与x 轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。

（师用投影仪展示图像，学生回答概念）4、收集问题，把握学情通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。

教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。

(二)、课内探究1、创设情境，导入新课实际问题情境：在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A 点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B 点的坐标为(6，5)(1)求这个二次函数的解析式；(2)该男同学把铅球推出去多远？说明：学生经过思考，得到结论：要求二次函数与x 轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。

2、合作探究，形成概念问题1：课本第70页，通过画二次函数62--=x x y 的图像,了解当y=0,y>0,y<0相应x 的取值（学生回答），初步了解函数零点的概念。

问题2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点,进一步了解零点概念。

小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0,则 α叫做这个函数的零点。

在坐标系中表示图像与x 轴的公共点(α,0)点。

2.4.1函数的零点教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：”数形结合”思想和”转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确”方程的根”与”函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握”由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验”数学语言”的严谨性，”数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.教学过程导入新课(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3=0的根，画函数y=x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x+1=0的根，画函数y=x2－2x+1的图象.③求方程x2－2x+3=0的根，画函数y=x2－2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图3－1－1－2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3－1－1－3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3－1－1－4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用”转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过”平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1，0)、(x2，0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1，0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f (x )=x 2－2x －3的图象，我们发现函数f (x )=x 2－2x －3在区间［－2，1］ 上有零点.计算f (－2)与f (1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2，4］同样如此.可以发现，f (－2)f (1)<0，函数y =x 2－2x －3在区间(－2，1)内有零点x =－1，它是方程x 2－2x －3=0的一个根.同样地，f (2)f (4)<0，函数y =x 2－2x －3在(2，4)内有零点x =3，它是方程x 2－2x －3=0的另一个根.图3－1－1－2 图3－1－1－3 图3－1－1－4应用示例例1若方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径. ③有两种情况：a .a =0;b .a ≠0，Δ≥0. 解：令f (x )=2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内恰有一个解时，f (0)·f (1)<0或a ≠0且Δ=0， 由f (0)·f (1)<0，得(－1)(2a －2)<0，所以a >1.由Δ=0，得1+8a =0，a =81- ∴方程为41-x 2－x －1=0，即x =－2∉(0，1)(舍去).综上可得a >1. (2)当方程2ax 2－x －1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a容易解得实数a 不存在.综合(1)(2)，知a >1. 变式训练若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a =0时，x =0满足题意. (2)当a ≠0时，设f (x )=ax 2+3x +4a .方法一:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 方法二:若方程ax 2+3x +4a =0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a aa 解得0<a ≤43. 综上(1)(2)，得0≤a ≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组. (2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0，x 1)时，求证：x <f (x )<x 1；(2)设函数f (x )的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f (x )－x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f (x )－x =0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0，x 1)时，有f (x )－x =a (x －x 1)(x －x 2)=a (x 1－x )(x 2－x )>0，即f (x )－x >0. 又∵f (x )－x =a (x 1－x )(x 2－x )<a ·a1(x 1－x )=x 1－x ，即f (x )－x <x 1－x ，故0<f (x )－x <x 1－x ，即x <f (x )<x 1.(2)∵f (x )－x =ax 2+(b －1)x +c ，且f (x )－x =0的两个根为x 1、x 2， ∴二次函数f (x )－x 的对称轴为x =221x x +=a b 21--.∴21x=22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1，∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0，即x 0<21x.变式训练1.已知二次函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且其两零点分别为x 1、x 2，求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f (3－x )=f (3+x )，∴函数f (x )的图象上有两点(3－x ，y )、(3+x ，y )关于x =3对称.∴二次函数f (x )的对称轴为x =3. ∵x 1、x 2为二次函数f (x )的两个零点， ∴x 1+x 2=6.2.若函数f (x )满足f (3－x )=f (3+x )，且函数f (x )有6个零点，求所有零点的和. 解：同理函数f (x )的对称轴为x =3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a ，两个根为x 1、x 2，则二次函数解析式为f (x )=a (x －x 1)(x －x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f (x )的对称轴为x =221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y =e x +4x －4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性.(2)作出y =e x 和y =4－4x 的图象，把函数y =e x +4x －4的零点的个数转化为方程e x =4－4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数. 解：(方法一)利用计算机作出x ，f (x )的对应值表：由表和图可知，f (0)<0，f (1)>0，则f (0)f (1)<0，这说明f (x )在区间(0，1)内有零点，由于函数在定义域(－∞，+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y =e x 和y =4－4x 的图象(图3－1－1－10)，即可直观地看出零点的个数为1.图3－1－1－10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f (a )f (b )<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的. 拓展提升1.已知m ∈R ，设P:x 1和x 2是方程x 2－ax －2=0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f (x )=3x 2+2mx +m +34有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2，∴|x 1－x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+. 当a ∈［1，2］时，8a 2+的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m ≤8. 由已知得Q 中:f (x )=3x 2+2mx +m +34的判别式Δ=4m 2－12(m +34)=4m 2－12m －16>0，得m <－1或m >4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4，8］.2.如果函数y =f (x )在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )f (b )>0，那么函数y =f (x )在区间(a ，b )内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［－3，3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3－1－1－11).图3－1－1－11 图3－1－1－12(2)可能有一个零点如图(图3－1－1－12).(3)可能有两个零点如图(图3－1－1－13).图3－1－1－13 图3－1－1－14(4)可能有三个零点如图(图3－1－1－14).(5)可能有n(n∈N*)个零点，图略.点评：在区间［－3，3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.。

函数的零点教学设计数学科学学院杜建设指导老师刘洋一、教材分析：1 函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1第三章第一节。

2地位与作用：函数是高中数学的核心概念，而函数的零点又是其中的一个链接点，它从不同角度将数与形，函数与方程有机的联系起来，本节课的学习又为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用。

3教学重点：函数零点的概念及求法难点：利用函数的零点作图二、教学目标1.知识与技能(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 理解方程的根和函数零点的关系。

(3) 理解函数零点存在的判定条件。

2.过程与方法(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。

以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3.情感态度与价值观(1)从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、教法学法：采用学案导学，以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法。

四、教学过程：为顺利完成本节课的教学目标，现制定以下教学环节：（一）问题引入：（1）一元二次方程是否有实根的判定方法是什么？（2）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？设计意图：为学生顺利进入新知探究做好铺垫。

以旧引新，也利于学生建构知识网络。

（二）新知探究此过程是本节课的重点，在这里我以学生熟悉的二次函数为载体，以问题串的方式，组织学生自主探究，通过归纳、概括形成概念。

具体做法如下：1 概念形成问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。

函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

x设计意图：①从学生最熟悉的问题入手，便于学生动手动脑，更利于学生激起求知欲望；②最后用多媒体展示作图过程，进一步提高学生的作图能力。