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用法向量确定二面角大小的三个基本关系作者：程映军来源：《甘肃教育》2012年第23期〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相关关系〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝]⊥[m][➝]⊥⇒[m][➝]·=0[m][➝]·=0⇒x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得y=-x，z=-xy1-y0 z1-z0y2-y0 z2-z0 ≠0. 记λ1=-，μ1=-，则[m][➝]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；同理，λ2=-，μ2=-x1-x0 z1-z0x2-x0 z2-z0 ≠0，则[m][➝]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；令λ3=-，μ3=-x1-x0 y1-y0x2-x0 y2-y0 ≠0，则[m][➝]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.有以下事实：①当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角与二面角α-l-β互为补角（图1）.②当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角与二面角α-l-β大小相等（图2）.对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解析：（1）（2）略.（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.设平面VBC的一个法向量[n][➝]=（x1，y1，z1），由[n][➝]⊥[n][➝]⊥得-ax1=0-ay1+az1=0，取z1=1，得[n][➝]=（0，，1），此时法向量[n][➝]指向二面角A-VB-C的外侧.同理可得平面VAB的一个法向量[m][➝]=（2，-，1），此时，法向量[m][➝]指向二面角A-VB-C的内侧.∴cos==-.所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.例2：在正方体中，二面角的大小为 .解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][➝]=，[n2][➝]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.∴cos==.即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.。
如何利用空间向量准确确定二面角的大小 摘要：使用空间向量，使立体几何问题代数化，演绎难度降低，解题路子更宽阔，用简单的代数运算取代了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，解题思路方向明确。
特别是对于解决空间二面角问题，不必为如何解（证）和做辅助线问题而煞费苦心. 但是对于两向量所成的角什么时候就是所求二面角，正确理解和准确掌握两向量所成角与所求二面角之间的大小关系,对求二面角有重要的意义，对解决高考中的二面角问题有着重要的指导作用。
关键词：空间直角坐标系、二面角、法向量、二面角的内部、外部、相等、互补。
向量由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，拓展了中学数学问题解决的思维空间.近几年的高考立体几何知识内容的考察一般以“方便建系”及“常规方法”为原则，使得考生能自由选择解法，即常规方法或向量解法，相比较向量法使将立体几何问题代数化，避免了复杂的几何证明和纷繁复杂的辅助线，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。
题干一般以“关系”证明，空间角、距离、截面面积、体积计算为求解目标。
从2007年全国各地19套37份试卷和近几年的高考试题来看，空间二面角成为考察的重点和难点。
但是，用空间向量知识解决立体几何中的二面角问题时我们往往会这样一类棘手的问题，两向量所成角的大小是否就是所求二面角的大小，即两向量所成角φ与所求二面角θ相等还是互补。
而利用空间向量求二面角一般有以下两种方法方法一：：如图1所示，在二面角βα--l 的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与棱l 垂直的两向量21n n 、（21n n 、起点或终点一般选取平面内的某一特殊点），则二面角βα--l 的大小θ等于向量21n n 、的夹角φ，即 1212cos cos .||||n n n n θφ⋅==⋅1212arccos ||||n n n n θ⋅=⋅ 显然用此方法中φ=12n n 、=θ，二面角βα--l 的大小即为21n n 、所成角的大小。
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。
2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。
二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有（图2）；2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。
四．应用举例例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。
而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。
根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一． 规定法向量的指向方向
1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，
如：图1中的1n 向量。
2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。
二． 法向量的夹角和二面角大小的关系
1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--
l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有πϕθ=+（图2）；
2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时ϕθ=（图3）
图2
图3
三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向
1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=n ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量n 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。
四．应用举例
例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其
(=
方向。
解：以D 为原点建立空间直角坐标系，则E(1，
21,0) 、F(2
1
，1,0) 、 G(1,0，2
1
)由此得:
)21,21,0(-=)021,21(-=
设平面的法向量为),,(z y x = 由⊥及⊥可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
-=∙=-=∙021*******y x z y ⎩
⎨
⎧==⇒y z y x 令y=1取平面的一个法向量为)1,1,1(=n
评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量即可，再令其从原点出发，做出法向量)1,1,1(=n 如图所示，方向指向二面角G —EF —D 的外部。
例题2. 如图7，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图，建立空间直角坐标系． 依题意：A 1（0，0，2），D （0，4，0）． ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)0,2,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A 半平面面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,
022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨
⎧==⇒,2,13
12a a a a ∴)2,,(1112a a a n = 令a 1=1，则)2,1,1(2=n
做出从原点出发的向量)2,1,1(2=n ，如图所示，从图形得出，半平面AA 1D
y
z
的法向量)0,0,1(1=n 的方向指向为二面角A —A 1D —Q 的里面，半平面A 1DQ 的法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。
即：
cos θ
=6
66
11,cos 21=⋅=
>=
<n n ． ∴二面角A —A 1D —Q 的大小为6
6arccos。
评析（1）传统方法求二面角大小时需三个步骤：“找——证——求”，而用法向量求二面角大小时简化成了两步骤：“判断——计算”，这在一定程度上降低了学生解决立体几何问题的难度，也体现了各部分知识间的贯通性和灵活性，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。
（2）求出法向量此)2,1,1(2=n 之后，在坐标系中令其从原点出发做出此法向量，然后判断其方向指向，即指向二面角A —A 1D —Q 的里面，又半平面A 1DQ 的法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。
从而，二面角的大小利用向量的数量积而求得。
例题 3. 如图8，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠
A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2
1。
求侧面SCD 与面SB A
所成的二面角的余弦值。
解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系，
则S （0，0，
2
1
）， A （0，0，0）， B （0，1，0），C （1，1，0），D （2
1
，0，0），
)2
1
,1,1(),21,0,21(-=-=，
显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)， 设平面SCD 的一个法向量为2=(x ，y ，z )，则2n ⊥平面SCD
∴ )214121(,2102200
2
22,,n z z y x z x n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅则取
由图知，半平面SB A 的法向量为1n =(1，0，0)的方向指向面SCD 与面SB A 所成
的二面角的里面，半平面SCD 的法向量)2
1
,41,21(2-=n 指向面SCD 与面SB A 所
成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得：
cos θ=3
2,cos 212
121=⋅>=
<n n n n ∴所求的二面角的余弦值为
3
2. 若在：)21
4121(,2102202--=-=⎩⎨
⎧=-+=-,,n z z y x z x 则取 这时，两个半平面的法向量就都指向面 SCD 与面SB A 所成的二面角的里面了， 如图9，两个法向量的夹角与二面角的 大小互补，即：
θ=-π<>21,n n
∴cos θ=32
|
|||,cos 212
12
1=>=<-n n n n
<注：在求得关于x,y,z 的关系式，给z 赋值时，由于版面的空间有限，只好取z=2
1
，
而通常我们在做题时，一般都令z=1,这样便于计算。
>
评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）法向量的取法可以灵活多变，但做出法向量的时候，要遵循一个原则，即：从原点出发。
将向量知识引进中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，又给很多问题的解决增加了亮点，比如：在解析几何上，在立体几何上都有其非常广泛的应用，向量知识必将逐步的被我们广大师生所接受所认可并发挥其应有的作用。
图9。
