与分式方程的增根有关的问题(2016.5.4)

分式方程有增根的题1. 什么是分式方程？分式方程是指方程中包含有分式的方程，其中包括未知数、常数和系数。

分式方程一般可以写成以下形式：其中、、、为已知常数，而为未知数。

2. 分式方程有增根的意义是什么？当一个分式方程存在增根时，意味着该方程在某些特定条件下会有额外的解。

这些额外的解可能会对问题的求解产生影响，因此我们需要找到这些增根并加以考虑。

3. 如何求解一个分式方程有增根的题目？要求解一个分式方程有增根的题目，我们可以按照以下步骤进行：步骤1：化简分式方程首先，我们需要将分式方程进行化简，以便更好地理解和处理。

通过将分子和分母进行因式分解，可以简化方程的形式。

步骤2：确定方程的定义域在求解分式方程时，我们需要注意其定义域。

由于分母不能为零，因此我们需要找到使得分母为零的值，并将其排除在解的范围之外。

步骤3：求解增根当我们确定了定义域后，我们可以尝试找到使得方程成立的额外解。

通常情况下，增根可能会出现在原始方程中无法满足的条件下。

为了求解增根，我们可以将原始方程转化为一个等价的代数方程，并进一步对其进行求解。

这可能涉及到一些代数运算和推导过程。

步骤4：验证和整理解集在求得所有可能的增根后，我们需要将这些增根与原始方程进行验证。

只有满足原始方程的条件才能被认为是有效的解。

最后，我们还需要整理和总结所有的解，并将其表示成合适的形式。

这样可以更清晰地展示出问题的答案。

4. 一个具体的例子让我们通过一个具体的例子来进一步说明分式方程有增根的题目是如何求解的。

例题：求解分式方程步骤1：化简分式方程我们首先将该分式方程进行化简，得到 )步骤2：确定方程的定义域由于分母为，我们需要排除使得成立的值。

因此，定义域为步骤3：求解增根接下来，我们需要找到额外的解。

在这个例子中，原始方程中只有一个未知数，因此我们只需要找到一个额外的解。

将原始方程进行展开和整理后，我们可以得到。

继续整理可得到，解得因此，额外的解为步骤4：验证和整理解集最后，我们需要验证这个额外的解是否满足原始方程。

标题：探究分式方程的增根和无解现象一、引言分式方程作为高中数学中的重要内容，既有着理论性的抽象性，又有着实际问题的应用性。

在探究分式方程的解的过程中，我们经常会遇到一些特殊的情况，即增根和无解的情形。

本文将深入探讨分式方程有增根和无解的情况，并通过给出20道题目，帮助读者更好地理解和掌握分式方程的解法。

希望通过本文的阐述，读者能够对分式方程有增根和无解的情况有更加深入的认识。

二、分式方程有增根和无解的现象1. 分式方程的定义及一般形式在分式方程中，我们通常会遇到形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的方程，其中a、b、c、d、e为已知数，x为未知数。

我们的目标是求出x的值，使得方程成立。

2. 分式方程有增根的情况当我们解分式方程时，有时会得到多个不同的x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程有增根的现象。

对于方程$\frac{2x+3}{x-1}=3$，我们发现当x=3时，方程成立，同时当x=2时也成立。

这便是分式方程有增根的典型情况。

3. 分式方程无解的情况另有时我们解分式方程时却找不到任何一个x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程无解的现象。

对于方程$\frac{2x+1}{x+3}=3$，我们无法找到任何一个x值能够使方程成立，这便是分式方程无解的典型情况。

三、20道题目示例我们通过以下20道题目来帮助读者更好地理解和掌握分式方程有增根和无解的情况。

1. $\frac{2x+3}{x-1}=3$2. $\frac{3x-5}{2x+4}=2$3. $\frac{4x-2}{2x+3}=5$4. $\frac{5x+1}{3x-2}=4$5. $\frac{2x+1}{x-2}=3$6. $\frac{4x-3}{2x+5}=2$7. $\frac{5x-2}{3x+1}=6$8. $\frac{3x+2}{x+1}=2$9. $\frac{2x-1}{x+3}=4$10. $\frac{6x+2}{3x-4}=1$11. $\frac{4x+3}{x-2}=3$12. $\frac{7x+1}{4x+3}=5$13. $\frac{5x-3}{2x-1}=4$14. $\frac{3x+2}{x-5}=2$15. $\frac{2x-3}{x-4}=3$16. $\frac{8x-2}{4x-1}=5$17. $\frac{4x+5}{2x-3}=6$18. $\frac{5x+2}{3x-1}=4$19. $\frac{6x-1}{3x+2}=2$20. $\frac{7x+3}{2x-1}=3$四、总结和回顾在本文中，我们深入探讨了分式方程有增根和无解的情况。

与分式方程的根有关的问题【知识梳理】1、解分式方程的基本步骤：(1)去分母,即在方程两边都乘以 最简公分母 ,把原方程化成 整式方程 。

(2)解这个整式方程;(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根, 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.2、分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程 后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看其是否为0.3、增根必须同时满足两个条件：（1）使分式方程的最简公分母为零的根。

（2）是由分式方程转化成整式方程的根。

【问题分析】问题一：关于分式方程增根问题1、已知含参分式方程，求增根问题例1： 若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是？变式练习：若关于x 的方程7667=---x kx x 有增根，则增根为 。

2、已知分式方程有增根，求字母系数的值例题2：若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。

变式练习：关于x 的分式方程1122k x x +=--有增根，求k 的值 。

3、已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围例题3：当a 取何值时，解关于x 的方程：()()x x x x x a x x x ---++=+-+12212212无增根？变式练习:当m 为 时，分式方程()01163=-+--+x x m x x x 无增根？ 4、已知分式方程根的符号，求字母系数的值或取值范围例题4：关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是？变式练习：已知关于x 的方程322=-+x mx 的解是正数，则m 的取值范围为__ ___。

2016年05月20日的初中数学组卷一．解答题（共24小题）1．（2015秋•长春校级月考）关于x的方程+=有增根，求k的值．2．（2015春•靖江市校级月考）若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．3．（2015春•安岳县校级月考）若关于x的方程+=有增根，求增根和k的值．4．（2015春•简阳市校级月考）（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．5．（2014春•宜宾校级期中）若分式方程有增根，求m的值．6．（2015秋•潍坊校级月考）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．7．（2014春•安溪县校级月考）若解关于x的方程产生增根，求k的值．8．（2013春•东区校级月考）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．9．（2013秋•钟祥市校级期中）当k为何值时，分式方程有增根？10．（2012秋•华龙区校级期中）（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．11．（2011秋•洪湖市校级月考）若关于x的分式方程﹣=存在增根，求m的值．12．（2010春•慈溪市期末）当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？13．（2009春•重庆期中）已知关于x的方程有增根，求m的值．14．当m为何值时，=有增根．15．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．16．已知关于x的分式方程+1=出现增根x=﹣1，求k的值．17．若关于x的方程+=有增根，求a的值．18．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．20．若关于x的分式方程有增根，求m的值．21．若分式方程++2=0有增根x=2，求a的值．22．去分母解关于x的方程+=0得到使分母为0的根，求m 的值．23．若关于x的分式方程+=有增根，求m的值．24．当m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？2016年05月20日的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共24小题）1．（2015秋•长春校级月考）关于x的方程+=有增根，求k的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由最简公分母为0求出x 的值，代入整式方程计算即可求出k的值即可．【解答】解：去分母得：x+2+k（x﹣2）=3，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4=3，不成立；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4k=3，即k=﹣0.75．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（2015春•靖江市校级月考）若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，即为增根，进而确定出k的值．【解答】解：最简公分母为3x（x﹣1），去分母得：3x+3k﹣x+1=﹣2x，由分式方程有增根，得到x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=﹣．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．（2015春•安岳县校级月考）若关于x的方程+=有增根，求增根和k的值．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x﹣2）（x+2）=0，所以增根是x=2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2），得x+2+k（x﹣2）=3，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）（x+2）=0，∴x=2或﹣2，把x=2代入整式方程得：4=3，故矛盾，∴x≠2，把x=﹣2代入整式方程得：k=﹣．∴x=﹣2，k=﹣．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．（2015春•简阳市校级月考）（1）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．（2）若方程=﹣1的解是正数，求a的取值范围．【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．（2）先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx=3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4．把x=﹣2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a=2﹣x解得：x=，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的增根、分式方程的解、一元一次不等式，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．（2014春•宜宾校级期中）若分式方程有增根，求m的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，得到x=﹣1或1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，解得x=﹣1或1，当x=﹣1时，m=﹣4；当x=1时，m=6，故m的值可能是﹣4或6．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（2015秋•潍坊校级月考）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．【解答】解：去分母得：3x+3﹣x+1=x+kx，由分式方程有增根，得到3x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：4=0，矛盾，舍去；把x=1代入整式方程得：k=5．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．（2014春•安溪县校级月考）若解关于x的方程产生增根，求k的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得k+2（x﹣3）=4﹣x，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=1．【点评】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．（2013春•东区校级月考）若关于x的方程有增根，求增根和k的值．【分析】根据解分式方程的步骤，可得相应的整式方程的解，根据分式方程无解，可得答案．【解答】解；方程两边都乘以3x（x﹣1），得3（x+1）﹣（x﹣1）=x（x+k）化简，得x2+（k﹣2）x﹣4=0．∵分式方程无解，∴x=1或（x=0舍），x=1，k=5，答：增根是1，k是5．【点评】本题考查了分式方程的增根，先化成整式方程，把分式方程的曾根代入整式方程．9．（2013秋•钟祥市校级期中）当k为何值时，分式方程有增根？【分析】分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）=0，求出x=0或1，将x=0或1代入整式方程即可求出k的值．【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1）…（2分）又∵分式方程有增根，∴x（x﹣1）=0，解得：x=0或1当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），解得：k=2.5，当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），解得：k=﹣2.5，则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．（2012秋•华龙区校级期中）（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．【分析】（1）观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣7）=0，得到x=7，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：（1）方程的两边同乘（x﹣2），得﹣（x+1）=3（x﹣2）+1，解得x=1．检验：把x=1代入最简公分母（x﹣2）≠0，所以x=1是原分式方程的根；（2）方程两边都乘以（x﹣7）得：x﹣8+m=8（x﹣7），∵方程有增根，∴x﹣7=0，x=7．把x=7代入x﹣8+m=8（x﹣7）中，得：m=1．所以当m=1时，原分式方程有增根．【点评】本题考查了解分式方程与增根问题，难度适中．注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根；关于增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．（2011秋•洪湖市校级月考）若关于x的分式方程﹣=存在增根，求m的值．【分析】先把方程两边同乘以x（x+1）得到整式方程x2﹣2x﹣m﹣2=0，由于原方程存在增根，则x（x+1）=0，即增根只能为0或﹣1，然后把x=0与x=﹣1分别代入x2﹣2x﹣m﹣2=0得到关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）得，2x2﹣（m+1）=（x+1）2，整理得，x2﹣2x﹣m﹣2=0，∵关于x的分式方程﹣=存在增根，∴x（x+1）=0，∴x=0或x=﹣1，把x=0代入x2﹣2x﹣m﹣2=0得，﹣m﹣2=0，解得m=﹣2；把x=1代入x2﹣2x﹣m﹣2=0得，1﹣2﹣m﹣2=0，解得m=1；∴m的值为﹣2或1．【点评】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母中，若其值不为零，则此解为原分式方程的解；若其值为0，则此整式方程的解为原分式方程的增根．12．（2010春•慈溪市期末）当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘3（x﹣2），得4x+1=3x﹣6+3（5x﹣m）即3m=14x﹣7分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，把x=2代入整式方程，3m=14×2﹣7，解得m=7，所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．【点评】根问题可按如下步骤进行：①根据分式方程的最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．（2009春•重庆期中）已知关于x的方程有增根，求m的值．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x（x﹣1）=0，所以增根是x=0或1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x=x+m∵原方程有增根，∴最简公分母x（x﹣1）=0，解得x=0或1，当x=0时，m=﹣3；当x=1时，m=5．∴当m=﹣3或5时，原方程有增根．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．当m为何值时，=有增根．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：（m﹣1）x﹣（x+1）=（m﹣5）（x﹣1），去括号得：（m﹣2）x﹣1=（m﹣5）x﹣m+5，移项合并得：3x=﹣m+6，解得：x=，由分式方程有增根，得到x（x+1）（x﹣1）=0，即x=0或1或﹣1，当x=0时，m=6；当x=1时，m=3；当x=﹣1时，m=9．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．15．若关于x的方程+=有增根，试求k的值．【分析】根据等式的性质，可把分式方程转化成整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于k的一元一次方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：去分母，得（x+1）+（k﹣5）（x﹣1）=（k﹣1）x．化简，得3x+6﹣k=0．当x=1时，3+6﹣k=0，解得k=﹣9；当x=0时，6﹣k=0，解得k=6；当x=﹣1时，﹣3+6﹣k=0，解得k=3．【点评】本题考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程是解题关键．16．已知关于x的分式方程+1=出现增根x=﹣1，求k的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将增根x的值代入计算即可求出k的值．【解答】解：分式方程去分母得：k+（x+1）（x﹣1）=x﹣1，将增根x=﹣1代入得：k+（﹣1+1）（﹣1﹣1）=﹣1﹣1，解得：k=﹣2【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17．若关于x的方程+=有增根，求a的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出a的值．【解答】解：去分母得：3x+9+ax=4x﹣12，由分式方程有增根，得到（x+3）（x﹣3）=0，即x=﹣3或x=3，把x=﹣3代入整式方程得：﹣9+9﹣3a=﹣12﹣12，即a=8；把x=3代入整式方程得：9+9+3a=12﹣12，即a=﹣6，综上，a的值为﹣6或8．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母3x（x﹣1）=0，得到x=0或3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．【解答】解：方程两边都乘3x（x﹣1），得3（x+1）﹣x+1=kx∵原方程有增根，∴最简公分母3x（x﹣1）=0，解得x=0或1，当x=0时，4=0，这是不可能的．当x=1时，k=6，故k的值可能是6．答：增根为x=1，k的值为6．【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．若关于x的方程+=有增根，求增根和m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：﹣3（x+1）=m，由分式方程有增根，得到x2﹣1=0，即x=1或x=﹣1，把x=1代入整式方程得：m=﹣6；把x=﹣1代入整式方程得：m=0．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．若关于x的分式方程有增根，求m的值．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）x=0，得到x=3或x=0，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣3），得2mx+x2﹣x（x﹣3）=2（x﹣3）∵原方程有增根，∴最简公分母x（x﹣3）=0，解得x=3，或x=0．当x=3时，m=﹣2，当x=0时，关于m的整式方程不存在；综上所述：m=﹣2．【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．若分式方程++2=0有增根x=2，求a的值．【分析】首先把已知的方程去分母，然后把x=2代入方程求解即可．【解答】解：方程去分母，得a（x+2）+1+2（x2﹣4）=0，把x=2代入方程得4a+1=0，解得：a=﹣．【点评】本题考查了分式方程的增根，注意分式方程的增根不是原来方程的根，但是把分式方程化成整式方程后整式方程的根，理解分式方程增根产生的原因是关键．22．去分母解关于x的方程+=0得到使分母为0的根，求m 的值．【分析】先把分式化为整式方程2（x+2）+mx=0，由于原分式方程有增根，则有（x+2）（x﹣2）=0，得到x=2或﹣2，即增根为2或﹣2，然后把x=2或﹣2代入整式方程即可得到m的值．【解答】解：方程两边乘以（x+2）（x﹣2），去分母得：2（x+2）+mx=0，（2+m）x+4=0，∵分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣2）=0，得到x=2或﹣2，当x=2时，2（2+m）+4=0，解得：m=﹣3，当x=﹣2时，﹣2（2+m）+4=0，解得：m=﹣1．【点评】题考查了分式方程的增根：先把分式方程两边乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入最简公分母中，若其值不为零，则此解为原分式方程的解；若其值为0，则此整式方程的解为原分式方程的增根．23．若关于x的分式方程+=有增根，求m的值．【分析】首先令最简公分母等于0，求出增根的可能值，再去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：（x+2）（x﹣2）=0，x+2=0，或x﹣2=0，x=±2，+=，方程两边乘以（x+2）（x﹣2）得2（x﹣2）+m（x+2）=6﹣x，把x=2代入可得：4m=4，m=1，把x=﹣2代入可得：﹣8=8（舍去）所以：m=1【点评】此题主要考查分式方程的增根问题，知道关于增根的可能值的确定，并准确的代入整式方程进行验证是解题的关键．24．当m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据方程会产生增根得出x 的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）（x+3）得，2（x+2）（x+3）+mx（x+3）=3（x+2）（x﹣2），即（m﹣1）x2+（3m+10）x=﹣24，分式的增根问题∵分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣2）（x+3）=0，即x1=﹣2，x2=2，x3=﹣3，当x=﹣2时，4（m﹣1）﹣2（3m+10）=﹣24，解得m=0；当x=2时，4（m﹣1）+4（3m+10）=﹣24，解得m=﹣；当x=﹣3时，9（m﹣1）﹣3（3m+10）=﹣24，m无解．故当m=0或﹣时，分式方程会产生增根．【点评】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．21 / 21。

1．当m为何值时，去分母解方程=1﹣会产生增根？考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母3（x﹣2）=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．解答：解：方程两边都乘3（x﹣2），得4x+1=3x﹣6+3（5x﹣m）即3m=14x﹣7分式方程若有增根，则分母必为零，即x=2，把x=2代入整式方程，3m=14×2﹣7，解得m=7，所以当m=7时，去分母解方程=1﹣会产生增根．点评：根问题可按如下步骤进行：①根据分式方程的最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．a为何值时，关于x的方程会产生增根？考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+2）（x﹣2）=0，得到x=﹣2或2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．解答：解：原方程可化为2（x+2）+ax=3（x﹣2）（a﹣1）x=﹣10．此方程的增根x=±2，当x=2时，（a﹣1）×2=﹣10，a=﹣4；当x=﹣2时，（a﹣1）×（﹣2）=﹣10，a=6．因此当a=﹣4或a=6时，关于x的方程会产生增根．点评：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．分式方程+3=有增根．（1）这个增根是什么？（2）求m的值．考点：分式方程的增根。

专题：计算题。

分析：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣2=0，所以增根是x=2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解答：解：（1）∵方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，即增根是x=2．（2）方程两边都乘（x﹣2），得m+3（x﹣2）=x﹣1把增根x=2代入整式方程，得m=1．点评：增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．本题需注意分母互为相反数的分式方程的最简公分母是相反数中的一个．4．已知关于x的方程有增根，则k为多少？考点：分式方程的增根。

分式方程的增根精选题39道一．选择题（共18小题） 1．若分式方程3x−a x 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（ ）A ．0或2B ．4C ．8D ．4或82．关于x 的方程x−1x−3=2+kx−3有增根，则k 的值为（ ） A ．±3 B ．3C ．﹣3D ．23．分式方程x x−1−1=m(x−1)(x+1)有增根，则m 的值为（ ）A ．0和2B ．1C ．1和﹣2D ．24．若关于x 的分式方程x+m 4−x 2+x x−2=1无解，则m 的值是（ ）A ．m ＝2或m ＝6B ．m ＝2C ．m ＝6D ．m ＝2或m ＝﹣65．若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ）A ．m ＝0或m ＝3B ．m ＝3C ．m ＝0D ．m ＝﹣16．若关于x 的分式方程m+1x−1=x 1−x有增根，则m 的值是（ ）A ．m ＝﹣1B ．m ＝1C ．m ＝﹣2D ．m ＝2 7．若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ）A ．m ＝0B ．m ＝﹣1C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝38．若分式方程1x−2+3=a+1x−2有增根，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．29．若分式方程x x−4=2+ax−4有增根，则a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．010．若解分式方程2x x+1−m+1x 2+x=x+1x产生增根，则m 的值是（ ）A ．﹣1或﹣2B ．﹣1或2C ．1或2D ．1或﹣211．关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值为（ ）A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣312．分式方程x x−3+1=m x−3有增根，则m 为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．613．如果关于x 的分式方程4x−3=1+m x−3有增根，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．1014．解关于x 的方程x x−1−k x 2−1=x x+1不会产生增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．k ≠2且k ≠一2D ．无法确定15．关于x 的分式方程x−2x+3=2−ax+3有增根，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．﹣5C ．5D ．216．关于x 的方程x−1x−3=k x−3有增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．0D ．﹣317．若关于x 的分式方程2x−1+a 1−x=1有增根，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．0或218．若关于x 的方程ax+1x−1=1有增根，则a ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．1D ．3二．填空题（共16小题） 19．若关于x 的分式方程m x−2=1−x 2−x−3有增根，则实数m 的值是 ． 20．当m ＝ 时，解分式方程x−5x−3=m 3−x会出现增根．21．关于x 的分式方程2x−1+kx x 2−1=3x+1会产生增根，则k ＝ ．22．若分式方程x x−1−m 1−x =2有增根，则这个增根是 ． 23．若关于x 的分式方程xx−2+2m 2−x=2m 有增根，则m 的值为 ．24．已知关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=0有增根且m ≠0，则m ＝ ．25．若关于x 的方程1x−2+x+m 2−x =1有增根，则m 的值是26．如果关于x 的分式方程m x−2−2x 2−x=1有增根，那么m 的值为 ．27．若关于x 的分式方程x+m x−2+3m 2−x=2有增根，则m 的值为 ．28．若关于x 的方程x+2x−1=m+1x−1产生增根，则m ＝ ．29．关于x 的分式方程7x x−1+5=2m−1x−1有增根，则m 的值为 ．30．若分式方程mx−3=2x−3+1有增根，则m ＝ ． 31．m ＝ 时，方程x x−3−2=m x−3会产生增根．32．若关于x 的分式方程2x−5+x−a 5−x =7有增根，则a 的值为 ． 33．若关于x 的分式方程xx−2−x−a 2−x=1有增根，则a 的值 ．34．若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a 的值是 ．三．解答题（共5小题） 35．（1）若解关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2会产生增根，求m 的值．（2）若方程2x+a x−2=−1的解是正数，求a 的取值范围．36．解关于x 的方程x+1x+2−x x−1=kx+2(x−1)(x+2)时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．37．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x−2+3=12−x．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x ＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 38．解方程：1x−2−1=4x 2−4．39．关于x 的方程2x+1+51−x=m x 2−1去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．。

分式方程 1. 关于x 的方程12144a x x x-+=--有增根;则a =-------答案：7 2. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是C A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时;方程的解为正数C.当5m <-时;方程的解为负数D.无法确定3.若分式方程1x a a x +=-无解;则a 的值为-----------答案：1或-1 4 若分式方程=11m x x +-有增根;则m 的值为-------------答案：-1 5.分式方程121m x x =-+有增根;则增根为------------答案：2或-1 6. 关于x 的方程1122k x x +=--有增根;则k 的值为-----------答案：17. 若分式方程x a a a+=无解;则a 的值是----------答案：0 8.若分式方程201m x m x ++=-无解;则m 的取值是------答案：-1或1-29. 若关于x 的方程(1)5321mx m x +-=-+无解;则m 的值为-------答案：6;1010. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解;求m 的值为-------答案： 分式方程应用题分类讲解与训练一、行程中的应用性问题例1 甲、乙两个车站相距96千米;快车和慢车同时从甲站开出;1小时后快车在慢车前12千米;快车比慢车早40分钟到达乙站;快车和慢车的速度各是多少练习、 甲、乙两地相距828km;一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地;直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h;比普通快车早4h到达乙地;求两车的平均速度．例3 A、B两地相距87千米;甲骑自行车从A地出发向B地驶去;经过30分钟后;乙骑自行车由B地出发;用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来;两人在距离B地45千米C处相遇;求甲乙的速度..练习、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路;从乙地到甲地走全长600Km的普通公路..又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km;由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半;求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间..例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时;学校要把一个紧急通知传给带队老师;派一名学生骑车从学校出发;按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍;这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米;问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间练习：农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机;一部分人骑自行车先走;40分钟后;其余的人乘汽车出发;结果他们同时到达;已知汽车的速度是自行车的3倍;求两车的速度．二、工程类应用性问题例1 甲乙两个工程队合作一项工程;两队合作2天后;由乙队单独112做1天就完成了全部工程..已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍;问甲乙单独做各需多少天例2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字;乙的速度是甲的3倍;因此比甲少用20分钟完成任务;他们平均每分钟输入汉字多少个练习1：某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷;但实际每天多收割40公顷;结果提前4天完成任务;试求原计划一天的工作量及原计划的天数..2、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半;加一天乙型拖拉机;两台合耕;1天耕完这块地的另一半..乙型拖拉机单独耕这块地需要几天3. 某项工程;需要在规定的时间内完成..若由甲队去做;恰能如期完成；若由乙队去做;需要超过规定日期三天..现在由甲乙两队共同做2天后;余下的工程由乙队独自去做;恰好在规定的日期内完成;求规定的日期是多少天4、甲乙两个水管同时向一个水池注水;一小时能注满水池的87;如果甲管单独注水40分钟;再由乙管单独注水半小时;共注水池的21;甲乙两管单独注水各需多少时间才能注满水池三、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后;其平均价比原甲种原料每千克少3元;比乙种原料每千克多1元;问混合后的单价每千克是多少元练习 1.某商场销售某种商品;一月份销售了若干件;共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元;但是销售量比一月份增加了5000件;从而获得利润比一月份多2000元;调价前每件商品的利润为多少元2、小明和同学一起去书店买书;他们先用15元买了一种科普书;又用15元买了一种文学书;科普书的价格比文学书的价格高出一半;因此他们买的文学书比科普书多一本;这种科普和文学书的价格各是多少3．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包;面市后发现供不应求;商店又购进第二批同样的书包;所购数量是第一批购进数量的3倍;但单价贵了4元;结果第二批用了6300元..1求第一批购进书包的单价是多少元2若商店销售这两批书包时;每个售价都是120元;全部售出后;商店共盈利多少元四、轮船顺逆水应用问题例1 轮船顺流、逆流各走48千米;共需5小时;如果水流速度是4千米/小时;求轮船在静水中的速度..练习1. 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等;已知水流速度为2千米／时;求船在静水中的速度..2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同..已知水流的速度是3千米/时;求轮船在静水中的速度.. 五、其他应用性问题例1 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．练习、甲容器中有15%的盐水30升;乙容器中有18%的盐水20升;如果向两个容器各加入等量的水;使它们的浓度相等;那么加入的水是多少升1、某校招生录取时;为了防止数据输入出错;2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍;然后让计算机比较两人的输入是否一致;已知甲的输入速度是乙的2倍;结果甲比乙少用2小时输完..问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩2、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修;技术工人骑摩托车先走;15分钟后;抢修车装载这所需材料出发;结果他们同时到达;;已知抢修的速度是摩托车的1.5倍..求这两种车的速度..3、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比1：8;今年夏天由于家电购买量明显增多;家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货;结果送货人员与销售人员人数之比位2：5.求这个商场家电部原来各有多少名送货和销售人员4、甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城..已知A、C两城的距离为450千米;B、C两城的距离为400千米;甲车比乙车的速度快10千米/时;结果两辆车同时到达C城..求两车的速度..5、某厂储存了350t煤;由于改进炉灶结构和烧煤技术;每天能节约2t煤;使储存的煤比原计划多用了20天..若设原计划用x天;则根据每天能节约2t 煤的关系列方程：若设原计划每天烧yt煤;则根据储存的煤比原计划多了20天的关系列方程：6、在2008年春运期间;我国南方出现大范围冰雪灾害;导致某地电路断电;该地供电局立即组织电工进行抢修..已知供电局距离抢修工地15km;抢修车装载这所需材料先从供电局出发;15min后;电工乘吉普车从同乙地点出发;结果他们同时到达抢修工地;又知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍..若设抢修车的速度位xkm/h;则依题意可列方程：7、某市为治理污水;需要铺设一段全长位3000m的污水输送管道;为了尽量减少施工队城市交通所造成的影响;实际施工时每天的工效比原计划提高25%;结果提前30天完成任务..若设原计划每天铺设xm;则依题意可列方程8、某运输公司需要装运一批货物;先用人工装运;6h完成了一半任务;后来机械装运和人工装运一起进行;1h 完成了后一半任务..如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务;那么x满足的方程为9、学校要举行跳绳比赛;同学们都积极练习..甲同学跳180个所用的时间与乙同学们跳240个所用的时间一样..又已知甲每分钟比乙少跳5个;求每人每分钟各跳多少个10、两个小组同时开始攀登一座450m高的山;第一组的攀登速度是第二组的1.2倍;他们比第二组早15min到达顶峰..两个小组的攀登速度各是多少11、在“5.12大地震”灾民安置工作中;某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务..已知该企业安排140人生产这两种板材;每人每天能生产板材30m2.问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材;才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务12、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器;现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同..现在平均每天生产多少台机器13、一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍..用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h..这台收割机每小时收割多少公顷小麦14、某乡要修一条堤坝;规定x 天完成..若由甲队单独做;恰能如期完成；若由乙队单独做;则要超过规定日期3天完成..现由甲、乙两队合作2天;余下的工程由乙队单独做;恰能如期完成;问：规定日期是多少天15、2008年5月12日14h28min;四川汶川发生了8.0级大地震;震后两小时;武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进..13日凌晨1h15min;车行至古尔沟;巨大的山体塌方将道路完全堵塞;部队无法继续前进;王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进;到达理县时为救援当地受灾群众而耽搁了1h;随后;先遣分队步行速度提高1/9;于13日23h15min赶到汶川县城..1设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为xkm/h;根据题意填写下表2根据题意及表中所得的信息列出方程;并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米16、某商厦用8万元购进一种衬衫;销完后又用17.6万元购进了第二批这种衬衫;所购数量是第一批的2倍;但购入单价贵了4元..若设第一批购进x件;则x满足的方程位 ;解之得x= ..已知商厦销售这种衬衫时每件定价都是56元;最后剩下150件按八折售完..在这两笔生意中;该商厦共赢利元..17、甲、乙两班学生参加植树造林;已知甲班每天比乙班多植5棵;甲班植80棵所用的天数与乙班植70棵所用的天数相等..若设甲班每天植x棵;则依题意可得方程18、x各同学包租一辆车去景点旅游;租金位180元;出发时增加了2个同学;结果每个同学比原来少分摊3元;则x满足的方程为19、2004年12月28日;我国第一条城际铁路——合宁铁路合肥至南京正式开工建设;建成后;合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312km缩短至154km;设计时速是现行时速的2.5倍;旅客列车运行时间将因此缩短约3.13h;求合宁铁路的设计时速..20、甲、乙两地相距19千米;某人从甲地去乙地;先步行7千米;然后改骑自行车;共用了2小时达到乙地;已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍;求步行的速度和骑自行车的速度..21、张明4小时清点完一批图书的一半;李强加入清点另一半图书的工作;两人合作1小时清点完另乙半图书;如果李强单独清点这批图书需要几小时22、某学校学生进行急行军训练;预计行60千米的路程在下午5时到达;后来由于八速度加快1/5;结果于下午4时到达;求原计划行军的速度23、甲容器中有15%的盐水30升;乙容器中有18%的盐水20升;如果向两个容器各加入等量的水;使它们的浓度相等;那么加入的水是多少升。

与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。

1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。

（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。

利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。

例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。

例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。

例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。

解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。

例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。

解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。