大专 高等数学 第四章 PPT

第四章 一元函数微分学的应用
第一节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 第二节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第三节 函数的极值与最值
*第四节
曲
率
第五节 函数图形的描绘 第六节 一元函数微分学在经济上的应用
第一节 拉格朗日（Lagrange）中值 定理及函数的单调性
由于 f (ξ ) 0 ，所以 f ( x2 ) f ( x1 ) 0 ，即 f ( x1 ) f ( x2 ) .
因为 x1 , x2 是 (a, b) 内的任意两点，于是上式表明 f ( x) 在 (a, b) 内任意两点的值总是相等的，即 f ( x) 在 (a, b) 内是一个常数，证毕．
当 x (,0) 时， 有 f ( x) 0 ； 当 x (0,2) 时 f ( x) 0 ; 当 x (2,) 时，f ( x) 0 ， 因此， 由定理 2 知， 函数 f ( x) 在区间 (,0) 与 (2,) 上单调减少，在区间 (0,2) 单调增 加．
三、函数的单调性
如图观察区间[a, b] 上的单调递 y 增函数 f ( x) 的图像，当 x 增大时， 曲线上任一点处的切线与 x 轴正 向夹角为锐角，即 f ( x) 0（个别点 处 f ( x) 0 ） ，反过来是否也成立 0 呢？我们有如下定理：
a
b x
定理 2 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内 可导，则有
推论 2 如 果 对 ( a, b) 内 任 意 x ， 均 有 f ( x) g ( x) ，则在 (a, b) 内 f ( x) 与 g ( x) 之间只差一个 常数，即 f ( x) g ( x) C （ C 为常数） ． 证 令 F ( x) f ( x) g ( x) ，则 F ( x) 0 ，由推论 1 知 ， F ( x) 在 ( a, b) 内 为 一 常 数 C ， 即 f ( x) g ( x) C , x (a, b) ，证毕．
（ 1 ）如果在 (a, b) 内 f ( x) 0 ，则函数 f ( x) 在 [a, b]上单调增加；
（2）如果在 (a, b) 内 f ( x) 0 ，则函数 f ( x) 在 [a, b] 上单调减少．
证 设 x1 , x2 是[a, b]上任意两点,且 x1 x2 ，由拉格 朗日中值定理有
一、 拉格朗日中值定理 二、 两个重要推论 三、 函数的单调性
一、拉格朗日中值定理
如果函数 f ( x ) 满足下列条件： 在 区间[a, b] 上连续； 在开区间( a, b) 内可导，那么，在( a, b) 内 ξ ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) . 如果令 x a, Δx b a ，则上式为 f ( x Δx) f ( x) f ' (ξ )Δx , 定理 1 （1 ） （2 ） 至少有一点
其 中 ξ 介 于 x 与 x Δx 之 间 ， 如 果 将 ξ 表 是 成 ξ x Δx(0 1) ，上式也可写成 f ( x x) f ( x) f '( x x)x (0 1) .
拉格朗日中值定理几何演示
二、两个重要推论
推论 1 如果函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内满足 f ' ( x) 0 ，则在 (a, b) 内 f ( x) C （ C 为常数） ．
解 x 3 3x 2 lim 3 = x1 x x 2 x 1 3x 2 3 lim 2 x1 3 x 2 x 1 6x 6 3 lim = = = ． x1 6 x 2 4 2
例2
1 cos x 求 lim ． xπ tan x
解
1 cos x sin x lim = lim = 0． xπ xπ 1 tan x cos 2 x
由于 x x0 时，ξ x0 ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕．
0 注：上述定理对 x 时的 未定型同样适用，对于 0 x x0 或 x 时的未定型 ，也有相应的法则．
x 3 3x 2 例 1 求 lim 3 ． x1 x x 2 x 1
lim
ln x 1 lim . x1 x1 1 1 1 2 1 ln x 2 x x x
0 或 0
1 x
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
(1) 每次使用法则前，必须检验是否属于
(2) 如果有可约因子， 或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； f (x) (3) 当lim 不存在(不包括 的情况)时，并不 g (x) f(x) 能断定lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． g(x)
解
1．
1 ln x 1 x lim lim n 1 lim n 0 ． x x n x nx x nx
0 除未定型 与 之外， 还有 0 , ,0 0 ,1 , 0 等未 0 定型， 这里不一一介绍， 有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 未定型再举一例．
第二节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则
一、 柯西中值定理
二、 洛必达法则
一、 柯西中值定理
定理 1（柯西中值定理） 如果函数 f ( x) 与 F ( x) 满 足下列条件：
(1) 闭区间[a, b]上连续； (2) 在开区间 (a, b) 内可导；
(3) F ' ( x) 在 (a, b) 内的每一点均不为零， 那么， 在 (a, b) 内至少有一点ξ ，
例5
解
1 x lim 求 ． x1 x 1 ln x
这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型． 0
1 x ln x 1 x 1 x ln x ( x 1 ) lim x lim lim x1 x1 x 1 ln x x1 x 1 ( x 1) ln x ln x x
罗尔(Rolle) 中值定理 若 f ( x) 满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间 (a, b) 内可导; (3) 在 区 间 [a, b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即 f (a ) f (b) , 则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 , 使 得 f ( ) 0
若
(1) lim f ( x) 0 ， lim g ( x) 0 ；
(2) f ( x) 与 g ( x) 在 x0 的某邻域内（点 x0 可除外） 可导，且 g ' ( x) 0 ；
f ( x) 或 )，则 A ( A 为有限数，也可为 (3) lim x x0 g ( x )
解 因为 f ( x) 3x 2 x 3 , 所以 f ' ( x) 6 x 3x 2 3x(2 x) , x1 0 ， x2 2 ,用它们将 f ( x) 的 令 f ( x) 0 得驻点： 定义区间 (,) 分成三个部分区间: (,0) ， (0,2) ， (2,) .
π arctan x 例 3 求 lim 2 ． x 1 x π 1 arctan x 2 2 1 x lim 解 = lim x x 1 1 2 x x x2 = lim = x 1 x 2 ln x 例 4 求 lim n (n 0) . x x
第三节 函数的极值与最值
一、函数的极值
二、函数的最值
一、函数的极值
定义 设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且对
此 邻 域 内 任 一 点 x( x x0 ) , 均 有 f ( x) f ( x0 ) , 则 称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值 ; 同样 , 如果对此邻域 内任一点 x( x x0 ) , 均有 f ( x) f ( x0 ) , 则称 f ( x0 ) 是函 数 f ( x) 的一个极小值．函数的极大值与极小值统称为 函数的极值．使函数取得极值的点 x0 , 称为极值点．
思考题
1． 将拉格朗日中值定理中的条件 f ( x ) “在 闭区间[a, b] 上连续”换为“在开区( a, b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明．
2． 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理．仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题．
同理可证，如果 f ( x) 0 ，则函数 f ( x) 在[a, b] 上 单调减少，证毕．
函数单调区间的确定：
（1） 求出使 f ( x) 0 的点 （称这样的点为驻点） ，
（2）用这些驻点将 f ( x) 的定义域分成若干个子 区间，再在每个子区间上判断函数的单调性.
例
讨论函数 f ( x) 3x 2 x 3 的单调性．
证 设 x1 , x2 是 区 间 (a, b) 内 的 任 意 两 点 ， 且 x1 x2 ，于是在区间[ x1 , x2 ]上函数 f ( x) 满足拉格朗日 中值定理的条件，故得
.
f ( x2 ) f ( x1 ) f (ξ )( x2 x1 )
( x1 ξ x2 ),
f ( x) f ( x) lim lim A . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
证 由于我们要讨论的是函数在点 x0 的极限， 而极限与函数在点 x0 的值无关， 所以我们可补充 f ( x) 与 g ( x) 在 x 0 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ，则 f ( x) 与g ( x) 在点 x0 就连 续了．在 x0 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 f ( x) f ( x) f ( x0 ) f ( ) (ξ 在 x 与 x0 之间) . g ( x) g ( x) g ( x0 ) g ( )