八枚硬币问题——树的应用

树的应用举例——八枚硬币问题设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有且仅有一枚硬币是假币，并且假币的重量与真币的重量不同，可能轻，也可能重。

现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假币，并同时确定这枚假币的重量比其它真币是轻还是重。

问题的解决是经过一系列的判断，这些判断构成了树结构，可以用判定树来描述这个判定过程。

解决这个问题的最自然的想法就是把硬币分成两组，也就是一分为二。

但是，如果一分为三的话，会获得更少的比较次数。

从八枚硬币中任取六枚a，b，c，d，e，f，在天平两端各放三枚进行比较。

假设a，b，c三枚放在天平的一端，d，e，f三枚放在天平的另一端，可能出现三种比较结果：⑴a＋b＋c > d＋e＋f⑵a＋b＋c＝d＋e＋f⑶a＋b＋c < d＋e＋f若a＋b＋c >d＋e＋f，可以肯定这六枚硬币中必有一枚为假币，同时也说明，为真币。

这时可将天平两端各去掉一枚硬币，假设去掉和，同时将天平两端的硬币各换一枚，假设硬币，作了互换，然后进行第二次比较，比较的结果同样可能有三种：①a＋e>d＋b：这种情况表明天平两端去掉硬币c，f且硬币b，e互换后，天平两端的轻重关系保持不变，从而说明了假币必然是a，d中的一个，这时我们只要用一枚真币（例如h）和a进行比较，就能找出假币。

若a>h，则a是较重的假币；若a＝h，则d为较轻的假币；不可能出现a②a＋e＝d＋b：此时天平两端由不平衡变为平衡，表明假币一定在去掉的两枚硬币c，f中，同样用一枚真币（例如h）和c进行比较，若c>h，则c是较重的假币；若c＝h，则f为较轻的假币；不可能出现c③a＋e：此时表明由于两枚硬币b，e的对换，引起了两端轻重关系的改变，那么可以肯定b或e中有一枚是假币，同样用一枚真币（例如h）和b进行比较，若b>h，则b是较重的假币；若b＝h，则e为较轻的假币；不可能出现b 对于结果⑵和⑶的情况，可按照上述方法作类似的分析。

小学奥数：计数问题之树形图法基本应用
一棵树有树根、树枝、树叶，给人一种分叉的感觉。

在数学中借助树的分叉特征构造出的树形图往往可以对数学问题中有可能出现的多种结论做出逐一的判断。

“树形图”是数学中应用最为广泛的图形之一。

在数学计数问题中，每当我们面对一些非常规的题目一筹莫展、无从下手时，枚举法往往可以发挥巨大的威力。

枚举法又叫穷举法，顾名思义，就是把所有符合题目条件的对象一一列举出来，然后根据要求从中挑出合理的。

但是，怎样在枚举的过程中既不重复也不遗漏地枚举出所有符合条件的对象来呢?
“树形图”就可以使我们的枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不易重复或遗漏，使人一目了然。

第二章树教学安排的说明章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树学时分配：共2课时本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题．课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点：（1） 理解树的概念以及树的等价命题；（2） 掌握割边与割点的概念；（3） 理解生成树的定义；（4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。

教学内容：树是图论中的一个重要概念。

树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。

在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。

各类网络的主干网通常都是树的结构。

本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。

2.1 树的特性定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。

记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。

诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。

例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。

图1由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。

树还有等价命题：设T 是一个无向(,)n m 图，则以下关于T 的命题是等价的。

(1) T 是树；（2）T 无圈且1m n =-；(3) T 连通且1m n =-；（4）T 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。

八叉树原理
八叉树，又称为八元树，是一种多叉树数据结构，每个节点最多有八个子节点。

八叉树在计算机科学领域被广泛应用，特别是在图形学、计算机视觉和空间索引等领域。

通过八叉树的原理，可以高效地组织和检索大量的数据，提高算法的效率和性能。

八叉树的特点在于将空间分割成八个相等的子空间，每个子空间对应树中的一个子节点。

这种分割方式使得八叉树可以高效地表示三维空间中的对象，如立方体、球体等。

通过不断地对空间进行递归分割，可以将复杂的空间结构表示为一个树形结构，方便进行搜索和遍历。

在计算机图形学中，八叉树常被用来加速光线追踪算法。

光线追踪是一种模拟光线在场景中传播的技术，用于生成逼真的图像。

通过构建八叉树，可以将场景中的物体按空间位置进行分割，从而减少光线与物体的相交测试次数，提高渲染速度。

在计算机视觉中，八叉树常被用来进行物体检测和图像分割。

通过构建八叉树，可以将图像分割成多个子区域，并对每个子区域进行特征提取和分析，从而实现对图像的高效处理和识别。

在空间索引领域，八叉树常被用来构建三维空间中的索引结构，用于快速检索空间数据。

通过八叉树的原理，可以将空间数据进行高效地分割和组织，实现对空间数据的快速查询和检索。

总的来说，八叉树作为一种多叉树数据结构，具有高效的空间分割能力和快速的检索性能，在计算机科学领域有着广泛的应用。

通过八叉树的原理，可以提高算法的效率和性能，实现对复杂空间数据的高效处理和分析。

希望通过本文的介绍，读者能对八叉树有一个更深入的了解，进一步探索其在不同领域的应用和发展。

数据结构【⼋皇后问题】什么是⼋皇后问题:漫画：什么是⼋皇后问题？————— 第⼆天 —————题⽬是什么意思呢？国际象棋中的皇后，可以横向、纵向、斜向移动。

如何在⼀个8X8的棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后都不在同⼀条横线、竖线、斜线⽅向上？让我们来举个栗⼦，下图的绿⾊格⼦是⼀个皇后在棋盘上的“封锁范围”，其他皇后不得放置在这些格⼦：下图的绿⾊格⼦是两个皇后在棋盘上的“封锁范围”，其他皇后不得放置在这些格⼦：那么，如何遵循规则，同时放置这8个皇后呢？让我们来看看⼩灰的回答。

————————————什么是⼋皇后问题？⼋皇后问题是⼀个古⽼的问题，于1848年由⼀位国际象棋棋⼿提出：在8×8格的国际象棋上摆放⼋个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同⼀⾏、同⼀列或同⼀斜线上，如何求解？以⾼斯为代表的许多数学家先后研究过这个问题。

后来，当计算机问世，通过计算机程序的运算可以轻松解出这个问题。

如何解决⼋皇后问题？所谓递归回溯，本质上是⼀种枚举法。

这种⽅法从棋盘的第⼀⾏开始尝试摆放第⼀个皇后，摆放成功后，递归⼀层，再遵循规则在棋盘第⼆⾏来摆放第⼆个皇后。

如果当前位置⽆法摆放，则向右移动⼀格再次尝试，如果摆放成功，则继续递归⼀层，摆放第三个皇后......如果某⼀层看遍了所有格⼦，都⽆法成功摆放，则回溯到上⼀个皇后，让上⼀个皇后右移⼀格，再进⾏递归。

如果⼋个皇后都摆放完毕且符合规则，那么就得到了其中⼀种正确的解法。

说起来有些抽象，我们来看⼀看递归回溯的详细过程。

1.第⼀层递归，尝试在第⼀⾏摆放第⼀个皇后：2.第⼆层递归，尝试在第⼆⾏摆放第⼆个皇后（前两格被第⼀个皇后封锁，只能落在第三格）：3.第三层递归，尝试在第三⾏摆放第三个皇后（前四格被第⼀第⼆个皇后封锁，只能落在第五格）：5.第五层递归，尝试在第五⾏摆放第五个皇后（前三格被前⾯的皇后封锁，只能落在第四格）：6.由于所有格⼦都“绿了”，第六⾏已经没办法摆放皇后，于是进⾏回溯，重新摆放第五个皇后到第⼋格。

高难度三年级数学应用题题目一：水果店的苹果和橙子小明的水果店有苹果和橙子两种水果。

苹果每斤的价格是5元，橙子每斤的价格是6元。

如果小明今天卖出了20斤苹果和30斤橙子，并且总共收入了300元。

请问小明今天卖出的苹果和橙子各有多少斤？题目二：动物乐园的门票动物乐园的成人票是儿童票价格的两倍。

如果一个家庭有2个成人和3个儿童，他们一共购买了5张门票，总共花费了350元。

请问成人票和儿童票的单价分别是多少？题目三：植树节的植树活动植树节那天，学校组织了植树活动。

三年级的同学们分成了5个小组，每个小组有10名同学。

如果每个同学都种了3棵树，那么总共种了多少棵树？题目四：班级图书角的图书数量班级图书角有故事书和科普书两种类型的书籍。

故事书的数量是科普书的3倍。

如果班级图书角总共有120本书，并且科普书的数量是故事书的1/4，那么故事书和科普书各有多少本？题目五：小明的储蓄罐小明有一个储蓄罐，里面有1元和5角的硬币。

如果储蓄罐里总共有50枚硬币，并且总金额是40元。

请问小明的储蓄罐里1元和5角的硬币各有多少枚？题目六：学校运动会的接力赛学校运动会上有一个4×100米接力赛。

每个队伍由4名运动员组成，每名运动员跑100米。

如果比赛的总时间是4分钟，并且每名运动员的速度相同，那么每名运动员跑了多少秒？题目七：班级的文具购买班级需要购买铅笔和橡皮。

如果铅笔每支0.5元，橡皮每块0.8元，班级总共购买了100件文具，并且总共花费了65元。

请问班级购买了多少支铅笔和多少块橡皮？题目八：小明的数学竞赛小明参加了一个数学竞赛，竞赛的规则是每答对一题得10分，答错一题扣5分。

如果小明总共答了20题，得了120分，那么他答对了几题？题目九：班级的春游班级计划去春游，需要租用大巴车。

如果每辆大巴车可以坐50人，班级总共有200人，那么至少需要租用几辆大巴车？题目十：小明的零花钱小明每周可以得到10元零花钱。

如果他想在6周内存够60元买一个玩具，那么他每周需要存下多少钱？这些题目设计了不同的场景，涵盖了三年级数学的多个知识点，如基本的加减乘除运算、简单的比例和分数问题、以及逻辑推理等。

第五组回溯算法（硬币分配问题）实训⼀硬币分法问题的回溯算法与实现⼀、设计⽬的1）掌握硬币分法问题的回溯算法；2）进⼀步掌握回溯算法的基本思想和算法设计⽅法；⼆、设计内容1．任务描述1）算法简介回溯算法也叫试探法，它是⼀种系统地搜索问题的解的⽅法。

回溯算法的基本思想是：从⼀条路往前⾛，能进则进，不能进则退回来，换⼀条路再试。

⼋皇后问题就是回溯算法的典型，第⼀步按照顺序放⼀个皇后，然后第⼆步符合要求放第2个皇后，如果没有符合位置符合要求，那么就要改变第⼀个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了回溯在迷宫搜索中使⽤很常见，就是这条路⾛不通，然后返回前⼀个路⼝，继续下⼀条路。

回溯算法说⽩了就是穷举法。

不过回溯算法使⽤剪枝函数，剪去⼀些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从⽽减少状态空间树节点的⽣成。

回溯法是⼀个既带有系统性⼜带有跳跃性的的搜索算法。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的⼦树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先的策略进⾏搜索。

回溯法在⽤来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。

⽽回溯法在⽤来求问题的任⼀解时，只要搜索到问题的⼀个解就可以结束。

这种以深度优先的⽅式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适⽤于解⼀些组合数较⼤的问题。

2）硬币分法问题简介假设有5种硬币：50美分，25美分，10美分，5美分和1美分。

我们给⼀定数量的资⾦，要求这些硬币作出变化。

例如，如果我们有11美分，那么我们可以给出⼀个10美分的硬币和⼀个1美分硬币，或者2个 5美分的硬币和⼀个1美分硬币，或者⼀个5美分硬币和6个 1美分的硬币，或11个1美分硬币。

因此，有四个使上述11美分硬币的变化⽅式。

教案：有几棵树（8加几）教学目标：1. 让学生理解并掌握8加几的运算方法，能够正确计算结果。

2. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：1. 学习8加几的运算方法。

2. 掌握8加几的计算规律。

3. 运用8加几解决实际问题。

教学重点与难点：1. 教学重点：8加几的运算方法及其计算规律。

2. 教学难点：灵活运用8加几解决实际问题。

教具与学具准备：1. 教具：PPT、黑板、教鞭、计算器。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮。

教学过程：1. 导入：通过PPT展示一些树木的图片，引导学生观察并回答问题：“这些树一共有几棵？”2. 讲解：讲解8加几的运算方法，通过黑板演示和举例，让学生理解并掌握计算规律。

3. 练习：让学生在练习本上做8加几的练习题，教师巡视指导，及时纠正错误。

4. 应用：设计一些与生活实际相关的题目，让学生运用8加几的知识解决，如计算树的数量、人数等。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调8加几的运算方法和计算规律。

板书设计：1. 有几棵树（8加几）2. 8加几的运算方法3. 8加几的计算规律4. 实际应用题目作业设计：1. 课后练习题：布置一些8加几的练习题，让学生巩固所学知识。

2. 思考题：设计一些与生活实际相关的题目，让学生运用8加几的知识解决。

课后反思：本节课通过树木的图片导入，激发了学生的兴趣，让学生在轻松愉快的氛围中学习8加几的运算方法。

通过讲解、练习和应用，学生能够理解和掌握8加几的计算规律，并能够运用所学知识解决实际问题。

在教学中，要注意引导学生的观察和思考，及时纠正错误，提高教学效果。

作业设计要注重巩固所学知识，培养学生的运用能力。

重点关注的细节是“教学过程”部分，尤其是“讲解”和“练习”环节。

这两个环节是学生掌握新知识和形成技能的关键步骤，需要教师精心设计和有效执行。

详细补充和说明：讲解环节的详细补充：在讲解8加几的运算方法时，教师应首先通过直观的教具，如计数棒、算珠或者实物（如小石子、糖果等），向学生展示如何将8个物品与另外一些物品相加。

山东三年级数学应用题题目一：水果店的苹果和梨水果店进了一些苹果和梨，苹果每斤5元，梨每斤3元。

如果水果店一共进了40斤水果，其中苹果比梨多进了10斤，那么水果店一共花了多少钱？题目二：班级图书角的图书班级图书角有图书120本，如果每5本图书放一个书架，那么需要多少个书架？如果每个书架可以放6本图书，又需要多少个书架？题目三：小明的储蓄罐小明的储蓄罐里有1元硬币和5角硬币共50枚，总金额为25元。

如果1元硬币的数量是5角硬币的2倍，那么小明储蓄罐里各有多少枚1元硬币和5角硬币？题目四：学校运动会的奖牌学校运动会上，获得金牌的运动员有10人，银牌的运动员有15人，铜牌的运动员有20人。

如果每个金牌运动员获得的奖金是100元，银牌运动员50元，铜牌运动员30元，那么学校一共需要准备多少元奖金？题目五：植树节的植树活动植树节那天，学校组织了植树活动。

如果每个学生平均植树5棵，那么100名学生一共可以植树多少棵？如果每棵树需要浇2桶水，那么一共需要多少桶水？题目六：超市的促销活动超市进行促销活动，买3瓶饮料送1瓶。

如果小明买了9瓶饮料，那么他实际上可以得到多少瓶饮料？题目七：学校图书馆的借书规则学校图书馆规定，每个学生一次最多可以借5本书，借期为2周。

如果小明已经借了3本书，他还可以再借几本书？如果他想借的书超过了5本，他需要先还几本书才能再借？题目八：班级的集体活动班级组织了一次集体活动，需要购买一些零食。

如果每包零食的价格是2元，班级有40名学生，每名学生需要分到2包零食，那么一共需要购买多少包零食？题目九：小明的数学考试小明的数学考试得了90分，如果他的总分是100分，那么他的得分率是多少？题目十：班级的篮球比赛班级篮球队有12名队员，如果每场比赛需要5名队员上场，那么班级篮球队可以分成多少个队伍？如果每队每周进行2场比赛，那么一个月（假设4周）可以进行多少场比赛？这些题目涵盖了三年级数学的多个知识点，包括基本的加减乘除运算、简单的比例和比例分配问题、以及一些实际应用场景的问题解决。