[精品]2017-2018年天津一中高二上学期期中数学试卷及解析答案word版(理科)

2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。

2017～2018学年度第一学期期中联考高二数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂。

其他答案，写在答题卡上，不能答在试卷上。

一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是（ ）.（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定（2）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）. （A ）23π错误！未找到引用源。

（B ）43π错误！未找到引用源。

（C ）53π （D ）2π（3）已知平面α，β，直线l ，m ，且有l ⊥α，mβ，则下列四个命题正确的个数为（ ）．①若α∥β，则l ⊥m ； ②若l ∥m ，则l ∥β；③若α⊥β，则l ∥m ； ④若l ⊥m ，则l ⊥β； （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4（4）已知点(4a ，2b )(a >0，b >0)在圆C ：x 2＋y 2＝4和圆M ：(x －2)2＋(y －2)2＝4的公共弦上，则12+a b 的最小值为（ ）. （A ）1 （B ）2（C ）4（D ）8（A）（B）（C）（D）C11（5）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．（6）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，⊥AC BC，且CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）．（A（B（C（D）35（7）设点P是函数y=，则|PQ|的最大值为（）.（A＋2（B＋2 （C（D（8）已知圆x2+y2+x–6y+3=0上的两点P，Q关于直线kx–y+4=0对称，且OP⊥OQ（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）．（A）y= –21错误！未找到引用源。

天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）l 030l A ． B ．C ．1D ．332232．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为（）x y 3-A ． B ． C ．D ．132=+y x 132=-yx 123=-xy 132-=+yx 3．若是异面直线，，则与的位置关系是（ ）b a ,α//a b αA ．或 B ．与相交或α//b α⊂b b αα//b C ．与相交或D ．与相交或或b αα⊂b b αα⊂b α//b 4．若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）32A ．B ．C ．D ．23ππ5π6π245．过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）)1,1(-A )1,1(-B 02=-+y x A ．B ．4)1()3(22=++-y x 4)1()3(22=-++y x C ．D ．4)1()1(22=+++y x 4)1()1(22=++-y x 6．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）π4A ．B ．C ．D ．ππ2π4π87．过点作圆：的切线，直线：与)4,2(-P C 0202422=---+y x y x l m 03=-y ax 直线平行，则直线与之间的距离为（）l l m A ． B ．C ．4D ．2585128．已知平面平面，，点，直线，直线，直⊥αβl =βα l A A ∈∈,αl AB //l AC ⊥线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）βα//,//m m A ．B ．C ．D ．β⊥AB m AC ⊥β//AB m AB //第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9．若点，，三点共线，则的值等于.)2,2(A )0,(a B )4,0(C a 10．一个圆锥的母线为，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为.cm 20030cm 11．圆上到直线的距离等于1的点有 个.9)3()3(22=-+-y x 01143=-+y x 12．若直线与平面相交于点，，，且，则三点l αO l B A ∈,α∈D C ,BD AC //D C O ,,的位置关系是.13．如图，正方体中，给出以下四个结论：1111D C B A ABCD -①平面；②与平面相交；③平面；④平面//1C D 11ABB A 11D A 1BCD ⊥AD DB D 1⊥1BCD 平面，其中正确结论的序号是．11ABB A14．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，ABC P -E D ,PC PB ,ABE D -1V 的体积为，则．ABC P -2V =21:V V 三、解答题 （本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知直线经过直线与直线的交点. l 0243=-+y x 022=++y x P （1）若直线垂直于，求直线的方程；l 012=--y x l （2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程. l )6,8(-A )2,2(B l16．已知方程. 04222=+--+m y x y x （1）若此方程表示圆，求的取值范围；m（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且（为坐标原042=-+y x N M ,ON OM ⊥O 点），求的值.m 17．如图，直三棱柱中，，，分别是111C B A ABC -1111C B C A =B A AC 11⊥N M ,的中点，求证：AB B A ,11（1）平面； ⊥M C 111ABB A （2）；AM B A ⊥1（3）平面平面.//1AMC C NB 118．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，ABCD P -ABCD ⊥PA ABCD F E ,分别是的中点，. PD AB ,AD PA =（1）求证：平面； //AF PEC （2）求二面角的大小；B CD P --（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.22,2==CD AD PE PCD19．已知为坐标原点，设动点．O ),(t s M （1）当时，若过点的直线与圆：相切，求直线的34,0==t s M l C 0822=-+x y x l。

ABCS E F天津一中第一学期期中 高二数学试卷(理科)一、选择题（每题3分，共30分）1．如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为 正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（ ） A ．6B ．12 3C ．24D ．32．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为（ ）A ．433B ．163C ．643D ．323．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（ ） A ．至多只能有一个是直角三角形 B ．至多只能有两个是直角三角形 C ．可能都是直角三角形 D ．必然都是非直角三角形 4．对于平面α和直线l ，α内至少有一条直线与直线l （ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．异面 D ．相交5．已知m n ，是两条不同直线,αβγ，，是三个不同平面，正确命题的个数是（ ） ①若αγ⊥，βγ⊥，则α//β ②若m α⊥，n α⊥，则m //n③若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ ④若m //α，n //α，则m //n ⑤若m //α，m //β，则α//βA ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点， 那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） A ． 90° B ．45° C ．60° D ．30°7．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°8．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形9．已知平行六面体1111OABC O A B C -，OA a =，OC c =，1OO b =，D 是四边形OABC 的中心，则（ ）A ．1O D a b c =-++B ．11122O D b a c =--- C ．11122O D a b c =--D ．11122O D a b c =-+10．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（ ） A ．直线AB 上 B ．直线AC 上 C ．直线BC 上FD ．△ABC 内部二、填空题（每题4分，共24分）11．Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕AC 边旋转一周所成的几何体的体积为__________．12．在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝8，B ＝30°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，P ′是AB 边上动点，则PP ′的最小值为 ．13．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ． 14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 ．16．正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到截面1A BM 的距离为 ．三、解答题(共4题，46分)17．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF//平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．19．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）证明平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角A-CD-E 的余弦值．ABCD EA 1B 1C 1D 120．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（1）证明：1A C ⊥平面BED ；（2）求二面角1A DE B --的余弦值大小．参考答案： 一、选择题： 1．C 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A二、填空题： 11．485π 12．13．1314．51516．2三、解答题： 17．证明：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴又,,P D PCD E PCD ∈∉面面 ∴直线EF ‖平面PCD（2）AB=AD,BAD=60,∠ F 是AD 的中点，,BF AD ∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD ∴⊥面 所以，平面BEF ⊥平面PAD 。

天津市武清区2017-2018学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）高二年级数学（文科）参考答案1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A11．()2,1-- 12．322 13．()()∞+-∞-,31, 14．π25 15．04=-+y x 16．（1）∵()()()2,3,0,3,2,1--C B A∴()()52201322=-+--=AB()()52221322=--+-=AC()()102023322=--++=BC ………………………3分 显然()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2221025252………………………4分 ∵AC AB =，且222BC AC AB =+ ………………………5分∴ABC ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形…………………6分（2）直线AB 的方程为202131--=---y x ，即032=+-y x ………………7分 直线AC 的方程为222131---=--y x ，即042=-+y x ………………8分 ∵点P 在直线03=-y x 上，∴可设()a a P 3,∵AC AB =，PAB ∆的面积与PAC ∆面积相等，∴点P 到直线AB 的距离与到直线AC距离相等即()222212|432|21|332|+-+=-++⨯-a a a a ，即|45||35|-=-a a ………………10分解得，107=a ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛1021,107………………12分 17． （1）∵在长方体1111D C B A ABCD -中，1AA ∥1CC 且1AA =1CC∴四边形C C AA 11为平行四边形………………………2分∵四边形ABCD 、四边形1111D C B A 均为矩形，∴1,O O 分别是11,C A AC 的中点∴1OO ∥1CC ………………………4分∵1CC ⊂平面11B BCC ，1OO ⊄平面11B BCC ………………………5分 ∴直线1OO ∥平面11B BCC ………………………6分（2）在长方体1111D C B A ABCD -中，AD A A AB A A ⊥⊥11,，AD AB ,是平面ABCD 内的两条相交直线，∴⊥A A 1平面ABCD ………………………7分 ∵⊂BD 平面ABCD ∴A A BD 1⊥………………………8分 ∵BC AB = ∴四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥……………………9分 ∵AC A A ,1是平面11A ACC 内的两条相交直线……………………10分 ∴直线⊥BD 平面11A ACC ……………………11分 ∵⊂BD 平面11B BDD ，∴平面11B BDD ⊥平面11A ACC ……………………12分 18．（1）圆C 的圆心为()1,1，半径为1……………………2分 圆心C 到直线的距离为2|2|m -…………………3分 依题意∴2222<-m …………………4分 解得31<<m …………………6分（2）圆D 的圆心为()0,m ，半径为m …………………………7分 ∵ 圆心距()112+-=m CD ，半径差的绝对值为1-m ，半径和为1+m ………9分 显然，()11112+<+-<-m m m ……………………11分 ∴圆C 与圆D 相交……………………12分 19．（1）∵1l ∥2l ，∴()()2112=+-a a ……………………2分 解得1=a 或23-=a ……………………3分 当1=a 时，直线1l 的方程为04=-+y x ，直线2l 的方程为01=++y x ， 满足1l ∥2l ……………………4分当23-=a 时，直线1l 的方程为044=+-y x ，直线2l 的方程为044=+-y x ， 1l 与2l 重合……………………5分∴所求a 的值为1……………………6分（2）1l 与2l 的距离为22511|14|22=+--为圆C 的直径……………………7分 ∴圆C 的半径为425……………………8分 设圆C 的圆心坐标为()n m C ,，∵1l PC ⊥，直线1l 的斜率为1-，所以直线PC 的斜率为1，∵()2,2P ∴122=--m n ，即n m = ……………………9分 ∵425=PC ，∴()()4252222=-+-m m ， 解得43=m 或413=m …………10分 当413=m 时圆心()n m C ,不在1l 与2l 之间，应舍去………11分 ∴圆C 的方程为825434322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ……………………12分 20．（1）设a AB =，∵AB ⊥平面ACD ，∴在直角BAC ∆中，a AC AB BC 522=+=………1分 在直角梯形ABED 中，()a AB DE AD BE 522=-+=…………………2分 ∴BE BC = ∵F 为CE 的中点 ∴CE BF ⊥ …………………3分 ∵DE DC = ∴CE DF ⊥ …………………4分 ∵BF DF ,是平面BDF 内的两条相交直线…………………5分 ∴直线⊥CE 平面BDF …………………6分（2）∵AB DE CD AD AC 2====，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE 且DE AB 21=…………………7分 延长EB DA ,相交于点M ，连接CM ，则CM 是平面BCE 与平面ACD 所成的二面 角的棱…………………9分∵AB 是MDE ∆的边DE 的中位线，∴BM BE BC == ∴ACE ∆为直角三角形，∴CM EC ⊥同理AM AC AD ==， ∴MCD ∆为直角三角形，∴CM DC ⊥ ∴DCE ∠就是二面角E CM D --的平面角…………………11分 在直角EDC ∆中，∵DE DC =，∴DCE ∠4π=∴平面BCE与平面ACD所成的锐二面角的大小为…………………12分4。

天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：1. 已知两条不同的直，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】对于，由，可得∥或，又由，则，故正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，若∥，∥，∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确.故选A2. 已知直线与直线平行，则的值为（）A. 0或3或B. 0或3C. 3或D. 0或【答案】D∴，即∴，，或经验证当时，两直线重合.故选D3. 已知满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.4. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把圆的方程化为标准方程为∴圆心坐标为，半径令，则设，又∴∵直线过第一象限，且过∴又∵直线与圆在第一象限内有交点∴∴的取值范围是故选A5. 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设点到平面的距离为∵∴∴∴故选B6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直线经过点时取到最大值，此时。

所以，故选D．考点：直线与曲线有公共点是参数的取值范围，数形结合思想的应用．【易错点睛】该题考查的是有关直线与曲线有公共点时参数的取值范围的问题，属于较难题目，在做题的过程中，要注意看清化简后的曲线与圆有关，但是并不是整个圆，而是下半个圆，如果不注意这点，很容易错选，再结合着图形，找出相应的边界值，从而确定出最后的结果，一个边界值是相切的时候，一个不是．7. 设不等式组表示的平面区域为，若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:求得各交点，的取值范围是，故选A ．考点:线性规划．8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 9. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线始终平分圆的周长∴直线过圆心∴，即∵∴当且仅当，即，时，取等号故选C点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，直线平分圆的周长则直线过圆心，再就是基本不等式的应用，“1”的妙用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正、二定、三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B考点：空间角的求解问题．【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____（单位：）．【答案】【解析】由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积.故答案为12. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．【答案】8【解析】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短∵∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是故答案为813. 已知圆：与直线：，当 时，圆被直线截得的弦长最短.【答案】1【解析】∵直线：，即∴直线经过定点∴当和直线垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时，，即∴故答案为114. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_____________________．【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.15. 正方形的边长为4，点分别是边，的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】根据题意，得折叠后的三棱锥中，侧面、侧面、侧面都是直角三角形，∴两两互相垂直∵，∴ 三棱锥的外接球的直径为：∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球表面积为故答案为点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求得；若球面上四点构成的三条线段分别两两互相垂直，且，，，一般把有关元素“补形”成一个球内接长方体，利用求解.16. 若关于的不等式的解集为区间，且，则____.【答案】【解析】试题分析：如图所示，不等式的解集为，且，所以必有，又，解得，则直线，过点，代入解得．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题17. 本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A, B,C 三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1) (2)每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大为520元.【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助数表中的数据及数据之间的关系，建立二元一次目标函数关系；（2）借助题设条件建立二元一次不等式组，运用线性规划的知识数形结合，联立方程组分析求出最优解即可，再代入目标函数即可获解：试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）即最优解为即∴（元）．18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线得到线线平行和线段，得到平行四边形，再由平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理进行证明；（3）利用三棱锥的体积公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅲ）因为，，，所以.所以三棱锥的体积.考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间中平行关系的转化；3.三棱锥的体积．19. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F 分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为.（i）证明：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①证明：如图，连接PE，BE．因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角．而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．20. 已知圆的圆心在直线：上，与直线：相切，且截直线：所得弦长为6（Ⅰ）求圆的方程（Ⅱ）过点是否存在直线，使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在直线.【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的圆心在直线：上，故可设圆心坐标为，再根据圆与直线相切，截直线：所得弦长为6，列出等式方程求解即可；（2）由题意过的直线斜率一定存在，设直线的方程为，以为直径的圆过原点，则，设，，则，联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由，利用韦达定理即可求出.试题解析：（Ⅰ）设圆心∵圆与直线相切∴∵圆截直线：所得弦长为6∴圆到直线的距离为∴∴∴圆心，∴圆的方程（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不符合题意②设：设∵被圆截得弦为直径的圆经过原点∴，即∴联立直线与圆的方程化简可得，即∴，∵，，∴，即∴∵∴无解∴不存在直线.点睛：直线与圆的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解.联立直线与圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法，涉及垂直的关系时往往利用根与系数的关系，设而不求法简化运算.。

天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（）A. B. C. 1 D.【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为故选：A2. 在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】B即故选：B3. 若是异面直线，，则与的位置关系是（）A. 或B. 与相交或C. 与相交或D. 与相交或或【答案】D【解析】∵是异面直线，，∴与的位置关系是与相交或或故选：D4. 若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】长方体的体对角线长即外接球的直径，∴∴6π故选：C点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .5. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵圆心在直线x+y﹣2=0上，∴可设圆的圆心M（a，2﹣a），根据圆过点A（1，﹣1），B（﹣1，1），可得（1﹣a）2+（﹣1﹣2+a）2=（﹣1﹣a）2+（1﹣2+a）2，解得a=1，故圆的圆心为（1，1），半径等于MA=2，故圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故选：D6. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵圆柱的轴截面为正方形，故圆柱的底面直径等于高即h=2r，又圆柱的侧面积为,∴,∴r=1,h=2,∴圆柱的体积等于，故选B考点：本题考查了圆柱的性质点评：熟练掌握圆柱的定义及性质是解决此类问题的关键7. 过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与之间的距离为（）A. B. C. 4 D. 2【答案】C【解析】求得圆的圆心为C（2，1）设点Q（x、y）为切线l上一个动点，则=（x+2，y﹣4），=（﹣4，3）∵PQ⊥CP，∴•=﹣4（x+2）+3（y﹣4）=0化简得4x﹣3y+20=0∵直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，∴a=4，可得m方程为4x﹣3y=0，两条平行线的距离为d=．故选：C8. 已知平面平面，，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图所示，对于A，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故不成立．对于B，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B成立；对于C，AB∥l⇒AB∥β，D成立；对于D，AB∥l∥m；A成立；故选A．点睛：判断线面关系的方法：①利用平行垂直的定理与性质进行直接联想与推导；（2）借助特殊几何体进行判断，比如正方体，正四面体，教室等等.第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 若点，，三点共线，则的值等于______.【答案】4【解析】解：因为若三点10. 一个圆锥的母线为，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为_______.【答案】【解析】由题设条件可知，在直角三角形中，圆锥的高：h=20cos30°=20×=．故答案为：．11. 圆上到直线的距离等于1的点有_______个.【答案】3【解析】试题分析：是一个以为圆心，为半径的圆．圆心到的距离为，所以作与直线距离为的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为．考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．12. 若直线与平面相交于点，，，且，则三点的位置关系是_______.【答案】在同一条直线上【解析】O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．证明如下：如图所示，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，∵A∈β，B∈β，A∈l，B∈l，∴l⊂β，∵l∩α=O，∴O∈α，O∈β，∴O=α∩β．∵C，D∈α，∴α∩β=CD，∴O∈直线CD．∴O，C，D三点的位置关系是在同一条直线上．故答案为在同一条直线上．13. 如图，正方体中，给出以下四个结论：①平面；②与平面相交；③平面；④平面平面，其中正确结论的序号是_______.【答案】①④【解析】对于①，由于平面A1ABB1∥平面CDC1D1，而D1C⊂平面CDC1D1，故D1C与平面A1ABB1没有公共点，所以D1C∥平面A1ABB1正确；对于②，由于A1D1∥BC，所以A1D1⊂平面BCD1，错误；对于③，AD与BD显然不垂直，错误；对于④，容易证明BC⊥平面A1ABB1，而BC⊂平面BCD1，故平面BCD1⊥平面A1ABB1．正确．故答案为：①④．点睛：在正方体中判断线面关系要充分利用好正方体的特殊性质，比如BD⊥平面BD，四面体C1BD A1为正四面体，A1C⊥平面BD A1等.14. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则_________.【答案】考点：三棱锥体积三、解答题（本大题共5题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知直线经过直线与直线的交点.（1）若直线垂直于，求直线的方程；（2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析:（1）易得点的坐标为，利用垂直关系得到斜率即可求出直线的方程；（2）利用平行关系得到斜率即可求出直线的方程.试题解析：由，解得∴点的坐标为.（1）∵直线的斜率为，∴与该直线垂直的直线的斜率为，∴直线的方程为，即.（2）直线的斜率为，∵直线与直线平行，∴，∴直线的方程为，即.16. 已知方程.（1）若此方程表示圆，求的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值.【答案】(1)；(2).【解析】解：（1）方程变形为∵此方程表示圆∴∴（2）由消去得设，∴∵∴又∵，∴∴∴∴17. 如图，直三棱柱中，，，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）；（3）平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析: 1）根据线面垂直的判定定理即可证明C1M⊥平面AA1B1B；（2）根据线面垂直的性质先证明A1B⊥平面AC1M，即可证明A1B⊥AM；（3）根据面面平行的判定定理即可证明平面AC1M∥平面B1NC．试题解析：（1）证法一：由直三棱柱得平面，∵平面，∴，又∵，为的中点，∴，又∵，∴平面.证法二：由直三棱柱得平面平面，且平面平面，∵，为的中点，∴，又∵平面，∴平面.（2）由（1）知，平面∵平面，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴.（3）证法一：由直三棱柱知，四边形是矩形，∵分别是的中点，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面，连接，则四边形是矩形，∴，且，又∵，，∴，且，∴四边形是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面又∵，∴平面平面.证法二：由（2）知，平面，∵平面，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵，∴平面，∴平面平面.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，.（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)45°；(3).【解析】试题分析:（1）取的中点，要证平面，即证，构造平行四边形即可；（2）根据题意易知为二面角的平面角，求出即可；（3）易证平面，为直线与平面所成的角，即可求出直线与平面所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，∵是的中点，∴，且，∵四边形是矩形，∴，且，∴，且，又∵是的中点，∴，∴，且，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面，平面∴平面.（2）∵平面，平面∴，∵四边形是矩形，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴为二面角的平面角，∵，∴为等腰直角三角形∴，即二面角的大小为. （3）由（2）知，为等腰直角三角形∵是斜边的中点，∴，由（1）知，，∴，又由（2）知，平面，平面，∴，∴，又∵平面，∴平面，∴是直线在平面上的射影，∴为直线与平面所成的角，在中，，，∴，在等腰直角中，∵是的中点，∴，∴∴，即直线与平面所成角的正弦值为.点睛:求直线与平面所成角问题主要有两个方法:①定义法,在斜线上取一点,过此点引平面的垂线,连接垂足与斜足得到射影,斜线与射影所夹较小角即线面角;②等积法:直接求得斜线上一点到平面的距离，其与斜线段长的比值即线面角的正弦值，关键求点到平面距离，往往利用等积法来求.19. 已知为坐标原点，设动点.（1）当时，若过点的直线与圆：相切，求直线的方程；（2）当时，求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）当时，设，过点作的垂线，与以为直径的圆交于点，垂足为，试问：线段的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.【答案】(1)或；(2)；(3)的长为定值为.【解析】试题分析:（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM 为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）由于∽，∴，直线的方程为，求出，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．试题解析：(1)解：依题意，将圆：化为标准方程为：，则圆心，半径为，∵直线过点，∴当斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当斜率存在时，设过点的直线的方程为，即.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为4，即，解得，∴，即，综上可得，所求直线的方程为或.（2）依题意得，（），∴以为直径的圆圆心为，半径为，∴圆的方程为，∵以为直径的圆被直线截得的弦长为2，∴圆心到直线的距离为，∴，解得.∴圆心为，半径为，∴所求圆的方程为. （3）的长为定值.理由如下：依题意得（）由于∽，则，即，∵直线的方程为，即∴由点到直线的距离公式得，又由两点间的距离公式得，∴，∴，∴的长为定值为.。

天津一中2017-2018高二数学上学期期中试题（文科附答案）天津一中2017-2018-1高二年级数学学科（文科）模块质量调查试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

第I卷1页，第II卷至2页。

考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

一、选择题：1．已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面&#61537;、&#61538;，则下列命题中的真命题是A．若m&#61534;&#61537;，n&#61534;&#61538;，&#61537;&#61534;&#61538;，则m&#61534;n.B．若m&#61534;&#61537;，n∥&#61538;，&#61537;&#61534;&#61538;，则m&#61534;n.C．若m∥&#61537;，n∥&#61538;，&#61537;∥&#61538;，则m∥n.D．若m∥&#61537;，n&#61534;&#61538;，&#61537;&#61534;&#61538;，则m∥n.2．已知直线x&#61483;a2y&#61483;6&#61501;0与直线(a&#61485;2)x&#61483;3ay&#61483;2a&#61501;0平行，则a的值为A．0或3或&#61485;1B．0或3C．3或&#61485;1&#61676;x&#61485;y&#61483;3&#61603;0&#61679;D．0或&#61485;13．已知x,y满足约束条件&#61677;3x&#61483;y&#61483;5&#61603;0，则z&#61501;x&#61483;2y的最大值是&#61679;x&#61483;3&#61619;0A．0B．2C．5D．64．若过定点M(&#61485;1,0)且斜率为k的直线与圆x2&#61483;4x&#61483;y2&#61485;5&#61501;0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是A．0&#61500;k&#61500;5B．&#61485;5&#61500;k&#61500;0C．0&#61500;k&#61500;13D．0&#61500;k&#61500;55．在正三棱柱ABC&#61485;A1B1C1中，若AB&#61501;2,AA1&#61501;1，则点A到平面A1BC的距离为33A．B．42C．33D．346．若直线y&#61501;x&#61483;b与曲线y&#61501;3&#61485;4x&#61485;x2有公共点，则b的取值范围是A．&#61673;1&#61485;22,1&#61483;22&#61689;B．&#61 673;1&#61485;2,3&#61689;C．&#61673;&#61485;1,1&#61483;22&#61689;D．&#61673;1&#61485;22,3&#61689;&#61675;&#61691;&#61675;&#61691;&#61676;x&#61483;y&#61603;4,&#61679;&#61675;&#61691;&#61675;&#61691;7．设不等式组&#61677;y&#61485;x&#61619;0,表示的平面区域为D.若圆C:&#61480;x&#61483;1&#61481;2&#61483;&#61480;y&#6 1483;1&#61481;2&#61501;r2&#61678;x&#61485;1&#61619;0不经过区域D上的点,则r的取值范围是&#61480;r&#61502;0&#61481;A．&#61480;22,25&#61481;B．&#61480;22,32&#61533;C．&#61480;32,25&#61533;D．&#61480;0,22&#61481;&#61640;&#61480;25,&#61483;&#61605;&#61481;8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．32B．23C．22D．29．若直线ax&#61483;2by&#61485;2&#61501;0(a,b&#61502;0)始终平分圆x2&#61483;y2&#61485;4x&#61485;2y&#61485;8&#61501; 0的周长，则1&#61483;1的最小值为2ab15A．B．223&#61483;22C．2D．3210．已知二面角&#61537;&#61485;l&#61485;&#61538;为60&#61616;，AB&#61644;&#61537;，AB&#61534;l，A为垂足，CD&#61644;&#61538;，C&#61646;l，&#61648;ACD&#61501;135&#61616;，则异面直线AB与CD 所成角的余弦值为1231A．4B．4C．4D．2二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3）．12．已知点A(&#61485;1,1)和圆C：(x&#61485;5)2&#61483;(y&#61485;7)2&#61501;4，从点A发出的一束光线经过x轴反射到圆周C的最短路程．13．已知圆C：(x&#61485;1)2&#61483;y2&#61501;25与直线l：mx&#61483;y&#61483;m&#61483;2&#61501;0，当m&#61501;&#61472;时，圆C被直线l截得的弦长最短．14．已知直线ax&#61483;y&#61485;2&#61501;0与圆心为C的圆&#61480;x&#61485;1&#61481;2&#61483;&#61480;y&#614 85;a&#61481;2&#61501;4相交于A，B两点，且&#61508;ABC为等边三角形，则实数a&#61501;．15．正方形AP1P2P3的边长为4，点B,C分别是边P1P2,P2P3的中点，沿AB,BC,CA折成一个三棱锥P&#61485;ABC（使P1,P2,P3重合于P），则三棱锥P&#61485;ABC的外接球表面积为．16．若关于x的不等式k&#61501;&#61472;．三、解答题：9&#61485;x2&#61603;k(x&#61483;2)&#61485;2的解集为区间&#61531;a,b&#61533;，且b&#61485;a&#61501;2，则17．本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A,B,C三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：玩具名称ABC工时（分钟）574利润（元）5[63（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润&#61559;（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？18．如图，在直三棱柱ABC&#61485;A1B1C1中，AB&#61534;BC，AA1&#61501;AC&#61501;2，BC=1，E、F分别为A1C1、BC的中点.（Ⅰ）求证：C1F//平面ABE；（Ⅱ）求点C到平面ABE的距离.19．如图所示，四棱锥P&shy;ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅰ）若二面角P&shy;AD&shy;B为60°.（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正切值．20．已知圆C的圆心在直线l1:x&#61485;y&#61485;1&#61501;0上，与直线l2:4x&#61483;3y&#61483;14&#61501;0相切，且截直线l3:3x&#61483;4y&#61483;10&#61501;0所得弦长为6 （Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）过点M(0,1)是否存在直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由新新特特特特王新王wxckt@126.一、选择题参考答案1．A2．D3．C4．A5．B6．D7．D8．B9．C10．B二、填空题11．1&#61483;&#61552;212．813．114．4&#61617;1515．24&#61552;16．2三、解答题17．解：（Ⅰ）C玩具有（100-x-y）个∴w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300 （Ⅱ）&#61676;5x&#61679;&#61483;7y&#61483;4(100&#61485;x&#61485;y)&#61603;10&#61620;60 &#61676;x&#61483;3y&#61679;&#61603;200&#61677;100&#61485;x&#61485;y &#61679;&#61619;20&#61659;&#61677;x&#61483;y&#61679;&#61603;80&#61678;x,y&#61646;N&#61678;x,y&#61646;N3y=-2x+w-3002y&#61501;&#61485;x3&#61483;w&#61485;1003&#61676;x&#61483;3y&#61677;&#61501;200&#61678;x&#61483;y&#61501;80&#61676;x&#61501;20&#61532;&#61677;&#61678;y&#61501;60M(20,60)&#61532;wmax&#61501;2&#61620;20&#61483;3&#61620;60&#61483;300 &#61501;520(元)答：每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大，为520元。

2017~2018学年度第一学期期中七校联考高二数学试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线:10l mx y m -+-=与圆22:(1)5C x y +-=的位置关系是（ ）．A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】直线:10l mx y m -+-=，即1(1)y m x -=-，即直线过(1,1)点，∵把(1,1)点代入圆的方程有10+∴点(1,1)在圆的内部，∴过(1,1)点的直线一定和圆相交．故选A ．2．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD BC ∥，222BC AD AB ===．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）． A ．2π3 B ．4π3 C ．5π3 D ．2π【答案】C【解析】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：2215π1π21π133⋅-⨯⨯=， 综上所述．故选C ．3．已知平面α，β，直线l ，m ，且有l α⊥，m β⊂，则下列四个命题正确的个数为（ ）． ①若αβ∥，则l m ⊥；②若l m ∥，则l β∥； ③若αβ⊥，则l m ∥；④若l m ⊥，则l β⊥； A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【解析】若αβ∥，则l β⊥，又由m β⊂，故l m ⊥，故①正确；若l m ∥，m β⊂，则l β∥或l β⊂，故②错误；若αβ⊥，则l 与m 相交、平行或异面，故③错误；若l m ⊥，则l 与β相交，平行或l β⊂，故④错误．故四个命题中正确的命题有1个．故选A ．4．已知点(4,2)(0,0)a b a b >>在圆22:4C x y +=和圆22:(2)(2)4M x y -+-=的公共弦上，则12a b+的最小值为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】D【解析】根据题意，圆C 的方程为224x y +=，圆M 的方程为22(2)(2)4x y -+-=，则其公共弦的方程为2x y +=，又由点(4,2)a b 在两圆的公共弦上，则有422a b +=，即21a b +=，1212(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭， 44a b b a=++，4+≥8 =，即12a b+的最小值为8．故选D．5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C B x '''∥轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B '在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则OB =3OC =．故选A ．6．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为（ ）．A BCC 1B 1A 1AB C D ．35【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取1CB =，则122CA CC CB ===．∴(2,0,0)A ，(0,0,1)B ，1(0,2,0)C ，1(0,2,1)B ，∴1(2,2,1)AB =-，1(0,2,1)BC =-．∴111111cos ,||||9ABBC AB BC AB BC ⋅=== 故选A ．7．设点P 是函数y =(2,3)()Q a a a -∈R ，则||PQ 的最大值为（）．A2 B2C D【答案】B【解析】由函数y =，得22(1)4x y -+=，(0)y ≤，对应的曲线为圆心在(1,0)C ，半径为2的圆的下部分，∵点(2,3)Q a a -，∴2x a =，3y a =-，消去a 得260x y --=，即(2,3)Q a a -在直线260x y --=上，过圆心C 作直线的垂线，垂足为A ，则max||||222PQ CA=+=+=．故选B．8．已知圆22630x y x y++-+=上的两点P，Q关于直线40kx y-+=对称，且OP OQ⊥（O为坐标原点），则直线PQ的方程为（）．A．1322y x=-+B．1122y x=-+或1524y x=-+C．1124y x=-+D．1322y x=-+或1524y x=-+【答案】D【解析】联立得2263012x y x yy x b⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩，代入整理得225(4)6304x b x b b+-+-+=，设11(,)P x y，22(,)Q x y，∵OP OQ⊥，∴1212x x y y+=，∴212125()042bx x x x b-++=，∴222263(4)05b b b b b-+--+=，∴32b=或54b=，所以直线PQ的方程为：1322y x=-+或1524y x=-+，经验证符合题意．故选D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卡上）9．如图，直三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点1B 的坐标是__________．【答案】【解析】∵直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，∴B ，∴顶点1B的坐标是，故答案为：．10．经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为__________．【答案】1【解析】经过点(2,)M m -、(,4)N m 的直线斜率为1， ∴412m m -=+， 解得：1m =．故答案为：1．11．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为__________．【解析】如图所示，DA BC OD A B C O设对角线ACBD O =，∴OB OD ==．∵222222OB OD a BD ⎫+=⨯==⎪⎪⎝⎭， ∴OB OD ⊥，又OD AC ⊥，AC OB O =，∴OD ⊥平面ACB ，∴三棱锥D ABC -的体积，13ABC V OD S =⨯⨯△，21132a =⨯，=．12．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点，再从P 点出发爬行到点(1,1)A ，则虫子爬行的最短路程是__________．【答案】2【解析】如图所示：设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b ，连接OB 和直线1y x =+交于C 点，则OC CA +最短， 由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩， 解得(0,2)B ，故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1)，故112OC CA +=+=．故答案为：2．13．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________．正视图侧视图俯视图【答案】3(6π)m +【解析】由图得， 此图形是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体和一个底面半径1，高为3的圆锥组成， 所以21321π133V =⨯⨯+⨯⨯⨯， 6π=+．∴体积为3(6π)m +．14．若圆2221:240()C x y ax a a +++-=∈R 与圆2222:210()C x y by b b +--+=∈R 恰有三条公切线，则a b +的最大值为__________．【答案】D【解析】曲线22630x y x y ++-+=可变为：22215(3)22x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得到圆心1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为52． 因为圆上有两点P 、Q 关于直线40kx y -+=对称，得到圆心在直线40kx y -+=上， 把1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭代入到40kx y -+=中求出2k =，且PQ 与直线垂直， 所以直线PQ 的斜率112k -==-， 设PQ 方程为12y x b =-+， 联立得2263012x y x y y x b ⎧++-+=⎪⎨=-+⎪⎩， 代入整理得225(4)6304x b x b b +-+-+=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，∴12120x x y y +=， ∴212125()042b x x x x b -++=， ∴222263(4)05b b b b b -+--+=， ∴32b =或54b =， 所以直线PQ 的方程为：1322y x =-+或1524y x =-+，经验证符合题意． 故选D ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知圆22:2220C x y x y ++--=和直线:34140l x y ++=．（1）求圆C 的圆心坐标及半径．（2）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（1）圆22:2220C x y x y ++--=，转化为：22(1)(1)4x y ++-=，则：圆心坐标为(1,1)-，半径2r =．（2）利用（1）的结论，圆心(1,1)-到直线34140x y ++=的距离3d ==．最大距离为：325d r +=+=．16．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 是AB 的中点，F 是PC 的中点． D AB C E FP（1）求证：平面PDE ⊥平面PAB ．（2）求证：BF ∥平面PDE ．【答案】见解析．【解析】（1）∵底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，∴ABD △为正三角形，E 是AB 的中点，DE AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DE AP ⊥，∵AP AB A =，∴DE ⊥平面PAB ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAB ．（2）取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，GPF E C B A D∵F ，G 是中点，∴FG CD ∥且12FG CD =， ∴FG 与BE 平行且相等，∴BF GE ∥，∵GE ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴BF ∥平面PDE ．17．（本小题满分13分）已知点(2,1)P -．（1）求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．（2）求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？【答案】见解析．【解析】（1）①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为2x =． ②当l 的斜率k 存在时，设:1(2)l y k x +=-，即210kx y k ---=，2=，解得34k =， ∴:34100l x y --=．故所求l 的方程为2x =或34100x y --=．（2）即与OP 垂直的直线为距离最大的．∵12OP k =-， ∴2l k =．∴直线为250x y --=．最大距离d =18．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，BF CE ∥，BF BC ⊥，BF CE <，2BF =，1AB =，AD =．DA B CEF（1）求证：BC AF ⊥．（2）求证：AF ∥平面DCE ．（3）若二面角E BC A --的大小为120︒，求直线DF 与平面ABCD 所成的角．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB BC ⊥，又∵BF BC ⊥，AB ，BF ⊂平面ABF ，ABBF B =，∴BC ⊥平面ABF ，∵AF ⊂平面ABF ，∴BC AF ⊥．（2）∵BF CE ∥，BF ⊄平面CDE ， CE ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，又AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AB ，BF ⊂平面ABF ，AB BF B =，∴平面ABF ∥平面CDE ，∵AF ⊂平面ABF ，∴AF ∥平面DCE ．（3）过F 作FN 与AB 的延长线垂直，N 是垂足，连结DN ．N FECB A D∵BC AB ⊥，BC BF ⊥，∴ABF ∠就是二面角E BC A --的平面角，∴120ABF ∠=︒，60FBN ∠=︒， ∴112BN BF ==，FN ， ∵1AB =，AD 90BAD ∠=︒，∴3DN =．∵BC ⊥平面ABF ， BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABF ⊥平面ABCD ，又平面ABF平面ABCD AB =，FN AB ⊥，∴FN ⊥平面ABCD ，∴FDN ∠是直线DF 与平面ABCD 所成的角，∴tan FN FDN DN ∠== ∴30FDN ∠=︒，∴直线DF 与平面ABCD 所成的角为30︒．19．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．DA BC E C 1B 1A 1（1）求证：AE ⊥平面1A BD ．（2）求二面角1D BA A --的余弦值．（3）求点1B 到平面1A BD 的距离．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵1AA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， ∴1AA BD ⊥，∵ABC △是等边三角形，∴BD AC ⊥，又1AA AC A =，∴BD ⊥平面11AA C C ，以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：A则(1,0,0)A ，(1,1,0)E -，1(1,2,0)A ，(0,0,0)D，B ， ∴(2,1,0)AE =-，1(1,2,0)DA =，DB =，∴10AE DA ⋅=，0AE DB ⋅=，∴1AE DA ⊥，AE DB ⊥，又1DA DB D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）1(0,2,0)AA =，(AB =-，设平面1AA B 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴200y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令1z =得(3,0,1)n =，又AE 为平面1A BD 的法向量，∴二面角1D BA A --的余弦值为2cos ,||||n AE n AE n AE ⋅==， =． （3）11(A B AB ==-， 1111112cos ,22||||A B AEA B AE A B AE ⋅==⋅， 12=， ∴直线11A B 与平面1A BD 所成角的正弦值为12， ∴点1B 到平面1A BD 的距离为11112A B ⨯=．20．（本小题满分14分）已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）当Q 的坐标为(1,0)时，求切线QA ，QB 的方程．（2）求四边形QAMB 面积的最小值．（3）若||AB =MQ 的方程． 【答案】见解析．【解析】（1）当过Q 的直线无斜率时，直线方程为1x =，显然与圆相切，符合题意； 当过Q 的直线有斜率时，设切线方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=， ∴圆心(0,2)到切线的距离1d ==， 解得34k =-， 综上，切线QA ，QB 的方程分别为1x =，3430x y +-=． （2）2MAQ QAMB S S =四边形△，【注意有文字】1212=⨯⨯=∴当MQ x ⊥轴时，MQ 取得最小值2，∴四边形QAMB（3）圆心M 到弦AB 13=， 设MQ x =，则221QA x =-，又AB MQ ⊥，∴222113x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得3x =．∴M 或(M ，∴直线MQ的方程为2y=+．=+或2y x。