实二次型

线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。

定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。

这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。

最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。

从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。

⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。

第六章 实二次型二次型的理论和方法在几何、多元函数的最值、控制理论等方面都有着很重要的应用．本章主要讨论在实数域上如何利用可逆线性变换及正交变换化二次型为标准型，并讨论了正定二次型和正定矩阵的性质．引例 二次曲面的研究 考虑二次方程：22244221x y z xy xz yz +++++=． （6.1）试问在空间直角坐标系下，（6.1）表示怎样的二次曲面．第一节 实二次型及其标准型一、二次型的概念定义1 n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次函数12(,,,)n f x x x =222222111nnn x a x a x a +++ 121213131,1222n n n na x x a x x a x x --++++ （6.２）称为关于变量12,,,n x x x 的n 元二次型，若),,2,1,(n j i a ij =为实数，则（6.2）称为实二次型．本章若无特殊说明，所讨论的二次型都是指实二次型． 令ji ij a a =，有2ij i j ij i j ji j i a x x a x x a x x =+，于是（6.２）可表示成12(,,,)n f x x x ,1nij i j i j a x x ==∑． （6.３）定义 2 只含有完全平方项的二次型2221122n nf k x k x k x =+++ ，称为二次型的标准形．形如222211s s r f x x x x +=++--- 的二次型称为二次型的规范形．二、二次型的矩阵表示形式对实二次型（6.3），有12(,,,)n f x x x ()11121121222212412n n n n nn n a a a x aa a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21，则实二次型可表示为 T f X AX =， （6.4）其中A 为实对称矩阵，叫做二次型f的矩阵，也把f 叫做实对称矩阵A 的实二次型．总之，任给一个实二次型，可以唯一确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实对称矩阵，也可以唯一确定一个实二次型，它们之间是一一对应关系．因此，我们把实对称矩阵A 的秩，称为二次型的秩．例1 写出二次型23322121242x x x x x x f +-+-=的矩阵及矩阵表示式，并求该二次型的秩．解 二次型的矩阵为110102022A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则二次型的矩阵表示式()112323110102022T x f X AX x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． 又20A =≠，所以()3R A =，则二次型f 的秩也等于３．思 考 题 一1．对于矩阵124223433A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，112323633B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有T T f X AX X BX ==22212312132323486x x x x x x x x x =+++++，试问二次型的矩阵是A 还是矩阵B ？为什么？2．请思考怎样快速写出给定二次型的矩阵；请针对定义２中二次型的标准形和规范形，写 出其二次型的矩阵．第二节 化实二次型为标准型通常将二次型转化为标准型的方法有配方法，正交变换法和初等变换法，本节我们着重讲述前两种方法．一、线性变换变量12,,,n x x x 与变量12,,,m y y y 的关系式11111221221122221122,,,m m m mn n n nm m x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ （6.5） 称为由变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换，其中ij c 是实数．令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n nm n n m m y y y Y x x x X c c c c c c c c c C 2121212222111211,,， 则矩阵C 称为由变量12,,,n x x x 到变量12,,,m y y y 的线性变换矩阵，且（6.5）可表示为CY X =． （6.6）若C 为可逆矩阵，则（6.6）称为可逆线性变换（或非退化的线性变换）．若C 为正交矩阵，则（6.6）称为正交变换．如果QY X =为正交变换，则Y Y Y QY Q Y X X X T T T T ====，即正交变换保持向量的长度不变．二、用配方法化二次型为标准形１、二次型中含有完全平方项情形例2 化二次型22212312132334226f x x x x x x x x x =-+-+-为标准形，并求所用的可逆线性变换．解 222112132323(22)346f x x x x x x x x x =-+-+- 2221232233()443x x x x x x x =-+--+2221232233()4()3x x x x x x x =-+-++ 2221232331()4()42x x x x x x =-+-++，令112322333,1,2,y x x x y x x y x =-+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213211002110111x x x y y y ，得可逆线性变换 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213211321100211023111002110111y y y y y y x x x ，此时二次型的标准形22212344f y y y =-+． 2、二次型中不含有完全平方项情形例3 化二次型1213232f x x x x x x =++为标准形，并求所用的可逆线性变换．解 令11221233,,,x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x ，代入二次型，再配方得322231213y y y y y y f --+=23322223149)23(y y y y y y ---+= 232322312)21()23(y y y y y -+-+=． 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112123y z y y z y y z ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110021102301y y y z z z ，得二次型的标准型为2221232f z z z =--． 所用的可逆线性变换为111122233331021101121110011112001001001x z z x z z x z z -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭．三、用正交变换法化二次型为标准形对二次型Tf X AX =，作可逆线性变换X CY =，得()()()T T T f Cy A Cy y C AC y ==，就是说，若原二次型的矩阵为A ，那么新二次型的矩阵为TC AC ，其中C 是所用可逆线性变换的矩阵．其对应关系是：()()()()X CYT T T T T T Tf X X AXg Y f CY Y C AC Y Y BYA AC AC B B ==−−−−−→====−−−−−→==可逆线性变换定义３ 设,A B 均为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得TB C AC =，则称矩阵A 与B 合同．显然，矩阵合同满足下面性质：（1）如果A 为对称矩阵，则B 也为对称矩阵． （2）()()R A R B =．（3）如果A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同．对于给定二次型Tf X AX =，我们主要讨论的问题是找到可逆线性变换CY X =，使2221122n nf k y k y k y =+++ ， 则得到了二次型的标准型．问题等价于，已知实对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得Λ=AC C T为对角矩阵．而对于实对称矩阵A ，存在正交矩阵Q ，使1TQ AQ Q A Q -==Λ，其中Λ是以A 的n 个特征值为主对角线元素的对角矩阵．因此我们有以下定理：定理1 对任意n 元实二次型Tf X AX =，总存在正交变换X QY =，将二次型化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ， 其中12,,,n λλλ 是实二次型f 的矩阵A 的n 个特征值．例 4 求一个正交变换X QY =，把二次型22212312135524f x x x x x x x =+++-化为标准形．解 二次型的矩阵112150205A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．A 的特征多项式112150(5)(6)205A E λλλλλλλ---=-=-----， 得A 的特征值1230,5,6λλλ===．当10λ=时，解齐次线性方程组(0)0A E X -=，得基础解系1(5,1,2)T ξ=-，单位化得1512(,,)303030Tη=-． 当25λ=时，解齐次线性方程组(5)0A E X -=，得基础解系2(0,2,1)T ξ=，单位化得221(0,,)55Tη=． 当36λ=时，解齐次线性方程组(6)0A E X -=，得基础解系3(1,1,2)T ξ=-，单位化得3112(,,)666Tη=-． 令正交矩阵()123510306121,,30562123056Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，于是正交变换X QY =，且得二次型的标准形222356f y y =+． 例5 求一个正交变换X QY =，把二次型233222312121221221x x x x x x x x x f -+++-=化为标准形．解 二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=11112/12/112/12/1A ．A 的特征多项式 )2()1(11112121121212λλλλλλ+--=------=-E A ，得A 的特征值1,231,2λλ==-．当1,21λ=时，解齐次线性方程组)0A E X -=（，得基础解系 1112(1,1,0),(2,0,1)T T ξξ=-=，正交化得1(1,1,0)T β=-，2(1,1,1)T β=；再单位化得1211111(,,0),(,,)22333T T ηη=-=． 当32λ=-时，解齐次线性方程组(2)0A E X +=，得基础解系21(1,1,2)T ξ=-，单位化得3112(,,)666Tη=-． 令正交矩阵()123,,Q ηηη==11123611123612036⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，于是正交变换X QY =，且得二次型的标准形2221232f y y y =+-．思 考 题 二1．利用配方法化二次型为标准形的步骤是什么？2．总结利用正交化方法化二次型为标准形的步骤，需要注意什么问题? 3．若矩阵B 与对称矩阵A 合同，矩阵B 一定是对称矩阵吗？第三节 正定二次型定理2（惯性定理） 设实二次型Tf X A X =的秩为r ，若有可逆变换X C Y =及X P Z =，使得22211220,1,,r r if k y k y k y k i r=+++≠= ， 和 22211220,1,,r ri f z z z i r λλλλ=+++≠= ， 则12,,r k k k 中正数的个数与12,,r λλλ 中正数的个数相等，负数个数也相等．其中正数的个数称为正惯性指数，记为p ；负数的个数称为负惯性指数，记为q ，且有p q r +=．定义4 实二次型T f X AX =称为正定二次型，如果对任何0X ≠，都有0f >．正定二次型的矩阵称为正定矩阵．实二次型T f X AX =称为负定二次型，如果对任何0X ≠，都有0f <．负定二次型的矩阵称为负定矩阵．定理 3 n 元实二次型T f X AX =正定的充分必要条件是：它的标准形的n 个系数全为正，即它的正惯性指数p n =．证 存在可逆线性变换X CY =，使2221122()()n nf X f CY k y k y k y ==+++ ． 充分性：设0i k >，1,2,,i n = ．任给向量0X ≠，因为C 可逆，所以10Y C X -=≠，故02222211>+++=n n y k y k y k f ，即二次型为正定的．必要性：用反证法．假设有0s k ≤．当s Y e =，即0s X Ce =≠时，f 0≤=s k ，其中s e 是第s 个分量为1其余分量都为0的n 维单位向量．与f 正定矛盾．推论 实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为正．定理4 n 阶实对称矩阵()ij A a =为正定矩阵的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都为正值，即0,,0,01111222112112111>==∆>=∆>=∆nnn n n a a a a A a a a a a ． n 阶实对称矩阵()ij A a =为负定矩阵的充分必要条件是A 的奇数阶顺序主子式都为负值，偶数阶顺序主子式都为正值，即1111(1)(1)0,1,2,,k k k k k kka a k n a a -∆=->= ． 例6 判别二次型xz xy z y x f 44465222++---=的正定性．解 f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=402062225A ．各阶主子式080,0266225,05321<-==∆>=--=∆<-=∆A ，故f 是负定二次型．例7 设U 为可逆矩阵，U U A T=．证明二次型T f X AX =是正定二次型． 证 显然A 为实对称矩阵．任给0X ≠，因为U 可逆，则0UX ≠，且2()()0T T T T f X AX X U UX UX UX UX====>，所以AX X f T =是正定二次型．注 例7表明：与单位矩阵合同的矩阵必是正定矩阵．思 考 题 三1．给定n 元实二次型AX X f T=，其中12(,,,)T n X x x x = ．若n x x x ,,,21 全不为零时， 有0>f ，则f 为正定二次型，对吗？2．正定矩阵一定是对称矩阵吗？3．若矩阵B 与正定矩阵A 合同，矩阵B 也是正定矩阵吗？4．若3元实二次型AX X f T=的标准形为22212y y f +=，请问该二次型是否为正定二次 型？第四节 应用举例一、引例解答令二次型222(,,)4422f x y z x y z xy xz yz =+++++，其矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411112121A ，A 的特征多形式)5)(2)(1(λλλλ--+-=-E A ，得A 的特征值5,2,1321==-=λλλ．5,2,1321==-=λλλ对应的正交单位化特征向量依次为T )0,21,21(1-=η，T )31,31,31(2--=η，T)62,61,61(3=η．则二次型f 在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 62310613121613121下的标准形 22252w v u f ++-=．因为152222=++-=w v u f 表示单叶双曲面，所以所讨论二次方程也表示一个单叶双曲面．二、二次曲线的研究例8 设二次曲线的方程为2211222451x x x x -+=，试确定其形状．解 先用正交变换把二次型221122245f x x x x =-+化为标准形．二次型的矩阵 2225A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．A 的特征值为1，6，且分别对应的正交单位化的特征向量为12115u ⎛⎫=⎪-⎝⎭，21125u ⎛⎫=⎪⎝⎭．则在正交变换1122211125x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，二次型的标准形22126f y y =+． 对于二次型12(,)1f x x =可得图6，对于二次型12(,)1f y y =可得图7，并在图7中叠加了图6的坐标．因为正交变换不改变向量的长度，也就是在直角坐标系下不改变图形的形状，所以两个曲线图形是同一椭圆，所不同的是方向的变化．现在分析这一变化产生的原因，针对正交变换X QY =，可以看成是图示中的第一组单位正交向量,i j 到第二组单位正交向量12,u u 下的旋转变换（如图6到图7的变化所示），我们通常称1Ty y Λ=这样的方程为标准方程，有利于我们对曲线或曲面进行分类或者刻划曲线的属性．三、多元函数的最值 例9 求函数123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-+在条件1X =下的最小值．解 该函数为实二次型，对其作正交变换QY X =，将其化为标准形，然后在条件1Y X ==下讨论函数的最小值．该二次型的矩阵011101110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征多项式2)1)(2(λλλ-+-=-E A ，其特征值为12,32,1λλ=-=．对应于特征值12,32,1λλ=-=的正交单位化特征向量依次为11(1,1,1)3T η=-，2311112(,,0),(,,)22666T T ηη==-． 则二次型f 在正交变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132162031612131612131y y y x x x 下的标准形 2221232f y y y =-++， （6.7） 相应地，条件1X =化为1Y =，即2221231y y y ++=． （6.8）则问题归结为求（6.7）式确定的函数在条件（6.8）下的最小值．此时，显然有22222212312322()2f y y y y y y =-++≥-++=-．当123(,,)(1,0,0)T T Y y y y ==±时2-=f ，所以f 在1(1,0,0)T Y =和2(1,0,0)T Y =-处取得最小值2-=f ．当1(1,0,0)T Y =时，11111(,,)333T X QY ==-； 图6在,i j 下的图形图7 正交变换后在12,u u 下的图形当2(1,0,0)T Y =-时，22111(,,)333T X QY ==--． 所以函数在111(,,)333T X =±-处取得最小值2-=f ．习 题 六（A ）1．写出下列二次型的矩阵．（1）222123123121323(,,)22454f x x x x x x x x x x x x =++++-；（2）212341213234(,,,)452f x x x x x x x x x x x =--+；（3）542125111(,,,)2i i i i i f x x x xx x +===+∑∑ ； （4）()112312323124(,,)124123x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．2．已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x ax x x x x x x =++-+-的秩为2，求a ．3．用配方法将下列二次型化成标准形，并写出所用的可逆线性变换．（1）222123123121323(,,)342210f x x x x x x x x x x x x =-+-+-；（2）123121323(,,)f x x x x x x x x x =++；（3）2221231231213(,,)5424f x x x x x x x x x x =+-+-；（4）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++．4．用正交变换法化二次型为标准形，并写出所用的正交变换．（1）222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =-+-+-；（2）2221231231223(,,)2344f x x x x x x x x x x =++--；（3）222123123121323(,,)444f x x x x x x x x x x x x =++---； （4）123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++．5．判断下列二次型的正定性．（1）222123123121323(,,)255448f x x x x x x x x x x x x =+++--；（2）2221231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =--+++．6．求a 的取值范围，使二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型。

第6章 实二次型二次型是线性代数的主要内容之一，它在工程技术领域有着广泛的应用，作为可对角化矩阵的应用是用正交变换化实二次型为标准形，它与实对称矩阵正交相似于对角矩阵是以两种形式出现的同一问题。

正定二次型是有广泛应用的一种特殊的二次型，要掌握其判定方法。

6．1二次型及其矩阵表示定义（实二次型） 设);,,2,1,(j i n j i a ij ≤= 均为实常数，称关于n 个实变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式函数∑∑<==+=+++++++++=nji j i ji ij ni i ii nnn nn nn n x x a x a x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,12222322322221131132112211121222222),,(为一个n 元实二次型，简称为n 元二次型。

令ji ij a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，再令矩阵n n ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，则A 为实对称矩阵，且可将二次型写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,(或Ax x x f T =)(称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，并称A 的秩为二次型f 的秩。

注意二次型f 的矩阵n n ij a A ⨯=)(的元素为：ii a 为2i x 的系数ji ij a a n i ==),,,2,1( 为j i x x 的系数的一半);,,2,1,(j i n j i ≠= 。

6．2合同变换与二次型的标准形定义（满秩线性变换）设n n ij c C ⨯=)(为满秩方阵，则称由变量n y y y ,,,21 到变量n x x x ,,,21 的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 为满秩线性变换或可逆变换。