最新实二次型的合同标准形与正交标准形

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将二次型化为标准型合同变换的方法

将二次型化为标准型合同变换的方法一。

二次型这玩意儿，在数学里可有着重要地位。

咱今天就来好好唠唠怎么把它化为标准型，用的就是合同变换这一招。

1.1 啥是二次型。

先得搞清楚啥是二次型。

简单说，就是一个多项式，里面的变量都是二次的。

比如说 f(x,y) = x² + 2xy + y²，这就是个二次型。

1.2 为啥要化为标准型。

那为啥要费这劲把它化成标准型呢？这就好比把一团乱麻理清楚，标准型能让咱更清楚地看到这个二次型的本质特征，解决问题也就更容易。

接下来，咱就讲讲合同变换的方法。

2.1 矩阵表示。

二次型可以用矩阵来表示，这是关键的一步。

就像给二次型穿上了一件“数学外衣”，方便咱操作。

2.2 找可逆矩阵。

然后就得找那个能让二次型变身的可逆矩阵。

这就像找一把神奇的钥匙，打开标准型的大门。

2.3 具体变换步骤。

这步骤可得仔细喽。

先通过一些巧妙的运算，找到合适的元素，进行变换。

一步一步，稳扎稳打，直到把二次型变成咱想要的标准型。

三。

咱通过个例子来瞅瞅。

3.1 举例说明。

比如说 f(x,y,z) = 2x² + 3y² + 5z² + 4xy - 6xz - 8yz ，咱就按照前面说的方法，一步一步来，经过一番折腾，就能把它化成标准型。

3.2 总结归纳。

将二次型化为标准型的合同变换方法，虽然有点复杂，但只要掌握了窍门，多练练，就一定能拿下。

这可是数学里的一块硬骨头，啃下来了，咱的数学功力就能更上一层楼！。

6.2 二次型的标准型

y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩，其中，的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形化为标准形问题二如何化二次型为标准形如何化二次型为标准形? 常见的方法针对二次型拉格朗日(Lagrange)配方法。拉格朗日( )配方法。针对二次型所对应的对称阵针对二次型所对应的对称阵二次型所对应的行列对称初等变换法；行列对称初等变换法；正交变换法。正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3，即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第六章二次型
§6.2 二次型的标准形

5.2 二次型的标准形

19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C；（2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解（1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使

线性代数 6-2标准形规范形

2 2 2 λ y + λ y + + λ y ⋯ X＝QY 化为标准形 1 1 2 2 n n ,其中
λ1 , λ2 ,⋯, λn为A的全部特征值, Q的列向量为对应
于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的标准正交特征向量 . 标准正交特征向量特征向量.
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. 求正交阵Q, 使Q-1AQ为对角形为对角形. T ⎛ 1 1 1⎞ λ = 3 α = (1,1,1) 1 1 ⎜ ⎟ T T A = ⎜ 1 1 1⎟ λ = λ = 0 α = ( − 1,1,0) α = ( − 1,0,1) , 2 3 2 3 ⎜ 1 1 1⎟ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎝ ⎠ − −
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结束
, 在解析几何中在解析几何中, 中心与坐标原点重合的有心二次曲线
f = ax 2 + 2bxy + cy 2
选择适当角度 θ,逆时针旋转坐标轴
{
x = x′ cosθ − y = x′ cosθ +
y′ sinθ y′ sinθ
f = a′x′ 2 + c′y′ 2
(标准方程 ) 标准方程)
−5 5 = − 5 − 5 T 5 T 5 × 10 = α α f (α ) = α T Aα ≤ α α= ×10 = 5 5 2 2 2 2
故 m = −5 5, M = 5 5
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二、配方法
定理2 数域F上的任意一个二次型均可经过可逆线性替换化为标准形. . 证明略。后面以例说明证明略。后面以例说明. : 用“矩阵合同”概念表述定理概念表述定理: 3 数域F上任一对称矩阵都与一个对角阵合同 . 定理定理3 上任一对称矩阵都与一个对角阵合同.

线性代数—二次型的标准形和规范形汇总

9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交阵 P，使 P AP 为对角阵，而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时，我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出，要把一个二次型化为标准形，只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .

二次型及其标准形

例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.

线性代数4.2 二次型的标准形与规范形

a11 a12 ... a1n x1 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = x Ax= ( x1 , x2 ,..., xn ) a a ... a 21 22 2n x2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 经过非退化线性替换 x = Cy a an2 ... ann x n1 n x1 c11 c12 ... c1n y1 ↑
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 )化为 f = y1 − y2 + 4 y3
y1= x1− x2 + x3 令 y2 = 2 x 2 + x 3 y3 = x 3
标准形
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 − 3 x2 + 4 x3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = y1 − y2 + 4 y3
B= C T AC
↑
B
对称矩阵A与对角矩阵合同. 对称矩阵A与对角矩阵合同.
例将 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 化为规范形. 化为规范规范形
制造”平方项. 此二次型没有平方项, 此二次型没有平方项, 先“制造”平方项. f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 y1 ( y1 + y2 ) + 2 y1 y3 −4 ( y1 + y2 ) y3 解令
2 2 = ( x1− x2 + x3 )2−4x2 +3 x3−4 x2 x3 2 2 2 = ( x1 − x2 + x3 )2 +(− x 2x2 −4x2x 33+x3) + 3x3 + x3 −(4 42 + 4 x 2 x 2 )

实二次型的合同标准形与正交标准形

② 你能否证明: 对任意正整数 m,正定矩阵 A有唯一的 m次
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形
② 第九章二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.
,则有A唯一的0正交矩阵和正上三角矩阵使得 Q .
A QR
n A ① 设为阶正定矩阵,则有正上三角矩阵使
（文献[1] 第九章习题14）

实二次型及其标准型

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二、合同变换
1. 矩阵合同
定义对n阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵C, 使 C TAC = B,
则称 A与 B合同. 矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵A与自身合同； (2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同； (3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同.
返回
A与B等价：PAQ = B,
X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T 则 X = CY 为正交变换，且 f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32
返回
t1 2z1 若再令 t2 6z3 t 2z 2 3
则, f = 2z12 – 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32
返回
将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + … + dp yp2 - dp +1yp+12 - … - dr yr2
定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.
返回
四、用正交变换化二次型为标准形
定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + … + n yn2 其中 1 ，2 ，…，n是A 的特征值.
证
因A 为n 阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵C , 使
i 1 j 1
n
n
(1)
(1)式称为从 y1, …, yn 到 x1, …, xn 的线性变换.
返回
x1 y1 c11 c12 c1n x2 y2 c21 c22 c2 n 令 C X , Y xn yn cn1 cn 2 cnn 则(1)式可记为

实二次型及其标准形

A与B等价：PAQ = B, 与等价等价：
P, Q 可逆；可逆；
可逆； A与B相似：P -1AP = B , P 可逆；与相似相似：请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？
三、用配方法化二次型为标准形
只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + … +dr yr2 称为标准形. 称为标准形形如 z12 + …+ zp2 – zp+12 - … - zr2 +1 的二次型称为规范形. 的二次型称为规范形 p: 正惯性指数；正惯性指数； r - p: 负正惯性指数；负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差符号差. (di ≠0)
2 1 2 2 2 3
3 －2 − 3 3 c 1 2
3 1 0
1 2 0 －1
f ( x1 , x2 , x3 ) = 5x + 5x + cx − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3
5 −1 3 解：A = −1 5 −3 3 −3 c ∵ r ( A) = 2 ∴ A =0 ∴ c=3
可逆，），（满秩若C可逆，则称为非退化（可逆），（满秩）线性变换。可逆则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。正交，若C正交，则称为正交线性变换。正交则称(2)为正交线性变换。
非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：由X = CY
⇒ Y = C -1 X
可逆，设P , Q可逆，则 r ( PA) = r ( A) = r ( AQ ).
两个 n 阶对称方阵 A、B , 若存在可逆矩阵的合同：矩阵的合同：矩阵 C , 使得 B = C AC , 则称 A 合同 ~ 于 B . 记作A − B。所以，通过非退化线性变换，所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的. 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.

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1. 实二次型两种标准形的重要性
① 数学专业教材
② 非数学专业教材 2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是二次型的两种标准形作为高数四的新增内容.
现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. ③ 新编教材
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福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会
2. 要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 ① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
1. 北大教材[1] 将基本知识分散处理于三部分
① 第五章二次型五节内容基本问题：合同标准形 ② 第九章欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形基本问题：正交标准形 ③ 第十章双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数
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距离远、联系差
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2 2 2 2 y y y y 2） 1 p p 1 r 1 0, 当 r 1 r ; 2 2 2 2 y y y y ; 3） 1 p p 1 r 2 yn 0, 当 r 2 r
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称（4）为实二次型的合同标准形.
2 , X QY , Q ' Q E n 2） X ' AX 1 y12 n yn
（ 5）
（5）中 1 , 2 ,, n 为实二次型的正交标准形.
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标准形
莆田学院数学系杨忠鹏陈智雄晏瑜敏林志兴
2007年6月30日
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一、二次型的基本问题
f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij P
i 1 n
（1）
（1）可被唯一表示为
③ 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分：
Ⅰ 基础内容多项式线性代数线性空间线性变换
Ⅱ 深入内容第七章方阵相似标准形与空间分解第八章双线性型、二次型与方阵相合第九章欧几里德空间与酉空间
Ⅲ 选学内容
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三、几点看法
常用的实二次型化简 f X ' AX , A ' A R nn
2 2 1）X ' AX d1 y12 d p y 2 d y d y p p 1 p 1 pq p q
（ 4）
其中 X CY , C 可逆, d i 0 , p, q为正、负惯性指数.
② [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12]
定理9.12 设欧几里得空间 V 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 X T SX 2 T X a 0 实对称方阵 S 的非零特征值 1 r ，则可经过正交
变换化此曲面为下列情形之一：
2 1 y12 2 y2 r yr2 0（当 r 1）
2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] ① 第八章欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形 ② 第九章二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.
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② 姚慕生[8]
实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合
同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]）第八章二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形第九章内积空间第十章双线性型
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3. 非数学专业教材两种标准形是紧密出现的 ① 居余马[4] 第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形）第六章二次型（主要是实二次型） ② 同济线性代数[5] 第五章相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型
( n) R 定理8.13 对中二次超曲面 0 T Sx f ( x ) x T Sx 2 T x a x 记 r , p, q, t p q 0 分别为 S 的秩、正惯性指数、负惯相应的值. 则可经仿分别为 , p ,q , t 性指数、符号差； r S 射变换化此二次超曲面的方程为 2 2 2 2 y y y y 1） 1 p p 1 r 0, 当 r r ;
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③ 中国人大线性代数[6]
第四章矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化
第五章二次型
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4. 新出版的一些高等代数教材
① 邱维声[7] 第五章矩阵的相抵分类与相似分类第六章二次型、矩阵的合同分类这样可将正交标准形同时纳入教学内容
S r,r 为S
f ( x1 , x2 ,, xn ) X ' AX , A (aij ) A' P nn
（2）
基本问题：
f ( x1 , x2 ,, xn ) X ' AX Y ' BY , 其中 X CY , C 可逆（3）
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