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一、二次型及其标准形：定义1：的二次齐次多项式个变量含有n x x x n ,,,21 nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(++++= nn x x a x x a x a 223223222222++++ n n x x a x a 3323332++++2n nn x a +型。
元二次型，简称为二次称为n 定义2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n x c x c x c y x c x c x c y x c x c x c y 22112222121212121111若线性变换的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯nn n n n n n n c c c c c c c c c C 212222111211可逆，则称线性变换为可逆线性变换；正交，则称线性变换为正交变换。
定义3：222221121),,,(nn n x d x d x d x x x f +++= 只含平方项的二次型，即形如称为二次型的标准形（或法式）。
二、二次型的矩阵表示法：，则设ji ij a a =nn n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121),,,(++++= nn x x a x x a x a x x a 22322322221221+++++ 2332211nnn n n n n n n x a x x a x x a x x a +++++ +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211),,,(21n x x x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 221122221211212111),,,(21n x x x =AXX T =二次型的矩阵表示式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21二次型的矩阵（显然这是实对称阵）定义4：),,,(21n x x x f AX X T =设二次型则称对称矩阵A的秩为二次型f 的秩。
二次型的正定性与标准型二次型是数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、几何等领域。
在二次型的研究中，正定性是一个重要的性质，而标准型则是对二次型的一种标准化表示。
本文将详细介绍二次型的正定性与标准型。
一、二次型的定义与性质二次型是形如$Q(x)=\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$的函数，其中$\mathbf{x}$是$n$维向量，$\mathbf{A}$是$n \times n$的对称矩阵。
二次型具有以下性质：1. 对称性：二次型$Q(x)$中的矩阵$\mathbf{A}$是对称矩阵，即$\mathbf{A}=\mathbf{A}^T$。
2. 数域上的二次型：二次型中的矩阵$\mathbf{A}$可以是实数域$\mathbb{R}$ 上的或者复数域 $\mathbb{C}$ 上的。
3. 齐次性：$Q(kx)=k^2Q(x)$，其中$k$是标量。
4. 可加性：$Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2\mathbf{x}^T\mathbf{A}\mathbf{y}$。
在研究二次型的正定性与标准型之前，我们先来看一下正定性的定义。
二、正定性的定义与性质正定性是指一个二次型的取值范围。
一个二次型$Q(x)$具有以下性质：1. 正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)>0$时，二次型$Q(x)$称为正定二次型。
2. 半正定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \geq 0$时，二次型$Q(x)$称为半正定二次型。
3. 负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x)<0$时，二次型$Q(x)$称为负定二次型。
4. 半负定性：对于任意的非零向量$\mathbf{x}$，当且仅当$Q(x) \leq 0$时，二次型$Q(x)$称为半负定二次型。
正定二次型在数学和应用中具有重要意义，例如在优化问题、矩阵理论和最小二乘法中经常用到。
