2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练(6) Word版含解析

解答题滚动练61.已知函数_f(x)=cos 2^r+2sin2^+2sin x.JI r JI JI (1)将函数广(2x)的图象向右平移；个单位长度得到函数g(x)的图象，若,—，求函0 J.乙乙数g(x)的值域；⑵已知a, b, c分别为△/此'中角』，B,。

的对边，且满足b=2,辰(0,成)，f(A)=吏+1,胰a= 2力sin A,求ZX/H。

的面积.解f{x) =cos 2x+2sir?x+2sin x= cos 2x~\~ (1 —cos 2x) +2sin x=l + 2sin x.(1)平移可得g(x) =2sin(2x—耳］+1，r JI JI•12,'JI r JI 2 JI•Q y -- fZZ - -- -----3 6， 3 ，JI当入=正时，g(x)min=0；5 JI当X=~^时，&(才)max = 3 ,..•所求值域为[o, 3].⑵由已^n^3a=2Z?sin 4及正弦定理，得柬sin J=2sin ^sin A,..sin b=^~.JIJI二B=五,由f(W) =yj"^ +1,得sin A— %，由正弦定理，得加从而，=号~，•< _1 ,.厂1 2诉协+忠3+柘••S^ABC—Q abs 1 n C—X X 2 X —.Z L J O 7E O2.在等差数列｛&｝中，公差必0,勿=1,且切，血,禹成等比数列.(1)求数列｛绥｝的通项公式；⑵若上=令求数列｛〃｝的前刀项和Tn.解（1）由切，32, 35成等比数列知，总=3135,即（动+责』'（切+ 44）,即d=2axd,又必0, 31 = 1,解得d=2,故&=2刀一1.9n—1 1 Q 4 ?n— 1（2）bn= 2〃，则几=云+瑚+瑚------ 2〃 , ①O O U U O1 / 1 1,3,5, . 2/7—1 —由①式两边><S，有云久=瑚+瑚+卒 ----- 史+i , ②O O O 0由①一②,刀+ 1 化简得1=1一千.3.如图，在四棱锥夕一/时中，底面/助为平行四边形，AP=AB=AC=a, AD=y]2a, PAL 底面ABCD.⑴求证：平面冏平面0G（2）在棱任?上是否存在一点E,使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为一碧？若存在, 求出4=争^值；若不存在，请说明理由.⑴证明在△/6Z?中，AC=a, CD=a, AD=吏a,由勾股定理得CD勾AC,\9PA1_底面0%,:.PAL CD,又也U平面用C,用u平面用乙PAHAC=A,:.CDL平面06：又•.・67XZ平面物，・.・平面皿_L平面PAC.⑵解由（1）知，ABLAC,又用上底面/及刀，・.・以刀为原点，AB, AC, #所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则J(0, 0,0), B(a, 0, 0), C(0, a, 0), D( — a, a, 0), P(0, 0, a),CE 一一假设点E(&，Y E,勿)存在，且=—,则CE=入CP,即 3, Y E~ a., Z E)=人(0, ~a, a),・・ XE= 0, Y E= (1 — 4) a, ZE= 4 a.：.~AB= (a, 0, 0), AE= (0, (1一』)a, 』a), ~AD={~ a, a, 0).设平面冏拓的法向量为Z7i=(xi, yi, zi),平面/Z4E的法向量为4=(*2,巧，勿)，则J[必=0,[(1——久)ayi+ az\ = 0,J一翊+a 乃=0,[(1— 4)砂+ 4 必=0..*./71=(0,久，久——1),刀2=(久，久，人——1),! \ Z21 , z?2 2 + ( _ I)2cos s’ m2.^p2+ A2+p_1)22 2— 2 4+1 寸2 J — 2 4+1由题意 | cos〈〃i, ni) I = 土-, o叩.2,「一2』+l 避月3—2 11— 3 '3 (2 2—2 4+1) =2 (3 人之一2 人+1)，.•.棱密上存在一点反使得二面角B-AE-D的平面角的余弦值为一*,且此时4.对于函数/V)和g(x),若存在常数#, m,对于任意xER,不等式f(x) N奴+/Ng(x)都成立，则称直线y=kx+m是函数A A-) , g(x)的分界线.已知函数f3 =e'(<3x+l) (e为自然对数的底数，aER为常数).(1)讨论函数f(x)的单调性；⑵设日=1,试探究函数小(入)与函数g(x)=—x’ + 2x+l是否存在“分界线"？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由.(0) =0,当解⑴•.•/*(*) =/(宓+1), 「・尸(x) =e'(ax+a+l),.••当a=0时，f' (x) >0, f{x)在R 上单调递增.:・f3单调递减；在［一弓土 +8)上，尸(x)>o, .•.f(x)单调递增.当a<0时，在［—8,一之三］上，f (x)>0,.../■(x)单调递增；在［―弓」’+8)上，f' (x)<0, .♦./■(X )单调递减.(2)假设存在直线 y=kx+m,使不等式 e*(x+l) ^kx+m^~x+ 2x+1, 当 x=0 时，由于 1N 成Nl, m= 1,kx~\~ IN — x + 2x+1 恒成立，x + (k —2) xNO 恒成立.令力=(#—2)2<0,解得 #=2,...只需不等式e\x+l)》2x+1恒成立即可.设力(x) =e"(x+l) —2x —1,则 0 (x) =e 、(x+2) —2,令(H (x))‘ =e'(x+3)=0,得 x= —3,.••当xV —3时，h' (x)单调递减；当x>~3时，h' (x)单调递增，且力' 8时，H (x)—— 2,.••当 xVO 时，h' (x)V0,「.//(x)单调递减；当x>0时，h' (x)>0, .・M(x)单调递增..../(X )min =」(O )=0.h ( JT ) =e 、(x+l) —2x —1N0,.・.不等式e 、(x+l) N2x+1恒成立.综上所述，函数/'(x)与函数g(x)存在分界线，其分界线方程为y=2x+l.。

回扣数列．牢记概念与公式等差数列、等比数列.活用定理与结论()等差、等比数列{}的常用性质()判断等差数列的常用方法①定义法*)⇔{}是等差数列．＋－＝(常数)(∈②通项公式法＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列．③中项公式法*)⇔{}是等差数列．＋＝＋＋ (∈④前项和公式法＝＋(，为常数，∈*)⇔{}是等差数列．()判断等比数列的常用方法①定义法＝ (是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列．②通项公式法＝ (，均是不为的常数，∈*)⇔{}是等比数列．③中项公式法＝·＋(·＋·＋≠，∈*)⇔{}是等比数列．．数列求和的常用方法()等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．()形如{·}(其中{}为等差数列，{}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．()通项公式形如＝(其中，，，为常数)用裂项相消法求和．()通项公式形如＝(－)·或＝·(－)(其中为常数，∈*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论．()分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成＝＋形式的数列求和问题的方法，其中{}与{}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．()并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求.．已知数列的前项和求，易忽视＝的情形，直接用－－表示．事实上，当＝时，＝；当≥时，＝－－.．易混淆几何平均数与等比中项，正数，的等比中项是±.．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{}与{}的前项和分别为和，已知＝，求时，无法正确赋值求解．．易忽视等比数列中公比≠导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．．运用等比数列的前项和公式时，易忘记分类讨论．一定分＝和≠两种情况进行讨论．．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．．裂项相消法求和时，分裂前后的值要相等，如≠－，而是＝.．通项中含有(－)的数列求和时，要把结果写成为奇数和为偶数两种情况的分段形式．．在等差数列{}中，已知＋＝，则＋＝.答案解析设公差为，则＋＝＋＝，＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝×＝.．(·南京、盐城一模)设{}是等差数列，若＋＋＝，则＝.答案解析∵＋＋＝，∴＝，可得＝，∴＝＝＝＝.。

12＋4满分练(11)1.与复数z 的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z 的共轭复数，并记作z ，若z ＝i(3－2i)(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i 答案 D解析 复数z ＝i ()3－2i ＝3i －2i 2＝3i ＋2， ∴z ＝2－3i ，故选D.2.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，02x <03x；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∨(綈q )C.(綈p )∧qD.p ∧(綈q ) 答案 C解析 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题； ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan x ＝sin xcos x ，0<cos x <1， ∴tan x >sin x ，∴q 为真命题，故选C.3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2， b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为( ) A.120° B.60° C.45° D.30° 答案 C解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5， 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22， ∵θ∈[]0°，180°， ∴θ＝45°，故选C.4.已知双曲线过点(2，3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C.x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 则可以设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0，又由其过点()2，3，得323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.5.设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16 答案 B解析 区域M 表示的是底为22，高为2的三角形，面积为12×22×2＝2，区域N 表示的是以原点为圆心，半径为1的半圆(在x 轴上方)，面积为12π×12＝π2，由几何概型计算公式，得点落在N 内的概率为P ＝π22＝π4，故选B.6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A.6 3 B.47 C.87 D.12 答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 又△ABC 的周长为10＋27， 所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27，所以△ABC 的面积为 S ＝14×⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤()272×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫()272＋42－6222＝6 3. 7.将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3.又0＜φ＜π2，故φ＝π6，故选D.8.(2017·葫芦岛二模)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案 C解析 当n ＝5时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6； 当n ＝32时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32，故选C. 9.若π20(cos )d ,a x x =-⎰则⎝⎛⎭⎫ax ＋12ax 9的展开式中 x 3项的系数为( ) A.－212 B.－638 C.638 D.6316答案 A 解析 ππ220(cos )d sin |1,a x x x =-=-=-⎰则⎝⎛⎭⎫ax ＋12ax 9＝⎝⎛⎭⎫－x －12x 9＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12x 9， ⎝⎛⎭⎫x ＋12x 9的通项公式T k ＋1＝C k 9x 9－k ⎝⎛⎭⎫12x k ＝⎝⎛⎭⎫12k C k 9x 9－2k ， 令9－2k ＝3，得k ＝3，∴x 3 项的系数为－⎝⎛⎭⎫123C 39＝－212，故选A . 10.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A.13B.12C.33D.32 答案 C解析 如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角.设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.11.定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知正整数数列{a n }前n项的“均倒数”为12n ＋1，b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( )A.111B.112C.1011D.1112 答案 C解析 由题意得{a n }的前n 项和S n ＝112n ＋1×n ＝2n 2＋n ，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝n ，n ∈N *， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫110－111＝1011，故选C. 12.(2017·衡水中学二模)设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎤－∞，e ＋12B.(]－∞，e ＋2C.⎝⎛⎤－∞，e ＋12 D.(]－∞，e ＋2 答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ＜0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数；由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得 F (x )≥F ()2－x ⇒x ≤1，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(]－∞，1上有解， 即a ＝e x ＋2x 在(]－∞，1上有解， 令g (x )＝e x ＋2x ， 则g ′(x )＝e x ＋2>0，故g (x )＝e x ＋2x 在(]－∞，1上单调递增， 则g (x )≤g (1)＝e ＋2，故选B.13.(2017·葫芦岛二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， P ，Q 是C 上任意两点，点M ()0，－1满足MP →·MQ →≥0，则p 的取值范围是________. 答案 (0，2]解析 当直线MQ ，MP 与抛物线相切时， 两向量夹角最大，设直线MQ 的斜率为k ，则当k ≥1 时，恒有MP →·MQ →≥0成立， 直线MQ 的方程为y ＝kx －1， 与x 2＝2py 联立，得 x 2－2pkx ＋2p ＝0， 由Δ＝0 ，得 k 2＝2p ≥1，可得p ≤2，所以p 的取值范围是(0，2].14.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C －2sin A sin B ，则sin 2A ·tan 2B 的最大值是_____. 答案 3－2 2解析 由正弦定理，得a 2＋b 2＝c 2－2ab ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0＜C ＜π，∴C ＝3π4，A ＝π4－B ，2A ＝π2－2B ，∴sin 2A ·tan 2B ＝cos 2B ·sin 2B cos 2B ＝()2cos 2B －1()1－cos 2B cos 2B＝3－⎝⎛⎭⎫2cos 2B ＋1cos 2B ≤3－22cos 2B ·1cos 2B＝3－22，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 即sin 2A ·tan 2B 的最大值是3－2 2. 15.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{}a n 满足a 1＝x ， a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________. 答案334解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得B ()2，3，因为a 1＝x ，a 5＝y ， 所以公差d ＝y －x4，a 3＋a 4＋a 5＝S 5－S 2＝3a 4＝3()a 5－d ＝3×⎝⎛⎫y －y －x 4＝3()3y ＋x 4，设z ＝9y 4＋3x4，当直线过点B ()2，3时，有最大值334， 即S 5－S 2 的最大值为334.16.在下列命题中：①函数f (x )＝1x 在定义域内为单调递减函数；②函数f (x )＝x ＋ax(x >0)的最小值为2a ；③已知定义在R 上周期为4的函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )一定为偶函数； ④已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则a ＋b ＋c ＝0是f (x )有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f (x )＝x －sin x ，若a ＋b >0，则f (a )＋f (b )>0. 其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ③⑤解析 ①错，因为函数f (x )＝1x 在定义域内不具有单调性；当a >0时，函数f (x )＝x ＋ax (x >0)的最小值为2a ，当a ≤0时，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)无最小值，故②错；由周期为4及f (2－x )＝f (2＋x )⇒f (4－x )＝f (－x )＝f (x )，③正确； 函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)有极值，则f ′(x )＝0有不相等的实数根，则b 2>3ac ，故④不正确； 函数f (x )＝x －sin x 是奇函数且在R 上单调递增，所以a ＋b >0⇒a >－b ⇒f (a )>f (－b )＝－f (b )⇒f (a )＋f (b )>0，故⑤正确. 故正确命题的序号为③⑤.。

a解 (1)由 e ＝ ＝c 所以椭圆 C 的方程是 ＋ ＝1.⎩y B －y A 8k 1故 k AB ＝ x B －x A －16k 21＋4k 2 1＋4k 24k 2＋1 1＋4k 2 4k 2＋16．圆锥曲线x 2 y 2 31．(2017·苏州期末 )如图，已知椭圆 C ： 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2，且过点 P (2，－1)．(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 Q 在椭圆 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过点 P 作两条直线分别交椭圆 C 于 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线 PQ 平分∠APB ，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定值．a 3 2，得 a ∶b ∶c ＝2∶1∶ 3，x 2 y 2椭圆 C 的方程为4b 2＋b 2＝1.把 P (2，－1)代入，得 b 2＝2，x 2 y 28 2(2)由已知得 PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数．设直线 PA 的方程为 y ＋1＝k (x －2)，其中 k ≠0.⎧⎪y ＋1＝k (x －2)， 由⎨⎪x 2＋4y 2＝8消去 y ，得 x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0，因为该方程的两根为 2，x A ，4(2k ＋1)2－8 8k 2＋8k －2 所以 2x A ＝ ，即 x A ＝ ，4k 2－4k －1从而 y A ＝ .8k 2－8k －2 4k 2＋4k －1把 k 换成－k ，得 x B ＝ ，y B ＝ .＝ ＝－ ，是定值．x 2 y 22．(2017·常州期末)已知圆 C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆 E ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为 B (0，－2)，F (c,0)为椭圆 E 的右焦点，直线 BF 与圆 C 相切于点 B .所以椭圆 E 的方程为 ＋ ＝1.设 l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入 ＋ ＝1，⎧⎪10k x ＋ 5k －20x x ＝ .⎪⎩3．(2017·无锡期末)已知椭圆 ＋ ＝1，动直线 l 与椭圆交于 B ，C 两点(点 B 在第一象限)．(1)若点 B 的坐标为 1， ⎪，求△OBC 面积的最大值；解 (1)直线 OB 方程为 y ＝ x ，即 3x －2y ＝0，所以⎨x 1－m x 2－m x 1－m x 2－m ＋k (x 1－1) k (x 2－1)y 1y ＝2· －(1＋m ) ＋2m ＝0，⎛3⎫4＋5k(1)求 t 的值以及椭圆 E 的方程；(2)过点 F 任作与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 M ，N 两点，在 x 轴上是否存在一定点 P ，使 PF 恰为∠MPN 的平分线？解 (1)由题意得 b ＝2.因为 C (t,0)，B (0，－2)，所以 BC ＝ t 2＋4＝ 20，所以 t ＝±4.因为 t ＜0，所以 t ＝－4.因为 BC ⊥BF ，所以 20＋c 2＋4＝(c ＋4)2，所以 c ＝1，所以 a 2＝b 2＋c 2＝5.x 2 y 25 4(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 2 y 25 4化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0，21 2 4＋5k 22 1 2 2若点 P 存在，设 P (m,0)，由题意 k PM ＋k PN ＝0，所以 ＝ ＋ ＝0，所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0， 即 2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m5k 2－20 10k 24＋5k 2 4＋5k 2所以 8m －40＝0，所以 m ＝5.所以存在定点 P (5,0)，使 PF 恰为∠MPN 的平分线．x 2 y 24 3⎝ 2⎭(2)设 B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且 3y 1＋y 2＝△0，求当 OBC 的面积最大时直线 l 的方程．32设过点 C 且平行于 OB 的直线 l ′方程为 y ＝ x ＋b .⎧⎪x ＋y ＝1， ⎪⎩y ＝3x ＋b⎛⎛所以△OBC 面积的最大值为 ×4 13所以⎨⎪⎩y y ＝3n －12.因为 3y ＋y ＝0，所以⎨⎪⎩y ＝ 4－n ， 3m ＋4 (3m 2＋4)2 3m 2＋4＋ ＋ ＋1 ＝＋4 ＋1＋432则当 △l ′与椭圆只有一个公共点时， OBC 的面积最大．2 2由⎨ 4 32消去 y 整理得 3x 2＋3bx ＋b 2－3＝0，此时 Δ ＝9b 2－12(b 2－3)，令 Δ ＝0，解得 b ＝±2 3，当 b ＝2 3时，C － 3， ⎝3⎫ ⎪；2 ⎭当 b ＝－2 3时，C 3，－ ⎝ 3⎫ ⎪，2 ⎭129 |3 3＋ 3| 1＋ × ＝ 3.(2)显然，直线 l 与 y 轴不垂直，设直线 l 的方程为 x ＝my ＋n .⎧⎪x 2＋y 2＝1， 由⎨ 4 3消去 x 并整理得(3m 2＋4)y 2＋6mny ＋3n 2－12＝0，⎪⎩x ＝my ＋n⎧⎪y 1＋y 2＝－3 6mn4，221 23m 2＋4⎧⎪y 1＝3 3mn4，2 1 2 22 129n 2m 2 4－n 2 从而 ＝ ，3m 2＋4即 n 2＝3m 2 ，1 6|m |n2 6|m |所以 △S OBC 2|n |·|y 1－y 2|＝2|n |·|y 1|＝3m 2 ＝3m 2 .因为 B 在第一象限，3m 2n所以 x 1＝my 1＋n ＝3m 2 ＋n ＞0，所以 n ＞0.因为 y 1＞0，所以 m ＞0，所以 △S OBC ＝ 6m3m 2＋1 1 2 3 m 3 2 3m ＋所以直线 l 的方程为 x ＝ 3 y ＋ ，即 y ＝ 3x － .4．(2017·南京、盐城二模)如图，在平面直角坐标系 x Oy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C ： ＋(2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，求AT ·BT的值；→ 2→ (3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P ，若AP ＝ TB ，求直线 l 的斜率 k . 所以椭圆 C 的标准方程是 ＋＝1. AT ·BT －y 1y 2MN 24y 20＝1－ ，所以 ＋消去 x ，得(1＋2k 2)y 2＋2ky －7k 2＝0，所以 y 1y 2＝ 1＋2k 2⎧⎪6 6 1 3 10 ＝ ≤ ＝ 3，当且仅当 3m ＝ ，即 m ＝ 时取等号，此时 n ＝ ，m10 303 2 2x 28y2b2＝1 经过点(b,2e )，其中 e 为椭圆 C 的离心率．过点 T (1,0)作斜率为 k (k ＞0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点(A 在 x 轴下方)．(1)求椭圆 C 的标准方程；MN 25b 2 4e 2解 (1)由点(b,2e )在椭圆 C 上，得 8 ＋ b 2 ＝1. c 2 8－b 2 b 2 b 2 4 3因为 e 2＝a 2＝ 8 8 8 b 2＝2.又 b 2＜a 2＝8，解得 b 2＝4，x 2 y 28 4(2)设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由对称性知 N (－x 0，－y 0)，其中 y 1＜0.因为 MN ∥AB ，所以＝ .直线 AB 的方程为 y ＝k (x －1)，直线 MN 的方程为 y ＝kx ，其中 k ＞0. ⎧⎪y ＝k (x －1)， 由⎨ ⎪⎩x 2＋2y 2＝8由⎨y ＝kx ，⎪⎩x 2＋2y 2＝8消去 x ，得(1＋2k 2)y 2＝8k 2，－7k 2 .所以 y 20＝ ，从而得 1＋2k 2MN 2 32 (3)由AP＝ TB ，得－x 1＝ (x 2－1)．5⎩，x 1x 2＝ 1＋2k 2所以 x 1＝ ，x 2＝3(1＋2k 2) 3(1＋2k 2)3(1＋2k 2) 3(1＋2k 2) 1＋2k 2解得 k 2＝2 或 k 2＝－ (舍)．8k 2 AT ·BT 7＝ .→ 2→ 2 5⎧⎪y ＝k (x －1)，由⎨⎪x 2＋2y 2＝8消去 y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以 x 1＋x 2＝1＋2k 24k 2 2k 2－8 .2又因为－x 1＝5(x 2－1)，－4k 2＋2 16k 2－2，－4k 2＋2 16k 2－2 2k 2－8从而 · ＝ .整理得 50k 4－83k 2－34＝0，1750因为 k ＞0，所以 k ＝ 2.。

解答题滚动练61.已知函数f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x .(1)将函数f (2x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求函数g (x )的值域；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足b ＝2，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (A )＝2＋1，3a ＝2b sin A ，求△ABC 的面积.解 f (x )＝cos 2x ＋2sin 2x ＋2sin x ＝cos 2x ＋(1－cos 2x )＋2sin x ＝1＋2sin x . (1)平移可得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2， ∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 当x ＝π12时，g (x )min ＝0；当x ＝5π12时，g (x )max ＝3，∴所求值域为[0，3].(2)由已知3a ＝2b sin A 及正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ， ∴sin B ＝32. ∵0＜B ＜π2，∴B ＝π3，由f (A )＝2＋1，得sin A ＝22， 由正弦定理，得a ＝263＜b ，从而A ＝π4，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×263×2×6＋24＝3＋33.2.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1，a 2，a 5成等比数列知，a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即d 2＝2a 1d ， 又d ≠0，a 1＝1，解得d ＝2，故a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n －13n ，则T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 由①式两边×13，有13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n 1，②由①－②，得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1⇒23T n ＝13＋232⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－2n －13n ＋1，化简得T n ＝1－n ＋13n .3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AP ＝AB ＝AC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥底面ABCD.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)在棱PC 上是否存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63？若存在，求出λ＝CECP的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 在△ACD 中，AC ＝a ，CD ＝a ，AD ＝2a ， 由勾股定理得CD ⊥AC ， ∵P A ⊥底面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面P AC . 又∵CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知，AB ⊥AC ，又P A ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，D (－a ，a ，0)，P (0，0，a )， 假设点E (x E ，y E ，z E )存在，且λ＝CE CP ，则CE →＝λCP →，即(x E ，y E －a ，z E )＝λ(0，－a ，a )， ∴x E ＝0，y E ＝(1－λ)a ，z E ＝λa .∴AB →＝(a ，0，0)，AE →＝(0，(1－λ)a ，λa )，AD →＝(－a ，a ，0).设平面BAE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面DAE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＝0，(1－λ)ay 1＋λaz 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧－ax 2＋ay 2＝0，(1－λ)ay 2＋λaz 2＝0.∴n 1＝(0，λ，λ－1)，n 2＝(λ，λ，λ－1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝λ2＋(λ－1)2λ2＋(λ－1)2·λ2＋λ2＋(λ－1)2＝2λ2－2λ＋12λ2－2λ＋1·3λ2－2λ＋1＝2λ2－2λ＋13λ2－2λ＋1，由题意|cos 〈n 1，n 2〉|＝63， 即2λ2－2λ＋13λ2－2λ＋1＝63，3(2λ2－2λ＋1)＝2(3λ2－2λ＋1)， ∴λ＝12.∴棱PC 上存在一点E ，使得二面角B －AE －D 的平面角的余弦值为－63，且此时λ＝12. 4.对于函数f (x )和g (x )，若存在常数k ，m ，对于任意x ∈R ，不等式f (x )≥kx ＋m ≥g (x )都成立，则称直线y ＝kx ＋m 是函数f (x )，g (x )的分界线.已知函数f (x )＝e x (ax ＋1)(e 为自然对数的底数，a ∈R 为常数).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＝1，试探究函数f (x )与函数g (x )＝－x 2＋2x ＋1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)∵f (x )＝e x (ax ＋1)， ∴f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋1)，∴当a ＝0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在R 上单调递增. 当a ≠0时，f ′(x )＝a e x ⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，当a ＞0时，在⎝⎛⎭⎫－∞，－a ＋1a 上，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减；在⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，＋∞上，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增.当a ＜0时，在⎝⎛⎭⎫－∞，－a ＋1a 上，f ′(x )＞0，∴f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫－a ＋1a ，＋∞上，f ′(x )＜0，∴f (x )单调递减.(2)假设存在直线y ＝kx ＋m ，使不等式e x (x ＋1)≥kx ＋m ≥－x 2＋2x ＋1， 当x ＝0时，由于1≥m ≥1，∴m ＝1， ∴kx ＋1≥－x 2＋2x ＋1恒成立， ∴x 2＋(k －2)x ≥0恒成立. 令Δ＝(k －2)2≤0，解得k ＝2，∴只需不等式e x (x ＋1)≥2x ＋1恒成立即可. 设h (x )＝e x (x ＋1)－2x －1，则h ′(x )＝e x (x ＋2)－2， 令(h ′(x ))′＝e x (x ＋3)＝0，得x ＝－3，∴当x ＜－3时，h ′(x )单调递减；当x ＞－3时，h ′(x )单调递增，且h ′(0)＝0，当x →－∞时，h ′(x )→－2，∴当x ＜0时，h ′(x )＜0，∴h (x )单调递减； 当x ＞0时，h ′(x )＞0，∴h (x )单调递增. ∴h (x )min ＝h (0)＝0.∴h (x )＝e x (x ＋1)－2x －1≥0， ∴不等式e x (x ＋1)≥2x ＋1恒成立.综上所述，函数f (x )与函数g (x )存在分界线，其分界线方程为y ＝2x ＋1.。

4.概率与统计1.某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.(1)记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小；(2)随机从“口语王”中选取2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和期望. 解 (1)因为x 甲＝60＋72＋75＋77＋80＋80＋84＋88＋91＋9310＝80，所以m ＝4，x 乙＝61＋64＋70＋72＋73＋85＋86＋88＋94＋9710＝79，所以n ＝5，所以m ＜n .(2)X 取0，1，2，所以P (X ＝0)＝C 04C 25C 29＝518，P (X ＝1)＝C 14C 15C 29＝59，P (X ＝2)＝C 24C 05C 29＝16，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×518＋1×59＋2×16＝89.2.(2017届重庆市第一中学月考)为了解我校2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2 000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：(1)若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；(2)现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分S 的概率满足：P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，假设解答各题之间没有影响，①对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的期望E (S )； ②试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的期望. 解 (1)大学城校区应抽取15×80220＋80＝4(人).(2)①由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为P (S ＝6k )＝4－k6，k ＝1，2，3，即所以对于一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为 E (S )＝6×12＋12×13＋18×16＝10.②记ξ为“如花姐”做2道不完全会的题的得分总和， 则ξ＝12，18，24，30，36， P (ξ＝12)＝12×12＝14；P (ξ＝18)＝12×13×2＝13；P (ξ＝24)＝12×16×2＋13×13＝518；P (ξ＝30)＝13×16×2＝19；P (ξ＝36)＝16×16＝136；E (ξ)＝12×14＋18×13＋24×518＋30×19＋36×136＝20.所以“如花姐”最后得分的期望为20×3＋E (ξ)＝80.3.(2017·云南大理检测)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35.(1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和期望. 下面的临界值表仅供参考：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)因为从100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为100×35＝60.其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：因为K 2＝100(40×30－20×10)260×40×50×50≈16.67>10.828.所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.(2)喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110，从而需抽取男生4人，女生2人. 故X 的所有可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 22C 26＝115，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 24C 26＝615＝25，所以X 的分布列为E (X )＝0×115＋1×815＋2×25＝43.4.(2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4，0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16，0.002 6). 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值μ^＝9.97，σ的估计值σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.5.(2017·重庆市调研)为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有5人，不超过100 km/h 的有15人.(1)完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 的人与性别有关；(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和期望.参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)∵K 2＝50(20×15－10×5)230×20×25×25＝253≈8.333＞7.879，∴有99.5%的把握认为平均车速超过100 km/h 与性别有关.(2)根据样本估计总体的理想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100 km/h 的车辆的概率为1550＝310.∴ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，310， ∴P (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫3100⎝⎛⎭⎫7103＝3431 000， P (ξ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫3101⎝⎛⎭⎫7102＝4411 000， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫3102⎝⎛⎭⎫7101＝1891 000，P (ξ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫3103⎝⎛⎭⎫7100＝271 000， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000＝910＝0.9或E (ξ)＝np ＝3×310＝0.9.6.(2017届湖南株州模拟)某市对某环城快速车道进行限速，为了调查该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值μ＝85，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ－3σ或车速大于μ＋2σ是需矫正速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆是需矫正速度的概率； (2)从样本中任取2个车辆，求这2个车辆均是需矫正速度的概率；(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中是需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)记事件A 为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆是需矫正速度”. 因为μ－3σ＝78.4，μ＋2σ＝89.4， 由样本条形图可知，所求的概率为P (A )＝P (x ＜μ－3σ)＋P (x ＞μ＋2σ)＝P (x ＜78.4)＋P (x ＞89.4) ＝1100＋4100＝120. (2)记事件B 为“从样本中任取2个车辆，这2个车辆均是需矫正速度”.由题设可知，样本容量为100，又需矫正速度个数为5，故所求概率为P (B )＝C 25C 2100＝1495.(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120， 所以P ()ξ＝0＝C 02⎝⎛⎭⎫1200⎝⎛⎭⎫19202＝361400， P ()ξ＝1＝C 12⎝⎛⎭⎫1201⎝⎛⎭⎫19201＝19200，P ()ξ＝2＝C 22⎝⎛⎭⎫1202⎝⎛⎭⎫19200＝1400， 因此ξ的分布列为由ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，120知，期望E (ξ)＝2×120＝110.。

12＋4满分练(2)1.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ∈Z |x ＝2t ＋1，t ∈A }，则A ∩B 等于( ) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{0，1} D.{0} 答案 C解析 A ＝{x ∈R |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}， 则x ＝2t ＋1∈(－1，5)，所以B ＝{0，1，2，3，4}， 所以A ∩B ＝{0，1}，故选C.2.(2017·四川联盟三诊)已知复数z 满足(2＋i)z ＝2－i(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3＋4i B.3－4i C.35＋45i D.35－45i答案 D解析 由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故选D.3.(2017·原创押题预测卷)给出计算12＋14＋16＋…＋12 018的值的一个程序框图(如图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A.i ＞1 009?B.i ＜1 009?C.i ＞2 018?D.i ＜2 018? 答案 A解析 由程序框图，得i ＝1，n ＝2，S ＝12；i ＝2，n ＝4，S ＝12＋14；i ＝3，n ＝6，S ＝12＋14＋16；…；i ＝1 009，n ＝2 018，S ＝12＋14＋16＋…＋12 018.故选A.4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2，解得φ＝－2π3，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数图象向左平移π3个单位长度后得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确. 5.(2017·辽宁六校协作体联考)面积为332的正六边形的六个顶点都在球O 的球面上，球心O到正六边形所在平面的距离为22，记球O 的体积为V ，球O 的表面积为S ，则VS 的值为( )A.2B.1C. 3D. 2 答案 B解析 设正六边形的边长为a ， 则其面积S ＝6×34a 2＝332a 2， 由题意得332a 2＝332，所以a ＝1.由于正六边形的中心到顶点的距离为1， 所以球的半径为R ＝(22)2＋1＝3， 所以V ＝4π3×27＝36π，S ＝4π×9＝36π，所以VS＝1.故选B.6.设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝3，点P 在直线3x ＋4y －12＝0上运动，则|P A →＋PB →|的最小值为( ) A.3 B.4 C.175 D.195答案 D解析 设AB 的中点为D ，由平行四边形法则可知P A →＋PB →＝2PD →， 所以当且仅当O ，D ，P 三点共线时， |P A →＋PB →|取得最小值，此时OP 垂直于直线3x ＋4y －12＝0，OP ⊥AB ， 因为圆心到直线的距离为129＋16＝125， |OD |＝1－34＝12， 所以|P A →＋PB →|取得最小值2⎝⎛⎭⎫125－12＝195.7.(2017·郑州检测)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π答案 B解析 观察三视图可知，这个几何体是挖去14个底面圆半径为3，高为6的圆锥的边长为6的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去14个圆锥的体积，即几何体的体积等于63－14×13×9π×6＝216－9π2，故选B. 8.(2017·天津六校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 因为c 2＝(a －b )2＋6， 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由C ＝π3，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因此a 2＋b 2－ab ＝a 2＋b 2－2ab ＋6，即ab ＝6， 所以△ABC 的面积为12ab sin π3＝332，故选C.9.(2017·抚顺一模)在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600 答案 B解析 若4人中，有甲电视台记者1人，乙电视台记者3人，则不同的提问方式总数是C 15C 35A 44＝1 200；若4人中，有甲电视台记者2人，乙电视台记者2人，则不同的提问方式总数是C 25C 25A 22A 23＝1 200；若4人中，有甲电视台记者3人，乙电视台记者1人，则不符合主持人的规定，故所有不同提问方式的总数为1 200＋1 200＝2 400. 10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y ＋1x ＋1的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，2B.⎣⎡⎦⎤－12，12C.⎣⎡⎦⎤12，32D.⎣⎡⎦⎤32，52 答案 C解析 在平面直角坐标系中作出可行域⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0.由斜率公式可知z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点M (x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知z max ＝2＋11＋1＝32，z min ＝1＋13＋1＝12，故选C.11.已知{a n }为等比数列， a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于( ) A.－7 B.－5 C.5 D.7 答案 B解析 由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.12.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (1)＝12，不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，则不等式f (x )－ln x x 2＞12的解集为( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0，1)∪(1，＋∞)答案 D解析 因为x ＞0，所以待求不等式可化为f (x )＞ln x ＋x 22，构造函数g (x )＝f (x )－ln x －x 22，则g ′(x )＝f ′(x )－1x －x ，因为不等式f ′(x )≤1x ＋x 的解集为(0，1]，所以在(0，1]上，g ′(x )≤0，所以函数g (x )在(0，1]上单调递减，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，g (x )min ＝g (1)＝f (1)－ln 1－12＝0，所以g (x )＞0的解集为(0，1)∪(1，＋∞). 13.(2017·四川凉山州一诊)设向量a ＝(cos x ，－sin x )，b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ，且a ＝t b ，t ≠0，则sin 2x ＝________. 答案 ±1解析 因为b ＝⎝⎛⎭⎫－cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，cos x ＝(－sin x ，cos x )，a ＝t b ， 所以cos x cos x －(－sin x )(－sin x )＝0， 即cos 2x －sin 2x ＝0， 所以tan 2x ＝1，tan x ＝±1， x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故sin 2x ＝±1.14.设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________. 答案324解析 设P (－c ，y 0)，代入双曲线C ∶x 2a 2－y 2b2＝1，得y 20＝⎝⎛⎭⎫b 2a 2，由题意知y 0＜0，∴y 0＝－b 2a， 又∵P 在直线y ＝b3a x 上，代入得c ＝3b ，又∵c 2＝a 2＋b 2， ∴e ＝c a ＝324.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋2c －b )cos C ＝(a ＋c )cos B ＋b cos A ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为________. 答案 6解析 由正弦定理可得2sin A cos C ＋2sin C cos C －sin B cos C ＝sin A cos B ＋sin C cos B ＋sin B cos A ，即2sin A cos C ＋2sin C cos C ＝sin(B ＋C )＋sin(A ＋B )，也即2(sin A ＋sin C )cos C ＝sin A ＋sin C ， 因为在△ABC 中，sin A ＋sin C ＞0， 所以2cos C ＝1， 由此可得cos C ＝12，由余弦定理可得9＝a 2＋b 2－ab ，即(a ＋b )2＝9＋3ab ， 又ab ≤14(a ＋b )2，所以14(a ＋b )2≤9⇒a ＋b ≤6，故所求a ＋b 的最大值是6.16.(2017·北京东城区二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).①若f (x )＝a 有且只有一个根，则实数a 的取值范围是________.②若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是______. 答案 ①(1，＋∞) ②(－4，－2)∪(2，4)解析 ①作出函数f (x )的图象，f (x )＝a 有且只有一个根等价于y ＝f (x )的图象与y ＝a 有一个交点，故可得a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)；②方程f (x ＋T )＝f (x )有且仅有3个不同的实根等价于y ＝f (x ＋T )的图象与y ＝f (x )的图象有3个交点，而y ＝f (x ＋T )的图象是将y ＝f (x )的图象向左或向右平移|T |个单位，故可得T 的取值范围是(－4，－2)∪(2，4).。

12＋4满分练(6)1.(2017·长郡中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B解析 结合图象(图略)可知函数y ＝3x 与椭圆有两个不同的交点，即集合A ∩B 中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B.2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A.(0，1) B.[0，1)C.(0，1] D.[0，1] 答案 B解析 由题意，得自变量满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x ＜1，即函数y ＝x ln(1－x )的定义域为[0，1)，故选B.3.(2017·湖南省长郡中学模拟)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD → 答案 A解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，故AO →＝OD →.4.已知命题p ：若a ，b 是实数，则a ＞b 是a 2＞b 2的充分不必要条件；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2＜3x ”，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q ) 答案 D解析 “a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以p 为假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以q 为假命题，因此(綈p )∧(綈q )为真命题.故选D.5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( )A.i ≤40？；p ＝p ＋i －1B.i ≤41？；p ＝p ＋i －1C.i ≤41？；p ＝p ＋iD.i ≤40？；p ＝p ＋i 答案 D解析 由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i ≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；…故②中应填写p ＝p ＋i .综上可知选D.6.已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30° 答案 A解析 由题意可画图如下：由面积公式S ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB 可知当∠AOB ＝π2时，S △OAB 取最大值.由于圆的半径为2，所以点O 到直线AB 的距离为1，由直线过点P (2，0)易知其倾斜角为150°. 7.(2017·山东肥城统考)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，则tan α等于( ) A.17 B.13C.3 D.7 答案 C解析 因为sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝310，所以sin 2α－sin 2α＝310，所以sin 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝310，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α≠0， 所以tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝310，解得tan α＝3或tan α＝－17(舍去)，故选C.8.(2017·永州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，a ＝2b ，cos A ＝35，则sin B等于( ) A.25 B.35C.45 D.85 答案 A解析 由cos A ＝35，得sin A ＝45，又a ＝2b ，由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝25.故选A.9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( ) A.2 B.3C.4 D.5答案 A解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P －BCD 的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是12×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列{}a n ，{}b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10等于( )A.1941B.1737C.715D.2041答案 A解析 a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝2a 92(b 1＋b 11)＋a 3b 1＋b 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝11(a 1＋a 11)211(b 1＋b 11)2＝S 11T 11＝2×11－34×11－3＝1941，故选A.11.(2017届福建闽侯县三中期中)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值为( ) A.－38 B.316C.－38 D.不能确定答案 A解析 方法一 设P ()m ，n ，则m 23－n 2＝1，即m 2－3n 2＝3，由双曲线x 23－y 2＝1得其渐近线方程为y ＝±33x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ，y －n ＝－3()x －m ， 解得交点A ⎝⎛⎭⎪⎫3m ＋3n 4，3m ＋n 4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ，y －n ＝3()x －m ，解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫3m －3n 4，n －3m 4，所以P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －m4，3m －3n 4， PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m －3n 4，－3n －3m 4， 则P A →·PB →＝3n －m 4×－m －3n 4＋3m －3n 4×－3n －3m 4＝－2m 2－6n 216＝－616＝－38，故选A.方法二 此题可用特殊值法解决：令P 为双曲线右顶点，可求得|P A →|＝|PB →|＝32，P A →与PB →的夹角为2π3，所以P A →·PB →＝32×32×cos 2π3＝－38.12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋12x ＋a (x ＜0)，g (x )＝ln x (x >0)，其中a ∈R .若f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线与g (x )的图象在点B (x 2，f (x 2))处的切线重合，则a 的取值范围为( ) A.(－1＋ln 2，＋∞) B.(－1－ln 2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－34，＋∞ D.(ln 2－ln 3，＋∞) 答案 A解析 f (x )的图象在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫14x 21＋12x 1＋a ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12·(x －x 1)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋12x －14x 21＋a . g (x )的图象在点B (x 2，g (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2·(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎨⎧1x 2＝12x 1＋12， ①ln x 2－1＝－14x 21＋a ，②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0，由①②得a ＝14x 21＋ln x 2－1＝14x 21＋ln 2x 1＋1－1＝14x 21＋ln 2－ln(x 1＋1)－1， 设h (t )＝14t 2＋ln 2－ln(t ＋1)－1(－1＜t ＜0)，则h ′(t )＝12t －1t ＋1＝t (t ＋1)－22(t ＋1)＜0，所以h (t )(－1＜t ＜0)为减函数， 则h (t )＞h (0)＝－1＋ln 2， 所以a ＞－1＋ln 2，而当t ∈(－1，0)且t 趋向于－1时，h (t )无限增大， 所以a 的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).13.A ，B ，C 三点与D ，E ，F ，G 四点分别在一个以O 为顶点的角的不同的两边上，则在A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，O 这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________. 答案 42解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C 38－C 34－C 35＝42.14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m 、30 m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________. 答案 38解析 所求概率为几何概型，测度为长度， 如图AB ＝CD ＝50，BC ＝DA ＝30，因为OE ＝152，OS ＝15⇒ES ＝OE 2－OS 2＝15⇒EF ＝MN ＝30， 因此概率为EF ＋MN AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30×2(50＋30)×2＝38.15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律， 8 128可表示为________. 答案 26＋27＋…＋212 解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n 1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋...＋26)＝26＋27＋ (212)16.(2017·长郡中学模拟)已知抛物线y 2＝4x ，其焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为________.答案 22－2解析 因为F (1，0)，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x 可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1·x 2＝1，不妨设x 1＜1，x 2＞1， 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝(x 1＋1)(x 2＋1)－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1，令x 2－1＝t ，则x2＝t＋1，所以|AF|－2|BF|＝11＋tt2＋2t＋2＝11＋12＋t＋2t≥11＋12＋22＝2(1＋2)3＋22＝21＋2＝2(2－1)，当且仅当t＝2时取“＝”.当直线l与x轴垂直时，可求得|AF|＝2，|BF|＝2，所以|AF|－2|BF|＝1，综上，|AF|－2|BF|的最小值为22－2.。

12＋4满分练(4)1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，集合B ＝{x |0＜x ＜4}，则(∁R A )∩B 等于( )A.(0，3]B.[－1，0)C.[－1，3]D.(3，4) 答案 A解析 因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， 故∁R A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |0＜x ＜4}， 所以(∁R A )∩B ＝{x |0＜x ≤3}，故选A.2.(2017·安阳模拟)设i 为虚数单位，若复数a ＋2i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.－2D.2 答案 C解析 由题意，得a ＋2i 1＋i ＝a ＋22＋2－a2i ，则⎩⎨⎧a ＋22＝0，2－a 2≠0⇒a ＝－2，故选C.3.(2017·绵阳中学实验学校模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x ·(cos x －2sin x )＋sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A.在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数 B.周期为π，图象关于⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C.最大值为2，图象关于直线x ＝π2对称D.在⎝⎛⎭⎫－π2，0上单调递增，为偶函数 答案 A解析 函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x (cos x －2sin x )＋sin 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 将其图象向左平移π8个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π4＝2sin 2x 的图象， 则g (x )为奇函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，故A 正确.4.(2017·宝鸡检测)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象( )A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度答案 A解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －4π3＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3， 所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图象向左平移π4个单位长度得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，故选A. 5.过点M (2，－2p )引抛物线x 2＝2py (p ＞0)的切线，切点分别为A ，B ，若|AB |＝410，则p 的值是( ) A.1或2 B.2或2 C.1 D.2答案 A解析 设切点为⎝⎛⎭⎫t ，12p t 2，因为y ′＝1p x ， 则切线斜率k ＝12p t 2＋2p t －2＝1p t ，整理可得t 2－4t －4p 2＝0，由根与系数的关系可得t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－4p 2， 则(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16(1＋p 2). 设切点A ⎝⎛⎭⎫t 1，t 212p ，B ⎝⎛⎭⎫t 2，t 222p ， 则|AB |＝(t 1－t 2)2＋⎝⎛⎭⎫t 21－t 222p 2＝(t 1－t 2)2⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12p 2(t 1＋t 2)2， 即|AB |＝4(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2， 所以(1＋p 2)⎝⎛⎭⎫1＋4p 2＝10， 即p 4－5p 2＋4＝0， 解得p 2＝1或p 2＝4， 即p ＝1或p ＝2，故选A.6.(2017·云南大理检测)已知三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的体积为433，BC ＝4，BD ＝3，∠CBD ＝90°，则球O 的表面积为( )A.11πB.20πC.23πD.35π 答案 C解析 设棱锥的高为h ， 因为S △BCD ＝12×BC ×BD ＝23，所以V A －BCD ＝13S △BCD ×h ＝433，所以h ＝2，因此点O 到平面BCD 的距离为1， 因为△BCD 外接圆的直径为19， 所以OB ＝1＋194＝232，所以球O 的表面积为S ＝4πr 2＝23π，故选C.7.(2017·湖北部分重点中学联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A.36πB.8πC.9π2D.27π8答案 B解析 从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为2，2，2的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线l ＝22＋(2)2＋(2)2＝22，故球的半径为R ＝2，所以该外接球的表面积S ＝4π(2)2＝8π，故选B.8.已知点P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ≤2，x ＋y －1≥0所表示的平面区域内的一点，点Q 是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1上的一个动点，则|PQ |的最大值是( )A.35＋22B.25＋33C.253D.10答案 A解析 由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意知点A 到圆心(－1，0)的距离最远，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，x ＝2，解得A ⎝⎛⎭⎫2，32，最远距离为d ＝(2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝352，所以|PQ |的最大值为352＋1＝35＋22，故选A.9.(2017·湖南师大附中月考)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6? 答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2； 第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B.10.(2017·云南大理检测)已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －1，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b答案 D解析 由题意知f (x )，g (x )，h (x )均为各自定义域上的增函数，且有唯一零点， 因为f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1>0，所以－1＜a ＜0， 由g (x )＝0可得x ＝1，所以b ＝1，h ⎝⎛⎭⎫13＝－1＋13＝－23＜0，h (1)＝1>0， 所以13＜c ＜1，所以a ＜c ＜b ，故选D.11.(2017·安阳模拟)已知当x ＝θ时，函数f (x )＝2sin x －cos x 取得最大值，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4等于( )A.7210B.210C.－210D.－7210 答案 D解析 因为f (x )＝5sin(x －φ)， 所以f (x )max ＝5， 其中cos φ＝25，sin φ＝15， 当x －φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数取得最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ，k ∈Z 时函数取得最大值.由于sin 2θ＝－sin 2φ＝－2×25×15＝－45，cos 2θ＝－cos 2φ＝－(2cos 2φ－1)＝－35，故sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝－75×22＝－7210，故选D. 12.(2017·贵州贵阳市适应性考试)已知M 是函数f (x )＝e －2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12在x ∈[－3，5]上的所有零点之和，则M 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 因为f (x )＝e－2|x －1|＋2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －12＝e －2|x －1|－2cos πx ， 所以f (x )＝f (2－x )，因为f (1)≠0，所以函数零点有偶数个，两两关于x ＝1对称. 当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)∈(0，1]，且单调递减；y ＝2cos πx ∈[－2，2]，且在[1，5]上有两个周期， 因此当x ∈[1，5]时，y ＝e－2(x －1)与y ＝2cos πx 有4个不同的交点，从而所有零点之和为4×2＝8，故选C. 13.(2017·宁夏银川二模)我们把满足：x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )的数列{x n }叫做牛顿数列.已知函数f (x )＝x 2－1，数列{x n }为牛顿数列，设a n ＝ln x n －1x n ＋1，已知a 1＝2，则a 3＝________.答案 8解析 由f (x )＝x 2－1，得f ′(x )＝2x ，则x n ＋1＝x n －x 2n －12x n ＝x 2n ＋12x n ，所以x n ＋1－1＝(x n －1)22x n，x n ＋1＋1＝(x n ＋1)22x n ，所以x n ＋1－1x n ＋1＋1＝(x n －1)2(x n ＋1)2，所以ln x n ＋1－1x n ＋1＋1＝ln (x n －1)2(x n ＋1)2＝2ln x n －1x n ＋1， 即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a 3＝2×22＝8.14.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，点P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 5解析 方法一 以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0，0)，A (2，0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5，3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0＜x ＜1)，∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2DC 2→＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.15.点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，其左、右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则该双曲线的渐近线的斜率为________. 答案 ±43解析 如图，A 是切点，B 是PF 1的中点，因为|OA |＝|a |，所以|BF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝2b ，|PF 1|＝4b ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，根据双曲线的定义，有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即4b －2c ＝2a ，两边平方并化简得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以c a ＝53，因此ba＝⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝43.16.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n ＝43()a n －1，则()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1的最小值为______. 答案 4解析 ∵S n ＝43()a n －1，∴S n －1＝43()a n －1－1()n ≥2，∴a n ＝S n －S n －1＝43()a n －a n －1，∴a n ＝4a n －1.又a 1＝S 1＝43()a 1－1，∴a 1＝4，∴{}a n 是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n ， ∴()4n －2＋1⎝⎛⎭⎫16a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫4n16＋1⎝⎛⎭⎫164n ＋1＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”.。

12＋4满分练(8)1.(2017·湖南十三校联考)设全集U ＝A ∪B ＝{1，2，3，4，5}，A ∩(∁U B )＝{1，2}，则集合B 等于( ) A.{2，4，5} B.{3，4，5} C.{4，5} D.{2，4}答案 B解析 由题设可得A ＝{1，2}，B ＝{3，4，5}，故选B.2.(2017·湖北部分重点中学联考)复数z 满足z (3i －4)＝25(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 等于( ) A.4＋3i B.4－3i C.－4＋3i D.－4－3i 答案 C解析 因为z ＝253i －4＝－254－3i ＝－(4＋3i)，故z ＝－4＋3i ，故选C.3.已知函数y ＝sin ax ＋b (a ＞0)的图象如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图象可能是( )答案 A解析 由图象可知，0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以函数y ＝log a (x ＋b )可视为将函数y ＝log a x 的图象向左平移b 个单位长度，故选A.4.(2017·湖南十三校联考)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线在第一象限内与C 1交于点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( )A.316 B.38 C.233 D.433答案 D解析 设切点M (x 0，y 0)，双曲线的渐近线为y ＝±33x ，因为y ＝x 22p ，所以y ′＝xp ，故切线的斜率为k ＝1p x 0＝13，则x 0＝13p ，代入得y 0＝12p ×p 23＝16p ，又三点F 1(0，p2)，M ⎝⎛⎭⎫p 3，p 6，F 2(2，0)共线，则p 2－0－2＝－p3p 3，解得p ＝433，故选D.5.(2017·西安模拟)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 6 D.4 答案 D解析 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 可知圆的圆心为(1，2)，半径为5，圆心到直线x ＋2y －5＋5＝0的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|5＝1，由勾股定理可得直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25－1＝4，故选D.6.三棱锥S －ABC 及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A.32πB.1123πC.283πD.643π答案 B解析 如图，取AC 的中点F ，连接BF ，则在Rt △BCF 中，BF ＝23，CF ＝2，BC ＝4，在Rt △BCS 中，CS ＝4，所以BS ＝42，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为△ABC 的外接圆半径为433，所以由勾股定理可得R 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4332＝(4－d )2＋⎝⎛⎭⎫4332，解得d ＝2，则该三棱锥外接球半径R ＝283，所以该三棱锥的外接球的表面积是4πR 2＝1123π.7.(2017·河北张家口期末)在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( ) A.1－3π6 B.1－3π12 C.1－3π9 D.1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A. 8.执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝3，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5答案 C解析 程序框图执行过程，首先初始化数值：a ＝3，A ＝0，B ＝1，n ＝0，然后进入循环. 第一次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝1，B ＝2B ＋1＝3，n ＝n ＋1＝1， 第二次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝4，B ＝2B ＋1＝7，n ＝n ＋1＝2， 第三次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝13，B ＝2B ＋1＝15，n ＝n ＋1＝3， 第四次循环：满足A ≤B ，则A ＝A ＋a n ＝40，B ＝2B ＋1＝31，n ＝n ＋1＝4， 第五次循环：不满足A ≤B ，跳出循环，输出n ＝4.9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2()2－x ，0≤x ＜k ，x 3－3x 2＋3，k ≤x ≤a ，若存在实数k ，使得函数f (x )的值域为[－1，1]，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤32，1＋3 B.[]2，1＋3 C.[]1，3 D.[]2，3答案 B解析 由于y ＝log 2(2－x )在[0，k )上是单调递减函数， 当x ＝0时，y ＝1， 当x ＝32时，y ＝－1，所以0＜k ≤32.令g (x )＝x 3－3x 2＋3， 则g ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2，当x ＝2时，函数取得极小值－1， 当x 3－3x 2＋3＝1时，解得x 1＝1，x 2＝1＋3，x 3＝1－3＜0(舍)， 所以2≤a ≤1＋3，故选B.10.(2017·四川遂宁等四市联考)已知不等式2sin x 4·cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≥0对于x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－2 B.⎝⎛⎦⎤－∞，22 C.⎣⎡⎦⎤22，2 D.[)2，＋∞ 答案 B解析 因为2sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62＝22sin x 2＋6×1＋cosx22－62＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， 所以原不等式等价于m ≤2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3在x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3上恒成立. 因为π6≤x 2＋π3≤π2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，2， 所以m ≤22，故选B. 11.F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若FB →＝4F A →，则F A →·FB →等于( ) A.1 B.32 C.2 D.94答案 D解析 由题意，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得m ＋121＝34，则m ＝14，所以|F A →|＝34，|FB →|＝3，所以F A →·FB →＝|F A →||FB →|cos 0°＝94. 12.(2017·湖北七市(州)联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (3log 2a)＞f (－2)，则a 的取值范围是( )A.(－∞，3)B.(0，3)C.(3，＋∞)D.(1，3)答案 B 解析 由f (3log 2a)＞f (－2)可得f (3log 2a)＞f (2)，即f (3log 2a)＞f (122)，由题意可知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故0＜3log 2a＜122，即log 3a ＜12⇒0＜a ＜3，故选B.13.(2017·枣庄期末)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P ()x ，y ，则||P A ＋||PB 的最大值是______. 答案 2 5解析 由题意，得A (0，0)， 因为直线mx －y －m ＋3＝0，即m (x －1)－y ＋3＝0，经过定点B (1，3).又直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0始终垂直， 点P 又是两条直线的交点，所以P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.设∠ABP ＝θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 则|P A |＝10sin θ，|PB |＝10cos θ，所以|P A |＋|PB |＝10sin θ＋10cos θ＝25sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 所以|P A |＋|PB |的最大值是2 5.14.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________. 答案 70解析 由题意知，2n －1＝128，解得n ＝8.展开式共n ＋1＝8＋1＝9项. 得中间项的二项式系数最大，故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C 48＝70. 15.若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为_______.答案 －1解析 (1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x 2 017，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0， 其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.16.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是________.答案 2解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c ， 所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝cm ，由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ， 即2m ＝a ，所以e 2e 1＝cm c a＝am＝2.。