第七章 常微分方程

第七章常微分方程数值解本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.●常微分方程含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：1.初值问题，即给出未知函数及导数在初始点的值2.边值问题，即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值●常微分方程初值问题00(,),, ||(),,y f x y a x b y y a y y R '=<≤<∞⎧⎨=∈⎩ 其中f 为,x y 的已知函数，0y 为给定的初值. 这里仅讨论一阶标量微分方程初值问题的数值解法.而高阶微分方程通常可化为一阶微分方程组来研究.数值解法寻求微分方程初值问题之解()y x 在一系列离散点012N a x x x x b =<<<<=上的近似值:,,,210y y yN y , 的方法.{}n y : 问题的数值解数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 步长：1i i i h x x -=- ，一般取定步长i h h =● 初值问题的适定性(其解是否唯一存在)记(带形)区域：[,]a b R ⨯为G ，即G =[,]a b R ⨯. 设:f G R →为连续映射，若存在常数0L >使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- 对一切12(,),(,)x y x y G ∈都成立，则称(,)f x y 在G 上关于y 满足Lipschitz 条件，而式中的常数L 称为Lipschitz 常数.定理 初值问题00(,),, ||(),,y f x y a x b y y a y y R '=<≤<∞⎧⎨=∈⎩，当(,)f x y 在G 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，则其解存在且唯一.§ 7.1 Euler 方法● Euler 公式将初值问题⎩⎨⎧∈=∞<≤<=',,)(||,),,(00R y y a y y b x a y x f y 的求解区间],[b a N 等分,分点:),,2,1,0(,N n nh a x n =+= ,其中N ab h -=将),(y x f y ='写成等价的积分方程形式：⎰++=+hx x d y f x y h x y τττ))(,()()(,在上式中令n x x =，并用左矩形公式计算右端积分，得到n n n n n R x y x hf x y h x y ++=+))(,()()(, (*)⎰+-=1))(,())(,(n nx x n n n x y x hf dx x y x f R ——余项将(*)中的余项n R 截去，可得))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+则有)(n x y 的近似值n y 的递推公式1,,1,0),,(1-=+=+N n y x hf y y n n n n (*1)----------Euler 公式n R 表示当)(n n x y y =为精确值时，利用(*1)即Euler 公式计算)(1+n x y 时的误差.n n n y x y -=)(ε 为Euler 方法的局部截断误差.例1 用Euler 公式解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤<-='1)0(10,2y x y x y y解：取1.0=h ，Euler 公式的具体形式为)2(),(1nnn n n n n n y x y h y y x hf y y -+=+=+其中)10,,1,0,1.0 ===n n nh x n ( 已知10=y ，则有1.11.01)2(0001=+=-+=y x y h y y191818.1)1.12.01.1(1.01.1)2(11112=-+=-+=y x y h y y… … … 依次计算可得109876543,,,,,,,y y y y y y y y其部分结果见下表可见Euler 方法的计算结果精度不太高。

第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。

第七章 常微分方程简介我们已经学完一元函数微积分的基本内容．回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系．20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具．本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分．§7.1 基本概念1. 微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论．数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程．定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程． 只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程．微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶．于是n 阶常微分方程的一般形式是0),,,,()(='n y y y x F ， (1.1) 其中F 是2+n 个变元的已知函数，且)(n y 一定出现．(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广．)本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程．定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数F 对未知函数y 和它的各阶导数)(,n y y '的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程．n 阶线性微分方程的一般形式是：)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'++-- ， (1.2)其中)(x a i ),,2 ,1(n i =和)(x f 都是x 的已知函数．例如，下面的方程都是常微分方程：yx y -='， (1.3) 21y y +='， (1.4) 02=+''y y ω (0>ω是常数)， (1.5) 它们的阶数分别为1，1，2．方程(1.5)是线性的，而方程(1.3)和(1.4)是非线性的．定义7.1.3 设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续，且有直到n 阶的导数，若把)(x y ϕ=及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于x 的恒等式，即在I 上0))(),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕ ，则称)(x y ϕ=为方程(1.1)在区间I 上的解，若由关系式0),(=y x φ所确定的隐函数是方程(1.1)的解，则称0),(=y x φ为方程(1.1)的隐式解．例如，从定义7.1.3可以直接验证：1) 函数21x y -=和21x y --=都是方程(1.3)在区间)1 ,1(-上的解，而122=+y x 是它的隐式解．2) 函数x y tan =是方程(1.4)在区间)2,2(ππ-上的一个解，而)tan(c x y -=是方程(1.4)在区间)2,2(ππ+-c c 上的解，其中c 为任意常数．3) 函数x y cos 3ω=，x y sin 4ω=都是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解，而且对任意常数1c 和2c ，x c x c y sin cos 21ωω+=也是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解．今后对解与隐式解不加区别，统称它们为解．一般情况下也不再指明解的定义区间．从上面的讨论可知，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数(与方程的阶数有关)，而有的解不含任意常数．为了加以区别，我们给出如下定义：定义7.1.4 方程(1.1)的含有n 个独立的任意常数n c c c ,, ,21 的解) ,, ,,(21n c c c x y ϕ=称为它的通解．不含任意常数的解称为它的特解．这里说n 个任意常数是独立的，其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少．例如对于两个任意常数的情形，设函数)(),(x x ψϕ在区间I 上连续，若在I 上≠)()(x x ψϕ常数或≠)()(x x ϕψ常数，则称函数)(),(x x ψϕ在I 上线性无关，这时易知表达式 )()(21x c x c y ψϕ+=中的两个任意常数21,c c 是独立的．例1 验证函数x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解，其中21,c c 为任意常数． 解 x c x c y c o s s i n 21ωωωω+-='，x c x c y s i n c o s 2221ωωωω--=''，将y y '',的表达式代入方程(1.5)有) sin cos ( sin cos 21222212x c x c x c x c y y ωωωωωωωω++--=+''0≡， ),(+∞-∞∈x ，所以对任意常数21,c c ，x c x c y sin cos 21ωω+=都是方程(1.5)的解，又由于 ≠xx s i n c o s ωω常数 (πk x ≠，∈k Z ) 即21,c c 是两个独立的任意常数，因此x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解．类似验证 ) sin(B x A y +=ω (A,B 为任意常数)也是方程(1.5)的通解．而x y cos 3ω=和x y sin 4ω=则是方程(1.5)的两个特解．定义7.1.5 为了确定方程(1.1)的特解而给出的附加条件称为定解条件，求方程(1.1)的满足定解条件的特解的问题称为定解问题．方程(1.1)的一种常用的定解条件是初始条件，它的一般提法是)(0x y ，)1(00)(y x y ='，…， )1(00)1()(--=n n y x y ， (1.6) 其中0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y 是任给的1+n 个常数．求方程(1.1)满足初始条件(1.6)的解的问题称为初值问题或柯西(Cauchy)问题． 例如x y cos 3ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,3)0(02y y y y ω 的解，而x y sin 4ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''ωω4)0(,3)0(02y y y y的解．它们都是在求得方程的通解以后，再利用初始条件定出通解中的任意常数而得出．这种做法是具有一般性的．可以证明：对于在一定范围内给出的1+n 个常数：0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y ，利用通解表达式及初始条件(1.6)便可确定通解中的n 个任意常数n c c c ,,,21 ，从而得到相应的初值问题的解．换句话说，在一定范围内，通解包含了方程的所有解，这也是通解这一名词的一种名副其实的解释．2. 微分方程及其解的几何解释考虑一阶微方程),(y x f y =' (1.7) 其中),(y x f 是平面区域D 内给定的连续函数．方程(1.7)的解)(x y ϕ=)(I x ∈在平面上的图形是一条光滑曲线，称它为方程(1.7)的一条积分曲线，记作Γ．任取一点Γ∈),(000y x P ，即I x ∈0，)(00x y ϕ=．由于)(x y ϕ=满足方程(1.7)，故按导数的几何意义可知，曲线Γ在点0P 的切线斜率为),())(,()(00000y x f x x f x =='ϕϕ．这说明曲线Γ上任一点处的切线斜率恰好等于方程右边函数),(y x f 在该点的函数值．这样，在区域D 内每一点),(y x P ，都可以作一个以函数),(y x f 在该点的值为斜率的小线段来表明积分曲线(如果存在的话)在该点的切线方向．区域D 连同所有这些小线段称为方程(1.7)的方向场．现在我们可以对微分方程(1.7)及其解作出几何解释：给定方程(1.7)，就相当于给定平面区域D 内的一个方向场，反之给定区域D 内的一个方向场，就相当于给定一个形如(1.7)的方程．方程(1.7)的解所对应的积分曲线就是区域D 内这样的一条曲线，在它所经过的每一点都与方向场吻合，即曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致．求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ， 就是求一条经过点),(00y x 并与方向场吻合的光滑曲线．以上这种几何解释，无论在理论上还是在实用上都有很大的价值．从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科建立了数与形的联系，这就为我们从几何的角度去分析和思考微分方程的理论问题找到了入口．从实用上说，我们可以通过作出方向场来画出积分曲线的大概图形．这在无法(或无必要)求出解的精确表达式时，使我们能从微分方程本身的特有性质去推断出它的解的某些属性，从而使所讨论的问题在一定程度上获得解决．例2 证明：与微分方程3224xy y y x =-' (1.8) 的积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的曲线，也是方程(1.8)的积分曲线．证 设)(x y ϕ=)(b x a <<是方程(1.8)的一条积分曲线，以x -代x ，y -代y ，得)(x y ϕ=关于原点成中心对称的曲线)(x y -=-ϕ，即)(x y --=ϕ．由于)(x y ϕ=满足方程(1.8)，故有)()]([)]([43222x x x x x ϕϕϕ≡-'，)(b x a <<．上式中以x -代x ，得3222)]()[()]([)]([)(4x x x x x --≡---'-ϕϕϕ，)(a x b -<<-．或将它改写为3222)]([)]([])([4x x x x x --≡---'--ϕϕϕ，)(a x b -<<-．可见)(x y --=ϕ亦满足方程(1.8)．所以它也是方程(1.8)的一条积分曲线．§ 7.2 一阶微分方程的初等解法 本节讲述一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，因此也称初等积分法．虽然能用初等积分法求解的方程属特殊类型，但它们却经常出现在实际应用中,同时掌握这些方法与技巧，也为今后研究新问题时提供参考和借鉴．1. 变量分离方程形如)()(y g x f dxdy = (2.1) 的方程称为变量分离方程，其中)(x f 和)(y g 都是连续函数．当0)(≠y g 时，把(2.1)改写为dx x f y g dy )()(=．(称为分离变量)， 两边积分，得通解(隐式通解)⎰⎰+=c dx x f y g dy )()(． (2.2)这里我们把积分常数C 明确写出来，而把⎰)(y g dy ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数．在微分方程课程中，我们总是作这样的理解．若存在0y ，使0)(0=y g ，则直接验证可知0y y =也是方程(2.1)的解(称为常数解)．一般而论，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解(2.2)中，应注意补上这些可能丢失的解．例1 求方程0)(=+y x p dxdy (2.3) 的通解，其中)(x p 为连续函数．解 分离变量dx x p ydy )(-=， 两边积分得 ⎰+-=cdx x p y ~)( ln ． 或 ⎰±=-dx x p e cy )(~ ． 令cc ~±=，则 ⎰=-dx x p ce y )( )0(≠c ．此外0=y 是方程的常数解．若允许0=c ，则此解也含于上式中．所以方程(2.3)的通解为⎰=-dx x p ce y )(． (2.4)其中c 为任意常数．例2 解方程y y x y '=-2231．解 分离变量2231xdx y ydy =-， 两边积分得方程的通解c x y +-=--3112， 或03112=+--c x y ． 此外由012=-y 找到原方程的两个特解 1±=y ，但它们不能并入通解．2. 可化为变量分离方程的特殊类型1) 形如)(xy dx dy ϕ= (2.7)的方程称为齐次方程，其中ϕ是连续函数．通过变量代换，可将(2.7)化为变量分离方程，然后按变量分离方程求解． 令u x y=，或ux y =，则 u dx dux dx dy+=，代入(2.7)得)(u u dx dux ϕ=+，或x uu dx du -=)(ϕ．这是一个变量分离方程．例3 解方程x yx ydx dy +=2．解 令ux y =，代入方程得u u u dx dux +=+2，或u dx dux 2=．(2.8) 分离变量并积分，得(2.8)的通解c x u += ln ．此外0=u 也是(2.8)的解．代回原变量得原方程的通解c x x y+= ln及特解0=y )0(≠x ．例4 解方程2)(1y xy xy ++-='．解 令v y x=,或vy x =，则v dy dvy dy dx +=．代入方程得211v v v dy dvy ++-=+，即21v dydv y +=． 分离变量并积分，有ln ln )1ln(12y c v v =+++ )0(1>c ． 从而推出)1(2v v c y ++= )0(1≠±=c c ，或222c cvy y =-， 代回原变量得)2(22c x c y +=， 其中0≠c 为任意常数．2) 形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= (2.9) 的方程可化为齐次方程或变量分离方程，其中f 是连续函数，i a ，i b ，i c )2 ,1(=i 都是常数，且02221≠+a a ，02221≠+b b ，02221≠+c c ．分两种情形讨论：1) 0 2211=b a b a ．若02≠a ，则02≠b ，因为如果02=b ，由于0 122211=-=b a b a b a ，推出01=b ．与假设21 ,b b 不同时为零相矛盾，从而有k b b a a ==2121 (常数)． 令u y b x a =+22，得 )(2122c u c ku f b a dx du +++=，这是变量分离方程．若02=a ，则01≠a ，由0 212211==b a b a b a ，推出02=b ．从而01≠b ．令u y b x a =+11，得)(2111c c u f b a dx du ++=． 亦化为变量分离方程．2) 0 2211≠b a b a ． 这时方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 有唯一解 α=x ，β=y ．作平移代换 α-=x X ，β-=y Y ，代入方程(2.9)，得)(2211Yb X a Y b X a f dX dY ++=， 这是齐次方程．例5 解方程25--+-=y x y x dx dy ． 解 令u y x =-，则251-+-=u u dx du ， 即27--=u dx du ． 分离变量并积分，得27222c x u u +-=-， 或c x u u =+-1442．代回原变量得通解c y x xy y x =++-+410222．例6 解方程123132-+++=y x y x dx dy ． 解 联立⎩⎨⎧=-+=++01230132y x y x ．解得 1=x ，1-=y ．令1-=x X ，1+=y Y ，得齐次方程YX YX dX dY 2332++=． 又令u XY=，得 uudX du X 2332++=． 或uu dX du X 23)1(22+-=． (2.10) 分离变量013222=-++du u u dX X 由此积分得2ln 11ln 23 1 ln ln 122c u u u X =+-+-+ )0(1>c 从而推出c u u u X =+--3224)11()1( )0(1≠±=c c 或)1()1(54+=-u c u X此外由012=-u 找到(2.10)的两个特解1±=u ，其中1=u 可并入上式(取0=c )．代回原变量．得原方程的通解)()2(5x y c x y +=+-，其中c 为任意常数．而由1-=u 代回原变量找到原方程的一个特解 x y -=．3. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为)()(x Q y x P dxdy=+， (2.11) 其中P 、Q 为连续函数．当0)(≡x Q 时，(2.11)成为0)(=+y x P dxdy． (2.3) 称它为齐次线性方程，当0)(≡x Q 时，(2.11)称为非齐次线性方程．例1已求出方程(2.3)的通解⎰=-dxx p ce y )(． (2.4)现在对方程(2.11)作变换⎰=-dx x p ue y )(， (2.12)代入(2.11)化简得⎰=dx x p e x Q dxdu)()(， 由此积分，有⎰+⎰=c dx e x Q u dxx p )()(，将它代回到(2.12)即得方程(2.11)的通解))(()()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dxx p dx x p ． (2.13)上述求解方法通常称为常数变易法[把(2.4)中c 变易为x 的函数)(x u u =]，公式(2.13)也称为方程(2.11)的常数变易公式．具体求解可按上述常数变易法的过程进行，也可直接代公式(2.13)．例7 解方程 22yx ydx dy -=． 解 将方程改写为y x ydx dy -=2． 这是以x 为未知量的一阶线性方程．通解为)(22⎰+⎰-⎰=-c dy ye e x dydy ．) ln (2y c y -=．4. 可化为一阶线性方程的特殊类型 1)贝努里(Bernoulli)方程 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (2.14) 的方程称为贝努里方程，其中Q P ,为连续函数，1 ,0≠n 为常数．方程两边同乘以n y -，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+--， 或)()1()()1(11x Q n y x P n dxdy n n-=-+--． 这里以n y -1为未知量的一阶线性方程．此外，当0>n 时，0=y 也是方程(2.14)的解． 例8 解方程33y x xy dxdy=+． 解 方程两边同乘以3-y ，得 323x xy dxdyy =+--， 或32222x xy dxdy -=---． 所以)2(2232c dx ex e yx x +-=⎰--)(2222c e e x e x x x ++=--212x ce x -++=．方程的通解为1)1(222=++x ce x y ．2)形如)()()()()(y f x Q y f x P dxdyy f n =+' 的方程可化为线性方程或贝努里方程，其中Q P ,是连续函数，f 是可微函数，1 ≠n 为常数．例9 解方程y x y dxdyy 2sin cos sin cos =-． 解 原方程即y x y dxyd 2sin cos sin sin =-， 上式两边同乘以y 2sin -，得x y dxdyycos sin sin 12=---， 或x y dxyd cos sin sin 11-=+--． 所以方程的通解为) )(cos (sin 1c dx e x e y x x +-=⎰--x ce x x -++-=)sin (cos 21．此外，0sin =y ，即πk y =∈k (Z )也都是方程的解．上述几种特殊的方程类型，产生于微分方程发展的早期．从中我们可以体会到求解微分方程的一种方法：对于所给微分方程，总是设法通过变形或适当的变量代换将它转化为变量分离方程或一阶线性方程(当作两种基本类型)来求解，以此扩充可求解方程的范围．这种方法通常也称为分离变量法或变量代换法．例10 求解下列微分方程：(1) xey y dx dy -=2； (2) )(2222x y y x y dx dy x -=-； (3))cos(x y dxdy-=； (4) x x x e ye y e y 2212-=-+'-． 解 (1) 将方程改写为xe yy dy dx 211-=． 上式两边同乘以x e -，得211ye y dy dx e x x-=--， 或211ye y dy de x x =+--． 所以)1(112c dy e ye edy dy xy y+⎰⎰=⎰--) (l n 1c y y+=． 方程的通解为x e c y y ) (ln +=．此外，0=y 是方程的一个特解． (2) 原方程即332)21(xy y x xdx dy +-= ． 上式两边同乘以3-y ，得 x y x xdx dy y 2)21(233+-=--， 或x y xx dx dy 4)24(232--=--． 所以)4(44222⎰+⋅-=--c dx e x x xe y x x )(442c e xe x x+=-方程的通解为4222x e cy y x =-． 此外，0=y 是方程的一个特解． (3) 令u x y =-，将方程化为1cos -=u dxdu． 分离变量并积分，得c x u+=2c o t ．代回原变量得方程的通解c x xy +=-2cot． 此外方程有常数解πk x y 2+= ∈k (Z )．(4) 原方程可改写为2)()(x x x e y e e y --=-． 易知x e y =是它的一个特解．令x e y z -=，得 2z e z x -='． 分离变量并积分，得 c e zx +=1， 或c e z x+=1． 所以原方程的通解为c e e y x x ++=1． 此外方程有特解x e y =． 5. 恰当方程一阶微分方程也常以微分形式出现，即写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ． (2.15)如果存在二元可微函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 则称方程(2.15)为恰当方程．这时(2.15)成为0),(=y x du ．从而c y x u =),(． 就是它的通解．这里需要用到二元函数微分学的知识，但我们可以利用一元可微函数关于微分形式不变性来理解它．例如在微分方程032223=+dy y x dx xy中，视y 为x 函数，它的左边恰好写成)(32y x d ，所以求得通解为 c y x =32．例11 求下列微分方程的通解： (1) 0)2()(2=-++dy y x dx y x ； (2) 0)1(22=++dy x xydx ；(3) 0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ．解 (1) 分项组合，得0)(22=++-xdy ydx ydy dx x ， 或0)3(23=+-xy y x d 所以方程的通解为c xy y x =+-233． (2) 分项组合，得0)2(2=++dy dy x xydx ，或0)(2=+y y x d ．所以通解为c y y x =+2． (3) 分项组合，得 0)1c o s 2=-++y x d y y d x dy y xdx ， 或0) ln (sin =++yxy x d ．所以通解为c yxy x =++ ln sin ． 如果方程(2.15)不是恰当的，我们还可以通过对方程本身变形，结合运用微分运算的法则和技巧，有时还辅以适当的变量代换，将它转化为恰当方程来求解．为此需要掌握一些常见的微分表达式，如)(xy d xdy ydx =+， )2(22y x d y d y x d x+=+，)(2x y d x y d x x d y =-， )(2y xd y x d y y d x =-，) (ln x yd xy ydx xdy =-， )(a r c t a n 22x y d yx y d x x d y =+- 等． 例12 求解下列微分方程： (1) 0)(=-+dy x y ydx ；(2) 0)()(=++-dy y x dx y x ； (3) 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx x ；(4) 0)()(33=+++dy y x dx y x ． 解 (1) 原方程即0=+-y d y x d y y d x 上式两边同乘以21y，得 02=+-y dyyxdy ydx ， 或0) ln (=+y yxd ． 所以通解为c y yx=+ ln ． (2) 分项组合0=-++y d x x d y y d y x d x， 或0)(2122=-++y d x x d y y x d ． 以221y x +乘上式，得0)(2)(222222=+-+++y x y d xx d y y x y x d ， 由此积分，得c xy y x =++a r c t a n )l n (2122． (3) 以21x 乘方程，得 02=-++xy d xx d y y y d y x d x ， 或0)()(2122=++xyyd y x d ． 应用极坐标 θcos r x =，θsin r y =，上式变为0tan sin 212=+θθd r dr ，化简得0cos sin =+θθθd dr ． 由此积分，得1c o s 1c r =+θ， 代回原变量，得方程的通解12222c xy x y x =+++， 或2222)1)((cx x y x =++，其中21c c =为任意常数．(4) 分项组合0)()(3333=+++y dyx dx y x ydy xdx ， 运用微分运算法则，得 0)11(21)(21223322=+-+yx d y x y x d ， 或222322)()()(xy y x d xy y x d +=+． 令 22y x u +=，xy v =，上式变为23v u dv du =， 或udv vdu du 2-=．移项合并du v udv )1(2-=，分离变量并积分，得cu v =-2)1(． 通解为)()1(222y x c xy +=-．历史上，有人曾专门按导数形式去求解一阶微分方程，也有人曾试图按微分形式统一处理．但经验表明：单纯采用一种形式总有其不便与困难．求解中我们应特别注意这两种形式的互相转化，灵活运用各种求解方法．例13 求解下列微分方程(1) 252233363224y y y x x xy x dx dy +-+-=； (2) 0)1()(2=++-dy x y dx y x ． 解 (1) 改写成微分形式0)363()224(252233=+--+-dy y y y x dx x xy x ． 分项组合0)32()36()24(223253=+--++dy y x dx xy dy y y dx x x ． 从而有0)(323624=--++y x y y x x d ． 所以通解为c y x y y x x =--++323624．(2) 将方程改写为)1(2x y xy dx dy +-=． 或xxy x dx dy +-+=121222． 所以))1(12()1(222c x dxx x x y ++⋅+-+=⎰))1(1()1(22⎰+++=c x xdx )11)1(()1(22c x x x x +++++= 2)1(12x c x +++=．§ 7. 3 一阶微分方程的应用应用微分方程解决实际问题的步骤是：(1) 分析问题，建立相应的微分方程，并提出定解条件； (2) 求定解问题；(3) 利用所得结果解释实际问题．对于步骤 (1) 所涉及到的基本方法有按规律列方程，微元分析法及模拟近似法，下面我们通过举例分别阐述它们的具体运用．1. 按规律列方程在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践或实验检验的规律或定律，如牛顿冷却定理、牛顿运动定律、物质放射性的规律、电路问题中的基尔霍夫(Kirchhoff) 第二定律、曲线的切线性质等，它们都涉及到某些函数的变化率，由此所列出的关系式自然就是包含自变量、未知函数及其某些导数的微分方程式．例1 冷却问题把一个加热到50C 的物体，放到20C 的恒温环境中冷却，求物体的变化规律． 解 根据牛顿冷却定律：温度为u 的物体，在温度为0u 的周围环境中冷却的速率与温差0u u -成正比．在冷却过程中，设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，物体冷却的速率就是其温度对时间的变化率dtdu．于是由冷却定律可得 )20(--=u k dtdu， (3.1) 这里0>k 为比例常数，上式右边出现负号，是因为随时间t 的增加，温度u 在减少，即当20>u 时，0<dtdu． 此外，)(t u u =应满足初始条件 20)0(=u ． (3.2) 解初值问题(3.1)+(3.2)，得所求温度的变化规律kteu -+=3020．可见，物体的冷却是按指数规律变化的(图7—1)．当t 增加时，温度开始时下降较快，以后逐渐变慢而趋于环境温度．例2 物体在空气中的下落假设质量为m 的物体在空气中下落，初速度为零．空气阻力与下落速度的平方成正比，阻尼系数为0>k ，求下落速度)(t v v =的变化规律．解 不妨设重力mg (g 为重力加速度)的方向为正，则空气阻力为2kv -，由牛顿第二定律，可得2kv mg dtdvm-=． (3.3) 此外)(t v v =应满足初始条件0)0(=v ．将方程(3.3)分离变量dt vmk g dv=-2， 或dt mkv kmg dv =-2．两边积分，得1ln 21ln 21c t m k vv kmg kmg k mg kmg +=-+ )0(1>c ．化简得at kmg k mg ce vv 2=-+，其中01≠±=c c 为常数，mkga =． 由条件0)0(=v 可定出1=c ．把1=c 代回到上式，并从中解出v ，得所求变化规律1122+-=at at e e k mg v ．例3 R —L 电路设有电路如图7—2所示，其中R 、L 、E 都是常数．原来电路中没有电流，当把开关K 拨到1处后，电路中的电流逐渐增加，设0t t =时又将开关K 倒向2，则电路中电流又逐渐减少，试求电路中的电流I 随时间t 的变化规律．解 (1) K 拨到1处)0(0t t ≤≤时，电阻R ， 电感L 与电源E 串联成一闭合回路，各元件上电 压降分别为RI ，dtdIL ，E -，由基尔霍夫第二 定律，得图7—20=-+E dtdIL RI ， 或LE I L R dt dI =+． (3.3) 此外)(t I I =应满足初始条件0)0(=I ． (3.4) 解初值问题(3.3)+(3.4)，得)1(tL R e RE I --=．(2) K 倒向2处)(0t t ≥后，回路只由电阻R 与电感L 串联而成，故有0=+I LRdt dI ． (3.5) 且满足初始条件00)1()(0I e RE t I t R ∆-=-=． (3.6)解初值问题(3.5)+(3.6)，得)(00 t t LR eI I --=．所以)(t I I =的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=---. ,,0 ),1( 0)(000t t e I t t e R E I t t t L RLR例4 几何问题求一曲线，使其上任一点的切线与x 轴的交点 到切点的距离等于该交点到坐标原点的距离．解 设所求曲线的方程为)(x y y =，其 上任一点),(y x P 处的切线方程为图7—3)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 是切线上的动点(图7—3)．上式 中令0=Y ，得切线的横截距为y yx '-．依题意，得 222)()(y yx y y y '-=+'， 或222y x xyy -='． (3.7)此即所求曲线应满足的微分方程．将(3.7)改写为对称式0)(222=--dy y x xydx ，分项组合0222=+-dy y dy x xydx ． 以21y乘上式将它写成 0)(2=+y yx d ． 所以c y yx =+2． 或4)2(222c c y x =-+．这是中心在y 轴上且与x 轴相切于原点的圆族．2. 微元分析法用微积分的微元法来建立微分方程式实际上是寻求一些微元之间的关系式．在建立这些关系式时也要用到某已知规律或定律，与前述方法不同之处在于这里是对这些微元来应用规律或定律的．例5 溶液的混合问题一容器内盛有100升盐水，其中含盐10千克，今用每分钟2升的速率将净水注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以同样速率流出容器，问在任一时刻t 容器内含盐量是多少？解 设在时刻t ，容器内含盐量为)(t Q Q =．经过时间dt 后，流出容器的溶液量为dt 2，从而流出的盐量近似为dt Q 2100⋅，其中100Q为混合液在时刻t 的浓度，而流入容器的盐量为0．于是得含盐量Q 的微元dt QdQ 2100⋅-=， 即Q dt dQ 501-=． (3.8) 此外)(t Q Q =满足初始条件10)0(=Q ． (3.9) 解初值问题(3.8)+(3.9)，得teQ 110-=．例6 流体流动问题有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60 ，漏斗下面有面积为0.52cm 的孔，求水从小孔流出过程中漏斗中水面高度随时间变化的规律．解 建立坐标系如图7—4所示．设在时刻t ，水面高度为)(t h h =，经过时间dt ，水面高度为dh h +)0(<dh ．则在时间间隔],[dt t t +内，相应于漏斗中的水层，其体积近似于以h r 33=为半径，高为)(dh -的圆柱体体积，故这水层的体积微元为 dh h dh r dV 223ππ-=-=．而在这段时间内从小孔流出的水近似为dt h V dV )(5.00=，这里)(0h V 表示水面高度为h 时从小孔中流出的水沿h 图7—4 轴反向的速度，根据水力学中有关定律gh h V 262.0)(0=．其中0.62为流量系数，g 为重力加速度．于是有 dh h dt gh 23231.0π-=，或dh h gdt 23293.0π-=． (3.10)此外)(t h h =应满足初始条件10)0(=h ． (3.11) 解初值问题(3.10)+ (3.11)，得所求的变化规律)10100(265.45h gt -=π． 3. 模拟近似法在生物、医学、经济等学科的实际问题中，所反映的现象往往是很复杂的．为了研究它们，需要在不同的假设下去模拟实际现象．这个过程当然是近似的，所建立的数学模型，例如微分方程模型，也是作了各种近似和简化．因此，模型的结果是否具有实际意义或满足实际要求，只有通过实践去检验．例7 单种群模型与人口问题动植物种群本身是离散变量，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至可微地在变化，进而可以应用微分方程这一数学工具来研究．英国人马尔萨斯(Malthus)认为人口增长率(出生率与死亡率之差)为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比．设在时间t ，人口总数为)(t P P =，则有马尔萨斯人口模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)()0( P t P a aP dt dP是常数这个初值问题的解为)(00t t a e P P -=，它表明人口按指数曲线增长，这一理论已被实践证明是错误的．1837年，荷兰生物数学专家弗胡斯特(Verhulst)考虑了有影响增长率的竞争项的模拟，得出容易理解的下述单种群数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()(P t P P bP a dtdP其中正常数a 和b 称为生命系数．解此初值问题，得)(00)(000t t a t t a ebP bP a e aP P --+-=． (3.12) 一些生态学家测得a 的自然值为0.029，而b 的值取决于各国的社会经济条件．据文献记载，美国和法国曾用公式(3.12)预报过人口的变化，结果相当符合实际．根据安徽省统计局统计的数字，芜湖市人口总数在1992年底为206.12万人，假设当时的人口增长率为0.832℅，则00832.00=-bP a ，在公式(3.12)中取19920=t ，60100612.2⨯=P ，对芜湖市人口作出估算，将其中一部分结果与省统计局最近几年公布的芜湖市人口总数列表对照如下从表中看出，上述估算有一定的可信度．按照这个估计，芜湖市人口总数到2020年底将达到245万，到2050年将接近269万．而最终趋势为05.289)(lim ≈=+∞→bat P t (万)．§7.4 可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程．求解高阶方程的一种常用的方法就是设法降低方程的阶数．如果能把它降低为一阶方程，我们就有可能运用§7.2所讲的方法．本节介绍几种可降阶的方程类型．1. 不显含未知函数y 的方程0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F )1(≥k ． (4.1)令z y k =)(，得关于z 的k n -阶方程0),,,,()(='-k n z z z x F ， 从而使方程(4.1)降低了k 阶．例1 解方程01)4()5(=-y xy ． 解 令z y =)4(，得01=-'z xz ． 所以cx ce z dx=⎰=1，即cx y =)4(．对x 积分4次，即得方程的通解54233251c x c x c x c x c y ++++=．2. 不显含自变量x 的二阶方程0),,(='''y y y F ． (4.2)令 z y ='，并以y 为新方程的自变量，z 为新未知函数，则 dydz z dx dy dy dz dx dz y ===''． 将z y ='，dydzz y =''代入方程(4.2)，即化为未知函数z 的一阶方程． 例2 解方程02='+''y y y ． (4.3) 解 令z y ='，则dydzzy =''，代入方程得 02=+z dydzyz ， 或0=+z dydzy．(注意0=z 仍是方程的解) 解得 yc z =， 即y c y ='． 分离变量并积分得212c x c y += )2(1c c =．注意，方程(4.3)可改写为0)(=''y y ， 这时我们也说(4.3)是恰当方程．进而有0)2(2=''y ，对x 积分两次得222212c x c y +=， 即212c x c y +=．如果一个高阶方程不是恰当的，我们也可以通过变形，看能否将它化为恰当方程来求解． 例3 解方程02='-''y y y ． 解 以21y 乘方程，得 022='-''y y y y ，或0)(=''yy ， 进而有0) (ln =''y ．对x 积分两次得21 ln c x c y +=．此外0=y 也是方程的解．如果把通解表示为x c ce y 1=，其中c ，1c 为任意常数，则特解0=y 也并入其中．例4 一条长度为a 的均匀链条放置在一水平而无摩擦的桌面上，使链条在桌边悬挂下来的长为b )0(a b <<，问链条全部滑离桌面需要多长时间？解 如图7—5所示，设在时刻t ，链条在桌边悬挂下来的长)(t x x =，以ρ表示链条密度(即单位长的质量)，按牛顿第二定律，可得g x dt x d a ) ( 22ρρ= (g 为重力加速度)． 图7—5或x a g dtx d =22． 令dt dx v =，dx dv v dtx d =22代入上式得 x ag dx dv v=． (4.4) 由假设知 0==b x v ． (4.5)解初值问题(4.4)+(4.5)，得22b x ag v -=， 即 22b x ag dtdx -=． (4.6) 并且 b x =)0(． (4.7)从(4.6) ，(4.7) 解得)l n (22b b x x g a t -+=． 所求时间为)l n (22bb a a g a T -+=． §7.5 高阶常系数线性方程虽然我们已会求解一阶或高阶的几类特殊类型的方程．但是我们应该知道，即使是一阶方程，例如形式上很简单的黎卡提 (Riccati)方程22y x dxdy +=，我们也不可能用初等积分法求解，这是法国数学家刘维尔(Liouville)于1838年所证明的事实．对于高阶方程，求解的难度会更大，就是高阶线性方程，尽管已从理论上完全掌握其解的结构和性质．但具体求解却无一定规律可循．也就是说，除了一些特殊情形外，是很难求解的．本节我们以二阶为例讨论高阶常系数线性方程，它的求解问题将获得彻底解决．1. 二阶常系数齐次线性方程一般形式为021=+'+''y a y a y ．(5.1) 其中1a ，2a 为实数．明显看出0=y )(+∞<<-∞x 是方程(5.1)的解，(称为零解或平凡解)．根据方程(5.1)的特点及指数函数t e λ的特性，我们试求(5.1)如下形式的特解x e y λ=．其中λ是待定的(实或复)常数．将x e y λ= 代入(5.1)，可得0)(212 =++a a e x λλλ．因为0 ≠x e λ，所以0212=++a a λλ． (5.2) 这样，对于二次代数方程(5.2)的每一个根λ，x e λ就是方程(5.1)的一个解．(5.2)称为方。

第七章 常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。

在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。

在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。

常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。

在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。

通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。

在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。

二、本章知识梳理常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000'(,),()y f t y t t Ty t y =≤≤⎧⎨=⎩的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-@显示单步法7.2.1 显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)n n n n y y h t y h n M ϕ+=+=-定理7.2.1 设增量函数(,,)n n t y h ϕ在区域00{(,,)|,||,0}D t y h t t T y h h =≤≤<∞≤≤内对变量y 满足Lipschitz 条件，即存在常数K ，使对D 内任何两点1(,,)t u h 和2(,,)t u h ，不等式1212|(,,)(,,)|||t u h t u h K u u ϕϕ-≤-成立，那么，若单步法的局部截断误差1n R +与1(1)p h p +≥同阶，即11()p n R O h ++=，则单步法的整体截断误差1n ε+与p h 同阶，即1()p n O h ε+=。