7第七讲

未知状态：(V , α , β ) 或 (u , v, w) ，( p, q, r ) ， ( xE , y E , z E ) ， (θW , φW ,ψ W )或 (θ , φ ,ψ ) ， 操纵面位置：(δ e , δ a , δ r , δ T ) 方程数：4×3，应补充操纵规律或其它方程。
——(5.1.7) ——(5.4.9) ——(5.4.12)
第五章 小扰动线化方程
第五章 小扰动线化方程
5.1 几个概念 5.2 线化条件 5.3 线化原理 5.4 方程线化 5.5 力和力矩的线化 5.6 无因次化（无量纲化） 5.7 小扰动方程系数的讨论 5.8 不同轴系间气动导数的转化 5.9 弹性自由度
(3) P W = QW = RW = 0（欧拉角均为常值）
⎡P ⎡ pW ⎤ W ⎤ ⎢Q ⎥ = ⎢ q ⎥ − T ⎢ W ⎥ ⎢ W ⎥ WV ⎢ ⎣ RW ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ rW ⎥ ⎦
&= 其中，μ
& ) cos λ ⎤ ⎡(ω E + μ ⎢ & ⎥ &) ⎢ −λ ⎥ ⇒ ...... ⇒ qW = − (ω Ε + μ ⎢ −(ω E + μ ⎥ & ) sin λ ⎣ ⎦
• 惯性主轴 I xy = I yz = I zx = 0 • 平均体轴
e hB =0
练习题
1. 在飞行器运动方程的推导过程中，根据需要常常作一些假设， 请解释以下假设条件在方程中忽略了那些项？这些假设条件在 什么情况下适用？ 1) 关于地球：忽略地球的曲率和旋转(平面地球假设)； 2) 关于飞机：刚性假设、飞机具有对称面。 2.结合上述假设，分别指出Fig5.4~Fig5.7方程组的适用条件 和所采用的坐标系。 3.什么是平均体轴系？讨论在平均体轴系下弹行飞行器运动建 模的特点。
• 等高度飞行并非严格在一个圆上飞行（地球不是理想球体）； • ρ ≠ const，W ≠ 0。 定常直线平飞/盘旋（平地球）
⎧TxW − D = 0 ⎪ ⎪ ⎨TyW − C + mg sin φW = 0 ⎪ ⎪ ⎩TzW − L  0
练习题
4. 在平面地球假设下， (1) 由(5.1.7)和(5.4.9)式出发，推导飞机在风轴系和体轴系下 的质心动力学方程； (2) 由(5.4.12)式出发，推导飞机在体轴系下的转动动力学方 程（力矩方程）。
% r ′ + 2ω & %M r &M %Mω % M rM ′ +ω ′ +ω ′ a M = a OM + && rM M M f = mac & G =h
4.7 方程组的讨论
⎧ 2mV ω E 1 0.118 mg ∝ V ≈ —— ⎪ mg 10 ⎪ ⎨ 2 mV 9 ⎪ —— mg ∝ V 2 ≈ 0.9 ⎪ 10 ⎩ mgR 当V ≈800 m/s (0.1宇宙速度) ⎧ 2mV ω E ⎪ mg ≈ 0.01 ⎪ ⎨ 2 mV ⎪ ≈ 0.01 ⎪ ⎩ mgR 当M >2.5~3时， ω Ε 和 ω V 影响重要。
W W W W W W
未知状态变量：(α 0 , φW0 )
操纵变量： (δ e , δ a , δ r , δ T )
——6个方程，6个变量，方程封闭
任意系统的运动方程
¾整体运动：质心运动、绕质心的转动
f = mac
& G =h
¾精细运动：变形运动等相对于整体的运动
ri e hB = J B ω B + ∑ hB + hB i
4.7 方程组的讨论
最小状态数:有些参数是相互关联的，即最小状态数< 4×3。 因为： •质心位置决定引力（重力）； •姿态位置决定相对于引力场的方位； •质心速度决定平动动能； •旋转速度决定转动动能。 ψ W 、ψ 无关。 再仔细划分，引力及其影响和xE、yE、 所以：实际最小状态数4×3－3＝9。 状态选择举例: (V , α , β ), ( p, q, r ), (θ , φ ), ( z E ) 一旦这组参数确定，其它参数可以相应导出。 辅助方程： 坐标转换阵 角度变化率关系
4.8 定常状态
2. 定常直线运动
以定常直线为例，此时若无侧滑（可能有滚转），模型如下： 若已知 V0 , z E0 , β 0 = 0, θW0 = γ 0
⎧T0 cos(α 0 + φT ) − D0 − mg sin γ 0 = 0 ⎪T sin(α + φ ) + L − mg cos γ cos φ = 0 0 0 0 T W0 ⎪ 0 方程为 ⎨ ⎪−C0 + mg cos γ 0 sin φW0 = 0 ⎪L = M = N = 0 0 0 ⎩ 0 & =φ & =ψ & = p = q = r = 0 恒成立。 且 θ
(2) ψ W = 90o (W = 0) , λ = 0 （向东飞行）
E ⎡ pW ⎤ ⎢ E⎥ E ωW = ⎢ qW ⎥ = TWV ⎢r E ⎥ ⎣W ⎦
⎡cos λ ⎤ ⎢0 ⎥ωE E Ε ⇒ ...... ⇒ q = − ω W ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ − sin λ ⎥ ⎦
4.7 方程组的讨论
平面地球；具有对 称面的刚体飞行器
体轴系
9质心动力学方程
& + qw − rv) ⎧ X − mg sin θ = m(u ⎪ & + ru − pw) ⎨Y + mg cos θ sin φ = m(v ⎪ Z + mg cos θ cos φ = m( w & + pv − qu ) ⎩
9质心运动学方程
E ⎡ pW ⎤ ⎢ E⎥ ⎢ qW ⎥ = TWV E ⎥ ⎢ rW ⎣ ⎦
0
0 ⎡ cos λ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 0 ⎥ ω E = − ⎢cos(λ − ϕ ) ⎥ ω E W ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − sin λ ⎥ ⎦ ⎣ sin(λ − ϕW ) ⎥ ⎦
4.8 定常状态
缺陷 • m ≠ const；
4.7 方程组的讨论
5. 动力学问题的提法
正问题：给定状态变量初值和操纵规律，未知参数满足 常微分方程形式。 逆问题：给定方程的部分状态，求解操纵规律和其它未 知状态，方程是代数方程形式。 混合问题：给定方程的部分状态和部分操纵规律，方程 是常微分＋代数组合。
4.8 定常状态
1. 基本提法
& = f ( x, c ) = 0 x
发动机推力 T = T ( R, V , δ T ) 地球引力 g = g ( R, λ )
4.7 方程组的讨论
4. 方程组的封闭和最小状态数 飞行器方程组的两种表达方法： 混合系表示：质心运动FW，转动运动FB； 体轴系表示：质心运动FB，转动运动FB。
•平地球情况：以无自转、平地球、具有对称面的刚体飞行器为 例，方称为(5.8.1)~(5.8.7)。 方程（平面地球）.doc
4.7 方程组的讨论
E V 1. 地球自转和曲率（ω , ω ）对质心运动的影响
以赤道上水平向东飞行为例
E + qW ) 在FW的z方向的力方程 TzW − L + mg cos θW cos φW = −mV (qW
(1) θW = 0, φW = 0 （无倾斜，水平飞行）
E TzW − L + mg = −mV (qW + qW )
气动力定常状态 运动、气动力场和重力场在体轴系FB中为常值。
等小圆飞行（考虑地球曲率、旋转）
⎧φW = const ⎪ ⎨θW = 0 ⎪ψ = ±π / 2 ⎩ W
⎧ R = const ⎪ ⎨λ = const ⎪μ ⎩ & = V / R sec λ
⎧[V , α , β ]T = const ⎪ T ⎪ u , v , w ] = const ⎨[ ⎪ T p, q, r ] = const ⎪ ⎩[
同温层音速290 m/s 地面音速为340 m/s
4.7 方程组的讨论
2. ω 和 ω 对姿态的影响
E V
可忽略不计。 3. 外力和外力矩 空气动力 C R = (Cx , C y , Cz , Cl , Cm , Cn )T
= C R (α , β , M , Re, ρ , δ , S , 外形......)
4.7 方程组的讨论
•匀速旋转正球体地球模型情况： 方程（均匀旋转正地球）.doc 最小状态数: 对正球体地球，引力（重力）及其影响与纬度有关，但与 μ 和 ψ W 无关。 所以：实际最小状态数4×3－2＝10。
状态选择举例: (u , v, w)或(V , α , β )
( p, q, r )
(θ , φ )或 (θW , φW )
&E ⎤ ⎡x ⎡u ⎤ ⎢y ⎢v ⎥ & E ⎥ = LVB φ θ ψ （ , , ） ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ &E ⎥ ⎣ w⎥ ⎦ ⎣z ⎦
9绕质心转动的动力学方程
& − I zx (r & + pq) − ( I y − I z )qr ⎧L = I x p ⎪ 2 2 & = − − M I q I r p ( ) − ( I z − I x )rp ⎨ y zx ⎪ & − I zx ( p & − qr ) − ( I x − I y ) pq ⎩N = Izr
V V cos θW sinψ W sec λ = R R
2 V mV (4) TzW − L + mg = mV (ω E + ω E + ) = 2mV ω E + R R
由地球转 动产生的
由地球曲 率引起的
2 mV TzW − L + mg = 2mV ω E + R 当V≈8000 m/s (宇宙速度)，地球自转速度为 ω E = 7.27 × 105 rad / s