1.2 集合间的基本关系【解析版】

2020届高考数学专题复习-1.2 集合的基本关系一、选择题1．下列关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集；正确本题正确选项：2．已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a =（ ） A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2【答案】B 【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选：B3．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】集合．为自然数集，在A 中，，正确；在B 中，，正确； 在C 中，，正确；在D 中，不是的子集，故D 错误． 故选：D ．4．_____横线上可以填入的符号有（ ）A ．只有B ．只有C．与都可以D．与都不可以【答案】C【解析】，或．故选：C．5．已知集合，且，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，即故选：A6．已知集合，则M的非空子集的个数是（）A．15 B．16 C．7 D．8【答案】C【解析】,所以的非空子集为共7个，故选C.7．下列写法正确的是（）A．B．0C．D．【答案】A【解析】是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合与集合间是包含关系，集合与元素间是属于符号.故答案为:A.8．已知集合A={x|x＞l}，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合，中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误；中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确；中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误；故选：．9．下列各式：①1∈{0,1,2}；②∅⊆{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A【解析】对于①，由元素与集合的关系的可得正确；对于②，由空集是任何集合的子集知正确；对于③，根据集合间的关系知不正确；对于④，由于集合的元素具有无序性知正确。

1.2 集合间的基本关系运用一 集合关系的判断【例1】（2018·广东省深圳市南头中学高一期中）下列关系正确的是（ ） A ．{}0∅⊆ B ．{0}∅∈C ．0∈∅D ．{0}⊆∅【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集；{}0∴∅⊆正确本题正确选项：A【触类旁通】1．（2018·四川省广元外国语学校高一月考）下列各式中，正确的个数是（ ） （1）{0}∅=，（2）{0}∅⊆，（3）{0}∅∈；（4）{}00=；（5）{}00∈； （6）{}{}11,2,3∈；（7）{}{}1,21,2,3⊆；（8）{}{},,a b b a ⊆. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∅表示空集，没有元素，{}0有一个元素，则{}0∅≠，故（1）错误 空集是任何集合的子集，故（2）正确∅和{}0都表示集合，故（3）错误0表示元素，{}0表示集合，故（4）错误{}00∈，故（5）正确{}1，{}12,3，都表示集合，故（6）错误 {}1,2中的元素都是{}1,2,3中的元素，故（7）正确由于集合的元素具有无序性，故{}{},,a b b a ⊆，故（8）正确 综上，正确的个数是4个故选D、、 空集本身就是集合，无需加{ }运用二 子集个数判断【例2】（1）设集合{}22A x N x =∈-<<的子集的个数是( ) A ．8B ．7C ．4D ．3（2）集合26{|}A x x y x N y N -∈∈＝＝＋，，的真子集的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6（3）．已知集合A 满足条件{}{}1,21,2,3,4,5⊆A ，则集合A 的个数为（ ）A ．8B ．7C ．4D ．3【答案】（1）C （2）C （3）B【解析】（1）依题意{}0,1A =，有两个元素，故子集的个数为224=，故选C. （2）由于x ∈N ，y N ∈，又因为2+6x y =-，则y 可取0，1，2，∴6{}25A =，，，故集合A 的真子集个数为3217-=，故选：C ． （3）集合A 中必须有元素1和2，可有3，4，5这三个元素中的0个，1个，2个， 故集合A 的个数有3217-=个，故选：B ．【触类旁通】1．已知集合{}1,2,3A = ，下列集合是集合A 的真子集的是( ) A ．{1，2，3} B ．{2，3}C ．{–1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】B【解析】根据真子集的概念可知，B 选项正确.A 选项集合和A 集合相等，不是真子集.C,D 两个选项中，有的元素不是集合A 的元素，故不是真子集.综上所述，本小题选B. 2．集合{}25,M y N y x x Z =∈=-+∈的真子集个数是( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】依题意{}5,4,1M =共有3个元素，故真子集个数为3217-=.故选C.3．（2019·长沙县第一中学高一期末）满足{1}⊆A ⊆{1,2，3}的集合A 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】由题意，可得满足{1}⊆A ⊆{1,2，3}的集合A 为：{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2，3}，共4个．故选：C ．运用三 集合相等【例3】（1）（2019·江西高一期末）下列集合中与{2，3}是同一集合的是（ ） A ．{}{}{}2,3B ．(){}2,3C ．(){}3,2D ．{}3,2（2）已知集合{1,a,b}与{a,a 2,ab}相等，求实数a ，b 的值． 【答案】（1）D （2）−1,0【解析】（1）与{2，3}是同一集合的是{3，2}．故选：D ．（2）因为集合{1,a,b}与{a,a 2,ab}相等，所以有：（1）{a 2=1,ab =b.⇒a =1或{a =−1,b =0. ，当a =1时，不符合集合元素的互异性，故舍去；当{a =−1,b =0.时，符合集合元素的互异性;（2）{a 2=b,ab =1.⇒{a =1,b =1. ，不符合集合元素的互异性，故舍去,所以a =−1,b =0. 【触类旁通】1．某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____． 【答案】0【解析】∵集合既可以表示成{b ，ba，0}，又可表示成{a ，a ＋b ，1}∴a ＋b 一定等于0 在后一种表示的集合中有一个元素是1只能是b . ∴b ＝1，a ＝－1∴a 2015＋b 2015＝0.2．（2019·上海高一期末）若整数．．x y 、能使{}{}27,4x x y +=，成立，则xy =____. 【答案】10 【解析】{}{}27,4x x y +=，∴274x x y =⎧⎨+=⎩或247x x y =⎧⎨+=⎩，解得：7212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或25x y =⎧⎨=⎩∴xy =10 3．已知集合A ={1,−m}，B ={1,m 2}，且A =B ，则m 的值为_________________ 【答案】0【解析】∵A ={1,−m },B ={1,m 2} ，且A =B ，∴m 2=−m ，解得m =−1 或者m =0.m =−1不满足集合中元素的互异性，舍去．∴m =0符合题意．故答案是：0．运用四 空集【例4】（1）（2017·全国高一课时练习）下列四个集合中，是空集的是 ( ) A ．{0} B ．{x |x ＞8且x ＜5} C ．{x ∈N|x 2－1＝0} D ．{x |x ＞4}（2）．（2016·全国高考模拟）如果A={x|ax 2﹣ax+1＜0}=∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．0＜a ＜4B ．0≤a≤4C ．0＜a≤4D ．0≤a≤4【答案】（1）B （2）D【解析】（1）选项A 、C 、D 都含有元素．而选项B 无元素，故选B ． （2）因为A={x|ax 2﹣ax+1＜0}=∅，所以不等式ax 2﹣ax+1＜0的解集是空集， 当a=0，不等式等价为1＜0，无解，所以a=0成立． 当a≠0时，要使ax 2﹣ax+1＜0的解集是空集， 则，解得0＜a≤4．综上实数a 的取值范围0≤a≤4．故选D ． 【触类旁通】1．（2017·全国高一课时练习）下列集合中表示空集的是( ) A ．{x ∈R|x ＋5＝5} B ．{x ∈R|x ＋5>5} C ．{x ∈R|x 2＝0} D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0} 【答案】D【解析】 ∵A B C ，， 中分别表示的集合为{}{}{}000x x ，，，∴不是空集；又∵210x x ＋＋＝ 无解，∴2{|10}x R x x ∈＋＋＝ 表示空集.故选D.2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【答案】C【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．3.若关于x 的不等式(1)32a x x ->+的解集为∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．3-≥a B ．3-≤aC ．3a =-D ．3a >-【答案】C【解析】关于x 的不等式a （1﹣x ）＞3x +2 可化为（a +3）x ＜a ﹣2当x 的系数a +3＝0，即a ＝﹣3时 原不等式可化为0＜﹣5恒不成立此时关于x 的不等式a （1﹣x ）＞3x +2的解集为∅，故选：C ． 4.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a << B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【答案】D【解析】因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立． 当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4． 故选：D ．运用五 “数字型”求参数【例5】（1）（2019·辽宁高考模拟（理））已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =.若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{}1,1-D ．（2）（2019·辽宁高考模拟（文））已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】（1）C （2）D【解析】（1）若1m =，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除B,D 两个选项.若1m =-，则{}1,3B =，符合B A ⊆，排除A 选项.故本小题选C.（2）因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a =，所以11a =-或12a =，解得1a =-或12a =， 综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选D【触类旁通】1．（2019·山西忻州一中高二月考（文））已知集合2{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．0或2 D ．1【答案】B【解析】由题意，集合2{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B.2．（2019·湖北安陆第一高中高二月考（文））已知集合{0,1,2}A =，{,2}B a =，若B A ⊆，则a = A ．0 B ．0或1 C ．2 D ．0或1或2【答案】B【解析】由B A ⊆，可知{0,2}B =或{1,2}B =，所以0a =或1.故选：B3．（2019·石嘴山市第三中学高考模拟（文））若集合A ={1,x,4}, B ={1,x 2}，且B ⊆A ，则x =( ) A ．2B ．2，-2C ．2，−2，0D ．2，-2，0，1【答案】C【解析】因为B ⊆A ，所以x 2∈{1,x,4} 当x 2=1时，与B ={1,x 2}矛盾.当x 2=x 时，x =0或x =1（舍去），即：x =0时，满足B ⊆A 当x 2=4时，x =2或x =−2，都满足B ⊆A . 所以x =0或x =2或x =−2.故选：C运用六 “不等式型”求参数【例6】（1）已知集合{|12}M x x =-<<，{}|N x x a =<，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(,1]-∞-（2）（2019·重庆高二期末）已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≤ B ．23m ≤≤ C ．2m ≥D ．m 3≥【答案】（1）B （2）A【解析】（1）已知{|12}M x x =-<<，{}|N x x a =<，且M N ⊆，所以2a ≥．故实数a 的取值范围为[2)+∞，，故选：B ． （2）当B 为空集时，121m m +>-，可得2m < 当B 不是空集时，2m ≥且12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，可得23m ≤≤所以：3m ≤故选：A ．【触类旁通】1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(－∞，2]B ．(2，4]C ．[2，4]D ．(－∞，4]【答案】D【解析】当B=∅时，由m ＋1≥2m －1，∴m ≤2当B ≠∅时，若B ⊆A 则12217121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩∴2＜m ≤4综上，m 的取值范围为{m |m ≤4}.故选D.2．（2019·榆林市第二中学高二期末（文））已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．2m ≥D ．3m ≤【答案】D【解析】{|121}B x m x m =+≤≤-当B 为空集时：2112m m m -<+⇒< 成立当B 不为空集时：22152312m m m m ≥⎧⎪-≤⇒≤≤⎨⎪+≥-⎩综上所述的：3m ≤故答案选D3.已知集合}{52≤≤-=x x A ，}{126-≤≤-=m x m x B ， （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）m ＜﹣5（2）3≤m ≤4【解析】（1）①当m ﹣6＞2m ﹣1即m ＜﹣5时，B ＝∅，满足B ⊆A ， ②当m ﹣6≤2m ﹣1即m ≥﹣5时，∵B ⊆A ，∴{m −6≥−22m −1≤5，即{m ≥4m ≤3，即m 无解，综合①②得：∴m ＜﹣5故实数m 的取值范围：m ＜﹣5； （2）∵A ⊆B ，∴B ≠∅且{m −6≤−22m −1≥5即3≤m ≤4，故实数m 的取值范围：3≤m ≤4．运用七 “一元二次型”求参数【例7】（1）设集合A ＝{x |ax 2–ax +1<0}，若A ＝∅，则实数a 取值的集合是（ ）A ．（0，4）B ．[0，4）C ．（0，4]D ．[0，4]（2）（2017·全国高一课时练习）已知集合M={x|x 2+2x -8=0},N={x|(x -2)(x -a )=0},若N ⊆M ,则实数a 的值是_____.【答案】（1）D （2）-4或2【解析】（1）当0a ≠时，依题意可知二次函数21y ax ax =-+开口向上，且判别式小于或等于零，即240a a a >⎧⎨-≤⎩，解得04a <≤.当0a =时，10<无解，A =∅.综上所述，a 的取值范围是[]0,4，故选D.（2）由x 2+2x -8=0可得 x=2或-4；因此，M={2，-4}． ①若a=2时，得N={2}，此时，满足条件N ⊆M ． ②若a=-4时，得N={2，-4}，此时，N=M ；③若a≠2且a≠-4时，得N={2，a}，此时，N 不是M 的子集； 故所求实数a 的值为2或-4． 故答案为：2或-4． 【触类旁通】1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且B ⊆A ，求实数m 的取值范围。

集合间的基本关系Venn 图(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．集合相等与真子集的概念AB (或 BA )子集的概念空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.子集与真子集写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．解由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为()A．4 B．7 C．8 D．16答案 B解析可知A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个)已知集合{}=，则集合A的真子集的个数是.,,,A a b c答案：7个已知集合A={1，2，3，4}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为.解：x=1时，y=1，2，3，4，∴集合B有4个情况x=2时，y=1，2，∴集合B有，2种情况x=3时，y=1，∴集合B有1种情况x=4时，y=1，∴集合B有1种情况∴集合B共有8种元素故集合B的真子集的个数是：28-1=255个集合间关系的判定指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B 之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB .(3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知A B .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故N M .集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合A 和B的关系．解 A ＝{－3,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－72.∵－3＞－72，2＞－72， ∴－3∈B,2∈B ∴A ⊆B 又0∈B ，但0∉A ，∴A B .设集合M ＝{x |x ＞－2}，则下列选项正确的是( )A ．{0}⊆MB ．{0}∈MC ．∅∈MD ．0⊆M 答案 A解析 选项B 、C 中均是集合之间的关系，符号错误；选项D 中是元素与集合之间的关系，符号错误．已知M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＋x ＝0}，则能表示M ，N 之间关系的Venn 图是( )答案 C解析 M ＝{－1,0,1}，N ＝{0，－1}，∴N ⊆M .已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________.答案 －1解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.设集合1|,22k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，1|,42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则（ ）A ．MN= B ．M N Ü C ．M N Ý D ．M N =∅已知集合,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( )A. M N =∅B. M N ⊆C. N M ⊆D. M N N =由集合间的关系求参数已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．解∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1＜m＋1，解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若A B，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解(1)若A B，由图可知a＞2.(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax=+-==-=，且N M⊆，求实数a的值.解：由26023x x x+-=⇒=-或，因此，{}2,3M=-.（i）若0a=时，得N=∅，此时，N M⊆；（ii）若0a≠时，得1{}Na=. 若N M⊆,满足1123a a==-或，解得1123a a==-或.故所求实数a的值为0或12或13-.设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ ）.A ．2k ≤B ．1k ≥-C ．1k >-D ．2k ≥ 答案：D已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3,2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值.答案：.联2353a a -+=及26102a a -+=求解2a =已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（注意区间端点及B =φ）3m ≤已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．解 方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab ·(2b －1)＝0， ② ∵集合中的元素互异，∴a ，b 不能同时为零． 当b ≠0时，由②得a ＝0，或b ＝12. 当a ＝0时，由①得b ＝1，或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14. 当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.。

1.2 集合的基本关系1. 集合间关系的判定；2. 有限集合的子集确定问题；3. 有限集合的子集个数的确定；4.由集合间的关系求参数的值和范围一、单选题1．（2020·浙江高一月考）已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的子集的个数为（ ） A ．16 B ．15 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】集合A 中包含3个元素 ∴集合A 的子集个数为：328=个 故选：C2．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|1}A x x =≥-，则正确的是（ ） A ．0⊆A B ． {0}A ∈ C ．A φ∈ D ．{0}A ⊆【答案】D 【解析】对A ，0A ∈,故A 错误； 对B ，{0}A ⊆，故B 错误；对C ，空集φ是任何集合的子集，即A φ⊆，故C 错误； 对D ，由于集合{0}是集合A 的子集，故D 正确. 故选：D3．（2019·山东济宁高一月考）已知集合2{0,1,}=A a ，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ）A ．-1或3B ．0或-1C ．3D ．-1【答案】C 【解析】由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合. 故选C.4．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则 A ．A B ⊆ B ．C B ⊆ C ．D C ⊆ D ．A D ⊆【答案】B 【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ． 故选B ．5．（2020·浙江高一单元测试）若{}2{1,4,},1,A x B x ==且B A ⊆，则x =（ ）． A ．2± B ．2±或0C ．2±或1或0D ．2±或±1或0【答案】B 【解析】因为B A ⊆，所以24x =或2x x =，所以2x =±、1或0． 根据集合中元素的互异性得2x =±或0. 故选：B6．（2020·浙江高一课时练习）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2【答案】C 【解析】根据题意，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，且0a ≠， 所以0a b +=，即=-a b ， 所以1ba=-，且1b =， 所以1,1a b =-=，则2b a -=，故选C.7．（2020·沙坪坝重庆一中高三月考（理））已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（ ）个 A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】D 【解析】因为{}{}22,1,0,1A xx x Z =<∈=-∣， 所以其真子集个数为3217-=. 故选：D.8．（2020·河南林州一中高二月考（理））已知集合{}21,A x x =+，{}1,2,3B =，且A B ⊆，则实数x 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．3D ．4【答案】B 【解析】由A B ⊆，知21x B +∈且x B ∈， 经检验1x =符合题意，所以1x =. 故选：B9．（2020·浙江高一单元测试）满足条件{}{}1,2,3,41,2,3,4,5,6M ≠⊆⊂的集合M 的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由题意可知：M 应在{1,2,3,4}的基础上不增加元素或增加5,6中的一个，所以M 的个数就是集合{5,6}的真子集个数，即集合M 的个数是2213-=. 本题选择B 选项.10．（2020·浙江高一课时练习）若集合||4{|}2A x R x =∈-≤，集合2{|}3B x R a x a =∈≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．{}|3x x > B ．{|1}x x C ．{|13}x x << D ．{|13}x x ≤≤【答案】B 【解析】集合{}[]422,6A x R x =∈-≤=，若集合B 为空集，则23a a >+，即3a >时满足题意； 若集合B 不为空集，可得23a a ≤+，即3a ≤，由B A ⊆得22,36,a a ⎧⎨+⎩解得[]1,3a ∈，综合两种情况可知[1,)a ∈+∞. 故选：B. 二、多选题11．（2019·广东南沙高一期中）以下四个选项表述正确的有（ ） A ．0∈∅ B ．{}0∅C ．{}{},,a b b a ⊆D ．{}0∅∈【答案】BC 【解析】0∉∅，A 错误；{}0∅，B 正确；{}{},,a b b a =，故{}{},,a b b a ⊆，C 正确；{}0∅⊆，D 错误.故选：BC .12．（2020·全国高一课时练习）下列关系中正确的是（ ） A ．1{0,1,2}∈ B ．{}1{0,1,2}∈ C ．{}{0,1,2}0,1,2⊆D ．{0,1,2}{2,0,1}= E.{0,1}{(0,1)}⊆【答案】ACD 【解析】A 项中集合{0,1,2}中有1这个元素，所以A 正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，不能用“∈”来表示，所以B 错误；因为任何集合都是它本身的子集，所以C 正确；因为集合中的元素具有无序性，所以D 正确；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它有一个元素，所以E 错误. 综上可得ACD 正确. 故选：ACD.13．（2020·江苏宿迁高一期末）已知集合[2,5)A =，(,)B a =+∞.若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3- B ．1 C ．2 D ．5【答案】AB【解析】∵A B ⊆，∴2a <， ∴a 可能取3,1-； 故选：AB.14．（2020·全国高一课时练习）已知集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，下列命题正确的是（ ）A ．不存在实数a 使得AB = B ．存在实数a 使得A B ⊆C ．当4a =时，A B ⊆D ．当04a 时，B A ⊆E.存在实数a 使得B A ⊆ 【答案】AE 【解析】A 选项由相等集合的概念可得23122a a -=⎧⎨-=⎩解得2a =且4a =，得此方程组无解，故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确； B 选项由A B ⊆，得231,22,a a -≤⎧⎨-≥⎩即2,4,a a ≤⎧⎨≥⎩，此不等式组无解，因此B 错误；C 选项当4a =时，得{|52}B x x =<<为空集，不满足A B ⊆，因此C 错误；D 选项当232a a -≥-，即1a ≥时，B A =∅⊆，符合B A ⊆；当1a <时，要使B A ⊆，需满足23122a a -≥⎧⎨-≤⎩解得24a ≤≤，不满足1a <，故这样的实数a 不存在，则当04a ≤≤时B A ⊆不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B A ⊆，因此E 正确. 综上AE 选项正确. 故选：AE.三、填空题15．（2019·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））已知集合A={1,3},B={1,2,m}，若 A ⊆B ，则实数 m ＝______． 【答案】3 【解析】A B ⊆，16．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（文））设集合{}{}3,,3,3A m B m ==，且A B =，则实数m 的值是________． 【答案】0 【解析】由集合A ＝{3，m }＝B ＝{3m,3}， 得3m ＝m ， 则m ＝0． 故答案为0．17．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，则实数k 的取值范围是________． 【答案】(),2-∞ 【解析】{}121Q x k x k =+≤≤-=∅，121k k ∴+>-，解得2k <.因此，实数k 的取值范围是(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.18．（2019·滨州市博兴县第一中学）用“∈”“∉”“⊆”“⊇”，[]0,2______[]1,2-. 【答案】∉ ⊆【解析】Q Q ， 易知[]0,2是[]1,2-的子集，所以[][]0,21,2⊆-. 故答案为(1). ∉ (2).⊆19．（2017·上海市淞浦中学）确定整数,x y 使{}{}2,5,4x x y -=，则x =_____，y =_______ 【答案】2 3- 【解析】由{}{}2,5,4x x y -=得：254x x y =⎧⎨-=⎩或245x x y =⎧⎨-=⎩，解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或23x y =⎧⎨=-⎩ ,x y 都是整数 2x ∴=，3y =-故答案为：2；3-20．（2020·上海高三专题练习）设{(,)|4}M x y mx ny =+=，且{(2,1),(2,5)}-M ，则m =_______，n =________． 【答案】43 43【解析】{(2,1),(2,5)}- M ，则24254m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得43m =，43n =.故答案为：43；43. 21.（2019·山东省淄博第七中学高一月考）若集合{1,2}A =,{|}B x x A =∈，{|}C x x A =⊆用列举法表示集合B =_____，C =______.【答案】{}1,2 {∅，{1}，{2}，{1，2}} 【解析】由题意得，A ＝{1，2}，B ＝{x |x ∈A }{}1,2=，则集合C 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1，2}， 所以集合C ＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}， 故答案为：{}1,2，{∅，{1}，{2}，{1，2}}． 四、解答题22．（2020·全国高一）已知集合M 满足：{1，2}⫋M ⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M 所有的可能情况. 【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5} 【解析】由题意可以确定集合M 必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M 的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}； 含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M 为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}， {1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}. 23．（2020·全国高一）已知{},,A a b c =，则求： （1）集合A 的子集的个数，并判断∅与集合A 的关系 （2）请写出集合A 的所有非空真子集【答案】（1）8，∅ A （2）{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c 【解析】（1）{},,A a b c =的子集有∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c 共8个， 其中∅ A .（2）集合A 的所有非空真子集有{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c .24．（2020·上海高一课时练习）已知{}2|340A x x x =+-=，{|10}B x ax a =-+=，且B A ⊆，求所有a 的值所构成的集合M .【答案】110,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ 【解析】由已知得：{4,1}A =-.∵B A ⊆，当B =∅时，0a =；当{4}B =-时，13a =-；当{1}B =时，12a =.∴110,,32M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.25．（2020·浙江高一课时练习）已知集合{|1,1}A x x a a a =-≤≤>-∈R 且，{|21,}B y y x x A ==-∈，2{},|C z z x x A ==∈.是否存在a ，使C B ⊆？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】存在，1a =. 【解析】存在,假设存在这样的a 值,由于21y x =-且x A ∈,即1x a -≤≤,321y a ∴-≤≤-.而2z x =且x A ∈,∴当10a -<≤时,21a z ≤≤；当01a <<时,01z ≤≤；当1a ≥时,20z a ≤≤. 若10a -<≤,要使C B ⊆,则211a -≥,即1a ≥,矛盾.同理当01a <<时,也不存在a 的值.而1a ≥时,要使C B ⊆,则有221a a ≤-,即2(1)0a -≤,1a .故存在1a =,使得C B ⊆.26．（2020·全国高一）已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }， （1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）1a >；（3）0a =或1a ≥ 【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程ax 2+2x +1=0有且只有一个实根， 当a =0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x =-12， 当a ≠0，此时△=4-4a =0，解得：a =1，此时x =-1， （2）若A 是空集， 则方程ax 2+2x +1=0无解， 此时△=4-4a ＜0，解得：a ＞1. （3）若A 中至多只有一个元素， 则A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥1.27．（2020·全国高一）已知集合{}12A x ax =<<，{}11B x x =-<<，求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.【答案】(]{}[),202,-∞-+∞【解析】①当0a =时，A =∅，满足A B ⊆. ② 当 0a >时，12A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∵A B ⊆，∴11,21,aa⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得2a ≥.③ 当 0a <时，21A xx a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， ∵A B ⊆，∴21,11,aa⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得2a ≤-.综上所述，所求实数a 的取值范围为(]{}[),202,-∞-+∞.。

1.2 集合间的基本关系（基础知识+基本题型） 知识点一 子集1.子集定义 一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆(或B A ⊇),读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”) 图示或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆;(2)对于集合A ,B ,C ,若A B ⊆,且B C ⊆,则A C ⊆.2.V enn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线.提示：(1)注意符号“∈”与“⊆”的区别. “⊆”只用于集合与集合之间，如{0}N ⊆,而不能写成0N ⊆；“∈”只能用于元素与元素之间，如0N ∈,而不能写成{0}N ∈.(2)“A 是B 的子集”：集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由任意x A ∈能推出x B ∈.(3)当A 不是B 的子集时，我们记作“A B ”(或“B A ”)，读作“A 不含于B ”(或“B 不包含A ”),此时A 中至少存在一个元素不是B 中的元素，用图形语言表示如图1.1-2所示.例如，集合{,,}A a b c =不是集合{,,,,}B b c d e f =的子集，因为集合A 中的元素a 不是集合B 中的元素.知识点二 集合相等如果集合A 是集合B 的子集()A B ⊆,且集合B 是集合A 的子集()B A ⊆,此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.拓展：(1)若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =;反之，若A B =,则A B ⊆,且B A ⊆，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A B =,只需要证A B ⊆与B A ⊆均成立即可.(2)若两个集合相等，则这两个集合中所含的元素完全相同，与元素的排列顺序无关.(3) 要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；对于元素较多的有限集或无限集，应从“互为子集”入手进行判断.()A B B A A A AB B B 1.12-图知识点三 真子集定义 如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∈/,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B (或B A )图示结论(1)若A B ⊆,且A B ≠,则AB ; (2)若AB ,且BC ,则A C . 提示(1)在证明AB ，时，应先证明A B ⊆，再证明B 中至少存在一个元素a ，使得a A ∉即可. (2) A B 对任意x A ∈都有x B ∈，但存在0x B ∈，且0x A ∉.(3)注意符号“⊆”与“”的区别. A B ⊆⇒A B =或A B ，例如，若集合{}1,2A =，{}1,2,3B =,则A 是B 的子集，也是真子集，用A B ⊆与A B 均可，但用AB 更准确. 知识点四 空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为φ，并规定：空集是任何集合的子集.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念。

集合的基本关系：包含关系（子集），或B A ⊆(A 包含于A B ⊇B ，B 含于A ，A>B ）(2)子集个数结论：①含有n 个元素的集合有2n 个子集；①含有n 个元素的集合有2n －1个真子集；①含有n 个元素的集合有2n －2个非空真子集．例1：已知集合A ＝{0，m ，m 2－3m ＋2}，且2①A ，则实数m 为( B )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可答案：B 由2①A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]例2：已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，若A ①B ，且B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．【答案】若A ①B ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－22m －1≥5，解得3≤m ≤4.即m 的取值范围是{m |3≤m ≤4}． 变式1.把本例条件“A ①B ”改为“A ＝B ”，求实数m 的取值范围．【答案】由A ＝B 可知⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－22m －1＝5，无解，即不存在m 使得A ＝B . 变式2．把本例条件“A ①B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}”改为“B ①A ，B ＝{m ＋1≤x ≤2m －1}”，求实数m 的取值范围．【答案】 ①若B ＝①，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ①A .①若B ≠①，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.1.2 集合间的基本关系知识讲解 典型例题由①①得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．一、选择题 1．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，则a 等于（ C ）A ．-1B ．23-C ．32-D ．32-或-1 2．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ①A ，b ①B }，则M 中元素的个数为( B )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 因为集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ①A ，b ①B }，所以M 中的元素有：5,6,7,8，共4个．故选B.3．已知M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ①N }，N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ①R }，则( B )A ．M 是有限集，N 是有限集B ．M 是有限集，N 是无限集C ．M 是无限集，N 是无限集D ．M 是无限集，N 是有限集解析：选B 因为M ＝{(x ，y )|2x ＋3y ＝10，x ，y ①N }＝{(2,2)，(5,0)}，所以M 为有限集．N ＝{(x ，y )|4x －3y ＝1，x ，y ①R }中有无限多个点满足4x －3y ＝1，故N 为无限集．4．下列集合中，是空集的是（ B ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】对于A 选项，，不是空集，对于B 选项，没有实数根，故为空集，对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集．5．函数f (x )＝1＋x ＋x 1－x 的定义域是( C ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[－1,1)①(1，＋∞) D ．R【答案】C [由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≠0，得x ≥－1且x ≠1，即定义域为[－1,1)①(1，＋∞)．] 6．设集合{1,1,2}A =-，集合{|B x x A =∈且2}x A -∉，则B =（ C ）A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,2}7．下列说法：①集合{x①N|x 3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；①实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}； {}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y y x x y =-∈R 2x =-210x +={(0,0)}同步练习①方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集为{x ＝1，y ＝2}．其中正确的有( D ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个8．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ①P ，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ①P ，a ＝1或a ＝－1.9．已知集合{}2|1A y y x ==+，集合{}2(,)|1B x y y x ==+，选项中元素与集合的关系都正确的是（ C ） A ．2A ∈，且2B ∈B ．(1,2)A ∈，且(1,2)B ∈C ．2A ∈，且(3,10)B ∈D ．(3,10)A ∈，且2B ∈二、填空题 1．设集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}和P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}，那么M 与P 的关系为________．答案：M ＝P 解析：因为xy >0，所以x ，y 同号，又x ＋y <0，所以x <0，y <0，即集合M 表示第三象限内的点，而集合P 也表示第三象限内的点，故M ＝P .2．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}的子集有且仅有两个，则实数a ＝________.答案：1或－18解析：由集合A 的子集有且仅有两个知A 中只有一个元素，若a －1＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意； 若a －1≠0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1≠0，Δ＝32－4×(－2)×(a －1)＝0，得a ＝－18.①a 的值为1或－18. 3. 已知集合A ＝{－2,3,4m －4}，B ＝{3，m 2}，若B ①A ，则实数m ＝________.答案：2解析：依题意可得m 2＝4m －4，即(m －2)2＝0，①m ＝2.当m ＝2时，A ＝{－2,3,4}，B ＝{3,4}，①B ①A .4．已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当B ①A 时，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≥8解析：集合A 在数轴上表示如图．要使B ①A ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素．即B 中元素必须都位于阴影部分内．那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m 4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8. 5．(2019·浙江四校高一联考)已知M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋1＝0，a ①R }，且NM ，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ≤2解析：M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{3，－1}．①当N ＝①时，N M 成立，①Δ＝a 2－4<0，①－2<a <2.①当N ≠①时，①NM ，①3①N 或－1①N .当3①N 时，32＋3a ＋1＝0，即a ＝－103，此时方程为x 2－103x ＋1＝0，解得N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，13，不满足N M ； 当－1①N 时，(－1)2－a ＋1＝0，即a ＝2，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得N ＝{－1}，满足N M . 故实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.三、解答题1．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，且B ①A .(1)求实数m 的取值范围；(2)当x ①N 时，求集合A 的子集的个数．解：(1)若B ＝①，则m －1>2m ＋1，得m <－2；若B ≠①，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤2m ＋1，2m ＋1≤6，m －1≥－1，得0≤m ≤52. 综上得m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ①N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A 中共有7个元素，其子集个数为27＝128个．2．已知a ①R ，x ①R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a }，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}，求：(1)使A ＝{2,3,4}成立的x 的值；(2)使2①B ，B ①A 成立的a ，x 的值；(3)使B ＝C 成立的a ，x 的值．解：(1)由题意，知x 2－5x ＋9＝3，解得x ＝2或x ＝3. (2)因为2①B ，B ①A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝x 2＋ax ＋a ，3＝x 2－5x ＋9.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，a ＝－23或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－74. (3)因为B ＝C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(a ＋1)x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，a ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，a ＝－2.3．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ①A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ①Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ①R 时，不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝①满足题意；当m ＋1≤2m －1.即m ≥2时，要使B ①A 成立，则有m ＋1≥－2且2m －1≤5，可得－3≤m ≤3，即2≤m ≤3.综上可知，当m ≤3时，B ①A .(2)当x ①Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，故A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．(3)因为x ①R ，A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立， 所以A ，B 没有公共元素．当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝①满足题意；当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使A ，B 没有公共元素，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1＞5或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1＜－2，解得m ＞4. 综上所述，当m ＜2或m ＞4时，不存在元素x 使x ①A 且x ①B 同时成立．。

1.2 集合间的基本关系1．已知集合{|12}{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<，，则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是 A ．34a ≤≤B ．34a <<C ．3a <D ．4a >2．欧拉公式：10i e π+=因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然指数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合{},,,1,0A e i π=，则集合A 不含无理数的子集共有 A ．8个B ．7个C ．4个D ．3个3．已知集合(){}|lg 3A x y x ==+，{}2B x x =≥，则下列结论正确的是 A ．3A -∈ B ．3B ∉ C ．A B B = D ．A B B ⋃= 4．设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R P C Q ⊆D ．R Q C P ⊆5．已知集合1282x M x ⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭Z ,{}14N x x =-≤≤,则M N ⋂中元素个数为 A ．1B ．3C ．6D ．无数个6．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）已知集合{|},A x x a =<2{|320},B x x x =-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥7．已知集合b}=x∈R|ax 2-4x+1=0, a,b ∈R }则a+b ＝ A ．0或1B ．92C ．14D ．14或928．设非空集合A, B 满足A B, 则A ．x 0∈A, 使得x 0B B ．x∈A, 有x∈BC ．x 0∈B, 使得x 0 AD ．x∈B, 有x∈A 9．已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，）C ．22∞（-，）D ．22]∞（-， 10．集合，则的关系是 （ ）A ．B ．C ．D ．P Q φ=11．下列各组集合中，M 与N 表示同一集合的是（ ） A ．M =∅，{0}N =B ．{2,3}M =，{(2,3)}N =C ．{1}M xy x ==+∣，{1,}N y y x x R ==+∈∣ D ．{}2(,)5M x y y x ==-+∣，{}25N y x ==-+ 12．已知{}20x xx a ∅-+=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．14a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．14a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭D ．14a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭13．已知集合{}*N 0A x x y =∈=≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）． A ．1B ．3C ．6D ．1014．以下四个关系：∅∈0}，0∈∅，∅}⊆0}，∅≠⊂0}，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．415．已知集合0,,a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，{}0,1,1B b =-，（a ，b R ∈），若A B =，则2+a b =（ ） A ．2-B ．2C ．1-D ．116．已知集合{P x y ==，集合{Q y y ==，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q = B ．P Q C ．P Q D ．P Q =∅17．已知2{|4,R}M y y x x ==-∈，{|24}P x x =≤≤，则M 与P 的关系是A ．M P =B ．M P ∈C ．MP =∅D ．M P ⊇18．已知{1,2}A =，{1,2,6,7,8}B =，且A C B ⊆，满足这样的集合C 的个数（ ） A ．6B ．7C ．8D ．919．已知集合{|}A x y x =∈Z ，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．满足条件{},,M a b c φ≠⊂⊆的集合M 的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9参考答案1．A 详解：试题分析：由B A ⊆可得13{3425a a a -≤∴≤≤+≥考点：集合的子集关系2．A 3．C 详解：试题分析：(){}{}|lg 3|3A x y x x x ==+=>-，{}|2B x x =≥，故A 选项错误，B 选项错误，B A ⊆，所以A B B ⋂=，故C 选项正确，A B A ⋃=，D 选项错误，故选C.考点：1.函数的定义域；2.集合间的包含关系4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 详解：A B ⊆意味着集合A 中的元素都是集合B 中的元素，由此判断选B9．A 10．C 详解：试题分析：两集合化简得{}{}|1,|0P x x Q y y =≥-=≥∴考点：1.集合子集关系；2.函数的定义域值域11．C 12．B 13．B 14．A 15．D16．B 17．D 18．B 19．C 20．B 详解：试题分析：{},,a b c 的非空子集有3217-=个，故选B ． 考点：集合的关系（子集）．【参考解析】1．2．解析：依题意，即求集合{},1,0i 的子集个数，根据含有n 个元素的集合的子集个数为2n 计算可得. 详解：解：{},,,1,0A e i π=，e 、π为无理数则求集合A 不含无理数的子集个数，即求集合{},1,0i 的子集个数. 因为集合{},1,0i 中含有3个元素，则其子集有328=个 故选：A 点睛：本题考查集合的子集个数的计算，属于基础题. 3．4．解析：24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆详解：24222x x x <⇒<⇒-<<，即{|22}Q x x =-<<.Q P ∴⊆.故B 正确.考点：集合间的关系.5．解析：求出集合M ，利用交集的定义得M N ⋂，即可得到结论. 详解：由题意得，{}{}128|130,1,22xM x x Z x ⎧⎫=∈<<=∈-<<=⎨⎬⎩⎭Z ，{}14N x x =-≤≤，所以{}0,1,2M N =，即M N ⋂中元素的个数是3.故选：B. 点睛：本题考查了交集的元素，求出不等式解集中的整数解确定出两集合是解题的关键，属于基础题.6．解析：集合{}{}{}2|,|320|12A x x a B x x x x x =<=-+<=<<，,A B B B A ⋂=∴⊆，则2a ≥，故选D ．7．解析：解：因为b}为单元素集，说明集合x∈R|ax 2-4x+1=0, a,b ∈R }，也只有一个元素为b ，即方程有两个等根，且为b ，故16- 4a=0,a=4,b=1/2,或者a=0,x=1/4=b,选项为D 8．9．解析：先计算集合A 和集合B ，再根据A B ⊆关系解得答案. 详解：{}{}3log (2)2211A x x x x =-≤=<≤{}202m B x x m x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭A B ⊆，则2,42mm ≤≤ 故选A 点睛：本题考查了集合的包含关系，属于基础题型. 10．11．解析：根据两个集合相等即集合中的所有元素相同可判断. 详解：对于A ，{}0∅≠，M N ∴≠，故A 错误；对于B ，{2,3}M =是数集，{(2,3)}N =是点集，M N ∴≠，故B 错误；对于C ，{1}M xy x R ==+=∣，{1,}N y y x x R R ==+∈=∣，M N ∴=，故C 正确； 对于D ，{}2(,)5M x y y x ==-+∣是点集，{}25N y x ==-+不是点集，M N ∴≠，故D 错误.故选：C. 点睛：本题考查了相等集合的判断，属于基础题.12．解析：根据题意知，方程20x x a -+=有实数根，140a ∴∆=-≥解出即可． 详解：{}20x xx a ∅-+=，∴方程20x x a -+=有实数根，140a ∴∆=-≥，解得14a ≤.故选B. 点睛：本题主要考查一元二次方程有解的条件应用．13．解析：将方程平方整理得()2224820y xy x x -+-=，再根据判别式得04x ≤≤，故1,2,3,4x =，再依次检验得{}2,3,4A =，最后根据集合关系即可得答案.详解：解:根据题意将x 22x x =+ 继续平方整理得：()2224820y xy x x -+-=，故该方程有解. 所以()222641620x x x ∆=--≥，即240x x -+≥，解得04x ≤≤， 因为*N x ∈，故1,2,3,4x =，当1x =时，易得方程无解，当2x =时，240y y -=，有解，满足条件； 当3x =时，242490y y -+=，方程有解，满足条件； 当4x =时，28160y y -+=，方程有解，满足条件； 故{}2,3,4A =，因为B A ⊆且集合B 中恰有2个元素， 所以B 集合可以是{}2,3，{}2,4，{}3,4. 故选：B. 点睛：本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为()2224820y xy x x -+-=，再结合判别式得1,2,3,4x =，进而求出集合{}2,3,4A =.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.14．解析：根据集合的定义及包含关系的相关知识，判断空集与集合的关系. 详解：集合与集合间的关系是⊆，因此∅∈0}错误；∅}表示只含有一个元素(此元素是∅)的集合，所以∅}⊆0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈∅错误；∅≠⊂0}正确．因此正确的只有1个． 故选：A.15．解析：根据A B =，得到两类情况，解方程组，然后检验是否满足题意，即可得到结果. 详解：∵集合0,,a A a b b ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，{}0,1,1B b =-，且A B =，∴1,1a a b b b +=-=，或1,1a a b b b+==-， 先考虑1,1aa b b b+=-=，解得13a b ==，此时20,,13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，20,,13B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意， ∴21a b +=；再考虑1,1a a b b b+==-，解得0,1a b ==， 此时{}0,1,0A =，{}0,0,1B =，不满足题意， 综上，21a b += 故选：D16．解析：分别对集合P 和集合Q 进行化简，然后根据它们所表示的范围，判断出这两个集合的关系，得到答案. 详解：集合{P x y ==，表示函数y =x 的取值范围，10x +≥，得1x ≥-[)1,P =-+∞集合{Q y y ==，表示函数y =y 的取值范围，[)0,Q =+∞所以可得集合P 和集合Q 的关系为P Q ， 故选B 项. 点睛：本题考查集合与集合的关系，属于简单题.17．解析：先求出M 的解集,再判断即可. 详解：2{|4,R}M y y x x ==-∈表示函数24,R y x x =-∈的值域,即[)4,-+∞.又[){|24}4,P x x =≤≤-⊆+∞,故M P ⊇ 故选：D 点睛：本题主要考查二次函数的值域与集合间的基本关系,属于基础题型.18．解析：先判断出C 中必有的元素，余下元素构成的集合为{}6,7,8的非空子集，利用非空子集个数的计算方法可得满足条件的C 的个数. 详解：因为A C ，故1,2C C ∈∈且A C ，又C B ⊆，故C 中除了1,2这两个元素，余下元素构成的集合为{}6,7,8的非空子集， 故满足条件的集合C 的个数为3217-=， 故选：B. 点睛：本题考查集合的包含关系及非空子集的个数计算，注意根据包含关系明确集合中哪些元素是明确的，再找出不确定的元素满足的条件，另外，要掌握有限集的子集（非空子集、真子集、非空真子集等）个数的计算公式.19．解析：由题可得,(1)(2)0x x --≥,结合Z x ∈可求出集合A ,进而可求出集合A 的真子集的个数. 详解：由题意,(1)(2)0x x --≥,解得12x ≤≤,又因为Z x ∈,所以1x =或2x =, 故{1,2}A =,则集合A 的真子集的个数为2213-=. 故选:C. 点睛：集合A 有n 个元素,其子集有2n 个,真子集有21n -个. 20．。

第一章第二节集合间的基本关系一、电子版教材二、教材解读知识点集合间的关系1.判断集合关系的方法.（1）观察法：一一列举观察.（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.（3）数形结合法：利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．3.空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．【例题1】（2020·全国高一）已知，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断 与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【解析】（1）的子集有 ，，，，，，，共8个，其中 .（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.【例题2】（2020·全国高一）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；（2）若A是空集，求a的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【解析】（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，（2）若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解，此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.【例题3】（2020·全国高一）已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有5个元素：{1，2，3，4，5}.故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.【例题4】（2020·全国高一）已知集合，，求满足的实数的取值范围.【解析】①当时，，满足.②当时，，∵，∴解得.③当时，，∵，∴解得.综上所述，所求实数的取值范围为.【例题5】（2020·上海高一课时练习）设，，若，求实数a的取值范围.【解析】∵解得∴由题意得：.当时，.，.当时，满足条件.当时，.，.综上，实数a的取值范围是三、素养聚焦1．已知集合，，则集合与的关系是（）A．P⫋M B．C．D．【答案】A【解析】因为，即集合比集合多一个元素，因此P⫋M.2．集合的子集个数为（）A．4B．6C．7D．8【答案】D【解析】∵，∴集合A的子集个数为个，3．已知集合，，若，则实数a的值为()A．B．1C．0或D．0或1【答案】C【解析】因为，所以.当时，说明方程没有实数根，所以有；当时，说明是方程有唯一实数根，显然不成立，一定不是方程的实数根；当时，说明是方程有唯一实数根，所以，解得；当时，因为方程最多有一个实数根，所以不存在这种情况.综上所述：实数a的值为0或.4．已知集合，则集合的子集共有（）A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】集合中共有元素4个，因此其子集共有个，5．下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】对于A选项，点和点不是同一个点，则；对于B选项，集合和中的元素相同，则；对于C选项，集合为点集，集合为数集，则；对于D选项，集合为数集，集合为点集，则.6．若，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由，若，则，满足题意；若，则，则或，综上，的取值集合为. 7．已知，，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，，，若，则，解得.8．已知集合，非空集合B满足，则集合B有（）个A．3B．6C．7D．8【答案】C【解析】，故共7个，9．已知集合，则集合的非空真子集的个数为（）A．14B．15C．30D．31【答案】C【解析】因为集合有5个元素，所以集合的非空真子集的个数为. 10．已知集合，集合B满足，则B可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，则，，其他选项不满足.11．当集合，，满足，时，则与之间的关系是（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【解析】因为，所以有，又因为，所以有，因此有.12．已知非空集合满足：（1）；（2）若，则，符合上述要求的集合的个数是()A．4B．5C．7D．31【答案】C【解析】非空集合，且若，则，满足要求的集合P有：，，，，，，，共有7个. 13．设集合，，则（）A．B．M⫋NC．D．【答案】B【解析】对于集合M：，k∈Z，对于集合N：，k∈Z，∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⫋N14．设集合，，若，则对应的实数有()A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】B【解析】因为，若，而，，所以，只能或，解得或．15．如果A＝{x|x>－1}，那么（）A．0⊆A B．{0}∈A C．∈A D．{0}⊆A【答案】D【解析】由题意，集合的表示方法及元素与集合的关系，可得，所以不正确；由集合与集合的包含关系，可得，所以不正确，其中是正确的.16．集合的真子集的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】由于，，又，，，即集合故真子集的个数为：17．设全集为R，集合，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.18．设集合，，则（）A．B．B⫋A C．A⫋B D．∅【答案】C【解析】对于集合，当时，，当时，，所以集合或则⫋19．已知，若集合，则（）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】∵，又，，，当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；当时，，符合题意.∴.20．已知集合，则中元素的个数为A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.21．已知集合【注释：应该是】，，若，则实数的取值范围为()A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式，得，.，可得.22．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.23．下列各式中，正确的是（）A．B．且C．D．【答案】D【解析】因为2与集合的关系是属于或者不属于，故A选项错误；因为且是空集，3不是集合中的元素，故B选项错误；因为集合都表示奇数构成的集合，相等，故C选项错误；因为集合都表示被3整数余1的整数构成的集合，故D选项正确.24．设集合，．若，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即∴∴，故选C25．集合，，若A∩B=B，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为,又，则由，可得；时满足条件．26．已知集合，,若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,又，所以，因此，选C.27．已知集合，，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】，∴由，解得，即，，，，故实数的取值范围是，故选C．28．已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，29．已知集合其中，，其中则与的关系为()A．B．C．D．【答案】A【解析】任取当同为奇数或同为偶数时，当一奇一偶时，因为所以，所以所以任取，，所以所以30．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（）A．B．A⫋B=C C．A⫋B⫋C D．B∉C∉A【答案】B【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得A⫋B=C．31．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为（）A．508B．512C．1020D．1024【答案】B【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.32．已知非空集合，，，则集合可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，首先，有或，排除A、C，由于不等式不宜解答，所以采用排除法，取进行检验，，而，不符合不等式的要求，排除D，选B.33．（多选题）定义集合运算：，设则（）A．当时，B．可取两个值，可取两个值，对应4个式子C．中有4个元素D．的真子集有7个 E.中所有元素之和为4【答案】BD【解析】当,时，,故A错误;可取,可取,则可取,,,四个式子,选项B正确;,共3个元素,选项C错误;的真子集有个,选项D正确;中所有元素之和为,选项E错误.34．（多选题）已知集合，，下列命题正确的是（）A．不存在实数a使得B．存在实数a使得C．当时，D．当0≤4≤4时，E.存在实数a使得【答案】AE【解析】A选项由相等集合的概念可得解得且，得此方程组无解，故不存在实数使得集合A=B，因此A正确；B选项由，得即，此不等式组无解，因此B错误；C选项当时，得为空集，不满足，因此C错误；D选项当，即时，，符合；当时，要使，需满足解得，不满足，故这样的实数不存在，则当时不正确，因此D错误；E选项由D选项分析可得存在实数使得，因此E正确.综上AE选项正确.35．（多选题）下列选项中的两个集合相等的有（）A．，B．，C．，D．，【答案】AC【解析】选项A中集合，都表示所有偶数组成的集合，所以；选项B中是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，，所以；选项C中，当为奇数时，当为偶数时，，所以，；选项D中集合表示直线上点的横坐标构成的集合，而集合表示直线上点的坐标构成的集合，所以.。

第02讲 1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。

1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。

2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。

3. 能利用Venn 图表达集合间的关系。

4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。

知识点01：venn 图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn 图。

Venn 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。

利用Venn 图，可以使问题简单明了地得到解决。

对Venn 图的理解(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集（1）记法与读法：记作A B ⊆(或B A ⊇)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即A A ⊆.②对于集合A ，B ，C ，若A B ⊆，且B C ⊆，则A C ⊆（3）venn 图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“Δ表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）写出集合{,}a b 的所有子集．【答案】{}{}{},,,,a b a b f 【详解】集合{,}a b 的所有子集有：{}{}{},,,,a b a b f 知识点03：集合相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作A B =.也就是说,若A B ⊆,且B A ⊆,则A B =.（1）A B =的venn 图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2024秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）A ．{}{}1||1x x y y x y +==+=B ．(){}{},2||2x y x y x x y +==+=C ．{|2}{|2}x x y y >=>D ．{}{}1,22,1=【答案】B【详解】对于A ，因{}1|R x x y +==，{}1|R y x y ==+，即{}{}1||1x x y y x y +==+=，A 正确；对于B ，因集合(){},2|x y x y +=的元素为有序数对，而{}2|x x y +=的元素为实数，两个集合的对象不同，B 不正确；对于C ，因集合{|2}x x >与{|2}y y >都表示大于2的数形成的集合，即{|2}{|2}x x y y >=>，C 正确；对于D ，由列举法表示集合知{}{}1,22,1=正确，D 正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合A B ⊆，但存在元素x B Î，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集;（1）记法与读法：记作A B Ü，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)【即学即练3】（2024·全国【答案】7【详解】由{}a ￿{,,M a b ⊆M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于因此M 中的元素来自于b ,c,d 即在b ,c,d 中取1元素时，M 故足条件：{}a ￿{,,M a b ⊆故答案为：7.{}{}Ì，故③正确，④错误，正确的个数为2.11,2,3故选：B题型01 判断两个集合的包含关系【详解】由题意知，，M xì=【典例1】（2024·陕西咸阳·统考三模）设集合*{|13}A x N x =Î-<£，则集合A 的真子集个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．15【答案】B【详解】因为*{|13}A x N x =Î-<£，【典例1】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，若使B A ⊆成立的实数a 的取值集合为M ，则M 的一个真子集可以是（ ）A ．{4}x x £∣B ．{3}xx £∣C ．{|34}x x <£D ．{|45}x x £<【答案】BC【详解】由题意集合{17}A xx =-££∣，{221}B x a x a =+££-∣，因为B A ⊆，所以当B =∅时，221a a +>-，即3a < ；当B ≠∅时，有12217a a -£+£-£ ，解得34a ££，故(,4]M =-¥,则M 的一个真子集可以是(,3]-¥或(]3,4，故选：BC.【典例2】（2024·高一课时练习）设{1,2}A =，{|}B x x A =⊆若用列举法表示，则集合B 是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A ＝{1,2}，B ＝{x |x ⊆A }，则集合B 中的元素是集合A 的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B ＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2024秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合{2,4}M =，集合M N N ⊆，是{1,2,3,4,5}的真子集，则集合N 可以是（ ）A ．{2,4}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】ABC【详解】集合{2,4}M =，集合M N ⊆￿{1,2,3,4,5}，则集合N 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于{1，2，3，4，5}中的元素，所以集合N 可以是{2,4},{2,3,4},{1,2,3,4},故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2024·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )A ．2{|10}x R x Î-=B ．{|61}x x x ><或C ．22{(,)|0}x y x y +=D ．{|61}x x x ><且【答案】D【详解】A 选项：21{|10}x R x ±ÎÎ-=，不是空集；B 选项：7$Î{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D【典例2】（2024春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①{}{}00,1,2Î；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2024·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①{}{},,a b b a =；②{}{},,a b b a ⊆；③{}∅=∅；④{}0=∅；⑤{}0∅⊆；⑥{}00Î．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{}∅表示的是含∅这个元素的集合，所以{}∅=∅不成立.④错误，∅表示空集，而{}0表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以{}0=∅不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，{}00Î．故选：C.【变式1】（多选）（2024·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）A ．0Î∅B ．{}∅Î∅C ．{}∅⊆∅D ．{}0∅⊆【答案】BCD【详解】选项A ：空集中没有元素，故A 错误；选项B ：{}∅中只有一个元素∅，故B 正确；选项C ，D ：空集是任意集合的子集，故C ，D 正确故选：BCD题型05 空集的性质及应用【典例1】（2024·全国·高一专题练习）已知集合{|21}M x m x m =<<+，且M =∅，则实数m 的取值范围是____.【答案】m ≥1【详解】∵M ＝∅，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.故答案为m ≥1【典例2】（2024·高一课时练习）不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】{|1}a a £-【详解】解：∵不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，①当0a >时，由0ax >求得0x >；由10x a ++>，求得1x a >--，故不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|0}x x >≠∅，故不满足条件；②当a<0时，由0ax >求得0x <；由10x a ++>，求得1x a >--，若10a --³，即1a £-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为∅，满足条件；若10a --<，即01a >>-时，不等式组10(0)0x a a ax ++>ì≠í>î的解集为{|10}x a x --<<≠∅，不满足条件，综上可得实数a 的取值范围是{|1}a a £-，故答案为：{|1}a a £-．【变式1】（2024秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合{}R 2x a x Σ£ 为空集，则实数a 的取值范围是______.【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,32B a =-，若A B =，则a 等于（ ）A ．1或2B ．1-或2-C ．2D ．1【答案】C【详解】解：因为A B =，所以232a a =-，解得1a =或2a =.当1a =时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =不正确.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2024·全国·高一专题练习）给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S Î，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S 中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有{}{}{}{}1,2,3,2,3,43,4,545,6,5,6,7,6,7,8{},{},,，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2024·高一课时练习）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A Î，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”，则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知集合{|4A x x =³或}5x <-，{}|13B x a x a =+££+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <-或}3a ³【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，要使B A ⊆，只需35a +<-或14a +³，解得8a <-或3a ³．所以实数a 的取值范围{|8a a <-或}3a ³.故答案为：{|8a a <-或}3a ³ 综上，实数a 的取值范围为{4a a -或}2a >.本节数学思想方法（分类讨论法）{},|34B A A x x ⊆=-££Q ，213m \-³-且14m +£，解得：13m -≤≤，所以12m -£<,②若B 为空集，符合题意，可得：211m m -³+，解得：2m ³.综上，实数m 的取值范围是1m ³-.故答案为：[)1,-+¥.。

第1章 1.1.2 集合间的基本关系一．选择题1．已知集合{|6A x x =<且*}x N ∈，则A 的非空真子集的个数为A ．30B ．31C ．62D ．63【答案】A 【解析】集合{|6A x x =<且*}{1x N ∈=，2，3，4，5}，故A 的子集个数为5232=，非空真子集个数为30．故选A ．2．集合{|22}A x Z x =∈-<<的子集个数为A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】{|22}{1A x Z x =∈-<<=-，0，1}， ∴集合A 的子集个数为328=个，故选D ．3．已知集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，若A B ⊆，则实数m 的值为A ．2B ．0C ．0或2D ．1【答案】B 【解析】集合{0A =，1}，{B m =，1，2}，A B ⊆，0m ∴=， 故实数m 的值为0．故选B ．4．设集合{|21M x x k ==+，}k Z ∈，{|2N x x k ==+，}k Z ∈，则A ．M NB ．M N =C ．N MD ．M N =∅【答案】A 【解析】集合{|21M x x k ==+，}{k Z ∈=奇数}，{|2N x x k ==+，}{k Z ∈=整数}，M N ∴．故选A ．5．设a ，b R ∈，集合{1，a b +，}{0a =，b a ，}b ，则b a -= A ．1B ．1-C ．2D ．2- 【答案】C 【解析】根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a +=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故选C ．6．已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x N ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】x N ∈， 0x ∴=时，1y =-，0，11x =时，1y =-，0，11x >时，不存在实数解x∴共有6种故选D ．7．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈，则集合B 所含元素个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 【解析】集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，}y A x∈， {(1,2)B ∴=，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)}， ∴集合B 所含元素个数为10．故选D ．8．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A ∅，则A ≠∅．其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】在①中，空集的子集是空集，故①错误； 在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误； 在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误； 在④中，若A ∅，则A ≠∅，故④正确．故选B ．9．已知集合{2A =-，3，1}，集合{3B =，2}m ，若B A ⊆，则实数m 的取值集合为A ．{1}B ．C ．{1，1}-D ． 【答案】C【解析】{2A =-，3，1}，{3B =，2}m ， 若B A ⊆，则21m =1m ∴=或1m =-实数m 的取值集合为{1，1}-故选C ．10．满足{1}{1X ⊆⊂，2，3，4，5}的集合X 有A ．15个B ．16个C ．18个D ．31个【答案】A 【解析】根据子集的定义，可得集合X 必定含有1这个元素，可能含有2、3、4、5，但不能是{1，2，3，4，5}．因此，满足条件的集合X 有：42115-=个． 故选A ．二．填空题11．已知集合{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈，则集合B 的子集个数为 ．【答案】16【解析】{0A =，2，3}，{|B x x a b ==，a ，}b A ∈， {0B ∴=，4，6，9}．所以集合B 中的子集个数为4216=个．故答案为：16．12．已知集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<，若B A ⊆，则m 的取值范围为 ．【答案】(-∞，1]【解析】集合{|13}A x x =-<<，{|}B x m x m =-<<， 若B A ⊆，则A 集合应含有集合B 的所有元素， 讨论B 集合：（1）当B =∅时，m m -，即：0m ，（2）当B ≠∅时，则由数形结合可知：需B 集合的端点a 满足： ①m m -<，②1m --，③3m ，三个条件同时成立． 解得：01m <综上由（1）（2）可得实数m 的取值范围为：1m 即：(-∞，1]故答案为：(-∞，1]13．设集合{1A =-，}a ，{2B =，}b ，若A B =，则a b += ．【答案】1【解析】根据已知条件得：2a =，1b =-，1a b ∴+=； 故答案为：1．14．设{1M =，2，3，⋯，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数最多是 ．【答案】1870【解析】199515133=⨯．故取出所有不是15的倍数的数，共1862个， 这些数均符合要求．在所有15的倍数的数中，215的倍数有8个，这些数又可以取出，这样共取出了1870个．即||1870A ．又{k ，15}(9k k =，10，11，⋯，133)中的两个元素不能同时取出， 故||199513381870A -+=．故答案为：1870．15．设集合{|32}A x x =-，{|2121}B x k x k =-+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】112k - 【解析】2121k k -+恒成立，B ∴≠∅， 因为A B ⊇，∴213212k k --⎧⎨+⎩， 解得112k - 故答案为：112k-． 三．解答题16．（1）已知集合2{|310A x ax x =-+=，}a R ∈，若A 中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）集合2{|650}A x x x =-+<，{|3243}C x a x a =-<<-，若C A ⊆，求a 的取值范围．【答案】（1）0a =或94a =；（2）2a【解析】（1）若A 中只有一个元素，则方程2310ax x -+=有且只有一个实根当0a =时方程为一元一次方程，满足条件 当0a ≠，此时△940a =-=，解得：94a =0a ∴=或94a =； （2）2{|650}{|15}A x x x x x =-+<=<<， C A ⊆，当C =∅时，3243a a ->-，解得1a <；当C ≠∅时∴321435a a -⎧⎨-⎩ 解得：2a .17．已知集合2{|40}A x x =-=，集合{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】{1，1-，0}【解析】2402x x -=⇒=±，则{2A =，2}-， 若B A ⊆，则B 可能的情况有B =∅，{2}B =或{2}B =-， 若B =∅，20ax -=无解，此时0a =，若{2}B =，20ax -=的解为2x =，有220a -=，解可得1a =，若{2}B =-，20ax -=的解为2x =-，有220a --=，解可得1a =-，综合可得a 的值为1，1-，0；则实数a 的取值集合为{1，1-，0}．18．已知集合2{|3100}A x x x =--．（Ⅰ）若{|621}B x m x m =--，A B ⊆，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）[3，4]；（Ⅱ）(-∞，3]．【解析】集合2{|3100}{|25}A x x x x x =--=-， （Ⅰ）A B ⊆，∴62215m m --⎧⎨-⎩，解得：34m ，∴实数m的取值范围为：[3，4]；（Ⅱ）B A⊆，①当B=∅时，121m m+>-，即2m<，②当B≠∅时，12112215m mmm+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩，解得：23m，综上所述，实数m的取值范围为：(-∞，3]．。

1.2 集合间的基本关系一、选择题1．能正确表示集合M＝｛x|x∈R且0≤x≤1｝和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（)解析：N＝｛x∈R｜x2＝x}＝{0,1},M＝{x|x∈R且0≤x≤1｝，∴N M.答案：B2．已知集合A＝｛1，2，3}，B＝{3，x2，2}，若A＝B,则x的值是（）A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1,所以x＝±1，故选C.答案:C3．已知集合A＝{－1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为（）A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为｛0｝,｛0，1}，{0，－1｝，{－1，0,1}，共4个．答案:B4．设A＝{x|2〈x〈3｝，B＝｛x｜x〈m｝，若A⊆B，则m的取值范围是（)A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3解析：因为A＝{x｜2<x<3｝,B＝{x｜x<m}，A⊆B，将集合A,B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3。

答案：B二、填空题5．已知集合：(1)｛0}；(2）｛∅｝；(3）{x｜3m〈x<m｝；（4）｛x|a ＋2<x〈a｝；(5）｛x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中,一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1）中有元素0,集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合（3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合（4）中,不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合（4)是空集；对于集合（5）,x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：（4）（5)6．已知集合A＝{1，3,5}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，｛1}，{3},｛5}，{1，3}，｛1,5}，｛3，5}，｛1,3，5}．注意到A中的每个元素出现在A的4个子集,即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：367．若集合A｛1,2,3｝，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1｝，{3｝,{1,2｝，{3,2｝；若A中含有两个奇数，则A＝｛1，3｝．答案:5三、解答题8．已知{1，2}⊆A{1,2,3，4｝，写出所有满足条件的集合A.解析：∵｛1，2｝⊆A，∴1∈A,2∈A.又∵A{1，2,3，4｝，∴集合A中还可以有3,4中的一个，即集合A可以是｛1,2｝,{1，2,3｝，｛1，2,4｝．9．已知M＝｛2,a，b｝，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b 的值．解析：方法一根据集合中元素的互异性，有错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!再根据集合中元素的互异性，得错误!或错误!方法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴错误!即错误!∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时,由②得a＝0或b＝错误!。

1．下列六个关系式，其中正确的有()①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下解析：选C.①②⑤⑥正确．2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是()A．对任意的a∈A，都有a∉BB．对任意的b∈B，都有b∈AC．存在a0，满足a0∈A，a0∉BD．存在a0，满足a0∈A，a0∈B解析：选C.A不是B的子集，也就是说A中存在不是B中的元素，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，取A＝{1}，B＝{2,3}可否定．3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是()A．a≥2 B．a≤1C．a≥1 D．a≤2解析：选A.A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，要使A B，则应有a≥2.4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________．解析：∵Δ＝9－4(2－a2)＝1＋4a2＞0，∴M恒有2个元素，所以子集有4个．答案：41．如果A＝{x|x>－1}，那么()A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：选D.A、B、C的关系符号是错误的．2．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>B B．A BC．B A D．A⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x∈B⇒x∈A，但x∈A⇒x∈B不成立．3．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,3,5,7,9}，B＝{2,3,5}，则A－B等于() A．A B．BC．{2} D．{1,7,9}解析：选D.从定义可看出，元素在A中但是不能在B中，所以只能是D.4．以下共有6组集合．(1)A＝{(－5,3)}，B＝{－5,3}；(2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；(3)M＝∅，N＝{0}；(4)M＝{π}，N＝{3.1415}；(5)M＝{x|x是小数}，N＝{x|x是实数}；(6)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中表示相等的集合有()A．2组B．3组C．4组D．5组解析：选A.(5)，(6)表示相等的集合，注意小数是实数，而实数也是小数．5．定义集合间的一种运算“*”满足：A*B＝{ω|ω＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则A*B的子集的个数是()A ．4B ．8C ．16D ．32解析：选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算，有0·2·(0＋2)＝0·3·(0＋3)＝0,1·2·(1＋2)＝6,1·3·(1＋3)＝12，因此可知A *B ＝{0,6,12}，因此其子集个数为23＝8，选B.6．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A解析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .7．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y x＝1}，则A 、B 间的关系为________． 解析：在A 中，(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A .答案：B A8．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，则a 的值为________．解析：A ⊇B ，则a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a ，解得a ＝2或a ＝－1或a ＝1，结合集合元素的互异性，可确定a ＝－1或a ＝2.答案：－1或29．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，B ＝{x |a ≤x ＜a ＋4}，若A B ，则实数a 的取值范围是________．解析：作出数轴可得，要使A B ，则必须a ＋4≤－1或a ＞5，解之得{a |a ＞5或a ≤－5}．答案：{a |a ＞5或a ≤－5}10．已知集合A ＝{a ，a ＋b ，a ＋2b }，B ＝{a ，ac ，ac 2}，若A ＝B ，求c 的值．解：①若⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝ac a ＋2b ＝ac2，消去b 得a ＋ac 2－2ac ＝0， 即a (c 2－2c ＋1)＝0.当a ＝0时，集合B 中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a ≠0，c 2－2c ＋1＝0，即c ＝1；当c ＝1时，集合B 中的三个元素也相同，∴c ＝1舍去，即此时无解．②若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝ac 2a ＋2b ＝ac ，消去b 得2ac 2－ac －a ＝0， 即a (2c 2－c －1)＝0.∵a ≠0，∴2c 2－c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0.又∵c ≠1，∴c ＝－12. 11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若A B ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.12．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且BA ，求实数m 的值．解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}． ∵B A ，∴mx ＋1＝0的解为－3或2或无解．当mx ＋1＝0的解为－3时，由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13； 当mx ＋1＝0的解为2时，由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 当mx ＋1＝0无解时，m ＝0.综上所述，m ＝13或m ＝－12或m ＝0.。