拉格朗日插值实验报告

实验名称： 实验一 拉格朗日插值

1 引言

我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f (x)在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P (x)作为f (x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。

2 实验目的和要求

运用Matlab 编写三个.m 文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f (0.15)，f (0.31)，f (0.47)的近似值。已知函数表如下：

3 算法原理与流程图

（1）原理

设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x 0,x 1,…,x n ≤b 上分别取值y 0,y 1,…,y n 。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P (x)，满足插值条件P (x i )=y i (i=0,1,…,n)，而在其他点x≠x i 上，作为f (x)近似值。求插值函数P (x)的方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。 ①分段低次插值

当给定了n+1个点x 0

1

1

11

1)()(------+--=≈i i i i i i i i x x x x y x x x x y x P x f

这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。

类似地，我们可以选取距离x 最近的三个节点x i-1，x i 与x i+1，然后进行二次插值，即得

∑∏+-=+≠-

=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛

--=≈1

1

112)()(i i k i k j i j j k j k x x x x y x P x f 这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。

②全区间上拉格朗日插值

对节点x i (i=0,1,…,n)中任一点x k (0≤k≤n)，作一n 次多项式l k (x)，使它在该点上的取值为

1，在其余点x i (i=0,1,…,k -1,k+1,…,n)上取值为零。对应于每一节点x k (k=0,1,…,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l 0(x),l 1(x),…,l n (x)，其中

0111()()()()()

()k k k k n l x A x x x x x x x x x x -+=----•-；

由条件()1k k l x =可得

0111

()

()()

()

k k k k k k k n A x x x x x x x x -+=

----

于是我们可以得出如下的拉格朗日n 次插值多项式（对于全区间上的插值，n 取函数表的长度）

00110110

011()()()()

()()()()()()()()n n n n

k k n k

k k k k k k k n P x y l x y l x y l x x x x x x x x x y x x x x x x x x -+=-+=++

----=

----∑

（2）流程图

分段线性插值

分段二次插值 全区间拉格朗日插值

4 程序代码及注释

%分段线性插值

function y=piece_linear(x0,y0,x) % x0，y0为已知点，x 为待求点

n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);

5算例分析1、测试示例

3、分段线性插值

4、分段二次插值

5、全区间拉格朗日插值

6讨论与结论

1

2、程序优化

由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而

当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。所以加入以下判断以提高插值的准确性

n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);

if n~=p

fprintf('Error! Please input again!\n');

if zx0(n)

fprintf('Error!x(%d) is out of range!\n',i);

break;

end

3、作图比较

上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到0.5，步长为0.001，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。

参考文献

[1] 易大义，沈云宝，李有法. 计算方法(第2版)，浙江大学出版社. p.29-53.

[2] 张琨高思超毕靖编著MA TLAB2010从入门到精通电子工业出版社