插值算法之拉格朗日插值

拉格朗日插值法总结拉格朗日插值法2008-05-12 16：44一、问题的背景在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。

但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)。

或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算；希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。

二、插值问题的数学提法：已知函数在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi),(i=0,1,…,n)求一个简单函数y=P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)。

即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差：R(x)=f(x)-P(x)其中P(x)为f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。

若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。

若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。

若P(x)是三角多项式，就称三角插值。

三、插值方法面临的几个问题第一个问题：根据实际问题选择恰当的函数类。

本章我们选择代数多项式类，其原因有两个：(1)代数多项式类简单；微分、积分运算易于实行；(2)根据著名的Weierstrass逼近定理，任何连续的函数都可以用代数多项式作任意精确的逼近。

第二个问题：构造插值函数P(x),使其满足：P(xi)=yi,(i=0,1,…,n)与此相关的问题是：插值问题是否可解(存在性的问题)，如果有解,是否唯一?(唯一性的问题)第三个问题：插值误差R(x)=f(x)-P(x)的估计问题。

与此相关的问题是插值过程的收敛性的问题。

拉格朗日插值函数名词解释
拉格朗日插值函数是一种常见的数据插值方法，它是由法国数学家特罗布拉格朗日（Truvé de la Grange）提出的。

拉格朗日插值采用多项式函数对指定的输入范围内的数据点进行插值，以解决插值问题。

拉格朗日插值函数的基本理念是，给定一定数量的指定范围内的点，构造一个多项式，使其能够精确地经过这些点，以实现相应的插值操作。

拉格朗日插值函数的主要思想是，在指定的范围内，对所给定的数据点以二次多项式的形式进行插值，即建立一个类似二次曲线的函数，使其能够精确经过指定范围内的两个定点。

首先，拉格朗日插值函数用三次多项式去拟合一只定点，而拉格朗日插值函数也可以用二次多项式来拟合两个定点，以克服一次拟合多点插值时函数值极值的缺点。

拉格朗日插值函数将所有给定点进行拟合，使得这些点在插值的范围内的精度最高。

拉格朗日插值函数的应用极为广泛，它可以求解积分、求解方程、近似函数拟合、数据分析等问题。

例如，拉格朗日插值函数可以用于分析某个物质在不同压力状态下的体积改变。

另外，拉格朗日插值函数也可以用于计算某个函数的极值或极点。

拉格朗日插值函数还可以用于拟合未知函数、研究复杂多变量函数，以及解决曲线和曲面积分等数学问题。

总而言之，拉格朗日插值函数是一种广泛应用的数据插值方法，它能够很好地拟合指定范围内的数据点，为计算极值和解决一些复杂
的数学问题提供了有效的方法。

常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。

具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。

利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。

2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。

差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。

通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。

3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。

样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。

这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。

三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。

拉格朗日插值算法描述一、引言插值算法是数学中用于填充函数在某些离散点之间的“洞”或“空白”的一种方法。

其中，拉格朗日插值算法是最著名和最早的插值方法之一。

它是由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于1795年提出的，用于解决多项式插值问题。

拉格朗日插值算法在数值分析、计算几何、信号处理和数值预测等领域有广泛的应用。

二、算法简介拉格朗日插值算法是一种通过已知的离散数据点构造一个多项式来逼近未知函数的方法。

该算法的基本思想是，对于一组已知的离散数据点，构造一个次数最低的多项式，使得这个多项式满足给定的数据点。

该算法的优点是简单易懂，且具有较高的计算效率。

三、算法步骤1.初始化：选择一组已知的离散数据点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并设置一个初始值为 yp(x) = yn，其中 n 是数据点的个数。

2.迭代计算：对于 i = n-1, n-2, ..., 0，进行以下步骤：3. a. 计算拉格朗日基本多项式 Li(x)：如果 i = 0，则 Li(x) = 1；否则，Li(x) = (xi+1 - x) / (xi+1 - xi) 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1，且 Li(xi) = 0。

4. b. 更新插值多项式：yp(x) = yp(x) + Li(x) * [yn - yp(xn)] 当 x ≠ xi 且 i = 0,1,...,n-1。

5.返回结果：最终得到的插值多项式即为所求的结果。

四、算法特点1.高效性：与牛顿插值算法相比，拉格朗日插值算法的计算复杂性更低。

因为牛顿法的计算复杂性为O(n^2)，而拉格朗日法的计算复杂性为O(n^3)。

2.稳定性：拉格朗日插值算法具有一定的数值稳定性，特别是在处理病态问题时表现较好。

这是因为拉格朗日插值多项式的零点与原始数据点完全一致，从而在处理具有较多重复数据点的情况时能够保持良好的数值稳定性。

拉格朗⽇（Lagrange）插值算法拉格朗⽇插值（Lagrange interpolation）是⼀种多项式插值⽅法，指插值条件中不出现被插函数导数值，过n+1个样点，满⾜如下图的插值条件的多项式。

也叫做拉格朗⽇公式。

这⾥以拉格朗⽇3次插值为例，利⽤C++进⾏实现：1//利⽤lagrange插值公式2 #include<iostream>3using namespace std;45double Lx(int i,double x,double* Arr)6 {7double fenzi=1,fenmu=1;8for (int k=0;k<4;k++)9 {10if (k==i)11continue;12 fenzi*=x-Arr[k];13 fenmu*=Arr[i]-Arr[k];14 }15return fenzi/fenmu;16 }1718int main()19 {20double xArr[4]={};21double yArr[4]={};22//输⼊4个节点坐标23 cout<<"请依次输⼊4个节点的坐标:"<<endl;24for (int i=0;i<4;i++)25 cin>>xArr[i]>>yArr[i];2627//输⼊要求解的节点的横坐标28 cout<<"请输⼊要求解的节点的横坐标:";29double x;30 cin>>x;31double y=0;32for (int i=0;i<4;i++)33 y+=Lx(i,x,xArr)*yArr[i];34 printf("x=%lf时，y=%lf\n",x,y);3536//分界，下⾯为已知y求x37 cout<<"请输⼊要求解的节点的纵坐标:";38 cin>>y;39 x=0;40for (int i=0;i<4;i++)41 x+=Lx(i,y,yArr)*xArr[i];42 printf("y=%lf时，x=%lf\n",y,x);4344 system("pause");45return0;46 }作者：耑新新，发布于转载请注明出处，欢迎邮件交流：zhuanxinxin@。

数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。

其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。

插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。

插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。

假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。

设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。

每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。

相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。

给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。

首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。

定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。