江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)

2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学奥赛班高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3 2．（5分）设（x，y）在映射f下的象是（2x+y，x﹣2y），则在f下，象（2，1）的原象是（）A．B．（1，0）C．（1，2）D．（3，2）3．（5分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0B．a＞1，且b＞0C．0＜a＜1，且b＜0D．a＞1，且b＜04．（5分）已知集合，B={y|y=3x，x＜0}，则A∩B=（）A．B．C．D．5．（5分）已知f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）6．（5分）已知f（x）=log a（8﹣3ax）在[﹣1，2]上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）设f（x）=，则f[f（ln2+2）]=（）A．log515B．2C．5D．log5（3e2+1）9．（5分）定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣5）=（）A．﹣20B．10C．20D．3010．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 11．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，则函数在区间上的最大值为．14．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是．15．（5分）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为．16．（5分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.）17．（10分）已知函数的定义域为集合A，函数（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．18．（12分）（1）计算；（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．19．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1），函数y=g（x）的图象与函数f（x）的图象关于原点对称．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；②当x＜0时，f（x）＞1．（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．2017-2018学年江西省上饶市上饶县中学奥赛班高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【解答】解：当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数．故选：A．2．（5分）设（x，y）在映射f下的象是（2x+y，x﹣2y），则在f下，象（2，1）的原象是（）A．B．（1，0）C．（1，2）D．（3，2）【解答】解：由题意可得，解得，∴在f下，象（2，1）的原象是（1，0）．故选：B．3．（5分）若函数y=a x+b﹣1（a＞0且a≠1）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A．0＜a＜1，且b＞0B．a＞1，且b＞0C．0＜a＜1，且b＜0D．a＞1，且b＜0【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b﹣1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．故选：C．4．（5分）已知集合，B={y|y=3x，x＜0}，则A∩B=（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，解得x，所以集合A=[，+∞），因为y=3x，x＜0，所以0＜y＜1，则集合B=（0，1），所以A∩B=[，1），故选：D．5．（5分）已知f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）【解答】解：逐段考查所给的函数：指数函数的单调递增，则：a＞1，一次函数单调递增，则：，且当x=1时应有：，解得：a≥4，综上可得，实数a的取值范围是[4，8）．故选：B．6．（5分）已知f（x）=log a（8﹣3ax）在[﹣1，2]上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）【解答】解：令y=log a t，t=8﹣3ax，（1）若0＜a＜1，则函y=log a t，是减函数，由题设知t=8﹣3ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=log a t是增函数，则t为减函数，需a＞0且8﹣3a×2＞0，可解得1＜a＜综上可得实数a 的取值范围是（1，）．故选：B．7．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故排除C．当x=﹣1时，y=﹣2，故排除A，当x趋向于正穷时，函数的值趋向于0，故排除D，故选：B．8．（5分）设f（x）=，则f[f（ln2+2）]=（）A．log515B．2C．5D．log5（3e2+1）【解答】解：f（ln2+2）=4e ln2+2﹣2=4e ln2=4×2=8，f（8）=log5（3×8+1）=log525=2，故f[f（ln2+2）]=2，故选：B．9．（5分）定义在R的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（﹣5）=（）A．﹣20B．10C．20D．30【解答】解：由题意，令x=y=0，可得f（0）=0，由f（1）=2，令x=﹣1，y=1，可得：f（0）=f（﹣1）+2﹣2，可得f（﹣1）=0，令x=﹣1，y=﹣1，可得f（﹣2）=2，那么f（﹣4）=2f（﹣2）+8=12，则f（﹣5）=f（﹣1）+f（﹣4）=0+12+8=20故选：C．10．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，设a=f（﹣），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：解：∵当1＜x1＜x2时，[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＞0恒成立，∴当1＜x1＜x2时，f （x2）﹣f （x1）＞0，即f （x2）＞f （x1），∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∵f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，∴a=f（﹣）=f（），又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，∴f（2）＜f（）＜f（3），即f（2）＜f（﹣）=＜f（3），∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：A．11．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f （x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=0；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①不正确；接下来判断三个命题的真假②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：C．12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选：D．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．（5分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，则函数在区间上的最大值为5．【解答】解：设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．∵x∈，∴∈[﹣1，3]，设t=，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．故答案为：514．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m 的取值范围是[，3] ．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3]15．（5分）函数f（x）=|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0，1]，则b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=|log3x|的图象如图而f（）=f（3）=1由图可知a∈[，1]，b∈[1，3]b﹣a的最小值为a=，b=1时，即b﹣a=故答案为16．（5分）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=2．【解答】解：函数==1+，则f（x）﹣1=为奇函数，则f max（x）﹣1+f min（x）﹣1=0，即M﹣1+m﹣1=0，则M+m=2，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题10分.解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.）17．（10分）已知函数的定义域为集合A，函数（﹣1≤x≤0）的值域为集合B．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若集合C={x|a≤x≤2a﹣1}，且C∩B=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）要使函数f（x）=有意义，则log 2（x﹣1）≥0，解得x≥2，∴其定义域为集合A=[2，+∞）；对于函数g（x）=（）x，∵﹣1≤x≤0，∴≤，化为1≤g（x）≤2，其值域为集合B=[1，2]．∴A∩B={2}．（2）∵C∩B=C，∴C⊆B．当2a﹣1＜a时，即a＜1时，C=∅，满足条件；当2a﹣1≥a时，即a≥1时，要使C⊆B，则，解得．综上可得：a∈．18．（12分）（1）计算；（2）已知log189=a，18b=5，试用a，b表示log365．【解答】解：（1）====；（2）由18b=5得：log185=b，∴log365=====．19．（12分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax2+bx+3．又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，即2ax+a+b=4x+1，∴，∴．∴f（x）=2x2﹣x+3．（2）f（x）＞6x+m等价于2x2﹣x+3＞6x+m，即2x2﹣7x+3＞m在[﹣1，1]上恒成立，令g（x）=2x2﹣7x+3，则g（x）min=g（1）=﹣2，∴m＜﹣2．20．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，（1分）∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（3分）（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．（4分）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（8分）（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f（x）是R上的减函数，∴t﹣2t2＜k（10分）∴对t∈R恒成立，∴．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1），函数y=g（x）的图象与函数f（x）的图象关于原点对称．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）若a＞1，x∈[0，1）时，总有F（x）=f（x）+g（x）≥m成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）设P（x，y）是函数y=g（x）图象上的任意一点，则P关于原点的对称点Q的坐标为（﹣x，﹣y）．∵已知点Q在函数f（x）的图象上，∴﹣y=f（﹣x），而f（x）=log a（x+1），∴﹣y=log a（﹣x+1），∴y=﹣log a（﹣x+1），而P（x，y）是函数y=g（x）图象上的点，∴．（2）当x∈[0，1）时，．下面求当x∈[0，1）时f（x）+g（x）的最小值．令，则．∵x∈[0，1），即，解得t≥1，∴．又a＞1，∴，∴f（x）+g（x）≥0，∴x∈[0，1）时，f（x）+g（x）的最小值为0．∵当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，∴m≤0，即所求m的取值范围为（﹣∞，0]．22．（12分）若定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，都有：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1；②当x＜0时，f（x）＞1．（Ⅰ）试判断函数f（x）﹣1的奇偶性；（Ⅱ）试判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若不等式f（a2﹣2a﹣7）+＞0的解集为{a|﹣2＜a＜4}，求f（5）的值．【解答】解：（Ⅰ）令y=﹣x，f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1x=y=0得f（0）=1即f（﹣x）﹣1=﹣[f（x）﹣1]，∴f（x）﹣1是奇函数．…（4分）（Ⅱ）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1又x1﹣x2＜0．则f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1﹣x2）﹣1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＜0即：f（x2）＜f（x1）．∴f（x）在（﹣∞，∞）上单调递减．…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知：a2﹣2a﹣7＜m的解集为（﹣2，4），∴m=1．即：．∴f（2）=﹣2f（4）=﹣5…（14分）。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（220）（无答案）第一试一、填空题1函数32424()(16)()(1)x x x x f x x --+=+的值域为 。

2.设复数111,1z z ≠=，则3459z z z z z ++++= 。

3.设x y z 、、为正整数，集合{}222222=3()()(),,2()A x y y z z x xyz y z z x x y ---++，{}333444B=()()(),,x y y z z x x y z x y z -+-+-++++。

若A=B ，则333x y z ++=4.设P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，两焦点为1212(,0),(,0),F c F c PF PF -、分别与椭圆交于点A 、B ，若222a b c 、、成等差数列，则1212PF PF AF BF += .5.有六根细棒，长度依次为3、2222、、、，用它们搭成三棱锥。

则其中两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为 。

6.设x y R +∈、，则函数(,)f x y =为 。

7.设122,,,n D D D …为Rt ABC ∆的斜边BC上的2(1n n ≥个点，记1(1,2,,21)i i i D AD i n α-∠==+…，满足1+1i i i i D D D D -=021(1,2,,2,=,)n i n D B D C +==…，则1321242sin sin sin sin sin sin n nαααααα+……= 。

8.三位数abc 满足23abc a b c =++，则满足条件的三位数abc 共有 个。

二、解答题9.设[]0,2x π∈，求函数()f x =最大值。

10.设532()3236f x x x x x =-+++，记1(43)(43)(41)(41)nn k k f k A k f k =--=--∏，求25A 的值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（192)(无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 已知数列{}{}{}n n n a b c 、、均为等差数列，且1112220,1a b c a b c ++=++=.则 201520152015a b c ++=。

2. 过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l 与双曲线交于A B 、两点.若实数λ使得 AB λ=的直线l恰有三条，则λ=.3. 一个44h ⨯⨯的长方体能装下8个半径为1的小球和1个半径为2的大球.则h 的最小 值为。

4. 已行集合{}1,2,3A =,f g 、为集合A 到A 的函数.则函数的像集交为空的函数对 ()f g ,的个数为.5. 已知2cos ()(32)x f x x x π=++.则所有满足等式101log()1n k f k ==∑的n 的和 为.6. 存在正整数数对(,)a b 满足[](),2015k a b a b +=的正整数k 的个数为 （[],a b 表示正整数与的最小公倍数).7. 已知甲、乙两人进行一种博弈游戏，甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13。

若其中一人比另一人多赢两局,则游戏结束。

那么,需要进行的游戏局数的数学期望为.8. 已知P 为抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上,22(1)1x y -+=是PBC ∆的内切圆。

则PBC S ∆的最小值为.二、解答题(共56分）9.（16分）求所有的正实数k ，使得对于任意正实数a b c 、、，均有 2a b kc b c c a a b++≥+++.10。

（20分）已知实数012015012015,,,,,,,a a a b b b ,满足11,n n n n a a b b --==,其中，1,2,,2015n =.若02015a b =,且02015b a =，求以下表达式的值2015111()k k k k k a b a b --=-∑。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（219）（无答案）第一试一、填空题1 .等比数列-a + logs 2017、2Q + log9 2017、- 4a + lo% 2017 的公比为 _____________ .2.二次曲线2/+3小+ 2尸=1的离心率为_______________ 。

3.在复数范围内,方程z4 + z = l与方程忖二1的公共解的个数为 _______________ o4.将边长为10、12、14的三角形沿三条屮位线折起来围成四面体，则四面体的外接球直径为______________ 。

r\〔5.------------------------------------------------------------- 设正整数列｛色｝满足5=迈-\, a n+[=------------------------------------------- （斤=1,2,…），其中，S”为d”的前nS“ + S“+i + 2项和，则数列的通项公式为____________ 06.在\ABC中，ZA<Zfi<ZC,若‘曲+ sinB+ sirC =羽,则sinB+ sin s的值cosA+ cosB+ co£?为___________ 。

7. ______________________________________________ 掷四个色子，四个点数的乘枳被6整除的概率为_________________________________________ c&正方体任两个顶点确定一条直线，这些直线屮垂直异面的直线共有 _______ 对。

二、解答题r_l 1 9•设奇数n（n > 1）,方程z" =1的〃个根为1,召,％2,…心-1。

求表达式工一的值。

気1+壬10.已知数列｛线｝满足马=64 =20, a n(a n -8) = a n_x a n+｛ -12 ①记[x]=x-[x], ［兀］表示不超过实数兀的最大整数，求lim ｛、冏｝的值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（187）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 若实数集合{}2,3A x y =与{}6,B xy =恰有一个公共元素，则A B 中的所有元素之积为.2. 已知关于x 的方程22224log 3(log )0x x a a -+=的两根分别属于区间(1,3)与(6,)+∞. 则实数a 的取值范围是.3. 设复数12sin 2,1cos ()z i z i ααα=+=+∈R .则2121213z iz f z iz -+=-的最小值 为.4. 若等比数列{}n a 中，131,3a a ==，则101010110100(1)k k k k k k k C a C a ++==⎛⎫⎡⎤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑ . 5. 设A 为m 元实数集，各元素之和为a ；B 为n 元实数集，各元素之和为b .定义{}(,),,C x x s t s A t B ==∈∈.令x y 、各自取遍C 中向量（允许x y =）并计算x y .则这些数量积之和x y C x y ∈∑、等于（结果用a b m n 、、、表示）.6. 已知双曲线以20x y ±=为渐近线，且经过直线30x y +-=与230x y t -+=的交点，其中，25t -≤≤.则双曲线的实轴长的最大可能值为.7. 如图1，在中国象棋规则下，点A 处的“兵”可通过某条路径到达点B （兵在过河前每步只能走到其前方相邻的交叉点处，过河之后每步则可走到前方、左方、右方相邻的交叉点处，但不能后退，“河”是指图1棋盘中第5、6条横线之间的部分）.在兵的行进过程中，若棋盘的每个交叉点均不被兵重复走到，是称此路径为“元重复路径”.那么，不同的无重复路径的条数为.8. 在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、， 且315,4,cos()32a b A B ==-=.则ABC ∆的面积为.二、解答题（共56分）9.（16分）已知三棱锥P ABC -底面各棱长均为1，其内切球的球心为O ，半径为r .求底面ABC 内与点O 距离不大于2r 的点所形成的平面区域的面积.10.（20分）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，(1)i l i ≥与抛物线C 交于点i i A B 、.若1l 的斜率为1，(2)i l i ≥的斜率为1求2014l 的解析式.11.（20分）求所有三次多项式()P x ，使得对一切0x y ≥、，均有()()()P x y P x P y ++.加 试一、（40分）如图2，1O 与2O 的半径相等，交于X Y 、两点.ABC 内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB XY HZ 、、三线共点.二、（40分）求所有素数P ，使得12211p p k P k -+=∑.三、（50分）若函数f 满足：对任意实数a ，方程()f x a =的解的个数为偶数（可以是0个，但不能是无数个），则称f 为“偶的函数”.证明：（1）任何多项式f 均不是偶的函数；（2）存在连续函数:f →R R 是偶的函数.四、(50分)求正整数n 的最大值，使得对任意一个以12,,,n V V V 为顶点的n 阶简单图，总能找到集合{}1,2,2014的n 个子集12,,,n A A A ，满足：()ij A A i j ≠∅≠当且仅当i V 与j V 相邻.。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（199）（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.三元函数222(,,)2324261012f x y z x y z xy yz zx x y z =+++++---的最小值为2.设复数1(6)(4)z a b i =-+-，2(32)(23)z a b i =+++，3(3)(32)z a b i =-+-其中，a b R ∈、。

当123z z z ++取到最小值时，34a b += 。

3.设过原点的直线l 与函数sin (0)y x x =≥的图像有且仅有三个交点，a 为交点横坐标中的最大者，则2(1)sin 22a a a+= 。

4.已知(1,4,5)P 为空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于A B C 、、三点，则所有这样的四面体O ABC -的体积V 的最小值为 。

5.设Γ为满足[][]0,0,5x y x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+++≤⎩的点(,)x y 构成的区域，则区域Γ的面积为 （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）。

6.形如(0)b y a b x a=>-、的函数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”。

以囧点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，称为“囧圆”。

当1a b ==时，所有的囧圆中面积的最小值为 。

7.已知20块质量为整数克的砝码可称出1，1，…，2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量的最小值为 克。

8.六名男生和a 名女生随机站成一排，每名男生均至少与另一名男生相邻，至少有四名男生站在一起的概率为p ，若1,100P ≤则a 的最小值为 。

二、解答题（共56分）9.（16分）已知0,1a b a b >+=、.求1120152015y a b a b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题Jx2-y2 + x-2y = (), 〔2 与 + 2x+ y - 4 = 0 3. ______________________________ 已知点集T = |u,y ） x+l|+|j-2|<3| ,数集M ={x + 2y|（x,y ） wT},则集合 M 中最大 元素与最小元素之和为 o4.当〃为正整数时，函数/满足/（«+ 3昇心 *纟1）且/0,北±（。

则/（^> I /( 1J (20 ______________________5. 在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线y = cuc+bx + c 和另50条不同抛物线 x = 6Z 1/+/?1y + c 1,这100条抛物线把坐标平面最多分成 ___________ 个部分。

6. 已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边Z 差为第三边上的最高的4倍，则最大 内角比最小内角大 _______ （用反三角函数表示）。

7. _____________________________________________________________________ 滨螺最初位于点（0, 1）,每天其从点（兀,y ）爬到点（2, 1）,则第2017天其位于 _________________1- 已知圆心均在.直线y = 1 —x 上的两圆Q 交于A 、B 两点, A （-7,9）,则点B 的坐标2.方程组 的实数解（圮刃为&如图1, P为AABC内一点，AABC的周长、面积分別为/、$ ,点P到AB、BC、CA的垂线A n nr CA 段分别为PD、PE、PF, M —+ —+—PD PE PF二、解答题9.己知兀为实数,求函数/（x） = 4sin3x+sin2x-4sinx+8的值域。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(220)(无答案)第一试一、填空题1函数f(x}=(兀-兀3)(1-6〒+〒)的值域为。

(1 + x2)4 ------------------2.设复数ZH1,Z“ =1,则z + z3 + z4 + z5 + z9= _____________________ o3.设x、y、z 为正整数，集合A=^3(x- y)(y- z)(z- 2 2 * , B={(x-刃‘+(y-z)‘+(z-x)',x+y + + z*。

若A二B,则x3 4-y3 4-z3 = _______2 24.设P为椭圆缶+ * = l(a〉b〉O)上任意一点，两焦点为斤(一。

,0),恥,0),卩片、PF/*别与椭圆交于点A、B,若/、戻、疋成等差数列，则旦1 + 竺.=AF}\ \BF25.有六根细棒，长度依次为3、2血、2、2、2、2,用它们搭成三棱锥。

则其屮两根较长的棱所在的直线所成角的余弦值为_________ 。

6.设兀、ywR+，则函数/(x, y) = yjx2 -xy + y2 + \/x2 -9x + 27 + ^/y2 -15^ + 75 的最小值为__________ 。

7.设UD，…,D“为RtAABC的斜边BC ±的2/? /(> 个点，记ADt = at(z = 1,2,• • •, In +1),满足= £>£>+1(z = 1,2,• • •, 2n, D o =B, D2z/+1 = C),则sine sin6Z3---sin6Z2/;+1_________________ Qsincr2 sin 也…sin 纭8. _________________________________________________________ 三位数dbc满足ahc = a + h2+c3,则满足条件的三位数dbc共有___________________________ 个。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(222)(无答案)第一试一、填空题1.用｛”表示实数兀的小数部分，已知Q =(5血+ 7严了，则°｛可二________ 。

2.—个盒中有12件正品和3件次品，每次不放冋地収出一件产品，在収得正品前已取出的次品数g的数学期望Eg二________ 。

3.函数y = sin2x-2(sinx + cosx)的最大值为________________ 。

4.若数字q(i = l,2,・・・,9)满足為V逐<・・・<。

5且他>a4>•••>%，则九位正整数偽遍…纠为一个“九位峰数”，例如134698752,那么，所有的九位峰数的个数为___________ 。

2016 15.已知方程兀⑼7 =1的2017个根为1, ^P X2/--,X2O16,则工------------ = __________ ok=\ 1 + Xk6.已知f(兀)二+ 2bx ,至少有一个正数b,使得/(兀)的定义域和值域相同，则满足条件的实数a的值为_______ 。

( 龙、7.已知抛物线y2=4x,其焦点为F, —条过焦点F、倾斜角为& 0<^<-的直线与抛物线\ 2丿交于A、B两点，A0(0为坐标原点)与准线交于点P, B0与准线交于点A,则四边形ABBA 的面积为________________ 。

8.对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色屮的一种，但不允许相邻的边同色，则共有_______ 种不同的染色方法。

二、解答题9.已知数列｛色｝的通项公式为cm = */ 厂V"（\ + y/5\1-VsYSn = Cm+C；a2+・・・+C；U，求所有的正整数况,使得7|S”10.己知集合S = {1,2,—,13},集合A，企，…,須为S的子集，满足:(1) |州=6(心1,2，…，幻(2) |A Z A.|<2(1<Z<j<k)11.如图1,已知直线£ : >j = 2x+< 0)与抛物线C】:y = ax2(tz >0)和圆C2:X2+(^+1)2=5均相切，F为抛物线G的焦点(1)设A为抛物线G上的一动点，以A为切点作抛物线G的切线，与y轴交于点B,以FA、FB为邻边作FAMB,证明：点M在一条定直线上；(2)在(1)条件下，记点M所在的定直线为厶，直线厶与『轴交于点N, MF与抛物线G交于P、Q两点，求mPQ的面积S的取值范臥加试一、定义数列｛色｝：q =£,%+】乔立右(归2,…)证明：对每一个正整数/?(/? >2)二、已知〃为正整数，证明：2〃+ 1不存在模8余7的素因子。

江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（212）（无答案）第一试一、填空题1.已知圆心均在直线1y x =-上的两圆12O O 、交于A 、B 两点，(7,9)A -，则点B 的坐标为 。

2.方程组2220,2240x y x y xy x y -+-=⎧⎨++-=⎩①②的实数解(,)x y 为 。

3.已知点集{}(,)123x y x y T =++-≤，数集{}2(,)M x y x y =+∈T ，则集合M 中最大元素与最小元素之和为 。

4.当n 为正整数时，函数f 满足()1(3),(1)0,(1)1()1f n f n f f f n -+=≠≠±+且。

则(1)(202f f = 。

5.在直角坐标系xOy 中，有50条不同抛物线2y ax bx c =++和另50条不同抛物线2111x a y b y c =++，这100条抛物线把坐标平面最多分成 个部分。

6.已知三内角成等差数列的三角形的最长、最短两边之差为第三边上的最高的4倍，则最大内角比最小内角大 （用反三角函数表示）。

7.滨螺最初位于点（0，1），每天其从点(,)x y 爬到点（2，1），则第2017天其位于 。

8.如图1，P 为ABC ∆内一点，ABC ∆的周长、面积分别为l s 、，点P 到AB 、BC 、CA 的垂线段分别为PD 、PE 、PF ，且22AB BC CA l PD PE PF s++≤，则P 为ABC ∆的“五心”中的 心。

二、解答题9.已知x 为实数，求函数32()4sin sin 4sin 8f x x x x =+-+的值域。

10.已知P 过点(3,1)A ，且与22:(2)4M x y +-=及直线311:44l y x =--均相切。

求P 的半径。

11.设2018个实数122018,,,a a a …满足201820182110,2018i i i i aa ====∑∑。