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摘要本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。
关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组AbstractThis article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible.Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; TheSystem of linear equations.目录1 引言 (1)2 预备知识 (2)3 可逆矩阵的性质及其应用 (3)4 行（列）满秩矩阵的性质 (5)5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11)5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11)5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12)5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15)5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17)参考文献 (20)行（列）满秩矩阵的性质及其应用1 引言矩阵是高等代数研究的一个重要内容，用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决相关问题的方法，通常叫做矩阵方法。
矩阵满秩分解的一些应用第35卷第5期2005年9月中国海洋大学PERIoDICALoFoCEANUNIVERSITY oFCHINA35(5):761～762Sept.,2005矩阵满秩分解的一些应用姚增善,刘新国(中国海洋大学数学系,山东青岛266071)摘要:把矩阵的满秩分解用于分析广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵,得到了新的特征刻画.关键词:广义投影矩阵;Moore-Penrose广义逆;Hermite矩阵中图法分类号:O172.1文献标识码:A文章编号:1672—5174(2005)05—761—020引言首先给出有关的定义.定义1设K为7/阶复方阵,记K为矩阵K的共轭转置.(1)如果K2=K=K,则称K为正交投影矩阵;(2)如果存在/./阶方阵K,使KK及KK都是Hermite矩阵,且满足KKK=K及KKK=K,则称K为矩阵K的Moore—Penrose广义逆.Moore-Penrose广义逆和正交投影矩阵都是代数学中的基本概念.前者在最zb--乘法等问题中有许多应用;而后者用来刻画子空间与投影矩阵的一一对应性,从而把有关子空间的定量研究转化为矩阵分析.1997年,Grofl和Trenkler[推广正交投影矩阵而引入了下面的广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵.定义2设K为n阶复方阵,K和K分别为矩阵K的共轭转置及Moore—Penrose广义逆.(1)如果K2=K,则称K为广义投影矩阵;(2)如果K2=K,则称K为双曲广义投影矩阵.最近,Baksalary和Xiao—jiLiu等详细地讨论了定义2给出的这两类矩阵[2-3J.本文继续他们的讨论.但使用的方法不同,本文的基本工具是矩阵的满秩分解_4J:任何秩为r的m×7/矩阵A都可分解为A=BC其中,B和c分别为m×r和7/×r的列满秩矩阵.为了叙述方便,文中使用了下述记号:c表示7/阶复方阵所成的线性空间,矩阵A的列向量张成的线性空间记为R(A).上标及+分别表示共轭转置及Moore—Penrose广义逆,I表示适当阶数的单位阵.1主要结果及其证明设K是秩为r的n阶复方阵,本节考虑下述集合:收稿日期:2005.06.01;修订日期:2005.07.07作者简介:姚增善(1963.),男,硕士,副教授.Tel:(0532)85901953 c={KIK∈C,K:K);cP』={KiK∈c,K=K};c={KIK∈C,K:K);c={KIK∈C,KK=KK);c={KIK∈C,K=K);c={KIK∈c,KKKK=KKKK).显见,cGP为广义投影矩阵构成的集合,c为双曲广义投影矩阵构成的集合.易知cGPc,而且c口P还有下述重要的子集c={KIK∈C,K=K).同时,K为正交投影矩阵当且仅当K:K,K=K,还易知,K为正交投影矩阵的充要条件为K=K= K.因此,广义投影矩阵及双曲广义投影矩阵确实是正交投影矩阵的推广.首先给出c的特征.考虑K的满秩分解K=BC,那么K=K甘B(CB)0C=BC错(CB)0=I.命题1K∈c当且仅当K的满秩分解K=BC满足(CB).=I.接下来考虑cP』.记K=BC,则K=C(CC)I1(BB)I1B.从而K=K错CB=C(CC)(BB)B甘(BB)(CC)=I.再作B和C的极分解B=QlHl,C=Q2H2,这里Hl 和H2为Hermite正定矩阵,且QQl=QQ2=I.则BB=H},CC=H;.总结上述,有命题2cP』={QlQIQl,Q2为竹×r阵,QQl=QQ2=I}.再考虑cGP.考虑K的特殊满秩分解K=BC,cC=I,,那么中国海洋大学K2=K甘BCBC=CB,这说明R(B)=R(C).从而存在r阶可逆方阵G,使B=CG.且K2=K甘(CGC)(CGC)=CGC甘G=G.又由Schur分解,G可分解为G=Q0R0Q,Q0为酉阵,R.为上三角阵,而G=G甘R8=R甘R0=diag(dl,dE,…,d).其中,dj(j=1,2,…,r)为三次单位根,即d;=1,d=d.综上所述,有命题3c?e={QDQIQ为×r阵,QQ=J,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.注:三次单位根集合为{?,一号一,/5吉+譬}o再讨论c.令K=BC为满秩分解,那么KK=KK甘BB=CC甘C=BG.这里G=BC为r×r可逆方阵.因此有命题4={QGQIQ为×r阵,QQ=I,G为r×r可逆阵}.再分析cW.考虑K的满秩分解变形K=QlGQ,其中,G为r×r可逆方阵,Ql,Q2为×r矩阵,QQl=QQ2=J.那么K=K甘QlGQQlGQ=Q2G-1Q,从而R(Q1)=R(Q2).因此,不妨取Ql=Q2,此时K=QlGQ.又K=K甘QlGQ=QlG一Q甘G=G一甘G.=J,而G.=J甘G=Q0diag(dl,2,…,d)Q,QQ0=J,d;=1.命题5cW={QDQIQ为×r阵,QQ=I,,D=diag(dI'2,…,d),d=1}.最后考虑cUe.令K=BC,记PK=KK,PK=KK,贝0有PK=BB,PK=CC.可见K∈cUe甘BBCC=CCBB.注意到,PK和PK?为正交投影矩阵且为Hermite阵,上式表明PK和PK.可交换,因而存在酉阵Q,使BB=Qdiag(aI'a2,…,a)Q,CC=Qdiag(卢l,卢2,…,卢)Q,这里ai和取0或1.取R(B)nR(C)的标准正交基(为列)构成矩阵Q,Q适当排列后可用分块阵表示为Q=[QI'Q')],这样BB=[QI'QB],CC=[Ql,Qc],而[Ql,QB,Qc]是列规范正交阵.这表明B=[Ql,QBJGB,C=【QI'QcJGc,其中GB,Gc为r阶可逆阵.从而K=[QI'QB]?G[Ql,Qc],G为可逆阵.易知K∈cW,故有下述结论:命题6cUe=I[QI'Q2]G[QI'Q3]_[QI'Q2,Q3]列规范正交,G为可逆阵}.本文得到的结果大部分是新的,使用的基本工具是矩阵的满秩分解.Baksalary等人使用Jordan分解或Schur分解以及奇异值分解,分析了G及G中矩阵的谱特征,得到的结果很有趣.不难看出,本文的结论可以很容易地导出他们得到的大部分结果.而且,作者认为,从应用的角度看这里得到的结论更便于应用.参考文献:Gro口J,TrenklerG.Generalizedandhypergeneralizedproiectors [J].LinAlgAppl,1997,264:463—474.BaksalaryJK.Baksalary0M.LIUXiao—ji.Furtherpropertiesof generalizedandhypergeneralizedprojectors[J].LinAlgAppl, 2004,389:295—303.BaksalaryJK,LIUXiao-Ji.Analternativecharacterizationofgener—alizedprojectors[J].LinAlgAppl.2004,388:61—65.北京大学数学系编.高等代数第二版[M].北京:高等教育出版社.1988.SomeApplicationsoftheFull-RankDecompositionofMatricesY AOZeng—Shan,LIUXin—Guo(DepartmentofMathematics,OceanUniversityofChina,Qingdao266071,China) Abstract:Inthispaper,thefull—rankdecompositionofmatricesisusedtoanalysegeneralizedprojectionma—tricesandhypergeneralizedprojectionmatrices,andsomenewcharacteristicdescriptionsar eobtained.Keywords:Orthogonalprojectionmatrix;Moore—Penrosegeneralizedinverse;HermitematrixAMSSubjectClassifications:15A23。
满秩矩阵及满秩矩阵的应用专业：通信与信息系统姓名：李娜学号：6120140151目录一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (2)1.1矩阵的秩 (2)1.2满秩矩阵 (2)1.3满秩矩阵的性质 (3)1.3.1行(列)矩阵的一些性质 (4)1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 (6)二、满秩矩阵在保密通信中的应用 (8)2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 (8)2.1.1加密保密通信模型 (8)2.2.2满秩矩阵的应用 (8)2.2密钥的生成 (10)2.2.1加密密钥的生成 (10)2.2.2解密密钥的生成 (10)2.3其它问题 (10)2.3.1明文矩阵的选择 (10)2.3.2加密矩阵的选择 (11)2.3.3算法优化 (11)一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用引言矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
定义1 在m n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a ij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A），或rank（A）或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R（A）≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵,不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。
矩阵的满秩分解## 简介矩阵的满秩分解（Full Rank Decomposition，FRD）是矩阵分解的一种，它将矩阵分解为两个或更多满秩矩阵的乘积。
FRD可用来求解非奇异（non-singular）非对称矩阵（asymmetric matrix）。
FRD可以将矩阵分解成多个较小的矩阵，这可以提高矩阵求解的速度和准确度。
## 原理矩阵的满秩分解可以将非奇异非对称矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，即A=UL，其中L和U既不是行手乘以列向量，也不是列手乘以行向量，而是一个L矩阵和一个U矩阵的乘积。
L矩阵是下三角矩阵，U矩阵是上三角矩阵，两者都具有单位对角线，另外，L和U具有相同的秩，并且都是正定的满秩矩阵，而A是它们的乘积，因此A也是满秩矩阵。
求解满秩分解矩阵的一般过程是：先进行LU分解，将矩阵A分解为两个单位对角线的满秩矩阵L和U；接着求解A的列空间的基，即求解A的列块的空间；最后再从A的行空间中求解A的行块的空间。
LU分解的算法的时间复杂度主要以A的维度D（即A的行数和列数）为关键，因此矩阵FRD分解的时间复杂度也主要以D为关键。
在计算机编程中，可以采用不同的算法来实现FRD，比如基于LU分解的矩阵FRD算法，和基于Gauss消元法的矩阵FRD算法。
## 应用矩阵的满秩分解具有广泛的应用，既可以用来解决矩阵求解问题，还可以用来分解多项式。
例如，可以用矩阵FRD分解将矩阵A分解成多个满秩矩阵的乘积，以求解线性方程组的系数矩阵，或者用于求解最小二乘问题；另外，可以用FRD分解将一个多项式分解成多个单项式，以求解多项式函数的数值解或其他曲线拟合问题。
同时，矩阵的满秩分解还可以用于图像处理，如图像中的边缘检测、图像去噪等。
第十一讲 满秩分解与奇异值分解一、矩阵的满秩分解1. 定义：设m n r A C (r 0)⨯∈>，若存在矩阵m r r F C ⨯∈及r nrG C ⨯∈，使得 A FG =，则称其为A 的一个满秩分解。
说明：（1）F 为列满秩矩阵，即列数等于秩；G 为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。
r rrD C ⨯∀∈（r 阶可逆方阵），则 1111A FG F(DD )G (FD)(D G)F G --====，且m r r n1r 1rF C ,G C ⨯⨯∈∈ 2. 存在性定理：任何非零矩阵均存在满秩矩阵证明：采用构造性证明方法。
设m nr A C ⨯∈，则存在初等变换矩阵m mmE C ⨯∈， 使 G r EA B .......O (m r)⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行， 其中r nr G C ⨯∈ 将A 写成1A E B -=，并把1E -分块成[]1r (m r)E F |S --=列列，其中m rrF C ⨯∈ .G A F .S ....FG .O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦E 是满秩分解。
3. Hermite 标准形（行阶梯标准形）设m nr B C (r 0)⨯∈>，且满足（1） B 的前r 行中每一行至少含一个非零元素（称为非零行），且第一个非零元素为1，而后(m r)-行的元素全为零（称为零行）；（2） 若B 中第i 行的第一个非零元素（即1）在第i j 列(i 1,2,...,r)=，则 12r j j ...j <<<;（3） 矩阵B 的第1j 列，第2j 列，…,第r j 列合起来恰为m 阶单位方阵m I 的前r 列（即12r j ,j ,...,j 列上除了前述的1外全为0）则称B 为Hermite 标准形。
例1 561356120013001022B C 000111000000000000⨯⨯-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 为Hermite 标准形452245010200013B C 0000000000⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 也是Hermite 标准形4. 满秩分解的一种求法设m nr A C ⨯∈，（1） 采用行初等变换将A 化成Hermite 标准形，其矩阵形式为EA B =，其中B 为Hermite 标准形定义中给出的形状；（2） 选取置换矩阵1 P 的第i 列为i j e ，即该列向量除第i j 个元素为1外，其余元素全为零(i 1,2,...,r)=,其中i j 为Hermite 标准形中每行第一个非零元素（即1）所在的列数；2 其它(n r)-列只需确保P 为置换矩阵即可（P 的每一行，每一列均只有一个非零元素，且为1）；3 用P 右乘任何矩阵（可乘性得到满足时），即可得该矩阵的第i j 列置换到新矩阵（即乘积矩阵）的第i 列 4 令[]1r (n r)P P |*-=列列，即12r n r1j j j rn rP e e ...e C ⨯⨯⎡⎤=∈⎣⎦（3）令G B =的前r 行r n n C ⨯∈，m r1rF AP C ⨯=∈则A FG = 证明：G EA B O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，[]1G A E B F |S FG O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦则m r r F C ⨯∈，r nrG C ⨯∈，G 已知，但F ?=，当然可以通过求出1E,E -再将1E -分块得到，但这样G 就没必要采用Hermite 标准形形式，注意到r 1I BP O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则[]1r 11I AP E BP F |S F O -⎡⎤===⎢⎥⎣⎦证毕例1 1230A 02111021⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其满秩分解解：（1）首先求出A 的秩。
