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【精】灰色系统理论与建模

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基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件

基于灰色系统理论的建模方法介绍PPT课件
10
2.2 灰色生成
将原始数据列中的数据，按某种要求作数据处理称为生成。 对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在 规律。
令x(0)为原原始始数序列列：,x(0) [ x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (n)], 特点：杂乱无章
记生成数为x(1) , x(1) [ x(1) (1), x(1) (2), , x(1) (n)], 如果
公理2、解的非唯一性原理。 信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际
问题所遵循的基本法则。 公理3、最少信息原理 灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。 公理4、认知根据原理。 信息是认知的根据。 公理5、新信息优先原理。 新信息对认知的作用大于老信息。 公理6、灰性不灭原理 “信息不完全”是绝对的。
A
不确定的简单问题
半确定的简单问题
A——简单事物 B——复杂事物 C——确定性事物 D——不确定性事物
4
自组织理论 B
系统科学
非线性科学
C 运筹学
D 灰色理论
数学
概论统计
A
模糊数学
逻辑与直觉思维
5
树高在20米至30米
2050年中国人口控制在15亿到16亿之间
6
灰色系统的基本原理
公理1、差异信息原理。 差异即信息，凡信息必有差异。
k为介于［0，1］区间上的灰数
△ij(t)=｜xi(t)-xj(t)｜
19
例.给出下列数列
x0=﹙20，22，40﹚ x1=﹙30，35，55﹚ x2=﹙40，45，43﹚
试求两级最小差与两级最 大差。
解：先求两级最小差 对于i=1时 t=1， ｜x0(1)-x1(1)｜= ｜20-30｜=10 t=2， ｜x0(2)-x1(2)｜= ｜22-35｜=13 t=3， ｜x0(3)-x1(3)｜= ｜40-55｜=15 min ｜x0(k)-x1(k)｜= min（10，13，15）=10 对于i=2时， t=1， ｜x0(1)-x2(1)｜= ｜20-40｜=20 t=2， ｜x0(2)-x2(2)｜= ｜22-45｜=23 t=3， ｜x0(3)-x2(3)｜= ｜40-43｜=3 min ｜x0(k)-x2(k)｜= min（20，23，3）=3 minmin ｜x0(k)-xi(k)｜= min（10，3）=3

灰色系统分析讲义(精)

灰色系统分析讲义(精)

数学建模讲稿-------灰色系统分析五步建模思想研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。

这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。

系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。

第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。

第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。

(a) (b)图１一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。

一个系统包含许多这样的环节。

有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。

图１第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。

第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。

动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。

第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。

这样得到的模型，称之为优化模型。

五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：网络模型优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。

数学建模讲稿-------灰色系统分析灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。

（1）建立模型常用的数据有以下几种：○（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。

灰色系统建模_-PPT精品文档53页

灰色系统建模_-PPT精品文档53页

x (1) (t ) 1 ( x (1) (k ) x (1) (k 1)) 2

X 0 k
1

a

1 2
(
x
(1)
(
k
)

x (1) (k

1)
)



31
设 ˆ
为待估参数向量，ˆ

a



，可利用
最小二乘法求解。解得：
ˆBTB1BTYn
13
第二步：求序列差
2 0 ,0 .1 1 6 ,0 .1 9 9 ,0 .2 3 3
3 0 ,0 .0 2 3 ,0 .1 0 6 ,0 .1 1 5 4 0 ,0 .0 6 7 ,0 .1 1 8 ,0 .2 1 3
第三步：求两极差
Mmaxmaxi k0.233 mminmini k0
6
二、灰色关联分析
• 灰色关联分析根据因素间发展态势的相似 或相异程度，来衡量因素之间的关联程度 的一种系统分析方法。
• 其基本思想是根据序列曲线几何形状的相 似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接 近，相应序列之间的关联度就越大，反之 就越小。
7
8
关联度
灰色关联分析通过计算系统内各因素间的关联度进 行系统分析，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
14
第四步：计算关联系数 取ρ=0.5，有：
1ikik0.1 01 .16 17 6 ,i 5 72,3 5,4
从而：
12111220.501 1230.370 1240.334
13111320.836 1330.525 1340.505

灰色系统理论与建模课件

灰色系统理论与建模课件
灰色系统建模案例与 实践
案例一：基于灰色预测模型的股票价格预测
灰色预测模型
股票价格数据处理
阐述如何获取和处理股票价格数据，并将其转化为 适用于灰色预测模型的格式。
介绍灰色预测模型（如GM(1,1)）的基本原 理和构建方法，包括模型的参数估计、检验 和预测等步骤。
实证分析与评估
运用灰色预测模型对股票价格进行预测，并 对预测结果进行评估，包括误差分析、预测 准确度等。
灰色系统具有不完全性、不确定性和模糊性，其内部结构和参数不完全清楚，但可以通过一定的方法 加以研究和利用。
灰色系统理论的发展与应用
发展
灰色系统理论起源于20世纪80年代，由我国学者邓聚龙提出。经过多年的发展 ，灰色系统理论逐渐完善，并拓展到多个领域。
应用
灰色系统理论在经济管理、能源环境、交通运输、农业科技等众多领域得到了 广泛应用。例如，利用灰色模型进行时间序列预测、灰色关联分析用于因素分 析等。
应用范围总结
灰色系统理论与方法在经济管理、环境科学、能源规划、农业生产等多个领域得到了广泛的应用，体现了其处理复杂 问题的普适性。
方法论总结
灰色系统理论以灰色代数、灰色方程、灰色矩阵等为基础，形成了一套独特的方法论体系，为解决实际 问题提供了新的思路和工具。
未来研究方向与应用前景
01
理论拓展
进一步完善灰色系统理论的基础理论体系，如拓展灰色代数的运算规则
，丰富灰色方程的类型和应用范围等。
02
方法创新
在保持灰色系统理论特色的基础上，结合其他不确定性处理方法，如模
糊数学、粗糙集等，开发新的混合方法，提高处理复杂问题的能力。
03
应用深化
深入挖掘灰色系统理论在各领域的应用潜力，如在人工智能、大数据分

灰色系统分析讲义(精)

灰色系统分析讲义(精)

数学建模讲稿-------灰色系统分析五步建模思想研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。

这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。

系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。

第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。

第二步：对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。

(a) (b)图１一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。

一个系统包含许多这样的环节。

有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。

图１第三步：对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。

第四步：进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。

动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。

第五步：对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。

这样得到的模型，称之为优化模型。

五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：网络模型优化模型在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。

数学建模讲稿-------灰色系统分析灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。

（1）建立模型常用的数据有以下几种：○（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。

灰色理论模型

灰色理论模型

y (k)
y(0) (k 1) X
y(0) (k)
(k 2,3,, n)
18
2. 建立模型GM(1,1)
按前面的方法建立模型GM(1,1)，则可以得到预测值：
xˆ (1) (k 1) x(0) (1) b eak b (k 1,2,, n 1)
a
a
而且：
xˆ (0) (k 1) xˆ (1) (k 1) xˆ (1) (k) (k 1,2,, n 1)
则称 x(1) (k) 为数列 x (0) 的１- 次累加生成，数列
x(1) x(1) (1), x(1) (2),, x(1) (n) 称为数列 x (0) 的１- 次累加生成数列
k
类似地有 x(r) (k) x(r1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x (0) 的 i 1
22
表1：商品的零售额（单位：亿元）
年代
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5

《灰色系统建模》PPT课件


5
0.778 0.538 0.538 1.000 0.778 0.368 0.778
6
0.778 1.000 0.467 0.636 0.538 0.412 0.778
7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：
8．如到r0果劣1 不依0考次.7虑为781各号指1，.标050权号0重， （30号.7认，7为86各号0指，.67标23号6同，等04重号.46要．7），0.六33个3 被 1评.0价00对象0由.7好13
18987529 27875738 39796647 46888436 58669838 68957648
3．确定参考数据列：
4．计算 {x0} {9,， 见下9表, 9, 9, 8, 9, 9}
x0(k) xi (k)
编号 专业 外语 教学 科研 论文 著作 出勤 量
1
10123702
2
1
2
xi k , i xi 1
0 ,1,
, n；k
s
（4）采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．
1, 2 ,
, m.
例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转 化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可 进行如下计算：
解之得，即80%转化为7．
1
0.778 1.000 0.778 0.636 0.467 0.333 1.000
2
0.636 0.778 0.636 0.467 0.636 0.368 0.778
3
1.000 0.636 1.000 0.538 0.538 0.412 0.636
4
0.538 0.778 0.778 0.778 0.412 0.368 0.538

数学建模——灰色系统理论及其应用

2 r 1 r 1 r
x
r
k x k , k 1,2,, n
r x r k r 1 x r k r 1 x r k 1







四、灰色预测的步骤
1.数据的检验与处理
首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。 设参考数据为 x(0) ( x(0) (1), x(0) (2),...,x(0) (n))，计算数列的级比
2 n 1 2 n2
(0)
y (0) (k ) x(0) (k ) c, k 1,2,...,n
五、灰色预测计算实例
例4 北方某城市1986～1992 年道路交通噪声平均声级数据见表6 表6 市近年来交通噪声数据[dB(A)]
第一步: 级比检验 建立交通噪声平均声级数据时间序列如下：
（三）、主要内容
灰色系统理论经过 10 多年的发展，已基本 建立起了一门新兴学科的结构体系，其主 要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理 论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体 系、以晦涩序列生成为基础的方法体系， 以灰色模型（ G，M）为核心的模型体系。 以系统分析、评估、建模、预测、决策、 控制、优化为主体的技术体系。
x i
1
0 与 x i 之间满足下述关系，即


x 1 k x 0 m
为数列 i x x i 则称数列
1
0
m 1
k
的一次累加生成数列。
显然，
r
次累加生成数列有下述关系：
x r k x r k 1 x r 1 k
（四）、应用范畴
灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测； 灾变预测….等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。

灰色系统理论与建模(12.8.24)_图文


4. 无偏GM(1,1)模型
在求出
之后, 得到模型：
无偏GM(1,1)模型
令 再令，
建立无偏GM(1, 1)模型 与传统的GM(1, 1)模型相比，无偏GM(1, 1)模型不存
在传统GM(1, 1)模型所固有的偏差，因而就消除了传 统GM(1, 1)模型在原始数据序列增长率较大时失效的 现象，使得其应用范围变得更加广泛。此外，无偏 GM(1, 1)模型无需进行累减还原，简化了建模步骤， 提高了模型的计算速度。
种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达 。
（一）关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度前应计算关联系数。 （1）关联系数： 设
则关联系数定义为：
式中：
为第k个点 和 的绝对误差
为两极最小差
为两极最大差
成为分辨率，
一般取
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应
首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一
个数据
（2）关联度 和
的关联度
关联度计算方法
1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价 数据。 设 个数据序列形成如下矩阵：
其中 为指标的个数。
2．确定参考数据列 ． 参考数据列应该是一个理想的比较标准，可
以以各指标的最优值 （或最劣值）构成参考数 据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作
3．对指标数据序列用关联算子进行无量纲化 （也可以不进行无量纲化），无量纲化后的数据 序列形成如下矩阵：
7.计算关联度
8．依据各观察对象的关联序，得出综合评价 结果．
灰色关联分析的应用举例
利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综 合评价。 1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学 工作量、科研成果、论文、著作与出勤． 2．对原始数据经，是一种研究少 数据、贫信息不确定问题的新方法。灰色系统理论 以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本” 、“贫信息”不确定系统为研究对象，主要通过对 部分已知信息的生成、开发，提取有价值的信息、 实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效 监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特别 的要求和限制，因此应用领域十分宽广。

灰色系统理论建模全教程精选全文

相对误差检验法
设按GM (1.1)建模法已求出Xˆ (1) ,并将Xˆ (1)做一次累
减转化为Xˆ (0) ,即
Xˆ (0) [ xˆ (0) (1), xˆ (0) (2), , xˆ (0) (n)]
(2 31)
计算残差得
E [e(1), e(2), , e(n)] X (0) Xˆ (0)
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景
一、关联分析的背景 序列曲线的几何形状比较
应用举例
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
二、应用举例
二、关联系数的定义
二、关联度的定义
一般取 0.5
应用举例
应用举例
Step 1. 选取参照数列 选取铅球运动员专项成绩作为参照数列
n k1
n k1
计算后验差比为
C S2 / S1
计算小误差概率为
p P e(k) e 0.6745S1
(2 36)
(2 37)
指标C和p是后验差检验的两个重要指标.指标C越小 越好, C 越小表示S1大而S2越小.S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
小误差概率p 0.95<=p
2级（合格） 0.35<C<=0.5
0.80<=p<0.95
3级（勉强） 0.5<C<=0.65
0.70<=p<0.80
4级（不合格 0.65<C
P<0.70
于）是,模型的精度级别 Max p的级别,C的级别
关联度检验法
灰关联分析实质上就是比较数据到曲线几何形状
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si
灰色相对关联度
实例：农业产值
优势分析
❖ 当参考数列不止一个，被比较因素也不止一个时，就 可以进行优势分析，称参考数列为母数列（或母因素 ），比较数列为子数列（或子因素），由母数列与子 数列可构成关联矩阵。
❖ 通过关联矩阵各元素间的关系，可以分析哪些因素是 优势，哪些属非优势。
❖ 如果R中某一个元素大于所有其他元素，则该行的母 因素是所有母子因素中最密切，即影响最大的。即根 据R中各个列关联度的大小来判断子因素与母因素的 作用，分析哪些因素是主要影响，哪些是次要影响。 起主要影响的因素称优势因素。因此相应地有优势母 因素与优势子因素。
2.灰色关联
灰色关联分析
灰色关联分析的基本思想 灰色关联度分析是对于一个系统发展变化态势的定
量比较与描述。只有弄清楚系统或因素间的这种关联关 系，才能对系统有比较透彻的认识，分清哪些是主导因 素，哪些是潜在因素，什么是优势，什么是劣势。为进 行系统分析、预测、决策、规划与发展战略研究打好基 础。
原始数据变换
❖ （1）均值化变换。先分别求出各个原始数列的平均 值，再用均值去除对应序列中每个数据，便得到新的 数据列，即均值化序列。新序列中各数无量纲，数值 大于0，并大多在1左右。曲线图上数据列互相相交 。
❖ （2）初值化变换。分别用原始序列的第一个原始数 据去除后面的各个数据，得到其倍数数列，即初值化 序列。新序列中各数无量纲，数值大于0，且在曲线 图上各比较序列有了同一个起点。
要求典型分布 历史统计规律
重复再现 无限信息
认知不确定 模糊集 隶属函数 边界取值 经验数据 内涵明确 认知表达 外延量化 经验信息
❖ 灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、 预测、决策和控制的理论.
❖ 灰色预测是对灰色系统所做的预测. ❖ 目前常用的一些预测方法（如回归分析等），需
要较大的样本.若样本较小，常造成较大误差，使 预测目标失效.灰色预测模型所需建模信息少，对 实验观测数据没有什么特别的要求和限制，运算 方便，建模精度高，在各种预测领域都有着广泛 的应用，是处理小样本预测问题的有效工具。
刘思峰.灰色系统理论及其应用（第5版）（附光盘1张）.科学出版社，2010
表1 “灰”、“概率”、“模糊”的区别
灰色系统 概率统计 模糊集
内涵 基础 依据 手段 特点 要求 目标 思维方式 信息准则
小样本不确定 灰朦胧集 信息覆盖 生成 少数据
允许任意分布 现实规律 多角度 最少信息
大样本不确定 康托集 概率分布 统计 多数据
❖ 第三，数据量要求不同，关联分析不要求太多的数据， 而回归分析则必须有足够多的数据量；
❖ 第四，关联度分析主要研究系统的动态过程，而回归分 析则以静态研究为主。
❖ 可见，关联度分析更适用于社会经济系统。
关联度分析的步骤：
❖ 原始数据变换 ❖ 计算关联系数 ❖ 求关联度 ❖ 排关联序 ❖ 列出关联矩阵。
n
则称 si 1 (Xi xi (1))dt
n
s0 1 (X 0 x0 (1))dt
si s0
n 1
(X
0 i
X0 0)dt为 X 0 与 X i 的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。
X （其中，X
0 0
与
X
0 i
为 X0
与
i 的始点零化像
0i
1
1 s0 s0 si
si s0
1.1 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知
信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极 端，我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称 信息完全确定的系统为白色系统. 区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之 间是否具有确定的关系。
1.2 灰色系统的特点
（1）用灰色数学处理不确定量，使之量化. （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规律. （3）灰色系统理论能处理贫信息系统.
为两极最小差
为两极最大差成为分辨率
， 0 1 一般取 0.5
对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进
行初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据
（2）关联度
Xˆ 0 k 和 X 0 k 的关联度
r 1
n
k
n k 1
灰色绝对关联度
设系统行为序列 X 0 与 X i 长度相同，
根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系 是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大， 反之就越小。
灰色系统理论的关联分析与数理统计学的回 归分析比较
❖ 首先，它们的理论基础不同，关联分析基于灰色系统理 论的灰色过程，而回归分析基于概率论的随机过程；
❖ 其次，分析方法不同，关联度分析是进行因素间时间序 列的相对变化的计算和比较，而回归分析是因素间各对 数组数值之间的计算；
灰色系统理论与建模
讲授内容
❖1.灰色系统的定义和特点 ❖2 .灰色关联 ❖3.灰色预测模型GM(1,1) ❖4.实例 ❖5.其他灰色预测模型 ❖6.课后作业
1. 灰色系统的定义和特点
灰色系统理论基础
❖ 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论（ Gray Forecast Model） ，是一种研究少数据、贫信息 不确定问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已 知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确 定系统为研究对象，主要通过对部分已知信息的生成 、开发，提取有价值的信息、实现对系统运行行为、 演化规律的正确描述和有效监控。
❖ 一般情况下，对于较稳定的社会经济系统进行发展态 势的关联度分析时，多采用初值化变换，因这样的数 列多数呈增长的趋势。
关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法 ，在计算关联度前应计算关联系数。
（ 设1）关联系数：X 0 k X 0 1, X 0 2,..., X 0 n Xˆ 0 k Xˆ 0 1, Xˆ 0 2,..., Xˆ 0 n
则关联系数定义为：
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
(k)
Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k
式中：
Xˆ 0 k X 0 k 为第k个点 X 0 和 Xˆ 0 的绝对误差
min min Xˆ 0 k X 0 k max max Xˆ 0 k X 0 k