苏科版九年级第五章 《二次函数》知识点

初三苏教版数学下二次函数的图像和性质知识
点
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式），查字典数学网为大家整理了二次函数的图像和性质知识点，希望对大家有帮助！知识点1二次函数的图像是一条抛物线。

2抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)。

3二次项系数a决定抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b 异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点;Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点;Δ=b^2-4ac1 C. x>- 4 D . -42.某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如果提高售价，才能在半月内获得最大利润?答案：1、 A2、售价为35元时，在半月内可获得最大利润二次函数的图像和性质知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。

苏科版九年级数学下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 十二、二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

九年级数学下册《二次函数》知识点总结苏教版一、二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax ²+bx+c则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线。

抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴。

二次项系数a决定抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

三、用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法只是一种方法，是一套固定程序，并不是什么公式。

就比如说二次函数，有一种一般表达式y=ax²+bx+c，那么a、b、c叫做系数，它们未知，有待确定所以叫“待定系数法”。

待定系数法就是要想办法找出这个二次函数过的三个已知点，把它们代入表达式ax1²+by1+c=0ax2²+by2+c=0ax3²+by3+c=0解这三个方程可以求出a、b、c就算出了二次函数表达式。

有时候也不一定非要把这三个数都求出来，只是要它们之间的某些关系。

四、二次函数与一元二次方程一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

五、用二次函数解决问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：建立适当的平面直角坐标系;把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;用待定系数法求出抛物线的关系式;利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。

二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

练习：1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c2.m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数？1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则点A(ac ，bc)在（ ）．A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O xy （3题图）O(第1题图)x y2题2、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，对称轴是x =1，则下列结 论中正确的（ ） A ． a c >0B ． b <0C ．D ．3、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则直线y bx c =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ） A ．①②③④ B ．④ C ．①②③ D ．①④5题 6题5、已知二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0；② b = 2a ；③ a + b + c ；④a – b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）(A) ab < 0 (B) bc < 0 (C) a+b+c > 0 (D) a-b+c < 0二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

初三第一学期数学期终复习要点三第5章 二次函数知识点：二次函数，二次函数图像与性质，用待定系数法确定解析式，二次函数与一元二次方程，用二次函数解决问题。

典型例题：例1．在下列各点中，一定在二次函数y =(−1)2+2图象上的是（ ） A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(−1，2)D ．(1，0)例2．已知二次函数y =2−4+3，当>0时，函数值y 的取值范围是（ ） A ．y ＞3B ．y ＜3C ．y ≥−1D ．−1≤y ＜3例3．已知抛物线y =a 2+2+c 的顶点坐标为(1，4)，则c 的值为 .例4．如图，在抛物线y =2的内部依次画正方形，使对角线在y 轴上，另两个顶点落在抛物线上.按此规律堆垒，第2015个正方形的边长是 ．例5．已知点M (2，1)在二次函数y =a 2−2b +1的图象上． (1)b = ；（用含a 的代数式表示）；(2)该二次函数的图象与轴的两个交点为A 、B ，若AB =1，求该二次函数的表达式； (3)在(2)的条件下，若A (m ，y 1)，B (m +2，y 2)两点都在该函数图象上，试探究y 1与y 2的大小.例6．如图，抛物线y =122+b −4与轴交于点B (−2，0)和C ，点M 在y 轴上． (1)求抛物线的解析式；(2)连结BM 并延长，交抛物线于点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E .当以B 、D 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似时，求点M 的坐标； (3)连结BM ，当∠OMB +∠OAB =∠ACO 时，求AM 的长.当堂练习：1．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离(m)2间的关系为y＝－112(－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是（ ） A ．2mB ．8mC ．10mD ．12m2．已知抛物线y ＝a(＋1)(－3a)与轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的a 的值有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若二次函数y ＝a 2＋b ＋c 的与y 的部分对应值如表，则当＝－1时，y 的值为 ． 4．已知二次函数y ＝(a －1)2－2＋l 的图像与轴有两个交点，则a 的取值范围是 ． 5．已知抛物线y ＝a 2经过点A(－2，4)．(1)求该抛物线的函数关系式； (2)判断点B 3）是否在此抛物线上；(3)若图像上有两点M(1，y 1)、N （2，y 2），其中12x x <l ，则y 1 y 2(在横线上填“<”“＝”或“>”）．6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－－3与抛物线y ＝2＋m ＋n 相交于两个不同的点A 、B ，其中点A 在轴上．(1)则A 点坐标为 ▲ ；(2)若点B 为该抛物线的顶点，求m 、n 的值；(3)在(2)条件下，设该抛物线与轴的另一个交点为C ，请你探索在平面内是否存在点D ，使得△DAC 与△DCO 相似？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．课后作业：1．已知函数y ） A ．<－1B ．>－1C ．≤－1D ．≥－12．已知二次函数y ＝a 2＋b ＋a(a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A ．函数y ＝a 2＋b ＋c(a ≠0)的最小值是－4；B ．－1和3是方程a 2＋b ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根；C ．当<1时，y 随的增大而增大；D ．当≤－1或≥3时，不等式a2 ＋b ＋c ≥0成立.（第2题）（第3题）3．如图，已知抛物线y ＝－2＋p ＋q 的对称轴为直线＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝＋b 与该抛物线的另一个交点为N （－1，1）．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为（ ） A ．(0，2)B ．（0，53） C ．（0，43） D ．（0，32） 4．如图，已知二次函数y ＝122－2＋3的图象的顶点为A ，且与y 轴交于点C ． (1)求点A 与点C 的坐标；(2)若将此函数的图象沿轴向右平移1个单位，再沿y 轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式及点C 的对应点的坐标；(3)若A(m ，y 1)，B(m ＋1，y 2)两点都在此函数的图象上，试比较y 1与y 2的大小．5. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A 在DE 上，以A 为顶点的抛物线过点C ，且对称轴－1交轴于点B ．连接EC ，AC ．点P ，Q 为动点，设运动时间为t 秒．(1)填空：点A 坐标为 ▲ ，抛物线的解析式为 ▲ ；(2)在图1中，若点P 在线段OC 上从点O 向点C 以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE 上从点C 向E 以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？参考答案：典型例题：1、B ；2、C ；3、3；4、；5、(1) b =a ． ························································ 2' (2) 抛物线的对称轴为：直线=1． ·················································································· 3'∵AB =1，∴点(12，0)在抛物线上. ··········································································· 4' 代入表达式：y =a 2−2a +1得：a =43．即表达式为：y =432−83+1． ························ 5' (3) ①当m =0时，y 1=y 2； ································································································ 6' ②当m <0时，y 1>y 2； ································································································· 7' ③当m >0时，y 1<y 2． ································································································· 8' 6. 解：(1)由题意得：0=2−2b −4，解之得：b =−1． ······················································· 1' ∴该函数解析式为：y =122−−4． ················································································ 2' (2)易证：△BOM ∽△BED ．∴为使△BDE 与△AOC 相似，只需△BOM 与△AOC 相似．易得：OC =4，OB =2，OA =4，∴△AOC 为等腰直角三角形． ······························· 4' ∴△BOM 也为等腰直角三角形．∴M (0，2)或M (0，−2)． ································· 6' (3)如图，点M 1满足条件∠OM 1B +∠OAB =∠ACO . ∵∠ACO =45°，∴∠DBM 1=45°. 过点M 1作M 1D ⊥AB 于点D . ∴DB =DM 1.tan ∠BAO =12. 在Rt △AOB 中，易得：AB= 设DM 1=，则在Rt △AOB 中，易得：12=. 解之得：=∴AM 1DM 1=10. ···················· 8' 根据对称性，在y 轴负半轴上，OM 2=OM 1.∴AM 2=OM 2−OA =10−4−4=2. ···················································································· 10'当堂练习：1、 C ；2、C ；3、-3；4、2a <且1a ≠；5、6.课后作业：1、D；2、C；3、A；4、5.。

《二次函数》知识点解读知识点1 二次函数的概念二次函数的概念：形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b ，c 为常数)的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c;若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般式。

在二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0，a,b,c 为常数）中,其中ax 2叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项,b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项。

为什么要规定二次项的系数a≠0？当a=0时,函数为y=bx+c 是一次函数，由此可见，一次函数是二次函数的特例.（1）a≠0是保证y 是x 的二次函数的重要条件，不能缺少.b 、c 可以为0。

(2)因为解析式是整式，所以自变量x 的取值范围是全体实数.(3)确定二次函数的解析式就是确定待定系数a ，b ，c ，一般需要三个条件.（4）识别二次函数的条件：必须是整式，自变量的最高次数为2，即必须有二次项. 例1 下列函数中，哪些是二次函数？(1）y=2+5x 2 （2）322+=x y （3）y=3x （x+5) (4）225x y = （5）y=x 2—4（4-x ）2分析：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0,a,b,c 为常数）是整式函数,二次函数不一定是一般式,通过化简变形可以化成一般式,注意隐含条件a≠0。

解:(1）（3）（4)（5）是二次函数；（2）不是.例2 已知，函数22)2(-+=k x k y 是关于x 的二次函数，你能确定k 的值吗?请说明理由。

分析:要想确定k 的值，可由二次函数的定义来求解。

解:由题意，得{22022=-≠+k k解得k=2。

所以，当k=2时,函数22)2(-+=k xk y 是关于x 的二次函数。

知识点2 二次函数在实际问题中的应用例3 某商场第一个月销售额为50万元，第三个月的销售额y(万元）与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解析：函数关系式是y=50（1＋x ）2，即y=50x 2+100x+50。

苏教版初三数学：二次函数知识点概括一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在以下关系：y=ax2+bx+c(a0) ，则称 y 为 x 的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(a0) 极点式：y=a(x-h)2+k(a0) ，此时抛物线的极点坐标为P(h， k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0) 仅用于函数图像与x 轴有两个交点时， x1 、x2 为交点的横坐标，因此两交点的坐标分别为A(x1 ，0)和B(x2 ， 0))，对称轴所在的直线为x=注：在 3 种形式的相互转变中，有以下关系：h=-， k=;x1,x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像能够看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x=- ，对称轴与抛物线独一的交点是抛物线的极点 P。

特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴 (即直线 x=0)2.抛物线有一个极点 P，坐标为 P(-，)。

当 x=- 时， y 最值 =，当a0 时，函数 y 有最小值 ;当 a0 时，函数 y 有最大值。

当 -=0 时，P 在 y 轴上 (即交点的横坐标为 0);当 =b2-4ac=0 时， P 在x 轴上 (即函数与x 轴只有一个交点)。

3.二次项系数 a 决定抛物线的张口方向和大小(即形状 )。

当a0 时，抛物线张口向上;当 a0 时，抛物线张口向下。

|a|越大，则抛物线的张口越小。

对于两个抛物线，若形状同样，张口方向同样，则 a 相等 ;若形状同样，张口方向相反，则 a 互为相反数。

4.二次项系数 a 和一次项系数 b 共同决定对称轴的地点，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在 y 轴左侧时， a 与 b 同号(即 ab 当对称轴在 y 轴右侧时， a 与 b 异号 (即 ab0)。

5.常数项c 决定抛物线与 y 轴交点地点，抛物线与 y 轴交于点(0， c)。

二次函数与一元二次方程知识点击知识点1 二次函数与一元二次方程的关系我们知道，如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴有两个交点（x 1,0）、（x 2,0）.那么一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是x=x 1或x=x 2.那么二次三项式)0(2≠++a c bx ax 可以因式分解为))((21x x x x a --的形式。

我们把具有形式))((21x x x x a y --=的二次函数的解析式叫做二次函数的两根式，也叫交点式。

① 图象与x 轴有两个公共点（x 1,0），(x 2，0)时，一元二次方程ax 2+bx+c=0 就有两个不相等的实数根x 1和 x 2② 图象与x 轴有且只有一个公共点（x 1,0）时，一元二次方程ax 2+bx+c=0 就有两个相等的实数根x 1=x 2 ③ 图象与x 轴没有公共点时，一元二次方程ax 2+bx+c=0 就有没有实数根；反之根据ax 2+bx+c=0的根的情况，可以知道二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴位置关系知识点2 二次函数的解析式的三种形式（1）一般式：c bx ax y ++=2（a 、b 、c 为常数，0≠a ）（2）顶点式：k h x a y +-=2)(（0≠a ）.),(k h 为抛物线的顶点坐标.（3）两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中1x 、2x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根.例1、抛物线与x 轴的交点坐标是（-1,0），（3,0），且过点（1,4），求此二次函数的解析式。

例2、抛物线y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x=－1，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线表达式．例3、已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；．【课堂练习】1．抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为2．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=．3．已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的系数有a －b ＋c=0，则这条抛物线经过点．4．二次函数y=kx 2＋3x －4的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．5．抛物线y=3x 2＋5x 与两坐标轴交点的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无6. 若a ＞0，b ＞0，c ＞0，b 2－4ac ＞0，那么抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过象限．7. 抛物线y=x 2－2x-8的顶点坐标是__与x 轴的交点坐标是________.8. 抛物线y=3x 2＋mx ＋4与x 轴只有一个交点，则m=．9.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ． （1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？。