阿贝尔和伽罗瓦的比较

的最 大贡献 也 正 是 发 现并 培 养 了这 位 数学 天 才．
良师耐心 细致 的教 诲 ， 唤起 了他 学习数 学 的愿望 ， 使 他对数 学产生 了兴趣 ． ”
相 信高斯 将能认 识他 工作 的价 值而 超 出 常规地 接
见． 看来高 斯并 未重 视这 篇论 文 ， 但 因为 人们在 高
时 间 阿贝尔 Ａ ｅ ｂｌ 伽 罗 瓦 Ｇ ｌｉ ａｏｓ １９ ８ ２～ １ ２ ８９年 １ １ ～ １３ ８１ ８２年 国籍 挪 威 法 国
１ ５ 成 就 的影 响 不 同 ．
“ 阿贝尔 的 一 系 列 工作 为 后 人 留下 丰 厚 的 数 学遗 产 ， 为群 论 、 域论 和 椭 圆函数 论 的研 究 开拓 了
阿贝 尔 — — “ 从满 怀希 望 到 渐 生 疑 虑 终 至完
论文 ， 都在 ‘ 雷勒 杂 志 ‘ 发表 了． 些论 文将 阿 克 上 这
贝尔 的名 字传 遍 欧 洲 所 有 重 要 的 数 学 中心 ， 业 他
已成 为众所 瞩 目的优 秀数 学 家之 一． 遗憾 的是 ， 他
全 失望 ， 阿贝 尔在 巴黎 空 等 了将 近一 年． 寄居 的 他
发 表． １４ 成 果 的广 泛性 不 同 ．
但 实情 是他 确 已心 力 交 瘁 了． 阿贝 尔 只 好 拖着 病 弱 的身 体 ， 着 一 颗 饱 尝 冷 遇 而 孤 寂 的 心告 别 巴 怀
黎 回 国． ”
伽 罗瓦 —— “ 事 业 必 胜 的 信 念 激励 着 年 轻 对
的伽 罗 瓦’ 然他 的论 文一 再被 丢失 ， ． 虽 得不 到应 有
数 学工具 一 群论 ． 对 数 学 分 析 、 何 学 的发 展 它 几
１ ２ 数 学研 究的成 就 不 同 ． 阿贝 尔证 明对 一般 的 四次 以上 的 方程 没 有代 数 解． ．

一般代数方程历史及其数学思想评述一般代数方程是数学中的一个重要课题，其起源可以追溯到公元前一世纪的古希腊数学。

对于一般代数方程的研究和发展却经历了漫长而曲折的历史。

最早的一般代数方程研究可以追溯到古希腊数学家丢番图斯。

他提出了求解一次和二次方程的方法，并创立了“丢番图斯学派”。

这个学派的代表作品是《算术书》和《几何学十三书》。

《算术书》中提出了求解一次和二次方程的方法，为一般代数方程的研究奠定了基础。

古希腊时期之后的数学中世纪，一般代数方程的研究几乎停滞不前。

直到16世纪，才有了新的突破。

法国数学家维埃特开始研究解三次方程的方法，并发现了一种可以解决三次方程的方法，即维埃特公式。

这个公式为三次方程的解法提供了重要的线索，为后来解三次方程的方法奠定了基础。

17世纪末期，法国数学家弗朗索瓦·维埃特和德国数学家戴德金开始研究四次方程的解法。

经过多年的努力，他们终于发现了一种可以解四次方程的方法，即维埃特-戴德金公式。

这个公式成功地求解了四次方程，但却没有找到解五次方程的方法。

19世纪初期，挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦开创了代数方程理论的新纪元。

阿贝尔证明了无论多高次的代数方程，只要存在有理数根，就可以用有理系数的有理数根表示。

而伽罗瓦则发展出了一种检验代数方程是否可解的准则，即伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论将代数方程的研究推进到了一个新的高度，为一般代数方程的解法提供了巨大的启示。

20世纪初期，法国数学家皮卡和黎曼为一般代数方程的解法提供了新的方法。

他们利用复数域的性质，发现了一种可以推广到任意高次方程的方法，即皮卡-黎曼方法。

这个方法为高次代数方程的解法提供了便捷而有效的手段。

一般代数方程的研究历史可以概括为从丢番图斯的一次和二次方程解法，到维埃特的三次方程解法，再到维埃特-戴德金的四次方程解法，再到阿贝尔和伽罗瓦的代数方程理论，最后到皮卡和黎曼的高次方程解法。

每一次的突破都为一般代数方程的解法提供了新的思路和方法。

数学家的小故事：数学战士伽罗瓦
 今天极客数学帮为大家带来的数学家的小故事是关于伽罗瓦的。

这位来自法国的数学天才，21岁时就离开了这个世界，但是在这短短21年当中，他
对数学做出了巨大的贡献。

今天我们就一起来看看这位数学天才的一生。

 埃瓦里斯特·伽罗瓦（1811年10月25日－1832年5月31日），法国数学家，与尼尔斯·阿贝尔并称为现代群论的创始人。

 伽罗瓦的父母都是知识分子，12岁以前，伽罗瓦的教育全部由他的母亲
负责，他的父亲在伽罗瓦4岁时被选为Bourg
 La Reine的市长。

 12岁，伽罗瓦进入路易皇家中学就读，成绩都很好，却要到16岁才开始跟随
 Vernier 老师学习数学，他对数学的热情剧然引爆，对于其他科目再也提不起任何兴趣。

校方描述此时的伽罗瓦是“奇特、怪异、有原创力又封闭”。

 1827年，16岁的伽罗瓦自信满满地投考他理想中的大学：综合工科学校，却因为昏庸无能的主考官而名落孙山。

 1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，由奥古斯丁·路易·柯西负责审阅，柯西却将文章连同摘要都弄丢了（19世纪的两个短。

阿贝尔和伽罗瓦的比较今天我要向大家介绍两位朋友――阿贝尔和伽罗瓦1 阿贝尔与伽罗瓦的不同点1．1 两人的个人基本情况比较1．2 数学研究的成就不同阿贝尔证明对一般的四次以上的方程没有代数解．伽罗瓦解决了什么样的方程有代数解，即方程有根式解的充要条件．1．3 运气不同“阿贝尔最终毕竟还是幸运的，他回挪威后一年里，欧洲大陆的数学界渐渐了解了他．继失踪的那篇主要论文之后，阿贝尔又写过若干篇类似的论文，都在‘克雷勒杂志‘上发表了．这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心，他业已成为众所瞩目的优秀数学家之一．遗憾的是，他处境闭塞，孤陋寡闻，对此情况竟无所知．”但是伽罗瓦的重大创作在生前始终没有机会发表．1．4 成果的广泛性不同阿贝尔在数学上的贡献，主要表现在方程论、无穷级数和椭圆函数等方面．即除了代数方程论之外，阿贝尔还从事分析方面的研究．所以说阿贝尔是多产的．但是伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论．即伽罗瓦的成果重在代数方程论．1．5 成就的影响不同“阿贝尔的一系列工作为后人留下丰厚的数学遗产，为群论、域论和椭圆函数论的研究开拓了道路．他的数学思想至今深刻地影响着其他数学分支．C．埃尔米特(Hermite)曾这样评价阿贝尔的功绩：阿贝尔留下的一些思想，可供数学家们工作150年．”“伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论．正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程．正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具―群论．它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始．”1．6 心理状况不同阿贝尔――“从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望，阿。

名称 号码 类型 。。。 价格 数量
。。。
。。。 。。。
代数结构
代数系统这一研究领域的形成在数学史上是一件划时代的大事，它标志着人 们对数学的研究达到了一个新的高度。但是代数系统作为一个独立的研究领 域，其形成是来之不易的，是很多天才的数学家们经过漫长的前赴后继的探 索才得来的。在这个过程中，天才的想象力、深刻的洞察力、对数学的热爱， 还有对真理的执着追求都像灯塔一样照亮着数学家们4年，德国数学家康托尔创立了朴素集合论，为数学的统一提供了 基础。正当集合论被誉为绝对严格的数学基础时，1900年前后，集合 论的悖论相继发现，尤其是罗素悖论的提出，动摇了整个数学的基础。 使人们对数学的严密可靠性产生了怀疑，从而触发了极为严重的第三 次数学危机。为了排除悖论，克服危机，恢复数学的“绝对严格性”， 数学家和逻辑学家做了大量工作，展开了激烈的论战。于是在20世纪 初，便产生了一个新的数学领域——数学基础，并逐步形成了三大学 派。同时，数学家对集合论也进行了公理化改造，建立了各种形式的 公理集合论。 对于计算机科学工作者来说，集合论也是必备的基础知识。在开关理 论、形式语言、编译原理以及数据库原理等领域中，集合论都有着广 泛的应用。现在，集合论的原理和方法已成为计算机科学的重要基础 理论之一，集合的元素已由数学的“数集”和“点集”拓展成包含文 字、符号、图形、图表和声音等多媒体的信息，构成了可以包含各种 数据类型的集合。
图论
图论是一个古老但又十分活跃且很有实用价值的数学分支，它在自然科 学、社会科学等各领域均有很多应用。近年来它受计算机科学蓬勃发展 的推动，发展极其迅速，应用范围不断拓广，已渗透到诸如语言学、逻 辑学、物理学、化学、电信工程、计算机科学以及数学的其他分支中。 1736年是图论的历史元年。这一年，欧拉研究了哥尼斯堡的七桥问题， 发表了图论的首篇论文。欧拉也因此被称为图论之父。

伽 罗 瓦 1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。

除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。

十二岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。

他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望。

他不见重于师长，甚至被说成是笨蛋。

他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。

学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。

接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”。

1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数学教师里沙（1795-1849）。

里沙不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。

里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上，十九世纪法国有好几个杰出的数学家，就出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。

伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了“群”的思想。

写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松。

柯西是当时法国首屈一指的数学家。

他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失。

第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视。

第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了。

简述伽罗瓦对代数学的贡献
与尼尔斯阿贝尔并称为现代群论的创始人，被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩的人物之一。

伽罗瓦理论是将群和域两种代数结构联系起来的理论，是代数学乃至整个现代数学的基础理论之一。

伽罗瓦是站在巨人的肩膀上完成了群论的工作的，他证明了高于5次的代数方程都没有求根公式。

他创造性地引入了“正规子群”等概念，来研究“可解群”。

法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿贝尔等人的工作启发之下完成的。

他在拉格朗日的基础上提出了“置换群”、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等全新的数学概念。

伽罗瓦研究根的排列，实际上建立了置换群。

1829-1831年，伽罗瓦发现了代数方程可用根式解的基本定律――伽罗瓦基本定律。

判断根式可解的充要条件。

问题转化为域，建立了子域与子群的对应关系，给出了根式可解得充要条件，开辟了代数学的新纪元。

盘点历史上英早逝的数学家历史上有很多数学家，他们为数学的发展做出了许多巨大的贡献，在数学的舞台上绽放光芒，但是其中一部分数学家，来不及看到自己研究结果被肯定，就匆匆与这个世界告别。

实在令人遗憾。

今天来盘点一下历史上英年早逝的数学家们。

埃瓦里斯特·伽罗瓦伽罗瓦，1811年10月25日生，法国数学家。

现代数学中的分支学科群论的创立者。

用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗瓦群和伽罗瓦理论。

在世时在数学上研究成果的重要意义没被人们所认识，曾呈送科学院3篇学术论文，均被退回或遗失。

后转向政治，支持共和党，曾两次被捕。

21岁时死于一次决斗。

1830年七月革命发生，保皇势力出亡，高等师范校长将学生锁在高墙内，引起伽罗瓦强烈不满，12月伽罗瓦在校报上抨击校长的作法，因此被学校退学。

由于强烈支持共和主义，从1831年5月后，伽罗瓦两度因政治原因下狱，也曾企图自杀。

在监狱中，伽罗瓦仍然顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文及其他数学工作，一面为将要出版的着作撰写序言。

伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的基本支柱之一。

它直接推论的结果十分丰富：他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解。

他漂亮地证明高斯的论断：正十七边形可做图。

他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。

尼尔斯·亨利克·阿贝尔阿贝尔(1802年8月5日-1829年4月6日)，挪威数学家，在很多数学领域做出了开创性的工作。

他最着名的一个结果是首次完整给出了高于四次的一般代数方程没有一般形式的代数解的证明。

这个问题是他那时最着名的未解决问题之一，悬疑达250多年。

他也是椭圆函数领域的开拓者，阿贝尔函数的发现者。

尽管阿贝尔成就极高，却在生前没有得到认可，他的生活非常贫困，死时只有27岁。

什么是群、什么是阿贝尔群（abel群、阿贝尔群也称为交换群或可交换群）、群论入门一、什么是群伽罗瓦理论之美参考URL:中文名：群外文名：group含义：数学概念在数学中，群表示具有满足闭包、结合律、单位元和逆元的二元运算的代数结构，包括Abel群、同态和共轭类。

伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。

在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。

（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；<2> 结合律：这个“乘法”满足(a b)c=a(b c)；<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e a=a e=a，e被称为单位元；<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素 a − 1 a^{-1} a−1 ，使得 a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = e a*a^{-1} =a^{-1}*a=e a∗a−1=a−1∗a=e ，a与 a − 1 a^{-1} a−1 互为逆元。

此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。

容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。

其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。

数学史话之夭折的天才阿贝尔和伽罗瓦我们每个人都知道，诺贝尔奖每年都有，颁给了很多在各自领域做出了突出贡献的科学家，但唯独没有给数学家的奖项，而数学界的诺贝尔奖则一直由一个叫做菲尔兹的奖项独占。

然而菲尔兹奖相对于诺贝尔奖来说，不但少（四年一届），而且条件苛刻（只颁给40岁以下的数学家）。

可能是觉得数学家在40岁以后基本已经告别开拓和创新了吧，不过也的确如此，世界范围内的数学家都是在十分年轻的时候就做出了惊人的成就。

而这个世界对于数学家，特别是青年数学家来说，又实在太残酷了。

很多时候，他们需要的不止是才华，还有时代、方向、领域，甚至运气。

比如科普君今天要说的这两位，都是在生命之花刚开始绽放的时候就凋谢了，如同划过天边的流星一样，闪亮而短暂。

他们用极其短暂的一生奉献给人类的却是'够科学家忙500年'的成果。

他们就是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔和伽罗瓦尼尔斯·亨利克·阿贝尔于1802年出生在挪威的一个小村庄芬德，他的父亲是个牧师。

当时整个挪威都十分贫穷，阿贝尔从小就处在饥饿之中。

他13岁的时候开始入学读书，这时候它的数学才华开始显现。

在他老师的引导下，16岁的阿贝尔开始阅读牛顿、欧拉和拉格朗日的著作，并且很快就领会了它们，然后他开始挑战高斯的《算术研究》，也非常快地掌握了这本'七封印之书'的最深奥难懂的部分。

若干年后，有人问阿贝尔如何才能快速地进入一流的行列，阿贝尔回答说：要学习大师们，而不是他们的学生。

阿贝尔在学习的过程中发现了前辈们认为已经证明了的，但是实际上并没有被严格证明的很多东西，特别是欧拉的关于无穷级数和拉格朗日的关于分析学的一些内容。

阿贝尔决心依靠自己的努力来弥补这些不足，他很快就证明了一般二项式定理，但这只是阿贝尔为了澄清无穷级数理论和应用的极具野心的庞大计划的一小部分。

二项式定理然而，到了1820年，阿贝尔的父亲去世了，养活全家（阿贝尔有6个弟妹）的重担压到了18岁的阿贝尔肩上。

§1.2 矩阵的基本运算 主要内容 线 性 一、矩阵的相等 二、矩阵的和 三、矩阵的数乘 四、矩阵的乘法
代
数
五、单位矩阵与0矩阵
六、方阵的幂及方阵的多项式
七、矩阵的转置
一、矩阵的相等
定义 设 A=[aij]m×n 与 B=[bij]p×q 是两个矩阵，若
线 性
它们满足 (1)m = p 且n = q； (2)aij=bij，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,n。 则称A与B相等，记为A=B。
如： 3 Ａ＝ 2 6 0 4 8 0 0 0
（即对角线以下的矩阵元不等于０）
６、标量矩阵： 指的是aij=0（i≠j），aiｉ=ajｊ=δ（常 量）的ｎ阶对角阵。
线 性
即：
δ ０ Ａ＝diag(δ , δ ,…, δ )= ０ δ ┇ ０ ┇ ０
… ０ … ０ ┇ … δ
代
数
7、单位矩阵： 指的是δ＝１的标量矩阵，记为Ｉ或Ｅ。
子的年龄分别为多少岁？
解：显然根据题意只有一个已知数字条件，故通过常规的方程组
线 性
无法求解，而必须借助题中说话者话语间的逻辑进行推理。故首先 是对36进行分解，并列出所有可能的三个数相乘情况，于是就可以
得到一个列数为3的矩阵（不妨假设按儿子大小的顺序排列）：
代
数
大 36 18 12 9 9 6 6 4
代
数
三、实际问题的矩阵表达
例1
某县有三个乡镇,县里决定建立一个有线电视网。
通过勘察测算，获得一组有关建设费用的预算数据：
线 性
代
数
我们也可以用矩阵的形式给出有关建设费用的预算数据：
0 2 3.5 3
2 0 1 2

1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安 尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些 钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些
钱，他必须还清。于是，阿贝尔靠给一些小学
生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿
钱。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军事学
院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，
却已经可以让他安心继续从事椭圆函数的工作
随便翻翻丢在一个角落里去了。
阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一 类超越函数的一般性质的论文》是数学史上 重要的工作，他长久的等待着消息，可是一 点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在 那里他病倒了，他不知道自己已患上了肺结 核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱 。他只剩下大约七元钱。他写了一封急信， 延误了一些时间,从霍姆伯厄那里借来了一笔 钱。阿贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄 的大约六十元借款生活和从事研究。最后， 当他所有的来源都枯竭时，只好掉头回国。
位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄代替
。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一
个称职但决不是很有才气的数学家。他在科学 上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而 且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助。阿贝尔 死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊 人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学， 还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作 。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了经典 著作中最难懂的部分。在中学的最后一年，阿 贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次 方程问题，不久便认为得到了答案。霍姆伯厄 将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数 学家达根。
能他觉得这个大数学家难以接近，也难以帮助
他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。

第二章群群论有着悠久的历史, 现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支, 在近世代数和整个数学中占有重要地位.在19 世纪初, 数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题,即五次和五次以上代数方程的根式解问题, 被挪威青年数学家阿贝尔( N .H .Abel , 1802～ 1829 ) 和法国青年数学家伽罗瓦( E .Galois , 1811～1832 )所彻底解决. 从而推动了数学的发展, 其重要意义是不言而喻的. 但更重要的是, 他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想, 即置换群的理论, 它对今后数学的发展, 特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用. 因此可以说, 阿贝尔和伽罗瓦是群论和近世代数的真正创始人.在阿贝尔和伽罗瓦之后, 人们逐渐发现,对于这一理论中大多数的本质问题来说, 用以构成群的特殊材料—置换—并不重要, 重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究,即对于我们上一章所说的代数系统的研究. 这样一个现在看起来似乎很平凡的发现, 实际上是一个很大的突破, 它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去. 这样便把群的研究建立在公理化的基础上, 使它的理论变得更加严谨和清晰, 从而为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景.在群的抽象化理论中做出贡献的数学家, 主要有凯莱( A.Cayley , 1821～1895) 、弗罗宾纽斯( F.G.Frobenius , 1849～1917)以及柯西( A.L.Cauchy , 1785～1857)、若尔当(C.Jordan ,1838～1922 )和西罗( L.Sylow, 1832～1918 )等人.这一章主要介绍群的定义、例子、基本性质和一些特殊群类.§1 群的定义和初步性质定义1 设G 是一个非空集合, 是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立, 即对G 中任意元素a ,b ,c 都有()()a b c a b c =;Ⅱ.G 中有元素e, 叫做G 的左单位元, 它对G 中每个元素a 都有e a a =;Ⅲ.对G 中每个元素a , 在G 中都有元素1a -, 叫做a 的左逆元,使1a -a e =;则称G 对代数运算作成一个群.如果对群G 中任二元素a ,b 均有a b b a =,即G 的代数运算满足交换律, 则称G 为交换群( 可换群) 或Abel 群. 否则称G 为非交换群(非可换群)或非Abel 群.例如, 显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群, 分别称其为零有理数乘群有理数乘群.但应注意, 整数集Z 对于数的普通乘法不能作成群. 因为,尽管普通乘法是Z 的代数运算, 并且满足结合律, 也有左单位元1, 但是, 除去±1外其他任何整数在Z 中都没有左逆元.又显然, 数域F 上全体n 阶满秩方阵对矩阵的普通乘法( 或F 上n 维线性空间的全体满秩线性变换对线性变换的乘法) 作成一个群, 通常称其为F 上的一般线性群或F 上的n 阶线性群,并用()n GL F 表示.下面再举一些别的例子.例1 设G 为整数集. 问: G 对运算4a b a b =++是否作成群?解 由于对任意整数a ,b , 显然4a b ++为由a 与b 惟一确定的整数, 故所给运算是G 的一个代数运算. 其次, 有()(4)4a b c a b c =++++8a b c =+++.同理有()a b c 8a b c =+++. 因此, 对G 中任意元素a ,b ,c 有 ()a b c =()a b c ,即代数运算满足结合律.又因为对任意整数a 均有(4)44a a a -=-++=,故4-是G 的左单位元.最后, 由于(8)844a a a a --=--++=-,故8a --是a 的左逆元.因此, 整数集G 对代数运算作成一个群.例2 问: 由全体正整数作成的集合G 对运算b a b a =是否作成群?解 所给运算显然是全体正整数集合的一个代数运算. 但是结合律不成立, 因为例如==,(21)2224==,2(12)212从而(21)22(12)≠.因此, 全体正整数集合对这个代数运算不作成群.对于一个集合, 要考察它是否作成群, 不仅要注意它的元素是什么, 更应注意它的代数运算是什么.因为同一个集合, 对这个代数运算可能作成群, 而对另一个代数运算却不一定作成群; 即使对两个不同的代数运算同时都作成群, 那么一般来说, 也被认为是两个不同的群.我们知道, 一个群的代数运算叫什么名称或用什么符号表示,这是非本质的.因此, 在不致发生混淆时, 有时为了方便, 也常把群的代数运算叫做“乘法”, 并且往往还把a b简记ab.一个群如果只包含有限个元素, 则称为有限群; 否则称为无限群.如果一个有限群G中所含的元素个数为n , 则称n为群G的阶, 并记为G n=.无限群的阶称为无限, 被认为是大于任意的正整数.例如, 1G>就意味着G可能是阶大于1 的有限群, 也可能是无限群.我们前面所提到的一切群都是无限群, 下面再举几个有限群的例子.例3 全体n次单位根对于数的普通乘法作成一个群.这个群记为U,并称为n次单位根群.n事实上, 由于任二n 次单位根的乘积以及n 次单位根的逆均仍为 n 次单位根, 又1是n 次单位根, 故n U 作成群, 而且是一个n 阶有限交换群.以后将知道, n 次单位根群是一种很重要的群.例4 令{}1,,,,1,,,G i j k i j k =----,并规定G 的乘法如下:111111i j k i j k ii k j jj k i k k j i ------ ,()()x y x y xy -=-=-,()x x --=,其中{},1,,,x y i j k ∈.显然G 对这个乘法封闭(即G 中任二元素之积仍属于G ) ,因此, 此乘法是G 的一个代数运算; 又1是左单位元; 每个元素的左逆元也是明显的: 因为, 1与-1的左逆元均为自身, i 与i -(j 与j -以及k 与k -)互为左逆元.因此, 要证明G 对此乘法作成一个群, 关键在于验算结合律成立. 但由乘法表知, 因为,,i j k 三个元素在乘法中地位相当, 故只用验算以下诸等式成立即可:()()ii i i ii =,()()ii j i ij =,()()ji i j ii =,()()ij i i ji =,()()ij k i jk =.不难验算这五个等式都成立, 故G 对所规定的乘法作成一个群.它是一个8 阶非交换群. 通常称这个群为四元数群.这个群我们以后还要讨论.下面来讨论群的一些基本性质.定理1 群G 的元素a 的左逆元1a -也是a 的一个右逆元,即有1a -1a aa e -==.证 因为1a G -∈,故1a -在G 中也有左逆元, 设为a ', 即1a a e -'=由此可得()()()1111aa e aa a a aa ----'==()()1111a aa a a ea a a e ----⎡⎤'''===⎣⎦从而11a a aa e --==(证毕)以后称1a -是a 的逆元.定理2 群G 的左单位元e 也是G 的一个右单位元, 即对群G 中任意元素a 均有ea ae a ==.证 因为()()11ae a a a aa a ea a --====,故 ea ae a ==.(证毕)以后称e 为群G 的单位元.定理3 群G 的单位元及每个元素的逆元都是惟一的.证 设e 与e '都是G 的单位元, 则根据单位元的定义, 有ee e e ''==.其次, 设1a -及a '都是a 的逆元, 即有11a a aa e --==,a a aa e ''==.由此进一步得()()11a a e a aa a a a --''''===11ea a --==,即1a a -'= ,a 的逆元是惟一的.(证毕)推论1 在群中消去律成立, 即ab ac = b c =,ba ca = b c =.这个推论的证明是显然的, 因为只需用1a -分别从左、右乘二等式两端即得.下面介绍一种同群有密切关系但比群更广泛的代数系统. 定义2 设S 是一个非空集合. 如果它有一个代数运算满足结合律, 则称S 是一个半群.如果S 中有元素e , 它对S 中任意元素a 都有ea a =,则称e 为半群S 的一个左单位元; 如果在S 中有元素e ', 它对S 中任意元素a 都有ae a '=,则称e'为S的一个右单位元.如果半群S有单位元(既是左单位元又是右单位元) , 则称S为有单位元的半群, 或简称幺半群(monoid).在一个半群中, 可能既没有左单位元, 也没有右单位元; 可能只有左单位元, 而没有右单位元; 也可能只有右单位元, 而没有左单位元. 但是, 如果既有左单位元又有右单位元, 则二者必相等, 它就是半群的惟一的单位元.例5 正整数集对普通乘法作成一个半群, 而且是一个幺半群, 1 是它的单位元.例6 正整数集对普通加法作成一个半群, 它既没有左单位元也没有右单位元.例7 设S是任一非空集合, 对S中任意元素a,b规定=ab b则S作成一个半群, 而且S中每个元素都是左单位元. 但是当1S>时, S没有右单位元.本节最后介绍两个定理, 它实际上是群定义的另两种形式.定理4 设G是一个半群, 则G作成群的充分与必要条件是:1) G有右单位元e: 即对G中任意元素a都有=;ae a2) G中每个元素a都有右逆元1a-:1-=.aa e证利用定理1及定理2 的结果以及此二定理的类似证法,立即可得.这个定理说明, 在群的定义里, 可同时将左单位元改为右单位元并把左逆元改成右逆元.定理5 设G 是一个半群, 则G 作成群的充要条件是, 对G 中任意元素a ,b 方程ax b =,ya b =在G 中都有解.证 设G 作成群, 则1x a b -=,1y ba -=显然分别为两个方程的解.反之, 设对G 中任意元素a ,b ,所给两个方程在G 中都有解. 则对G 中任意一个固定元素b ,设方程yb b =在G 中的解用e 表示, 即有eb b =.再任取a G ∈,设方程bx a =在G 中的解为c , 即有bc a =.于是()()ea e bc eb c bc a ====,即e 是G 的左单位元.最后, 对G 中任意元素a , 由于方程ya e =在G 中有解, 即a 在G 中有左逆元.因此, G 作成一个群.(证毕)显然, 在群中方程ax b =与ya b =的解都是惟一的.推论2 有限半群G 作成群的充分与必要条件是, 在G 中两个消去律成立.证 必要性显然, 下证充分性, 设G n =,且{}12,n G a a a =.今在G 中任取元素a ,b . 由于半群G 满足消去律, 从而易知{}12,n b G aa aa aa ∈=. 于是在G 中必有某j aa b =()1j n ≤≤, 即方程ax b =在G 中有解.同理可证方程ya b =在G 中也有解. 故由定理5 知G 作成群.(证毕)在推论2中, 要求半群G 有限是必要的, 因为例如正整数集对乘法作成半群, 消去律也成立, 但显然它并不作成群.如果一个交换群G 的代数运算用加号“ + ”表示时, 我们常称其为一个加群. 这时的单位元改用0表示, 并称为G 的零元; 元素a 的逆元用a -表示, 并称为a 的负元.例如, 全体整数对数的普通加法作成一个加群, 常称其为整数加群; 又如全体有理数, 更一般地, 任意数环或数域对数的普通加法都作成加群.但应注意, 在一般情况下, 我们今后讨论抽象群时, 其代数运算不管是否满足交换律却仍用通常的乘号表示或省略这个乘号, 并仍称为乘法.§2 群中元素的阶设G 是一个群. 由于G 对乘法满足结合律, 因此由第一章可知,在G 中任意取定n 个元素1a ,2a ，n a 后, 不管怎样加括号, 其结果都是相等的, 所以12n a a a总有意义, 它是G 中一个确定的元素.下面我们对群中元素引入指数的概念.任取a G ∈,n 是一个正整数, 规定0a e =,n n a aa a =个，()1111n n n a a a a a -----==个.由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立:m n m n a a a +=,()n m mn a a =其中m , n 为任意整数.定义1 设a 为群G 的一个元素, 使n a e =的最小正整数n , 叫做元素a 的阶.如果这样的n 不存在, 则称a 的阶为无限(或称是零) .元素a 的阶常用a 表示.由此可知, 群中单位元的阶是1,而其他任何元素的阶都大于1. 例1 {}1,1,,G i i =--(i 是虚单位)关于数的普通乘法作成一个群,即4次单位根群. 其中1的阶是1 , -1的阶是2, i 与i -的阶都是4.例2 在正有理数乘群Q +中, 除单位元的阶是1外, 其余元素的阶均无限.例3 在非零有理数乘群*Q 中, 1的阶是1, -1的阶是2,其余元素的阶均无限.定理1 有限群中每个元素的阶均有限.证 设G 为n 阶有限群, 任取a G ∈,则1a ,2a ，n a ,1n a +中必有相等的. 设t s a a =, 11t s n ≤≤≤+, 则s t a e -=,从而a 的阶有限.(证毕)应注意,无限群中元素的阶可能无限, 也可能有限, 甚至可能都有限.例4 设i U (i 是正整数) 是全体i 次单位根对普通乘法作成的群, 即i 次单位根群. 现在令1i i U U ∞==,则由于一个m 次单位根与一个n 次单位根的乘积必是一个mn 次单位根, 故U 对普通乘法作成一个群, 而且是一个无限交换群.这个无限群中每个元素的阶都有限.定义2 若群G 中每个元素的阶都有限, 则称G 为周期群;若G 中除e 外, 其余元素的阶均无限, 则称G 为无扭群; 既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群.由定理1知, 有限群都是周期群.又例4 中的群U 是无限周期群; 例2 中的正有理数乘群Q +为无扭群, 例3中的非零有理数乘群*Q 为混合群.定理2 设群G 中元素a 的阶是n , 则m a e = n m .证 设m a e = 并令m nq r =+,0r n ≤<. ( 1)则由于n a e =, 故()qm nq r n r r a a a a a e +====. 但a n =,且0r n ≤<, 故必0r =. 从而由(1 )知, n m .反之, 设n m , 且令m nq =, 则因a 的阶是n , 故()qm nq n r a a a e e ==== (证毕)定理3 若群中元素a 的阶是n , 则(),k n a k n = 其中k 为任意整数.证 设(),k n d =, 且1n dn =,1k dk =, ()11,1n k =. ( 2) 则由于a n =, 故有()()1111n k kn nk k n a a a a e ==== 即1kn a e =. 其次, 设()mk a e =, 则km a e =. 于是由定理2 知, n km ，11n k m .但()11,1n k =, 故1n m . 因此, k a 的阶是1n , 故由(2 )知:()1,k n a n k n ==. (证毕)由定理3 可立得以下二推论.推论1 在群中设a st =, 则s a t =, 其中s ，t 是正整数. 证 因为a st =, 故由定理3知, s a 的阶是(),stt s st = 即s a t =.推论2 在群中设a n =, 则 k a n = (),1k n =.定理4 若群中元素a 的阶是m , b 的阶是n ,则当ab ba =且(),1m n =时, ab mn =.证 首先, 由于a m =, b n =, ab ba =, 故()()()n m mn m n ab a b e ==;其次, 若有正整数s 使()s ab e =, 则()()s sm m sm sm ab a b b e ===, 但是b n =, 故n sm . 又因(),1m n =, 故n s . 同理可得m s . 再根据(),1m n =, 故mn s . 从而ab mn =.(证毕)应该十分注意这个定理中的条件ab ba =, 因为当ab ba ≠时,a 与b 乘积的阶会出现各种各样的情况. 例如, 在有理数域上二阶线性群()n GL Q 中, 易知0110a -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0111b ⎛⎫= ⎪--⎝⎭的阶都有限, 且分别为4 , 3 , 但其乘积1101ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶却为无限. 这也说明, 一般来说一个群G 的全体有限阶元素对G 的乘法并不封闭.又例如, 仍在群()n GL Q 中, 易知1202c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,10102d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭的阶都无限, 但其乘积1101cd ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的阶却有限, 是2.至于定理4中的条件(),1m n =, 则是明显必要的, 因为易知群中任何元素a 与其逆元1a -有相同的阶, 但其乘积e 的阶则是1.由此可见, 当元素a 与b 不满足定理4中的假设条件时, 其乘积ab 的阶将无法根据a ,b 的阶来做出判断.下面再介绍交换群中元素阶的一个性质.定理5 设G 为交换群, 且G 中所有元素有最大阶m , 则G 中每个元素的阶都是m 的因数. 从而群G 中每个元素均满足方程m x e =.证 设G 中元素a 的阶是m , b 为G 中任意一个元素, 阶为n .如果n ∣/m , 则必存在素数p 满足以下等式:1k m p m =,p ∣/1m ,1t n p n =,t k >. 由于a m =, b n =, 故由上面推论1 知, 1kp a m =,1n t b p = . 又由于 ()1,1tm p =, 且G 是交换群, 故由定理4 知:111kn p t k a b p m p m m =>=. 这与m 是G 中所有元素的最大阶矛盾, 因此, n m . 从而由定理2 知, 群G 中每个元素都满足方程m x e =.(证毕)本定理中要求G 为交换群是必要的, 因为例如在后面§6将看到三次对称群3S 就不满足这个定理(3S 中元素的最大阶是3 ,而它有2阶元素) .§3 子 群子群的概念是群论中一个基本概念, 群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系. 特别, 有时要根据子群的各种特征来对群进行分类, 即根据子群来研究群, 这也是研究群的重要方法之一.定义1 设G 是一个群, H 是G 的一个非空子集. 如果H 本身对G 的乘法也作成一个群, 则称H 为群G 的一个子群. 如果1G >|, 则G 至少有两个子群, 一个是只有单位元e 作成的子群{}e ( 以后常简记为e ) , 另一个是G 本身. 这两个子群我们称为G 的平凡子群. 别的子群, 如果存在的话, 叫做G 的非平凡子群或真子群.当H 是群G 的子群时, 简记为H G ≤; 若H 是G 的真子群, 则简记为H G <.例1 全体偶数或全体3的整倍数, 更一般的, 全体n 的整倍数(n 是一个固定整数){},3,2,,0,,2,3n n n n n n ---都是整数加群的子群. 例2 数域F 上全体n 阶满秩对角矩阵的集合1G 是F 上一般线性群()n GL F 的一个子群; F 上一切纯量矩阵aE (0a F ≠∈,E 为n 阶单位方阵.)的集合2G 又是1G 的一个子群, 当然也是群()n GL F 的一个子群.定理1 设G 是群, H G ≤. 则子群H 的单位元就是群G 的单位元, H 中元素a 在H 中的逆元就是a 在G 中的逆元.证 设e '是子群H 的单位元, e 是群G 的单位元, 则e e e e e ''''==,于是由消去律知, e e '=.同样, 若a '是a 在H 中的逆元, 1a -是a 在G 中的逆元, 则1a a a a e -'==,于是1a a -'= .(证毕)要看群的一个子集是不是作成一个子群, 由下面定理可知,不必验算群定义中的所有条件.定理2 群G 的一个非空子集H 作成子群的充分与必要条件是: 1) ,a b H ∈ ab H ∈;2) a H ∈ 1a H -∈.证 设H G ≤, 则G 的代数运算也是H 的代数运算, 因此, 当,a b H ∈时有ab H ∈.其次, 当a H ∈时由定理1知, 1a H -∈.反之, 设1) 与2 ) 两个条件满足, 则1 ) 说明G 的代数运算也是H 的代数运算; 结合律在G 中成立当然在H 中也成立;又根据2) , 当a H ∈时1a H -∈, 从而再由1 ) 得1aa e H -=∈,即H 中有单位元e , 且每个元素都有逆元. 从而H 是G 的一个子群.(证毕)我们还可以进一步将定理2 的两个条件合并成一个条件. 定理3 群G 的非空子集H 作成子群的充分与必要条件是,a b H ∈ 1ab H -∈.证 设H G ≤, 则当,a b H ∈时由定理2 知, 1b H -∈, 从而1ab H -∈.反之, 设当,a b H ∈时1ab H -∈. 则若a H ∈, 便有1aa e H -=∈11ea a H --=∈.于是当,a b H ∈时有1,a b H -∈, 从而()11a b ab H --=∈. 故由定理2 知, H ≤G .(证毕)这个定理中的条件,a b H ∈ 1ab H -∈显然也可以改写成,a b H ∈ 1a b H -∈.由于消去律在G 中成立, 自然也在H 中成立, 因此由本章§1 推论2 知, 群G 的有限子集H 作成子群的充分与必要条件是, H 对G 的乘法封闭, 即,a b H ∈ ab H ∈.例3 令G 为数域F 上行列式等于1的全体n 阶方阵作成的集合. 由于1A B == 11AB -=,即由,A B G ∈可得1AB G -∈, 故G 作成数域F 上一般线性群()n GL F 的一个子群.这个子群常记为()n SL F , 并称为F 上的特殊线性群. 定义2 令G 是一个群, G 中元素a 如果同G 中每个元素都可换, 则称a 是群G 的一个中心元素.群G 的单位元e 总是群G 的中心元素, 除e 外可能还有别的中心元素. 若群G 的中心元素只有e 时, 称G 为无中心群.交换群的每个元素都是中心元素. 另外易知, 数域F 上一般线性群()n GL F 除去单位元外还有别的中心元素( 例如纯量矩阵) , 但当1n >时显然也有非中心元素.定理4 群G 的全体中心元素作成的集合()C G 是G 的一个子群, 称为群G 的中心.证 因为()e C G ∈, 故()C G 非空. 又设(),a b C G ∈, 则对G 中任意元素x 都有ax xa =, bx xb =,从而又有11b x xb --= .于是有()()()111ab x a b x a xb ---== ()()()111ax b xa b x ab ---===,故()1ab C G -∈, 从而()C G G ≤.(证毕)群G 的中心显然是G 的一个交换子群; 又显然G 是交换群当且仅当()C G G =.群G 的中心在不发生混淆时也常简记为C . 定义3 设A ，B 是群G 的任二非空子集, 规定{},AB ab a A b B =∈∈,{}11A a a A --=∈,并分别称AB 为A 与B 的乘积, 1A -为A 的逆.由此易知, 对群的任意三个非空子集A ，B ，C 均有()()AB C A BC =, ()A BC AB AC = ()111AB B A ---=, ()11A A --=. 另外, 由定理2 和定理3 可直接得到以下两个推论. 推论1 群G 的非空子集H 作成子群的充分与必要条件是:HH H = 且 1H H -=.证 设H G ≤, 则HH H =显然. 又若a H ∈, 则必1a H -∈, 从而()111a a H ---=∈， 故1H H -⊂ . 类似可证1H H -⊂, 故1H H -=.反之设HH H =, 1H H -=. 则由HH H =知H 对G 的乘法封闭. 另外, 若a H ∈, 则1a H -∈. 于是有b H ∈使1a b -= , 1a b H -=∈.于是由定理2 知, H G ≤.(证毕)类似有推论2 群G 的一个非空子集H 作成子群的充分与必要条件是:1HH H -=.特别, 群G 的非空有限子集H 作成子群的充分与必要条件是:HH H =.以后将会看到, 一个群的两个子群的乘积一般不再是子群.但在一定条件下可以是子群.定理5 设H ,K 是群G 的两个子群, 则HK G ≤ HK KH =.证 1) 设HK G ≤, 则由推论1知()1HK HK -=.但由于1H H -=, 1K K -=, ()111HK K H KH ---==, 从而HK KH =.2) 设HK KH =, 则有()()111HK HK HKK H HKKH ---=====.HKH HHK HK从而由推论2 知, HK G≤.(证毕) 应该注意的是, 本定理中的条件HK KH=是两个集合的相等,并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘时可以交换. 当然,对于交换群则另当别论. 因此, 交换群的任二子群之积必仍为子群.§4 循环群循环群是一种很重要的群, 也是一种已经被完全解决了的一类群. 就是说, 这种群的元素表达方式和运算规则, 以及在同构意义下这种群有多少个和它们子群的状况等等, 都完全研究清楚了.设M是群G的任意一个非空子集, G中包含M的子群总是存在的, 例如G本身就是一个. 当然, 一般来说, G中可能还有别的子群也包含M. 现在用M表示G中包含M的一切子群的交, 则M仍是G中包含M的一个子群, 而且G中任何一个子群只要包含M, 就必然包含M. 所以M是群G中包含M的最小子群.定义1 称M为群G中由子集M生成的子群, 并把M叫做这个子群的生成系.一个群或子群可能有很多的生成系, 甚至可能有无限多个生成系.例如, 设Z是整数加群, 又{}8,4,6,10M=-,则易知M是偶数加群, 而且{}4,6, {}8,4,10-,{}2,{}10,12，{}6,8,10,12,14 等等都是M 的生成系.当M 本身是一个子群时, 显然M M =. 下面进一步考察M 中的元素是些什么样子.任取i a M ∈, 由于M M ⊆, 而M 是子群, 故对任意整数i k , 必有i k i a M ∈ .从而对任意正整数n , M 包含如下的一切元素:1212n k k k n a a a ,i a M ∈, 1,2,n =.另一方面, 一切这样的元素显然作成一个包含M 的子群,因此{}1212,,1,2,n k k k n i i M a a a a M k Z n =∈∈=. 集合M 中的元素可以是无限个, 也可以是有限个. 当 {}12,,n M a a a =时, 把M 简记为12,,n a a a . 特别, 当{}M a =时有M a =.定义2 如果群G 可以由一个元素a 生成, 即G a =,则称G 为由a 生成的一个循环群, 并称a 为G 的一个生成元.于是a 是由一切形如k a (k 是任意整数)的元素作成的群, 亦即{}3210123,,,,,,a a a a a a a a ---=.易知, 循环群必是交换群.若群的代数运算用加号表示时, 则由a 生成的循环群应表为{},3,2,,0,,2,3,a a a a a a a =---.例1 整数加群Z 是无限循环群.事实上, 1Z ∈, 又对任意整数n , 有1n n =⋅, 故1Z =. 即Z 是一个无限循环群, 1是它的一个生成元.另易知, -1也是它的一个生成元.例2 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群.事实上, 设ε是一个n 次原根, 则ε是n U 的一个生成元,且{}2311,,,,,nn U εεεεε-== .这n 个复数是互异的, 而对任意整数k , k ε必与这n 个复数中的一个相等.定理1 设群G a =. 则1) 当a =∞时, 由s t ≠可得s t a a ≠, 即3210123,,,,,,,a a a a a a a --- 是a 的全体互异的元素;2) 当a n =时, a 是n 阶群且{}231,,,n a e a a a a -=.证 1) 设a =∞. 则若s t a a =, 且s t >, 便有s t a e -=, 这与a =∞矛盾.2) 设a n =. 任取m a a ∈, 令m nq r =+, 0r n ≤<.则()q m nq r n r r a a a a a +===.从而{}231,,,n a e a a a a -=, 且易知这n 个元素是互异的.(证毕)推论1 n 阶群G 是循环群当且仅当G 有n 阶元素.证 设G a =是n 阶循环群, 则由定理1知, 生成元a 的阶是n . 反之, 设G 有n 阶元素a , 则易知{}231,,,n H e a a a a -=是G 的一个n 阶子群. 但G 的阶也是n , 故G H a ==.(证毕)由此推论可知, n 阶循环群的一个元素是不是生成元, 就看这个元素的阶是不是n .定理2 无限循环群a 有两个生成元, 即a 与1a -; n 阶循环群有()n ϕ个生成元, 其中()n ϕ为Euler 函数.证 当a =∞时, a 只有两个生成元a 与1a -是显然的. 当a n =时, 元素k a ()0k n <<是a 的生成元当且仅当k a 的阶也是n , 亦即(),1k n =. 从而a 有()n ϕ个生成元.(证毕)例如, 4 , 5 , 6 阶循环群分别有()42ϕ=, ()54ϕ=, ()62ϕ=个生成元.定理3 设a 是任意一个循环群.1) 若a =∞, 则a 与整数加群Z 同构;2) 若a n =, 则a 与n 次单位根群n U 同构.证 1) 设a =∞, 则当m n ≠时m n a a ≠, 于是: m a m ϕ→ 是循环群a 到整数加群Z 的一个双射; 又由于m n m n a a a m n +=→+,故ϕ是a 到Z 的一个同构映射, 因此a Z ≅.2) 设a n =, 则{}231,,,n a e a a a a -=.于是易知: m m a ψε→ （ε为n 次原根） 是循环群a 到n 次单位根群n U ε=的一个同构映射, 因此a ε≅.(证毕)由于群间的同构关系具有反身性、对称性和传递性, 故此定理说明, 凡无限循环群都彼此同构, 凡有限同阶循环群都彼此同构. 而不同阶的群, 由于不能建立双射, 当然不能同构.这样, 抽象地看, 即在同构意义下, 循环群只有两种, 即整数加群和n 次单位根群, 这里n 是任意正整数.本节最后, 我们来讨论循环群的子群.定理4 循环群的子群仍为循环群.证 设H 是循环群a 的任一子群. 若{}H e =, H 当然是循环群. 下设{}H e ≠.由于当m a H ∈时m a H -∈, 故可设m a 为H 中a 的最小正幂, 于是m a H ⊆.另一方面, 任取s a H ∈, 令s mq r =+, 0r m ≤<.则由于,s m a a H ∈, 故()qr s mq s m a a a a H --==∈. 但m a 是H 中a 的最小正幂, 故0r =. 从而()q s m m a a a =∈, 于是又有m H a ⊆. 因此m H a =,即子群H 也是循环群.(证毕)定理5 无限循环群有无限多个子群; 当a 为n 阶循环群时, 对n 的每个正因数k , a 有且只有一个k 阶子群, 这个子群就是nk a .证 1) 设a =∞, 则易知e ,a , 2a , ⋯ 是a 的全部互不相同的子群. 且除e 外都是无限循环群,从而彼此同构.2) 设a n =, k n 且n kq =, ( 1)则q a k =, 从而q a 是a 的一个k 阶子群.又设H 也是a 的一个k 阶子群, 则由定理4 , 设m H a =, 则m a k =. 但由§2 知, m a 的阶是(),n m n , 故 (),n k m n =，(),n k m n = . (2) 由(1)式与(2)式得(),q m n =, q m . 从而m q a a ∈, m q a a ⊆.但由于q a 与m a 的阶相同, 故q H a =, 即a 的k 阶子群是惟一的.(证毕)这样, 通过以上两个定理, 对循环群的子群的情况, 我们也是了解得很清楚的.§5 变 换 群本节介绍一种同任何群都有密切联系, 从而具有广泛意义的群. 设M 是任意一个非空集合, 则由第一章可知, M 的全体变换关于变换的乘法作成一个半群. 我们将较为深入地讨论这个半群的一些重要的子群.定义1 设M 是一个非空集合. 则由M 的若干个变换关于变换的乘法所作成的群, 称为M 的一个变换群; 由M 的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群, 称为M 的一个双射变换群;由M 的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群, 称为M 的一个非双射变换群.当然, M 的双射变换群与非双射变换群都是M 的变换群. 例1 设1M >|, 并取定a M ∈. 则易知: x a τ→ （x M ∀∈）是M 的一个非双射变换, 并且2ττ=. 从而G τ=作成M 的一个非双射变换群.至于M 的双射变换群当然也是存在的. 定理1 设M 为任一非空集合, ()S M 为由M 的全体双射变换作成的集合. 则()S M 关于变换的乘法作成一个群.由第一章知道, 这个定理的证明是显然的, 因为M 的恒等变换是这个群的单位元, 而M 的任一双射变换σ的逆变换1σ- 也是M 的双射变换, 它是σ的逆元.定义2 称集合M 的双射变换群()S M 为M 上的对称群.当M n =时, 其上的对称群用n S 表示, 并称为n 次对称群.显然, M 的任何双射变换群都是M 上对称群()S M 的一个子群, 即M 上的对称群是M 的最大的双射变换群. 另外由第一章可知, n 次对称群n S 是一个阶为!n 的有限群.定理2 设G 是非空集合M 的一个变换群. 则G 是M 的一个双射变换群的充分与必要条件是, 在G 中含有M 的单(满) 射变换.证 必要性显然, 下证定理的充分性. 设有M 的单射变换G τ∈. 因为G 是群, 故必有单位元, 用ε表示, 于是在群G 中有εττετ==.。

一元五次方程求解的历史虽然，我们从小学五年级就开始接触方程的学习，但是在人类历史上，“方程”问题的解决并不是那么一帆风顺，经历数百年的“一元五次方程”的“根式解”问题，一直令数学家们头痛不已，直到两位天才数学家的出现才最终完美的解决，从而也导致了一门崭新的“数学分支”——“群论”诞生，在人类的数学史和科学史上，写下了浓墨重彩的一笔。

这到底是怎么一回事呢？这还得从遥远的古埃及说起。

早在3600年前，古埃及人已经涉及到了含有“未知数”的“等式”，提出了最早的“方程”。

在我国的《九章算术》中展示了用“消元法”来解”三元一次“方程组。

从“一元一次方程”到“一元四次方程”，人们都可以得到“根式解”，但是当人们遇到“一元五次方程”的时候，却无法确定是否有“根式解”，这个难题纠结了数学家们近三百年。

直到两位天才数学家的出现，“一元五次方程”的“根式解”问题才得以完美的解决，并因此意外地创立了新的“数学分支”——“群论”。

这两位年轻而伟大的数学家分别是阿贝尔和伽罗瓦。

阿贝尔从小生活困顿，在老师霍尔姆伯的引导下，深入地学习了牛顿、欧拉、拉格朗日及高斯等大数学家的著作，不但能深刻地了解他们的理论，而且还能找出他们著作中的一些不足之处。

1824年，年仅22岁的阿贝尔写下了《一元五次方程没有代数一般解》的论文，他在该论文中首次完整地给出了“高于四次的一般代数方程”没有一般形式的代数解的证明，解决了数学家们纠结了250多年之久的数学难题。

他满怀信心地将这篇论文寄给了当时有名的数学家柯西，可惜柯西却不小心将这一份足以改变数学史的论文弄丢了。

1825年的冬季，阿贝尔来到了柏林，认识了同样热爱数学的土木工程师克列尔，缘于对数学的痴迷，两人成为了最要好的朋友。

1826年，克列尔创立了一份数学杂志，刊登了阿贝尔关于“一元五次方程”的研究成果。

1826年夏天，阿贝尔前往巴黎造访当时最顶尖的数学家，却受到了冷落，他尝试着将他的数学研究成果寄去科学院，却石沉大海。

《数学》读后感近日,读完了《牛津通识读本——数学》一书,感触颇多.作者蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)是1998年的菲尔兹奖得主,他对数学的深刻见解,解开了我多年的困惑.我曾在怀疑中裹足不前,远离了数学,现在则懊恼不已.下面就结合高尔斯的观点，随便聊一下我的感想。

Timothy Gowers数学有什么用?本科时,我曾吃惊地看到一个数学系大四女生在座谈会上向老师提问:“我们学数学有什么用? ” 她显然是在说,我能利用数学得到一个什么样的工作?能赚大钱吗?高校教师向学生宣扬数学时,一般会强调数学在其他学科的应用.比如说,做气象预测,要懂微分方程;学好复变函数吧,工程领域都在用.或者是秀一下数学艺术.比如,幻灯片上放着诸如Julia集之类的分形图片,学生看罢,惊叹之余,低头继续抠手机.实在不行了,老师会说:“考研、出国总要用到数学吧?” 但几年过去了,还是有学生问:“数学有什么用?” 如此悲哀…症结在哪里?天书与挖掘机原因是大家对数学的态度差异太大.数学科学在教师眼中,是一个伟大的理论体系,几乎渗透所有其他自然科学，有用到给他们提供了一个饭碗;而在这些提问题的学生眼里,数学只不过跟蓝翔技校的挖掘机一样,学完去找份对口工作.这部分学生,关注的是数学兑换人民币的能力.但数学,尤其是如数论这样的纯数学,并不直接具备这样的能力.显然, 不会说解一个微分题,天上就掉下100块钱,再做个积分题,又掉100块钱.与之相反,中国又有很多的数学“民科”,空费大量的时间,试图解决哥德巴赫猜想（虽然未必是数学界最关注的）.学生的不热情与民科的热情,反差如此之大.前者不具备专业知识,却打了鸡血般地热衷;后者正在学习专业的数学,却如闹离婚的夫妻那般冷漠.除了态度问题，还有一个问题：有些学生是在学数学吗？我曾见人背诵了一夜的定理，在第二天的期末考试中取得了良好成绩。

之后忘得一干二净。

这种学生在数学系并不少见。

伽罗瓦理论伽罗瓦图册经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。

19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程 (p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。

他还发现一类能用根式求解的特殊方程。

这类方程现在称为阿贝尔方程。

阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。

伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。

到1832年他完全解决了这个问题。

在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。

1846年他的手稿才公开发表。

伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。

伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

[1]思想建立/伽罗瓦理论编辑在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。

伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。

戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。

随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。

1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论还特别对尺规作图问题给出完全的刻画。

人们已经证明：这种作图问题可归结为解有理数域上的某些代数方程。

这样一来，一个用直尺和圆规作图的问题是否可解，就转化为研究相应方程的伽罗瓦群的性质。

[2]内容介绍/伽罗瓦理论编辑1、域的正规可分扩张定义为伽罗瓦扩张。

新知学习
我将在可耻的诽谤中结束我的生命……请公 开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性而 不是正确性发表的他们看法。在这以后，我 希望有人会发现将这堆东西整理清楚对他们 是有益的。”
整个晚上，他焦躁一气地写着他在科学上的 遗言。想在死亡之前尽快把他丰富的思想中 那些伟大的东西写出来。他不时中断，在纸 边空白处写上“我没有时间，我没有时间。”
新知学习
这些旁注和当年费尔马幽默地在费尔马大定 律旁写下的“地方太小了，我写不下定理的 证明”比较起来多么的凄凉和悲壮！接着伽 罗瓦又写下一个极其潦草的大纲。他在天亮 之前那最后几个小时写出的东西，一劳永逸 地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找 到了真正的答案，并且开创了数学的一个极 为重要的分支----群论。
新知学习
第二天上午，在决斗场上，伽罗瓦被打穿了 肠子。临死前，他对在身边哭泣的弟弟说： “不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候 死去。”死后，他的葬礼几乎与他父亲的葬 礼一样是场闹剧。他被埋葬在公墓的普通壕 沟内，如今他的坟墓已无迹可寻。
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历史学家们一直争论这场决斗是一个悲惨遭 的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成 的。据那个以和爱因斯坦合著《物理学的进 化》的英费尔德考证，伽罗瓦之死是一宗政 治阴谋，他为之决斗的那个轻浮女人是被当 局雇佣的妓女。但无论具体原因是哪一种， 一位世界上最杰出的数学家在20岁时被杀死 了，而他研究数学只有5年。
伽罗瓦很早就开始了关于方程理论的研究， 1829年5月，17岁的他写出了关于五次方程 的代数解法的论文，论文中首次引入“群” 的概念。他把论文寄给经由柯西，请他交给 法国科学院审查。柯西对此根本不屑一顾， 把这个中学生的文章给弄丢了。1830年2月 伽罗瓦再次将他的研究成果写成一篇详细的 论文，寄给科学院秘书傅立叶，希望能得到 数学大奖，不料当年5月傅立叶病死，伽罗 瓦的文稿再次丢失。