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另类匀变速运动的数学本质及协变类比杨天才(重庆市大学城第一中学校ꎬ重庆４０１３３１)摘㊀要:高中物理涵盖的思想方法很多ꎬ协变类比是一种创造性的平行思维方法ꎬ也是研究物理问题常用的方法之一ꎬ对解决一些教学难点有至关重要的作用.本文就另类匀变速运动ꎬ用数学工具进行巧妙推导ꎬ得出其数学本质特征ꎬ通过深度思维ꎬ发现高中物理中的类上抛㊁电容器充放电和电磁感应现象等物理模型都满足同一个函数关系ꎬ利用协变类比ꎬ得出共通的规律并加以应用.关键词:数学工具ꎻ另类匀变速运动ꎻ协变类比ꎻ物理模型中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－０１１５－０５收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:杨天才(１９７５.１２－)ꎬ男ꎬ四川省岳池人ꎬ本科ꎬ正高级教师ꎬ从事中学物理教学研究.０引言伽利略相信ꎬ自然界的规律是简洁明了的.他从这个信念出发ꎬ猜想落体一定是一种最简单的变速运动ꎬ它的速度应该是均匀变化的.但是ꎬ速度的变化怎样才算 均匀 呢?他考虑了两种可能:一种是速度的变化对时间来说是均匀的ꎬ另一种是速度的变化对位移来说是均匀的.前一种运动性质比较常见ꎬ后一种运动性质是怎样的?又应该满足怎样的条件?高中物理还有类似的规律吗?１逻辑推导１.１数学本质若速度的变化对时间来说是均匀的ꎬ即ΔｖΔｔ＝ａꎬ变形为数学形式ａ＝ｄｖｄｔꎬ积分得到:ｖ＝ａｔ＋Ｃꎬ若ｔ＝０时刻的初速度为ｖ０ꎬ则ｖ＝ａｔ＋ｖ０ꎬ显然速度是关于时间的一次函数ꎬ因加速度恒定ꎬ必然受到恒定的合力作用ꎬ这就是常见的匀变速直线运动的速度时间函数关系ꎬ它的运动规律相对来说也比较简单ꎻ若速度的变化对位移来说是均匀的ꎬ即 另类 匀变速运动ꎬ设ΔｖΔｘ＝Ａꎬ变形为Ａ＝ｄｖｄｘ＝ｄｖｄｔｄｘｄｔ＝ｄｖｄｔｖꎬ在数学中ꎬ哪个函数关于自变量的导数与它自身的比值为常数呢?只有自然指数函数(ｙ＝Ｃｅｋｘ)ꎬ事实上ꎬＡ＝ｄｖｄｔｖꎬ变形为:Ａｄｔ＝ｄｖｖꎬ积分后得ｖ＝ＣｅＡｔꎬ若ｔ＝０时刻的初速度为ｖ０ꎬ则速度公式ｖ＝ｖ０ｅＡｔ①ꎬ果然是自然指数函数ꎬ加速度公式ａ＝ｄｖｄｔ＝Ａｖ０ｅＡｔ＝Ａｖ②ꎬ位移公式ｘ＝ʏｖｄｔ＝ｖ０ＡｅＡｔ＋Ｃᶄꎬ设初始位移为零ꎬ则ｘ＝ｖ０ＡｅＡｔ－ｖ０Ａ③ꎬ显然Ａ＝ｖ－ｖ０ｘꎬ自洽.所以另类匀变速运动的运动学条件是:ａ＝Ａｖ(Ａ为不为零常数ꎬ另类加速度的大小)ꎬ由牛顿第二定律ꎬＦ合＝ｍａ＝ｍＡｖ０ｅＡｔ＝ｍＡｖꎬ这是动力学条件.虽然另类匀变速运动的速度㊁位移㊁加速度㊁合外力却都随时间按指数规律变化ꎬ函数关系较复杂ꎬ但其合外力(加速度)㊁速度与位移两两之间呈简单的线性规律变化ꎬ如:ｖ＝１Ａａ④ꎬｖ＝Ａｘ＋ｖ０⑤ꎬａ＝Ａ２ｘ＋Ａｖ０⑥ꎬ为什么会这样呢?因自然指数函数的数学特性就是它的倒数与它本身成正比ꎬ二阶导数与它的导数和它本身均成正比ꎬ只是这些模型给自然指数函数赋予了物理意义而已.１.２协变类比经过深入思考ꎬ将另类匀变速运动的函数关系Ａ＝ｄｖｄｔｖ化简为:(－１Ａ)ｄｖｄｔ＋ｖ＝０ꎬ经过变形得到一般的物理表达式:(－１Ａ)ΔｙΔｔ＋ｙ＝０(Ａ为非零常数)ꎬ其实高中物理中曾多次出现两个物理量之间满足该函数关系的模型ꎬ下面用协变类比列表找它们的共通性.所谓协变类比是指对象的属性之间可能具有某种确定的函数关系而进行的推理ꎬ物理中常见的一种形式是ꎬ由两个对象的主要属性相同或相似ꎬ推论出他们的数学形式相同或相似.其基本模式为:已知对象具有ａ㊁ｂ㊁ｃ属性ꎬ且对ａ有ｆ１(ｘｉ)＝０ꎻ待研究对象具有ａᶄ㊁ｂᶄ㊁ｃᶄ属性ꎬ且ａᶄ㊁ｂᶄ㊁ｃᶄ与ａ㊁ｂ㊁ｃ分别相同或相似ꎬ则待研究对象可能也具有方程式ｆ２(ｘｉ)＝０ꎬ且ｆ２(ｘｉ)＝０与ｆ１(ｘｉ)＝０在形式上相同或相似.将几种物理模型的①~⑥式进行比较见表１:表１模型带电液滴上抛运动直流电源给电容器充电过程无外力作用的导体切割磁感线运动物理情境质量为ｍ的带电液滴以初速度ｖ０竖直向上抛出ꎬ在匀强电场中所受电场力与重力平衡ꎬ所受空气阻力的大小与其速度成正比电源电动势为Ｅꎬ电容器电容为Ｃꎬ电路中的总电阻为Ｒ.开关Ｓ接１ꎬ初始充电电流为Ｉ０＝ＥＲ在垂直于导轨向下的匀强磁场Ｂ中ꎬ固定水平轨道光滑ꎬ导体杆ａｂ质量为ｍꎬ电阻不计ꎬ两导轨间距为Ｌꎬ固定电阻为Ｒꎬ杆的初速度为ｖ以后的过程示意图略函数关系液滴速度ｖ与时间ｔ关系ｍｋΔｖΔｔ＋ｖ＝０(Ａ＝－ｋｍ)充电电流Ｉ与时间ｔ关系ＲＣΔＩΔｔ＋Ｉ＝０(Ａ＝－１ＲＣ)导体速度ｖ与时间ｔ关系ｍＲＢ２Ｌ２ΔｖΔｔ＋ｖ＝０(Ａ＝－Ｂ２Ｌ２ｍＲ)物理规律ｖ＝ｖ０ｅ－ｋｍｔＩ＝ＥＲｅ－１ＲＣｔｖ＝ｖ０ｅ－Ｂ２Ｌ２ｍＲｔ求导ａ＝－ｋｖ０ｍｅ－ｋｍｔｄＩｄｔ＝－ＥＲ２Ｃｅ－１ＲＣｔａ＝－Ｂ２Ｌ２ｖ０ｍＲｅ－Ｂ２Ｌ２ｍＲｔ积分ｘ＝－ｍｖ０ｋｅ－ｋｍｔ＋ｍｖ０ｋｑ＝－ＣＥｅ－１ＲＣｔ＋ＣＥｘ＝－ｍＲｖ０Ｂ２Ｌ２ｅ－Ｂ２Ｌ２ｍＲｔ＋ｍＲｖ０Ｂ２Ｌ２物理量之间的关系ｖ＝－ｍｋａｖ＝－ｋｍｘ＋ｖ０ａ＝ｋ２ｍ２ｘ－ｋｖ０ｍＩ＝－ＲＣｄＩｄｔＩ＝－１ＲＣｑ＋ＥＲｄＩｄｔ＝１Ｒ２Ｃ２ｑ－ＥＲ２Ｃｖ＝－Ｂ２Ｌ２ｍＲａｖ＝－Ｂ２Ｌ２ｍＲｘ＋ｖ０ａ＝Ｂ４Ｌ４ｍ２Ｒ２ｘ－Ｂ２Ｌ２ｖ０ｍＲ表１(续)函数图像能量转化动能转化为内能电能转化为电场能和内能动能转化为内能模型电容器放电过程原子核衰减过程物理情境电容器两极间电压为Ｅꎬ电容为Ｃꎬ电路中的总电阻为Ｒ.开关Ｓ接１稳定后ꎬ再接２ꎬ初始放电电压㊁电流分别为Ｕ０＝ＥꎬＩ０＝ＥＲ原子核总数为Ｎ０ꎬ衰变常数为λ示意图无函数关系放电电压Ｕ与时间ｔ关系ＲＣΔＵΔｔ＋Ｕ＝０(Ａ＝－１ＲＣ)放电电流Ｉ与时间ｔ关系ＲＣΔＩΔｔ＋Ｉ＝０(Ａ＝－１ＲＣ)衰变数量Ｎ与时间ｔ关系１λΔＮΔｔ＋Ｎ＝０(Ａ＝－λ)物理规律Ｕ＝Ｅｅ－１ＲＣｔＩ＝ＥＲｅ－１ＲＣｔＮ＝Ｎ０ｅ－λｔ求导ｄＵｄｔ＝－ＥＲＣｅ－１ＲＣｔｄＩｄｔ＝－ＥＲ２Ｃｅ－１ＲＣｔｄＮｄｔ＝－λＮ０ｅ－λｔ积分无物理意义ｑ＝－ＣＥｅ－１ＲＣｔ＋ＣＥ无物理意义物理量之间的关系Ｕ＝－ＲＣｄＵｄｔＩ＝－ＲＣｄＩｄｔＩ＝－１ＲＣｑ＋ＥＲｄＩｄｔ＝１Ｒ２Ｃ２ｑ－ＥＲ２ＣＮ＝－１λｄＮｄｔ函数图像同前能量转化电场能转化为内能核能转化为其他形式能㊀㊀从表１可以看出ꎬ虽然有的物理模型比较陌生ꎬ但用协变类比还是能写出它们的物理规律ꎬ并能求解相应的问题.２应用品鉴例１㊀如图１所示ꎬ两根足够长的平行光滑金属导轨水平放置ꎬ其间距为Ｌꎬ处于方向竖直向下匀强磁场中ꎬ磁感应强度大小为Ｂ.在导轨上垂直导轨放置一根金属棒ａｂꎬ金属棒在两导轨之间部分的电阻为ｒꎬ在导轨左侧接有一个阻值为Ｒ的定值电阻ꎬ除Ｒ和ｒ外其余部分电阻均不计.现对ａｂ施加一瞬时冲量ꎬ使其获得水平向右的初速度ｖ０ꎬ并开始向右滑动.(１)求刚开始滑动时ꎬ金属棒ａｂ中电流的大图１小ꎬ并判断其方向ꎻ(２)请说明金属棒ａｂ的运动情况并在图２中定性画出ｖ－ｔ图像ꎻ图２(３)请判断金属棒的速度变化规律可能是:①速度的变化对时间来说是均匀的ꎻ②速度的变化对位移来说是均匀的.上述两种情况中的哪一种ꎬ并分析论证ꎻ(４)根据第(３)问结果画出对应的图像.解析㊀(１)ａｂ棒中的电流方向为ｂ向ａ.金属棒刚开始滑动时ꎬ感应电动势大小为Ｅ＝ＢＬｖ０ꎬ由闭合电路欧姆定律可得Ｉ＝ＥＲ＋ｒ＝ＢＬｖ０Ｒ＋ｒ.(２)对金属棒ꎬ受力分析如图３所示ꎬ金属棒速度逐渐减小ꎬ产生的感应电流逐渐减小ꎬ则安培力逐渐减小ꎬ金属棒做加速度减小的减速运动.ｖ－ｔ图像如图４所示.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４(３)由(２)问可知ꎬ因金属棒加速度减小ꎬ所以速度随时间的变化不是均匀的ꎬ设金属棒的位移大小为ｘ时的速度大小为ｖꎬ此过程经历的时间为ｔꎬ回路中的平均感应电流为Ｉ－ꎬ平均感应电动势为Ｅ－ꎬ对金属棒根据动量定理有－ＢＩ－Ｌｔ＝ｍｖ－ｍｖ０ꎬ根据闭合电路欧姆定律有Ｉ－＝Ｅ－Ｒ＋ｒꎬ根据法拉第电磁感应定律有Ｅ－＝ＢＬｘｔꎬ联立解得ｖ＝ｖ０－Ｂ２Ｌ２Ｒ＋ｒｘ(Ａ＝－Ｂ２Ｌ２Ｒ＋ｒ)ꎬ由此可知金属棒的速度变化规律是速度的变化对位移来说是均匀的.(４)图像如图５所示.图５点评㊀本题考查导体切割磁感线运动的特性ꎬ涉及法拉第电磁感应定律㊁楞次定律和闭合电路欧姆定律ꎬ最后一问隐含了力与速度的关系ꎬ让学生自己研判运动性质的类型ꎬ但题目对速度与时间具体的定量关系不做考查ꎬ这既降低了难度ꎬ又很好地考查了学生思维的迁移能力.例２㊀将一质量为为ｍ的带电液滴以初速度ｖ０竖直向上抛出ꎬ已知处在匀强电场中ꎬ且所受电场力与重力平衡ꎬ在运动的过程中所受空气阻力的大小与其速度成正比ꎬ即ｆ＝ｋｖ.运动的过程中电量保持不变ꎬ求:(１)物体能够上升的最大高度为Ｈꎻ(２)上升过程所用的时间ｔ能求解吗.解析㊀(１)对液滴ꎬ由动量定理ꎬ有:－ｆ－ｔ＝ｍｖ－ｍｖ０ꎬ变形得:－ｋｖ－ｔ＝－ｋＨ＝０－ｍｖ０ꎬ解得:Ｈ＝ｍｖ０ｋ.(２)显然上升过程所用的时间不能求解ꎬ如果液滴不受电场力ꎬ由动量定理:－ｋｖ－ｔ－ｍｇｔ＝０－ｍｖ０ꎬ可以求出时间:ｔ＝ｍｖ０－ｋＨｍｇ.点评㊀本题题干中直接给出力与速度的定量关系ꎬ将上例中的隐含条件变成显性的ꎬ直接告诉学生ꎬ该模型为另类匀加速直线运动ꎬ因合力是变力ꎬ不能用牛顿第二定律和动能定理求解位移ꎬ转而用动力学的第三条思路用动量定理求解ꎬ使问题迎刃而解.例３㊀类比是研究问题常用的方法.(１)情境１:物体以初速度为ｖ０在力的作用下减速直线运动ꎬ其加速度与速率满足关系:ａ＝Ａｖ(Ａ为常量)ꎬ其速率ｖ随时间ｔ的变化规律可用方程－Ａｖ＝ΔｖΔｔ(Ⅰ)描述.(２)情境２:如图６所示ꎬ电容器两极间电压为Ｅꎬ电容为Ｃꎬ电路中的总电阻为Ｒ.开关Ｓ接１稳定后ꎬ再接２ꎬ初始放电电流分别为Ｉ０＝ＥＲꎬ推导电路中的电流Ｉ和电流的变化率ΔＩΔｔ满足的方程(Ⅱ).㊀图６(３)情境３:原子核总数为Ｎ０ꎬ衰变常数为λꎬ相当于系数Ａꎬ实验发现衰变数量Ｎ随时间ｔ的变化规律与情境１中物体速度ｖ随时间ｔ的变化规律类似.类比(Ⅰ)式ꎬ写出数量Ｎ随时间ｔ变化的方程(Ⅲ).(４)比较方程(Ⅰ)㊁方程(Ⅱ)和方程(Ⅲ)ꎬ发现情境２中电流Ｉ随时间ｔ的变化规律变化规律㊁情境３中衰变数量Ｎ随时间ｔ的变化规律与情境１中物体的速度变化规律完全一致.已知情境１中物体速率ｖ随时间ｔ变化的表达式为ｖ＝ｖ０ｅ－Ａｔꎬ通过类比写出情境２和情境３的函数表达式.解析㊀(２)设时刻ｔ电路中的电流为Ｉꎬ在较短的ｔ＋Δｔ时间内ꎬ电容器的放电电流为Ｉ＝ΔｑΔｔ＝－ＣΔＵΔｔꎬ由欧姆定律ꎬＵ＝ＩＲꎬ联立得:－１ＲＣＵ＝ΔＵΔｔꎬ变形为:－１ＲＣＩ＝ΔＩΔｔ.(３)由题意ꎬ数量Ｎ随时间ｔ变化的方程为:－λＮ＝ΔＮΔｔ.(４)类比ｖ＝ｖ０ｅ－Ａｔꎬ用Ｉ类比ｖꎬ用ＥＲ类比ｖ０ꎬ１ＲＣ类比Ａꎬ解得Ｉ＝ＥＲｅ－１ＲＣｔꎻ用Ｎ类比ｖꎬ用Ｎ０类比ｖ０ꎬλ类比Ａꎬ解得Ｎ＝Ｎ０ｅ－λｔ.点评㊀本题考查协变类比思想的具体应用ꎬ对于电磁感应中速度随时间㊁自感现象中电流随时间变化的函数关系ꎬ对高中生来说较难ꎬ通过与雨滴下落类比ꎬ找到它们所满足的方程的共同点ꎬ应用协变类比ꎬ使问题得以解决.教学中对一些难点的突破ꎬ对复杂问题的简单处理ꎬ对物理规律的迁移ꎬ类比法都是很好的选择.综上ꎬ本文从另类加速度的定义出发ꎬ通过数学推导得出另类匀变速直线运动应满足的力和速度的定量关系ꎬ通过协变类比ꎬ发现高中物理中很多模型都满足共同的函数关系ꎬ得出它们共通的结论ꎬ并举例(导体切割磁感线运动㊁带电液滴上抛)说明其应用.参考文献:[１]李鑫.探讨 另类 匀变速运动[Ｊ].物理教学ꎬ２０１９(０２):１１－１４.[２]许冬保.品析类比方法在２０１３年高考解题中的应用[Ｊ].物理教师ꎬ２０１４ꎬ３５(０４):６９－７０＋９７.[３]居殿兵.电容器充放电实验综合研究[Ｊ].物理教师ꎬ２０２１ꎬ４２(０６):５５－５８＋６０.[４]李琴.物体在力ｆ＝ｋｖ作用下的运动特点及其应用[Ｊ].物理教学ꎬ２０１４(１０):７－８.[５]杨天才.这道题能求时间吗[Ｊ].物理教师ꎬ２０１５(１０):６８ꎬ７１.[责任编辑:李㊀璟]。
小学二年级数学上册钟表时间专项练习题（含答案）知识点汇总1、认识时间（1）钟面上有时针和分针，走得快的，较长的是分针；走得慢的，较短的是时针；（2）钟面上有12个大格，60个小格，1个大格有5个小格。
时针走1大格是1小时，分针走1大格是5分钟。
（3）时针走1大格分针要走一圈，所以1时=60分；（4）半小时=30分，一刻钟=15分钟（5）时间的读与写：如3：30，可以读作3时30分，也可以读作3点半；8时零5分应写作8:05。
2、运用知识解决问题（1）要按着时间的先后顺序安排事件，时间上不能重复。
（2）问过几分钟后是几时，先要读出现在是几时，再推算过几分钟后是几时几分。
（3）时针和分针能形成直角的时刻是3时和9时。
二年级上册数学钟表时间练习一、识表练习1、写出图中各钟表所示时间（精确到分钟）2.根据给出的时间把钟表的指针画上二、时间概念练习1. 根据给出的时间与下边日常生活中的活动连线2、根据给出的时间长短与下边的具体活动内容连线三、计算练习1、填空①3时20分=（）分210分钟=（）小时（）分钟②3:20再过50分钟是（）4:20的前半个小时是（③分针从12走到6是（）分钟，一个大格和两个小格是（）分钟.④一天是（）个小时，标准工作时间是（）个小时。
⑤13:00是（）的1：00， 24:00是（）的12:002、判断①从家到学校小红用1个小时，小明用100分钟，他们两个用的时间一样多。
（）②小红说半个小时就是30分钟（）③时针从3走到6，分针就要从3开始走3圈（）④分针从12走到过9后的第三个小格，时针就要走4个小格（）⑤新闻联播是在每天早晨的7:00钟（）四、解决问题1、小红从家出发时是7:20，到学校时间后预习20分钟后开始上课，8:40下课，每节课是40分钟，问从小红家到学校需要多长时间？2、小明每小时可以画4副画，从8：00到10:40中间休息了10分钟，问小明在这段时间里一共可以画几幅画？3、小刚从家以每小时1千米的速度走路去图书馆，出发半小时后又折回拿借书证，最后一共用了2时30分钟到达图书馆，问从家到图书馆有多远？。
困扰小学数学的15个争议问题1、最小的一位数是0还是1？这个问题在很长一段时间存在争论。
先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。
所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位数。
２、为什么0也是自然数?课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。
2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。
这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
2.1“0”作为自然数的“好处”。
众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。
有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。
无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。
因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。
如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。
三年级下册数学一课一练-1.3速度、时间和路程一、单选题1.如图所示，l1、分别表示甲、乙两辆车所走路程S与时间t的关系，则他们的速度关系是（）A. 甲比乙快B. 乙比甲快C. 甲、乙同速D. 无法确定2.小华步行，每分钟走80米，3分钟可以走________米．5分钟走________米.( )A. 83，85B. 240，400C. 320，480D. 420，3003.小文和小亮在一次越野赛跑中都以相同的速度跑完全程，若小文的速度为18千米/时，从图中分析出小亮的速度为( )千米/时．A. 20B. 18C. 16D. 144.从A城到B城，甲车要10小时，乙车要8小时，甲车速度比乙车( )A. 快25%B. 慢20%C. 慢80%5.“大庆”号远洋油轮在海上航行1000小时，行了18500海里，平均每小时航行______海里,照这样速度航行10小时，可航行______海里.（）A. 1.85, 18.5B. 18.5, 185C. 185, 1850D. 1.85, 1.85二、判断题6.小明2小时行10千米，小光5分钟行400米，如果每人的速度保持不变，一定是小光走得快．7.火箭每分钟飞行343千米，15分钟飞行5145千米．8.李老师平均每分钟打105个字，打一篇500个字的稿件，5分就够了．9.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行驶57.5千米，乙车每小时行驶62.5千米，3小时后两车还相距65千米，A、B两地间的距离是425千米。
（）三、填空题10.老虎奔跑的速度可达每小时80千米，可写作________。
11.你会吗？速度×________=路程路程÷时间=________路程÷速度=________．12.我国自主设计并集成研制的“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋20分下潜大约800米，它的下潜速度约是________。
13.小明家离学校800米．一天早上7时30分小明从家里出发步行上学，每分钟走50米．7时36分爸爸发现小明忘了带铅笔盒，立即骑自行车追赶，每分钟行200米．①爸爸出发时，小明已经行了________米？②爸爸是在时分追上小明的？ ________(解题时，可以列表、画图或列算式解答)14.汽车________叫做速度。
《时、分、秒》单元分析（一）教学目标1．认识时间单位秒，知道1分＝60秒；能选择合适的单位和工具对时间进行度量。
2．结合生活经验体验时间的长短，初步建立分、秒的时间观念，会用一定的方法估计时间。
3．结合具体的生活情境，体会时刻与经过时间之间的区别与联系，能解决简单的实际问题。
4．培养估计意识，养成遵守和爱惜时间的习惯。
（二）内容安排及其特点1．教学内容和作用。
“时间”是存在于我们的意识之外，是不依赖主观意识的客观存在，感知和认识时间只是客观存在的时间在我们主观意识中的反映。
人类在认识和计量时间的过程中，不断完善时间单位系统，并发明了大量的计量工具。
对“时间”这一生活中常见的量的学习，不仅有助于解决生活中与时间有关的实际问题，而且还提供了学习和应用其他数学概念的机会。
因此，“认识时间”一直是小学阶段的课程内容。
《标准（）》规定，在第一学段要使学生“能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。
”“认识年、月、日，了解它们之间的关系。
”这一课程目标中，不仅包括对时间概念的理解，而且还包括时间观念的建立。
一方面，学前阶段，儿童依据其个人经验及社会生活已经对时间的顺序、长短等属性有所认识。
学龄儿童进入了具体运算阶段，可以理解文化意义上的时间，即在时钟和日历上固定下来的时间。
因此，应让小学生从以下几个方面认识时间概念：理解时间可度量的属性，掌握时间单位系统及测量工具。
另一方面，体验并估计时间的长短，不仅能帮助学生理解时间概念，也是培养学生珍惜时间、学会管理时间的基础，因此，在理解时间概念的基础上，让学生建立起时间观念也应该是重要的课程目标。
心理学研究表明，时间单位离学生生活经验越远，学生理解和掌握起来就越困难。
因此，遵循学生认知时间的“由中间向两端”和“由近及远”的发展规律，综合考虑学生的生活经验和其他数学能力的发展情况，对于“时间”这一内容，本套教材分四次编排，具体结构如下。
本册教材的这一单元，在认识了时、分这两个时间单位的基础上，进一步教学更小的时间单位“秒”，以及有关时间的简单计算。
人教版二年级数学上册《认识几时几分》说课稿（校内公开课）一. 教材分析《认识几时几分》是人教版二年级数学上册第五单元《时间》的内容。
这部分教材通过生活情境的图片和数字，帮助学生理解和掌握几时几分的时间概念。
学生通过观察、操作、交流等活动，培养观察能力、动手能力和语言表达能力，同时增强时间观念，提高生活自理能力。
二. 学情分析二年级的学生已经具备了一定的生活经验，对时间有初步的认识，但还不够系统和准确。
他们在学习过程中需要通过观察、操作、交流等活动，进一步理解和掌握时间概念。
此外，学生的观察能力、动手能力和语言表达能力有待提高，因此在教学过程中，教师需要给予充分的引导和鼓励。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够认识几时几分，理解时刻与经过时间的区别。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力和语言表达能力。
3.情感态度与价值观目标：增强学生的时间观念，提高生活自理能力，培养良好的作息习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够认识几时几分，理解时刻与经过时间的区别。
2.教学难点：学生对几时几分的时间概念的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、启发式教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、时间卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中与时间相关的情境图片，引导学生关注时间，激发学习兴趣。
2.探究新知：学生观察时间卡片，独立思考并尝试解答卡片上的问题，小组内交流讨论，共同完成学习任务。
3.巩固练习：学生运用所学知识，解决实际生活中的时间问题，如安排日程、计算经过时间等。
4.总结提升：教师引导学生总结几时分分的概念，强调时刻与经过时间的区别。
5.课后作业：学生完成课后练习，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计采用图文结合的方式，突出几时分分的概念，简洁明了地展示教学内容。
主要包括以下几个部分：1.时间概念：展示时刻与经过时间的区别，如“现在3时，经过1小时是4时”。
小学数学重点知识点总结归纳2014年暑期小白兔家教小学数学知识点总结归纳姓名第一部分：概念1、加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和别变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和别变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积别变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积别变。
5、乘法分配律：两个数的和同一具数相乘，能够把两个加数分不同那个数相乘，再把两个积相加，结果别变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数并且扩大（或缩小）相同的倍数，商别变。
O除以任何别是O的数都得O。
简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，能够先把O前面的相乘，零别参加运算，有几个零都降下，添在积的末尾。
7、啥叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边并且乘以（或除以）一具相同的数，等式仍然成立。
8、啥叫方程式？含有未知数的等式叫方程式。
9、啥叫一元一次方程式？含有一具未知数，同时未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的列法及计算，即列出带有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示如此的一份或几份的数,叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母别变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分，然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母别变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以那个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
小学三年级数学上册《时、分、秒》教案（精选6篇）小学三年级数学上册《时、分、秒》篇1第一课时：秒的认识教学目标：1、创设情境,引导感知时间单位“秒”,体验秒是比分更小的时间单位; 多种感官参与,帮助学生建立“1秒”概念;2、创设游戏活动,引导学生经历“几秒”,并从中培养学生估算时间的能力,进而引导学生在观察、操作、交流、验证等数学活动中，发现“1分=60秒”;3、通过对秒的体验、感受，体验数学与生活的联系，渗透珍惜时间的教育。
教学重点：认识时间单位“秒”，知道分与秒的进率，初步建立“秒”的时间观念。
教学难点：知道分与秒的进率，初步建立“秒”的时间观念。
教学过程：一、创景导入同学们，在今年十月一日国庆节这一天长征三号丙运载火箭把嫦娥二号探月卫星成功送入预定轨道，让我们再重新回顾一下这激动人心的时刻。
(火箭马上就要发射了，我们一起跟着倒计时。
)嫦娥二号发射成功标志着我国的航天事业又向前迈进了一步，所有中国人都为此感到骄傲和自豪。
所以同学们才这么激动和兴奋。
同学们，我们刚才倒数的5、4、3、2、1用的什么时间单位?同学们回忆一下，我们以前学过哪些时间单位。
要计量很短的时间，就需要用到比分更小的时间单位--秒。
今天我们就一起来认识秒这个时间单位。
板书：秒的认识。
对于秒这个新朋友，你了解多少?同学们，想一想，生活中哪些地方是用秒来计时的?二、学习新知：1、生活中很多地方用到秒，咱们看看钟面上哪根针是表示秒的?请看大屏幕，叫什么针?秒针是什么样的?同桌互相说说看。
这根最细最长走的最快的针就是秒针。
秒针是怎么走的?(一小格一小格的走的)秒针走一小格是多长时间呢?(秒针走一小格是一秒)多说几遍。
板书。
咱们再来感受一下一秒你能不能用一个动作一个手势来表示1秒这个时间呢、经过刚才的活动你对1秒有什么感受?2、一秒的价值。
一秒很短一下就过去了，其实1秒钟能干好多事情呢。
老师搜集了一些资料，一起看一看。
想不到吧，短短的一秒钟那么有价值，不仅如此有时候一秒对事情起决定性作用。
第七章认识时间章节复习巩固一．选择题1．（2020秋•诸暨市期中）陈阿姨去书店买书,如图是她出门的时间和回家的时间,陈阿姨去书店一共花了( )A．35分钟B．45分钟C．55分钟2．（2020秋•蓬江区期中）分针从2走到8,经过的时间是()A．30秒B．6分C．30分3．时针走了5个大格,用了()A．5分B．5小时C．25分4．（2020秋•安岳县校级期中）如图是镜子中的钟面,它实际应该是()A．3:30B．9:30C．8:305．小芳9时刚过从家出发到商场购物,然后去新华书店看书,12时回家吃饭．她在新华书店看书的时间是( )A．B．C．D．6．悯农锄禾日当午,汗滴禾下土。
谁知盘中餐,粒粒皆辛苦。
读一遍这首古诗的时间()A．少于1分钟B．多于1分钟二．填空题7．（2020秋•汉川市期中）钟面上,秒针走2圈,分针走小格；分针走1圈,表示1。
8．（2020秋•郓城县期中）时针在5和6之间,分针走到9,是时分．9．（2016秋•西城区月考）跑60米,小红用14秒,小英用12秒,小云用13秒．三人中跑得最快．10．小亮一家三口参观世界园艺博览会。
（1）他们时分从家里出发。
（2）他们时分上车,路上用了分钟。
买票用了元。
（3）他们时分下车,乘车用了分钟。
（4）他们时分走进“世界园艺博览会”大门,如果要参观2小时,他们会在时分出来。
11．时整,分针与时针重合；时或时分针与时针成直角；时整,分针与时针成一条直线．12．秒针从数字“5”走到数字“9”,经过了秒；分针从数字“8”走到数字“10”,经过了分；时针从数字“7”走到数字“11”,经过了时．13．有一晚发生了一次月全食,请观察钟面上的时刻,认真选择,将对应钟表的序号填在横线上．快4时,月球被地球影子完全遮住；4时半,月球位于地球影子的中间；5时,月球缓慢走出地球身后；6时刚过,月全食结束．三．判断题14．果果7:45到校,丫丫7:55到校,果果家离学校近些．（判断对错）15．小乐的奶奶每天早上5:50起床,妈妈6:20起床,小乐6:40起床．他们三人中,小乐的奶奶起得最早．（判断对错）四．操作题16．在钟面上,分别画出分针从12起旋转后所指的位置．五．解答题17．（2020秋•环江县期中）我会看时间。
学生姓名：年级： X6 科目：数学授课日期： 2023 年月日上课时间：时 00 分～时 00 分合计： 2 小时授课章节时钟问题教学目标1.理解和掌握时钟问题的本质。
2.体会数形结合的思想，能够自己独立思考与分析时钟问题。
3.学习数形结合的方法，感受数学的奇妙，提升思维能力。
重点难点【教学重点】掌握时钟问题的本质，及各种题型。
【教学难点】运用数形结合的思想去分析时钟问题。
教学方法︻六步1 对1 教学法︼一、【回顾】（学生讲，教师纠正）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差二、【作业】（作业难点讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差三、【提优】（拓展或新课讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差四、【习惯】（坚持培养习惯）□粘贴错题本□艾宾浩斯记忆本□语文积累□5R三色笔记□审题八字诀□草稿纸的使用□圈划预习法□一拖三记忆学习法五、【检测】( 出门考 )□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差六、【反馈】( 3+1+X )□已反馈□未反馈教师备注学生签字：（课后）教师签字：（课后）主管审核签字：盖章教育个性化教学教案（内页1）【教案正文】时钟上的时针和分针的运动是有规律的，时钟问题一般都是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直或夹角度数问题来进行研究的。
钟表上的表盘上刻有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个自然数，这12个数字依次绕圆心均匀地分布在一个圆周上，相邻两个数字之间的距离相等，平均分成5个小格。
钟面上一圈分为60小格，分针每小时走60小格，时针每小时走5小格。
1格，分针1分（1）当以时针转动1小时的一格作为单位时，时针1分钟转601格。
钟转51格。
（2）当以分针转动1分钟的一格作为单位时，时针每分钟转12（3）当以度数为单位：我们知道圆周角是360°，表盘上12个大格，每个大格所对的圆心角是360°÷12=30°，每个小格所对的圆心角是360°÷60=6°，时针每小时旋转1个大格，也就是30°，那么每分钟旋转0.5°，分针每分钟旋转1个小格，也就是6°。
