第九章欧氏空间习题答案
、填空题
............ Fbj
1.0;
2. X i, Jx； +x ；+ 二+x：；
3. A b2 ；
4. √13 ；
5.
';8. _6 ; 9. k .2 ; 10.线性变换在某基下的矩阵；11.0, 、2 ; 12.它们的维数相2
同；13. A，1; 14. -1 ; 15.正交；16. - ; 17.正定的。
3
、判断题
1-5 ××√√√6-10 √×√√√11-15 √√√×√16-20 √√×√×
三、选择题
A ;6. (2, -2,1); 7. 2、2 ,
1-5 CDBCC
四、计算题
6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB
1.
λ-2-2
由^E-A= —2 丸一1
0 2
2 =（人+2）（人一1）（几一4） = 0 ,故特征值为一2,1,4。
当彊=「2时，有
~4 X1 - 2 x^ — 0
-2 X1 — 3x2 + 2
X
=0 ,则基础解系为
12 2
十3,3,3
当’=1时，
?2x2— 3x3 = 0
- x1- 2x2 = 0 有t
-2x1 +2x3 = 0，
2x2 +x3 =0
1=（-丄,1,1）',单位化
为
M 1
则基础解系为2 = （1,-一
2
,1）,'单位化为
2x1 - 2x2 = 0
当人=4时，有」-2x1 +3x2 +2x3 = 0 ,则基础解系为
2x2 +4x3 = 0
3 = （1,1厂丄）',单位化
为
2
2 2 _1_
3,3, 3
2
3
3
'l l l
(2)当 t=l 时，则 A= l l —l
订 —l l
l =(丸—2)2(人+l) = O ,特征值为2,2,—l 。故标 λ-l 准形为 f = 2y l 2
2y ； - y f 。
z
2 b O A
3.二次型矩阵为 A = 'b a 2。由于正交变换得到的标准形为
f = y 2 +2y ； +5y ；,
e 2 3」
则 A 的特征值为 l,2,5，故 2?a ?3=l2? 5
，A =l 2 5=l0 可得 a = 3,b=O 。
-x ∣ = O I
当λ =l 时，有＜ —2X 2—2X 3=0，则基础解系为气=（0,l,—1）'，单位化为
-2x 2 ^ 3x^ — 0
…X …2 X — 0
当慣-2时，有
2
3
,则基础解系为；=(l,0,0)',单位化为2 =(l,0,0)'；
-2x 2 -x^ 0
3x l = 0
当怎-5时，有2X 2 -2X 3 =0 ,则基础解系为 ^(0,1,1)',单位化为
- 2x 2 ■ 2X 3 = 0
l
l λ
(1) A = l
t -l ,由于二次型正定，则
-l t 丿
3 3
3 2
.
\>0
,即 t>2。
3
Jt —3t —2A 0
则令T =
,为正交阵，有T Jl AT = λ —l —
由 PE -A = -2-1 k-1
-l
l
4.设属于特征值1的特征向量为】=(>?,X 2,X 3)',则C ,>ι)=O ,即×2
0 ,基
础解系为 >2=(1,0,0)' , ： 3=(0,-1,1)'。把 >2=(1,0,0)' , ： 3=(0,-1,1)'单位化
=1 、
1 。进一步得到
< b
=1
"
[1 0
、
A=T
1
T JL = 0
0 -1
J b
I 0
-1 °」
当j = k 时，则
6.令 R 2
的一组基为 M =
(1,0), ；2 =(0,1),则有
((X 1, yj,( X 2, y 2)) =2X 1X 2 —X2% -人丫2 2y°2
(2
-Γ)
可得在这组基下的度量矩阵为 A=
。
(T 2
J
由■ E - A =(■ -1)(' -3),特征值为 1,3。
…X 亠X 0
当& =1时，有§
1
2
,则基础解系为￡
=(1,1)',单位化为n 1 “ _x 2 =0
则令T =
√2
2 √2 2 J
,为正交阵，有 T -AT 2
5
」
为(1,0,0)'，
"(0, —j ；2)'。: 1
2 2
0 1 0 令T =
√2 0至 2 2
√2
0虫
<2 2丿
5.
1
,二
TnkT COS(j k)x |
1
2二 1 2 二 cos(j k)x |
cos( j - k)x | 0
2(j ? k) ∣0
2( j -k)
∣0
2
兀 1 2
兀 1
2
兀
cos jx cos kxdx
2
π
(Sin jx,sin kx) = ° Sin jxsin kxdx =
(CoS jx,cos kx)
.2π
cos( j - k)x | = 0
2(j -k) 0
1 =(0,1,1)'单位化为
为正交阵，有T J AT
,χ1 +χ2 =0
当’=3时，有
，则基础解系为 ；=（-1,1）',单位化为2=（ -
x 1 + X 2 = 0
2
值为0,1,4。
谆
0,
區、
6
丁6 3 J6 6 J
则标准形为 f (x, y, z) = 2 ?
4 2 = 4。
(2)平移变换：f (x, y, z) = X 2
2x(y z) (y z)2
-(y z)2
3y 2
z 2
2yz
2 2
即 f (x,y,z) =(x y z) 2y ，
√3旦 T ,T )；
■ =4时，有（4E -A ）x =0，则特征向量为
￡ =
(1,2,1)'
单位化为
=(
O
3
2 √2 J 2
_ 2 √2 2 J
为正交阵，使得T A AT = 。则对角阵不是单位阵。
7.令 f(χ,y,z) 2 2 2
=X 3y ■ Z ■ 2xy ■ 2xy ■ 2yz 对应的二次型矩阵为
（1）正交变换：由
q
1 P
A = 1 3 1
<1 1 1>
λ-1
-1 -1 -1
λ-3 -1 -1
-1
λ -1
,
=0时
有(0E - A)X= 0
则特征向量为
1
=(1, 0,
1, '单位化为
■ =1 时，有(E - A) x □ 0,
则特征向量为
2
=(1,",1)'
单位化为
'0
,为正交阵，有TVAT
（_1）（. _4） = 0 ,故特
征
，E - A =
I=XyZ
作非退化线性替换 弋2=y
,即f(x, y,z^ = ^2
+2^2 =4。
匕3 = Z
C
2 4A
8. Cr(X, y,z) =(x+2y+4Z )2x-2y+2Z )4x+2y+z) = (x, y, z) 2-22 。
I 4
2
b
「1 2
4 A
不妨设 α =(x, y, Z),则 bα = OLA ,其中 A =
2
-2 2
,4 2 1
J
设 R 3 的一组标准正交基为；1, ；2, ；3 ,则二(；1, ；2, ；3)= (；1, ；2, ；3)A
因为A 是对称矩阵，则二是对称变换。
由 &E_A=(扎十3)2(&—6)= 0，故特征值为 _3,—3,6。
当扎=-3 时，有(―3E —A)X = 0,则特征向量为 ￡=(1,-2,0)', J = (O,-2,1)'，单
9.设：3=(X 1,X 2,X 3)且(：1,：3)=0，(：2,：3)=0 ,则
丄2x 1 - X 2 = 0 仁亠 ，即可取 叫=(1,2, —2)。把^1,^2^3正交单位化如下
2X 1 X^ 0
U 2T)
。
45 2亦
位化为1 =( 5
,
2
5
5 'O)'' 2=音七等;
■ =6时，有 (6E - A )心0则特征向量为巴3 = ( 2 , 1, 2，单位化为
/2 1 2 (,厂 3 3 3
5 -2√5 5
-12、一 5 25 -6 5 25 3,5 5
，为正交阵，则存在一组标准正交基
1, 2,
3使得
-3
(1, 2, 3)珂；1, ；2, ；3)「
则有T 4AT =
3
1 1
「「5（2
,-W ，2 1
1
（1,2,-2）。 1, 2, 3为R 3
的一组标准正交基。
I 「3
3
AE —A =h 2⑺—3) = 0,故特征值为 0,0,3。
当’=O 时，有（-A ）x=0,则特征向量为1=（一1,1,0）',1,0,1）',属于特征 值0的全部的特征向量为 k 1 1 k 2 2 ,其中k 1,k 2为任意常数。 单位化为1=(
2
,丄
2
,0)',
2 2
1
(1, 2, 3戶(1, ；2, ；3T ,则有 T AT =
五、证明题
A +
B =0。
令：=(X 1,X 2,X 3)， L =(y 1, y 2, y 3),贝U A = (X 1 X 3, X 2 -2x 3, X 1 - 2x 2 X 3),
A =(yr y 3, y^2y 3, y^2y 2 y 3)。
则(A ,
L
^X I y I X3% X 2y 2 -2x 3y 2 X 1y^2x 2y 3 X 3y 3，
(A 「)=X M ■
X 3y 1
X 2y^2X 3y 2
■ X l y 3一2乂2丫3 X 削3，即
(A ：
, ：) =( A,)，
则A 是一 -个对称变换。
必要性是显然的。下面来证明充分性。由于：…ker^u C =0= （；=,；= ）=0,
10.由 当，=3时，有（王―
A )x
0则特征向量为J= （1,1,1）'
,单位化为
n z √3 √3 √3
3
3）。
6 .6 6 2.6 6
3 √3 3 √3
亍
为正交阵，则存在一组标准正交基
1
, 2, 3使得
1.
AAB =A' A + B = E+A'B = B'B+A'B
=B'+A'∣∣ B = _ AAB ,即
2. 3.
即（：?，：?）=0U〉=0,因此ker = 0,从而；「是单射，又由于存在双射3
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
欧氏空间1 1．在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 2．设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη?∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明： （1） σ是V 上的正交变换； （2） V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤ 3．已知矩阵126103114A --?? ?=- ? ?--?? ， （1）求A 的逆； （2）求A 的初等因子； （3）求A 的若当标准形。 4．设A 是可逆的n 阶方阵，求证：存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ，使得A=UT ；并且这个表达式是唯一的。 5．证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值1。 6．设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证：如果A 保持内积不变，即对于n R 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=，那么，它一定是线性的，而且是正交的。 7．设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组，满足 ,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>，表示内积，试证存在正交变换, A 使,1,,.i i A i m αβ== 8．设 f 是n 维欧氏空间V 的对称变换（即f 是V 的线性变换，且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=），证明：f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。 9．设n R 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10．在欧氏空间n R 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 . 11。已知[][][]2121 32121 21,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交 基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
第九章欧氏空间习题 一、填空题 1.设就是一个欧氏空间,,若对任意,都有,则。 2.在维欧氏空间中,向量在标准正交基下得坐标就是,那么,。 3.若就是一个正交矩阵,则方程组得解为。 4、已知三维欧式空间中有一组基,其度量矩阵为,则向量得长度为。 5、设中得内积为,则在此内积之下得度量矩阵为。 6.设,,,若与正交,则。 7.若欧氏空间在某组基下得度量矩阵为,某向量在此组基下得坐标为,则它得长度为,在此基下向量与向量得夹角为。 8.在欧氏空间中,若线性相关,且,则。 9.就是度量阵,则必须满足条件______________。 10.线性空间在不同基下得过渡阵、线性变换在某组基下得矩阵、欧氏空间得度量阵这三类矩阵中,可以为退化阵得就是。 11、在欧氏空间中,向量,,那么=___________, =___________。 12、两个有限维欧氏空间同构得充要条件就是__________________。 13、已知就是一个正交矩阵,那么=__________,＝__________。 14、已知为阶正交阵,且,则= 。 15、实对称矩阵得属于不同特征根得特征向量就是彼此得。 16、设,则与得夹角。 17、在维欧氏空间中,级矩阵就是某个基得度量矩阵得充要条件就是。 二、判断题 1.在实线性空间中,对向量,,定义,那么构成欧氏空间( ) 2.在实线性空间中,对于向量,,定义,则构成欧氏空间。( ) 3.就是欧氏空间得一组基,对于中任意向量,均有,(,分别就是在此基下得坐标)),则此基必为标准正交基。( ) 4.欧氏空间中得线性变换可以将椭圆映射成圆。( ) 5.V与W均欧氏空间且同构,则它们作为线性空间也必同构。( ) 6.设就是一个欧氏空间,,,则与正交。() 7.设就是一个欧氏空间,,并且,则线性无关。( ) 8.若都就是欧氏空间得对称变换,则也就是对称变换。( ) 9.欧氏空间中,为对称变换。( )
第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹
Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有
而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．
第九章欧氏空间习题 答案
第九章欧氏空间习题答案 一、填空题 1. 0； 2. i x ；3. 123'b A b b ?? ? ? ??? ； 5. A ； 6. (2,2,1)-； 7. 2 π；8. 6±；9. 2 k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。 二、判断题 1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题 1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题 1. 由2 20 212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。 当2λ=-时，有121232 34202320230x x x x x x x --=??--+=??-=?，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333 η=-； 当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=??-+=??+=?，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333 η=-； 当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=??-++=??+=?，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为322 1(,,)'333 η=-。
则令1223332123332213 33T ??- ? ? ?=- ? ? ?- ???，为正交阵，有1214T AT --?? ?= ? ???。 2. （1）111111t A t t ?? ?=- ? ?-??，由于二次型正定，则2300320t t t t >??>??-->? ，即2t >。 （2）当1t =时，则111111111A ?? ?=- ? ?-?? 。 由21 12111(2)(1)01 11E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。故标准形为22212322f y y y =+-。 3. 二次型矩阵为202023b A b a ?? ?= ? ??? 。由于正交变换得到的标准形为 22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++， 12510A =??=可得3,0a b ==。 当1λ=时，有123230220230x x x x x -=??--=??--=? ，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化 为 1(0,,22 η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=??--=? ，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=； 当5λ=时，有1232330220220x x x x x =??-=??-+=? ，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为
第7章向量空间与线性变换 7-1.下列向量组中，哪些是向量空间4R 的基，为什么？ （1）T )1,1,1,1(1=α，T )0,1,1,1(2=α，,)0,0,1,1(3T =αT )0,0,0,1(4=α； （2）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,2,0(2-=α，,)0,0,1,0(3T -=αT )1,0,3,1(4--=α； （3）T )1,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,1,1,1(4=α； （4）T )0,0,0,1(1=α，T )0,1,1,0(2-=α，,)0,2,0,0(3T =αT )1,0,0,0(4=α.7-2. 把向量组T ),,(1101=α，T )1,0,1(2=α，T )0,1,1(3=α化为3R 的标准正交基.7-3.已知T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,1(3-=α是向量空间3R 的基，求向 量T )1,3,2(--=η在该基下的坐标． 7-4.已知T )1,0,1(1-=α，T )0,1,1(2-=α，T )0,0,3(3=α与(),0,0,11T =ε(),0,1,02T =ε()T 1,0,03=ε都是向量空间3R 的基，求基321,,ααα到基321,,εεε的过渡矩阵．7-5.在向量空间3R 中取两组基 T )1,2,1(1=α，T )0,1,3(2-=α，T )0,0,1(3=α与 (),3,0,11T =β(),1,1,12T =β()T 4,1,13-=β. （1）求基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵； （2）设ξ在基321,,ααα下的坐标是T )1,3,2(-，求ξ在基321,,βββ下的坐标．7-6.令][3x F 表示数域F 上一切次数3≤的多项式连同零多项式所组成的向量空间. （1）求这个向量空间的一个基和维数； （2）证明微分运算D 是一个线性变换. 7-7.在上一题中，求微分运算D 在所取基下的矩阵.7-8.在3 R 中，T 表示向量投影到xOy 平面的线性变换，即()T xi yj zk xi yj ++=+ .
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1( =α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() ( i i =ε,n i ,,2,1 = 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n 都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21 的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1 =,那么0=β. 7．设n ααα,,,21 是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><> <><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121 叫做n ααα,,,21 的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G ααα =0,必要且只要
n ααα,,,21 线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21 , 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑= ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n ααα 是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββ 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121 13．令n γγγ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i =≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A
单选题 1．健康促进教育项目的评价开始于（） A．项目结束后 B．项目实施工作中 C．贯穿于项目的全过程 D．项目总结时 E．项目评价阶段 2．开始与项目执行之前的评价是（） A．形成评价 B．结局评价 C．基线评价 D．效果评价 E．效应评价 3.一个健康促进活动，预计发放宣传小册子200份，社区内目标人群总数为1000人，实际发放小册子100份，请问该项干预活动的媒介拥有率是（） A．10％ B．20％ C．30％ D．50％ E．15％ 4. 一个健康促进活动，社区内从事该项健康教育活动的人数为100人，接受社区健康教育工作人员的培训数是80人，社区内的目标人群是1000人，请问健康教育培训率是（） A．8％ B．10％ C．18％ D．50％ E．80％ 5．不良行为改变率属于（） A．近期效果评价 B．中期效果评价
C．远期效果评价 D．结局评价 E．综合评价 6.卫生知识知晓率属于（） A．近期效果评价 B．中期效果评价 C．远期效果评价 D．结局评价 E．综合评价 7．活动费用使用率属于（） A．执行评价 B．过程评价 C．效果评价 D．结局评价 E．综合评价 8．病死率降低属于（） A．近期效果评价 B．中期效果评价 C．远期效果评价 D．结局评价 E．综合评价 9.美国社会健康学会指数，功能状态量表等属于（） A．执行评价 B．过程评价 C．效果评价 D．结局评价 E．综合评价 10.项目规划设计完成后，邀请专家进行评审，这种评价称为什么评价（）A．过程评价B．形成评价 C．总结评价D．效果评价 E．结局评价
11．在规划实施前，对问卷进行预调查以评估其可行性，这种评估属于什么评价（）A．形成评价B．效果评价 C．过程评价D．信息评价 E．不属于评价 12．评估项目规划活动的质量与效率，这种评价属于什么评价（） A．效果评价B．不属于评价 C．总结评价D．过程评价 E．质量评价 13．某医院为加强对腹泻病人的教育，做了以下几项工作，并取得了一定成绩，以下哪一项属于效果评价（） A．编写预防腹泻的小册子B．录制预防腹泻的CD光盘C．指导病人配制口服盐水D．医生对病人做到上门随访E．病人做到饭前便后洗手 14．某单位开展一项预防血吸虫感染的项目，选择若干人口特征、文化、经济相类似的社区，随机分成实验组与对照组。对实验组进行干预，分别不同时期进行评价。这种研究方法属于什么研究（） A．非实验研究B．实验研究 C．准实验研究D．病例—对照研究 E．时间系列研究 15.高血压健康教育的结局评价应评估高血压患者（） A. 有关高血压知识的变化 B. 自测血压技能的变化 C. 饮食行为的变化 D. 高血压控制率的变化
批第八章欧氏空间 本节恒设为实数域。 定义1 设是上的向量空间。如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。 1 2 3 4 若 则称为向量与的内积。而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。 第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。 又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应 则便成为一个欧氏空间。这是因为对任意及实数，均有
同时，若不是零函数，则 故规定的对应是与的内积。 命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有： (1) (2) (3) 证明由定义1知 而由 知。证毕。 由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有
现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义2 非负实数称为向量长度，记为。 由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的（3）知零向量的长度为0。除此之外，还有 命题2 对任意实数及，有 其中表的绝对值。 由此 即知。 定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有 而等号成立的充分必要条件是线性无关。 证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由 知 当线性无关时，对任意负数均有，从而 并即
因此必有 这也就是，所以 这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。 定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有 证明由定理1得 故 把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式 由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有 因此
欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角 βα，规定为 βα，=arccos β αβα） ，（, 0≤ βα，≤π 5. 向量正交 如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵 ，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，， ???=2,1,,称
()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T =。 n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果 E A A T =。 10. 欧氏空间同构 实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足 （1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k = （3 ）；，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0 则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足 ))(())((βσαβασ，，=
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度 量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵. 教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质. 教学难点：理解欧几里得空间的定义. 教学内容： 一、向量的内积 定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数 )(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 +∞<=∑∞ =12 21),,,,(n n n x x x x ξ 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='. ),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α. 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3) 这里V R k ∈∈α,. 长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间 1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间. 2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且 ) ,(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈?有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈?有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数. 4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若 n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β 则j i n j n i j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====?=1111),(),(βα, 5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵. 6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.
7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式： ① Cauchy-Буняковский不等式： 对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。 ② 三角不等式：对任意向量V ∈βα,有222||||||,0),(|,|||||βαβαβαβαβα+=+=+≤+时当且仅当 3．向量的夹角：当是非零向量时，称| |||),(cos 1 βαβα-为βα,的夹角， 记为πβαβα>≤≤<><,0,,. 三、 标准正交基及性质 1．在欧氏空间V 中，如果0),(=βα，那么称βα与正交或互相垂直。 2．正交向量组（正交向量组必定线性无关） 3．正交基、标准正交基 4．关于标准正交基，有下述重要结论： ①n 维欧氏空间中标准正交基总是存在的，且不唯一； ②一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。 ③n 维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是