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第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
第九章 欧氏空间一. 内容概述1. 欧氏空间的定义设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈∀βα.,定义了一个二元实函数.记作()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足1)()()2;,,αββα=)()()()()()(),0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空间.常见的欧氏空间有: (1)在(){}R x x x x R inn∈=|,,21里定义内积为()()1,2211y x yx y x nn +++= βα其中()().,,,,,11y y x x nn==βα则称Rn为R 上的欧氏空间.(2)设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为()()()()2,dx x g x f g f ba ⎰=(3)设Rmn ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称Rmn ⨯为R上的欧氏空间,2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1)()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V的一组基,,,22112211εεεεεεβαnnn n y y y x x x +++=+++=则()Ay x '=βα,其中()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εεεεεεεεn n n nn n A y x y y y x x x11112121,.3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤4. 标准正交基 施密特正交化的方法正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基.格拉姆矩阵()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∈αααααααααααn n n nm G V V111121.,,,.度量矩阵.εεεn V ,,,.21 一组基G=()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛εεεεεεεεn n n n1111 5. 同构.6. 正交变换的定义及其等价的四个命题欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变即对于任意的V ∈βα,,都有(βαA A ,)()βα,=.设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面四个命题相互等价的: 1)A 是正交变换;2)A 保持向量的长度不变,即对于.,ααα=A ∈V3)如果εεεn ,,,21是标准正交基,那么εεεn A A A ,,,21 也是标准正交基4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵. 正交变换的分类,第一类(旋转)|A|=1第二类的|A|=-1. 7. 向量与空间的正交, 空间与空间的正交.正交补. 8. 对称变换;, 对称矩阵的标准形.四个引理:1)设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.2) 设A 是实对称矩阵,A 定义为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21.则对任意R n∈βα,有()()βαβαA A ,,=或βααβA A '='3) 设A 是实对称矩阵,则Rn中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.4.设是A 对称变换，V 是A 一子空间，则也是A 一子空间。
![高等代数考研复习[欧氏空间]](https://img.taocdn.com/s1/m/e842560da26925c52dc5bf6b.png)
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
第八章 欧氏空间练习题
1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:
(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4
1
||41,22ηξηξηξ--+=
在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1(Λ=α与每一向量
)0,,0,1,0,,0()
(ΛΛi i =ε,n i ,,2,1Λ=
的夹角.
3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量
)
4,5,2,3()2,2,1,1()
0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.
4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．
5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:
222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)
6．设βααα,,,,21n Λ都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21Λ的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1Λ=,那么0=β. 7．设n ααα,,,21Λ是欧氏空间的n 个向量. 行列式
>
<><><>
<><><><><>
<=
n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121Λ
ΛΛΛΛΛ
ΛΛ 叫做n ααα,,,21Λ的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G αααΛ=0,必要且只要
n ααα,,,21Λ线性相关.
8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:
><><ααβα,,2和>
<>
<βββα,,2都是0≤的整数.
证明: βα,的夹角只可能是
6
54
3,32,2π
π
ππ或
. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21Λ,
2
3322211
(||n n
i i
a a a a n a
++++≤∑=Λ).
10．已知
)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α
是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基．
11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组．
12．令},,,{21n αααΛ是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββΛ是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即
><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121ΛΛΛ
13．令n γγγ,,,21Λ是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令
},2,1,10,|{1n i x x V K n
i i i i Λ=≤≤=∈=∑=γξξ
K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?
14．设},,,{21m αααΛ是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
∑=≤m
i i
1
22||,ξα
.
15．设V 是一个n 维欧氏空间.证明
)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.
)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W
16．证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面
}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W
的最短距离等于
2
2
2
000||c
b a cz by ax ++++．
17．证明,实系数线性方程组
∑===n
j i j ij
n i b x a
1
,,2,1,Λ
有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21Λβ与齐次线性方程组
∑===n
j j ji
n i x a
1
,,2,1,0Λ
的解空间正交.
18．令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量．令
}0,|{>=<∈=αξξαV P ．
αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是
位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2
π≥
的非零向量一定线性无关．
[提示:设},,,{21r βββΛ是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==r
i i i c 10β,那么适当编号,可设
0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ΛΛ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==r
s j j j s i i i c c 1
1
ββγ,证明0=γ.由
此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19．设U 是一个正交矩阵.证明:
)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么
λ
1
也是U 的一个特征根; )(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.
20.设02
cos
≠θ
,且
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-=θθθθ
cos sin 0sin cos 00
01U . 证明,U I +可逆,并且
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+--010*******tan ))((1
θU I U I
21.证明:如果一个上三角形矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ00000
0333223221131211 是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.
22．证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.
23．设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.
24．设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是
V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25．设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:
)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状
1)(23-+-=tx tx x x f
这里31≤≤-t .
26．设},,,{21n αααΛ和},,,{21n βββΛ是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.
)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)(Λ==βασ.
)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατΛ所生成的子空
间与由n ββ,,2Λ所生成的子空间重合.
27．设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.
28．设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛000101O
O 29．证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.
30．
n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,, )(,),(βσαβασ-=.
证明:
)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条
件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵)
)(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么
σ一定是斜对称线性变换.
)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.
31．令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.
32．对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:
)(i ⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=114441784817A。
