【单元测试】选修2-2导数单元测试(含答案解析)

2013年郑州二中高二数学选修2-2单元测试（理科）《导数及其应用》 (满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．抛物线y=x 2在点M （21，41）的切线的倾斜角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设连续函数0)(>x f ，则当b a <时，定积分òba dx x f )(的符号（ ）A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的D ．以上结论都不对 3．已知自由下落物体的速度为V=gt ，则物体从t=0到t 0所走过的路程为（ ）A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 4．设函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()221f x x x f ¢=+×，则()0f ¢等于（ ）A ．0B ．4-C ．2-D ．2 5．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ）A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ） D ．（e ，+∞）6．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+¥ B ．1(,3-¥ C ．1[,)3+¥ D ．1(,3-¥7.（安徽9）设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数8．（湖北卷7）若21()ln(2)2f x x b x =-++¥在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+¥ B. (1,)-+¥ C. (,1]-¥- D. (,1)-¥-9．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下右图所示，则导函数y=f ¢(x)可能为（ ）10．（全国一7）设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-11．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J 12．(07江苏)已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x ¢，(0)0f ¢>，对于任意实数xB有()0f x ≥，则(1)(0)f f ¢的最小值为（ ） Ａ．3 Ｂ．52 Ｃ．2 Ｄ．3213．(07江西理)设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ）Ａ．15- Ｂ．0 Ｃ．15Ｄ．5 14．对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x ¢（）>0，则必有（ ）A ．f （0）＋f （2）<2f （1）B ．f （0）＋f （2）³2f （1）C ．f （0）＋f （2）>2f （1）D ．f （0）＋f （2）³2f （1） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 15．=-ò4|2|dx x _________16．已知)(x f 为一次函数，且10()2()f x x f t dt =+ò，则)(x f =______17．（北京12）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则0(1)(1)lim x f x f xD ®+D -=D _________（用数字作答）18.（上海11）在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ， 是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当w xy =取到最大值时，点P 的坐标是 ____ 19．已知曲线323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是20．函数3()65()f x x x x R =-+Î，若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，则a 的取值范围是 三、解答题：（本大题分5小题共56分） 21．(本题10分)求曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积。

高二选修2-2导数定积分单元检测时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝ln x 上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( )A ．e B. e C ．e 2D ．2解析：设点P 的坐标是(a ，ln a )，则有1a ＝ln aa ，ln a ＝1，a ＝e ，因此点P 的横坐标是e ，选A.答案：A2．(2010·四川双流县质检)已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(2,3)∪(－3，－2)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[答案] A[解析] 由f ′(x )图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f (x 2－6)>1可化为0≤x 2－6<3或0≥x 2－6>－2，∴2<x <3或－3<x <－2.3．已知f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f (x )<f ′(x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0) B ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0) C ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)<e 2010·f (0) D ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)<e 2010·f (0)解析：设g (x )＝f (x )e x ，则有g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x >0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，因此有g (2)>g (0)，g (2010)>g (0)，即f (2)e 2>f (0)，f (2010)e 2010>f (0)，整理得f (2)>e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0)，选A.答案：A4．）已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 解析：选D.2441212x x x x xe y e e e e'=-=-++++，12,10xx e y e '+≥∴-≤< ， 即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈答案：B5．已知m <0，f (x )＝mx 3＋12m x ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B.答案：B 6．积分=-⎰-aadx x a 22（ B ）． A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π8．点P 是曲线y ＝2－ln2x 上任意一点，则点P 到直线y ＝－x 的最小距离为( )A.54 2 B.34 2 C.3－2ln22D.3－ln22[解析] 点P (x,2－ln2x )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋2－ln2x |2，令f (x )＝x ＋2－ln2x (x >0)，则f ′(x )＝1－1x ，故f (x )在x ＝1处取得极小值3－ln2，∴f (x )≥3－ln2>0，∴d ≥3－ln22.[答案] D8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：f (x )＝x 2＋2xf ′(2)⇒f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝4＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x ＝(x －4)2－16，且在(－∞，4]上为减函数，∵－1<1<4，∴f (－1)>f (1)，所以选B.答案：B9．若对可导函数f (x )，g (x )，当x ∈[0,1]时恒有f ′(x )·g (x )<f (x )·g ′(x )，若已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)，则下列不等式正确的是( )A ．F (sin α)<F (cos β)B ．F (sin α)>F (sin β)C ．F (cos α)>F (cos β)D ．F (cos α)<F (cos β)解析：F ′(x )＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )g 2(x )，∵f ′(x )·g (x )<f (x )·g ′(x )，∴F ′(x )<0，∴F (x )在[0,1]上单调递减，又∵α、β是一锐角三角形的两内角，∴π2<α＋β<π，∴0<π2－β<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－β<sin α，即cos β<sin α， ∴F (sin α)<F (cos β)，故选A. 答案：A10．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n项和为S n ，则S 2009的值为( )A.20072008B.20082009C.20092010D.20102011解析：∵函数f (x )＝x 2＋bx 的图象的切线的斜率为f ′(x )＝2x ＋b ；∴函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 的斜率为k ＝2＋b ；∴2＋b ＝3，即b ＝1；∴f (x )＝x 2＋x ⇒1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ∴S 2009＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12009－12010＝1－12010＝20092010.答案：C11．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，f (x )＝a x ·g (x )(a >0且a ≠1),2f (1)g (1)－f (－1)g (－1)＝－1，在有穷数列{f (n )g (n )}(n ＝1,2，…，10)中，任意取正整数k (1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是 A.15 B .25 C.35 D.45解析：整体变量观念，利用等比数列构建不等式求解．⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝a x·g (x )2f (1)g (1)－f (－1)g (－1)＝－1⇒2a －1a ＝－1⇒a ＝12⇒f (n )g (n )＝(12)n ，则前k 项和S k ＝1－(12)k >1516⇒k >4⇒P ＝610＝35，选C.答案：C 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+【解析】选B.12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y x =对称，只需求曲线12x y e =上的点P 到直线y x =距离的最小值的2倍即可.设点1,2x P x e ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 到直线y x =距离d =. 令()12x f x e x=-，则()112xf x e '=-.由()0f x '>得ln 2x >；由()0f x '<得ln 2x <，故当ln 2x =时，()f x 取最小值1l n 2-.所以d=1x e x -=，min d =.所以)min min ||21ln 2PQ d ==-.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－12，则f ′(x )＝6x －24.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5－24＝6.答案：614．设函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (c <0)，其图象在点A (1,0)处的切线的斜率为0，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，则由题意，得f (1)＝13a ＋12b ＋c ＝0且f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0，解得b ＝－43a ，c ＝13a ，∵c <0，∴a <0，所以f ′(x )＝13a (3x 2－4x ＋1)＝13a (3x －1)(x －1)≥0，即(3x －1)(x －1)≤0，解得13≤x ≤1，因此函数f (x )的单调递增区间为[13，1]．答案：[13，1]15．若y ＝x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是解析：y ＝x⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ＝x⎰(sin t ＋12sin2t )d t＝(－cos t －14cos2t )0x ＝－cos x －14cos2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2.答案 216．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx ＋c ，当x ∈(0,1)时函数f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时函数f (x )取得极小值，则u ＝b －2a －1的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵当x ∈(0,1)时函数f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时函数f (x )取得极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0f ′(1)<0f ′(2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b >01＋a ＋2b <04＋2a ＋2b >0，u ＝b －2a －1的几何意义是点A (a ，b )与B (1,2)连线的斜率，如图，结合图形可得14<u <1.答案：⎝⎛⎭⎫14，1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题满分12分）设函数)(),0π( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ． （Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+-c y x 于函数)(x f y =的图像不相切．解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴,1)82s i n (±=+⨯∴ϕπZ k k ∈+=ϕ+∴,24πππ.43,0πϕϕπ-=∴<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得：.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：,2|)432cos(2||))432(sin(|||≤-='-='ππx x y所以曲线)(x f y =的切线斜率取值范围为[－2，2]，而直线025=+-c y x 的斜率为225>，所以直线025=+-c y x 与函数)432sin(π-=x y 的图像不相切。

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

一、选择题1．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．42．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．223．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．17．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C ．455D ．2558．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]9．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =-+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________. 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______． 15．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．18．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号） ①1y x=②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+ 19．设()()()sin 2',''32f x x xf f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是的导函数，则___________. 20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．26．已知函数()()1ln 1x f x x++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值 （2）当0x >时，不等式()()0g x f x kx'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．2．C【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m en ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.8．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.9．D解析：D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．10．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()x f x g x e=，x ∈R ．()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知(1)k f '=，求导后计算即可. 【详解】 因为()f x x '=-,所以 (1)1k f '==- ，故选B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥.【详解】设点00(,)P x y，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】求出导函数根据题意转化为对恒成立即可得解【详解】曲线上总存在两点M （x1y1）N （x2y2）使曲线在MN 两点处的切线互相平行即所以对恒成立所以x1+x2的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查解析：()8+∞，【分析】求出导函数24()1f x x x λ'=--，根据题意转化为()()212121244x x x x x x λλ++=<对2λ≥恒成立，即可得解.【详解】4()ln 2f x x x x λλ=+-≥，，24()1f x x xλ'=--，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，2211224411x x x x λλ--=--， 22121244x x x x λλ-=-，()()212121244x x x x x x λλ++=<所以1216x x λ+>对2λ≥恒成立所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，. 故答案为：()8+∞，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.15．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.18．①③【解析】因为；因为不存在异于的点；因为总存在异于的点满足条件；因为不存在异于的点；所以选①③解析：①③ 【解析】 因为122111y x x x x x =-=-∴=-'≠取 ； 因为231,0y x x =-='时不存在异于M 的点N ；因为1sin sin y x x =-=-'∴总存在异于M 的点N 满足条件；因为212412(2)x x y x x x ='-+=-+，22x =不存在异于M 的点N ；所以选①③19．-1【解析】∵令可得：解得则解析：-1 【解析】∵()2(),()2()33f x sinx xf f x cosx f ππ=+'∴'=+'，令3x π=,可得：()2()333f cos f πππ'=+' ,解得1()32f π'=- ， 则1()2()1222f cosππ'=+⨯-=- 20．或【解析】由题意可得：设曲线上点的坐标为切线的斜率为切线方程为：(*)切线过点则：解得：或将其代入(*)式整理可得切线方程为：或点睛：曲线y ＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的解析：20x y --=或5410x y +-= 【解析】由题意可得：()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-，切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，(*)切线过点()1,1-，则：()()()32012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入(*)式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.点睛：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．三、解答题21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2∞) 22．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根. （3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 23．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.(2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12． 又f′(x)＝a ＋2b x ， 于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）2；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos 1sin f x x x x '=++，即得2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，先求出切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--，再求出l 与坐标轴所围成的三角形的面积2S =，即得证. 【详解】（1）()(1sin )f x x x =+，则()[(1sin )](1sin )(1sin )cos 1sin f x x x x x x x x x x ''''=+=+++=++， 所以cos 1sin 22222f ππππ'⎛⎫=++=⎪⎝⎭； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵1y x =，21y x'∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-， ∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--， 令0x =，得02y x =， 令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=， 因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关． 【点睛】本题主要考查导数的运算，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（1）1ln 22--；（2）3 【分析】（1）求出导函数，代入x 的值即可得到结果； （2）不等式()()0g x f x k x-'>恒成立等价于[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立.【详解】（1）由题意可得()()2ln 111xx x f x x +='--+ ∴()11ln 22f '=--；（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立 即[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立设[](1)1ln(1)()x x h x x+++=，则21ln(1)()x x h x x --+'=1()1011x g x x x '=-=>++，()1ln(1)g x x x =--+在区间()0,∞+上是增函数， 且()0g x =存在唯一实数根a ,满足(2,3)a ∈，即1ln(1)a a =++ 由x a >时，()0,()0g x h x '>>；0x a <<时，()0,()0g x h x '<< 知()(0)h x x >的最小值为[](1)1ln(1)()1(3,4)a a h a a a+++==+∈故正整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。