小学数学高频考点讲义33专题三十三 分步计数原理(一)
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分类计数原理与分步计数原理-课件
提供一些实际应用的例子， 让大家亲自尝试使用分步 计数原理解决问题，加深 理解和掌握。
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时PPT课件(人教版)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
分步计数原理分类计数原理一ppt课件
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
情境问题
一学生从外面进入教室有多少 种走法？若进来再出去，有多少 走法？
2018年6月14日——7月15日在俄罗斯举行的第21届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环 赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后， 最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共 安排了多少场比赛？
分类加法计数原理
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情有n类不同方案，
在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2 种不同的方法……在第n类方案中有
种不同的方法.那么完成这件事共有 mn
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏)
⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，
则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专
业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这
名同学可能的专业选择共有
6+4=10种
这种算法有什么问题？
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
情境问题
一学生从外面进入教室有多少 种走法？若进来再出去，有多少 走法？
2018年6月14日——7月15日在俄罗斯举行的第21届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环 赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后， 最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共 安排了多少场比赛？
分类加法计数原理
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情有n类不同方案，
在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2 种不同的方法……在第n类方案中有
种不同的方法.那么完成这件事共有 mn
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏)
⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，
则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专
业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这
名同学可能的专业选择共有
6+4=10种
这种算法有什么问题？
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
第一节,分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
你能举出生活中的一些分类 计数问题吗?
4
草地
思考
水路
狐狸总共有多少种
2种
安全地 方法逃到安全地？
陆路
3种
如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢? 2+3+4=9种
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第 1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中 有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3类不 同的方法，那么完成这件事情有
一种方法就可完成这件 有各个步骤都完成了，才
事。
能完成这件事。
区别3
各类办法是互斥的， 并列的，独立的。
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保不遗 漏，”独立“确保不 重复。
即：类类互斥，步步独立
18
(1) 草地到安全地
完成这个事情有几类方案
两类
每类方案能否独立完成这件事情
能
每类方案中分别有几种不同的方法
2种 3种
完成这件事情共有多少种不同的方法
2+3=5种
3
互不相容
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方
法,那么完成这件事共有: N=m+n种不同的方法。 思考 原理使用的前提条件是什么?
分析: 分三类：
第一类：从第1层取，有4种方法;
第二类：从第2层取，有3种方法;
第三类：从第3层取，有2种方法。
所以从书架上任取1本书共有4+3+
2 =9 种不同的取法
15
问2.一个书架共有三层，第1层放有4 本不同的计算机书，第2层放有3本不 同的文艺书，第3层放有2本不同的体 育书。从书架的第1、2、3层各取1本 书，有多少种不同的取法？
4
草地
思考
水路
狐狸总共有多少种
2种
安全地 方法逃到安全地？
陆路
3种
如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢? 2+3+4=9种
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第 1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中 有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3类不 同的方法，那么完成这件事情有
一种方法就可完成这件 有各个步骤都完成了，才
事。
能完成这件事。
区别3
各类办法是互斥的， 并列的，独立的。
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保不遗 漏，”独立“确保不 重复。
即：类类互斥，步步独立
18
(1) 草地到安全地
完成这个事情有几类方案
两类
每类方案能否独立完成这件事情
能
每类方案中分别有几种不同的方法
2种 3种
完成这件事情共有多少种不同的方法
2+3=5种
3
互不相容
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方
法,那么完成这件事共有: N=m+n种不同的方法。 思考 原理使用的前提条件是什么?
分析: 分三类：
第一类：从第1层取，有4种方法;
第二类：从第2层取，有3种方法;
第三类：从第3层取，有2种方法。
所以从书架上任取1本书共有4+3+
2 =9 种不同的取法
15
问2.一个书架共有三层，第1层放有4 本不同的计算机书，第2层放有3本不 同的文艺书，第3层放有2本不同的体 育书。从书架的第1、2、3层各取1本 书，有多少种不同的取法？
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在解决排列和组合问题时起着重要作用。
通过分步乘法计数原理，我们可以更加灵活地处理各种复杂的排列和组合情况，从而更加高效地解决实际问题。
本文将从基本概念、应用方法和实例分析三个方面来介绍分步乘法计数原理。
基本概念。
分步乘法计数原理是指，如果一个任务可以分解为若干个相互独立的子任务，且每个子任务都有若干种方式完成，那么完成整个任务的方式数就是各个子任务完成方式数的乘积。
这个原理在排列和组合问题中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计数问题。
应用方法。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来应用分步乘法计数原理：1. 将整个任务分解为若干个相互独立的子任务；2. 分别计算每个子任务的完成方式数；3. 将各个子任务完成方式数相乘，得到整个任务的完成方式数。
通过这样的方法，我们可以更加系统地分析和计算各种排列和组合问题，从而更加高效地解决实际应用中的计数难题。
实例分析。
下面通过一个实例来进一步说明分步乘法计数原理的具体应用。
假设有一个班级，其中有5名男生和3名女生，现在要从中选出一名班长和一名副班长，要求班长和副班长不能是同一性别。
那么按照分步乘法计数原理，我们可以分解为两个子任务，首先选出班长，然后再选出副班长。
对于选出班长的子任务，由于班长不能是同一性别，所以选出班长的方式数为5（男生）+ 3（女生）= 8。
对于选出副班长的子任务，由于副班长不能是和班长同一性别，所以选出副班长的方式数为4（男生）+ 3（女生）= 7。
因此，根据分步乘法计数原理，选出班长和副班长的方式数为8 7 = 56。
通过这个实例，我们可以看到分步乘法计数原理的应用方法和计算过程。
通过将整个任务分解为若干个子任务，并分别计算每个子任务的完成方式数，最后将各个子任务的完成方式数相乘，我们可以更加高效地解决各种排列和组合问题。
总结。
分步乘法计数原理是组合数学中的重要概念，它在解决排列和组合问题时有着重要的应用价值。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理PPT演示人教A版1
解析： (1)选一名学生有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班选一名，有50种不同的方法； 第二类：从高二（2）班选一名，有60种不同的方法； 第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精有3条，由
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，
在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， 在第3类方案中有m3种不同的方法， 那么完成这件事情有
完成一件事有两类不同的方案，
在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有 N= m+ n
种不同的方法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
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1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精有3条，由
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
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探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，
在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， 在第3类方案中有m3种不同的方法， 那么完成这件事情有
完成一件事有两类不同的方案，
在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有 N= m+ n
种不同的方法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
1.1.1分类计数原理与分步计数原理1
26+10=36
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
字母 A
树形图
பைடு நூலகம்数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总 共能编出多少个不同的号码？
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
字母 A
树形图
பைடு நூலகம்数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总 共能编出多少个不同的号码？
分类计数原理与分步计数原理1
要回答上述问题，就要用到排列、组合的 知识，排列、组合是一个重要的数学方法，粗 略地说，排列、组合就是研究按某一规则做某 事时，一共有多少种不同的做法。
在运用排列、组合方法时，经常要用到分 类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些 例子来说明这两个原理
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
请看下面问题1：
解题回顾： 分类计数原理与分步计数原 理，回答的都是有关做一件事的不同方法 种数的问题。区别在于：分类计数原理针 对的是“分类”问题，其中各种方法相互 独立，用其中任何一种方法都可以做完这 件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各步骤中的方法相互依存，只有各个 步骤都完成才算做完这件事。
； 空包网 空包 单号网 ；
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽
车.一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天
中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多
少种不同的走法?
画图分析
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1) 分析： 因为一天中乘火车有3种走法,乘汽 车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到 乙地,所以共有3+2=5种不同走法,
如图：
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
一般地，有如下原理： 分类计数原理：做一件事，完成它可
以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．
对于分类计数原理，我们应注意以下几点. （1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相 互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加， 所以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个 分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类 （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类 ，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的 方法.
在运用排列、组合方法时，经常要用到分 类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些 例子来说明这两个原理
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
请看下面问题1：
解题回顾： 分类计数原理与分步计数原 理，回答的都是有关做一件事的不同方法 种数的问题。区别在于：分类计数原理针 对的是“分类”问题，其中各种方法相互 独立，用其中任何一种方法都可以做完这 件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各步骤中的方法相互依存，只有各个 步骤都完成才算做完这件事。
； 空包网 空包 单号网 ；
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽
车.一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天
中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多
少种不同的走法?
画图分析
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1) 分析： 因为一天中乘火车有3种走法,乘汽 车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到 乙地,所以共有3+2=5种不同走法,
如图：
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
一般地，有如下原理： 分类计数原理：做一件事，完成它可
以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．
对于分类计数原理，我们应注意以下几点. （1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相 互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加， 所以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个 分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类 （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类 ，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的 方法.
1.1.2分步乘法计数原理(22张)
【针对训练1】一种号码锁有4个拨号 盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的 号码(各位上的数字允许重复)?
【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第一步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第三步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.
枣庄坐火车到济南办事,再于次日从济南乘汽
车到青岛旅游,一天中火车有3班,汽车有2班.
他将如何安排行程?
【解析】因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以从枣庄到 青岛需乘1次火车再接着乘1次汽车就可以了,共有3×2=6种不同 走法,如图.
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同 的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事 共有N= m× n种不同的方法。
(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选
择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有4×9×8=288个.
【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个
操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电
脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个
操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同 的选派方法有多少种?
【解析】由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. (1)百位数字有9种选择,十位数字和个位数字都各有10种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×10×10=900个.
(2)由于数字不可重复,因此百位数字有9种选择,十位数字也有9种
选择,个位数字有8种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×9×8=648个.
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A
专题三十三 分步计数原理（一）
例题：
1.在88 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形?
分析与解答：
如图,将标有A 字的方格称为凸字形的“头”,当“头”在8×8的正方形边上时,一个“头”对应着一个凸字形,这样的凸字形有6×4=24(个);当“头”位于8×8的正方形内部时,一个“头”对应着4个凸字形,这样的下凸字形有4×(6×6)=144(个),合计24+144=168(个).
2.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到东北角B 处,要求走得最近的路,并且不能通过十字路口C (正在修路),共有多少种不同的走法?
分析与解答：
用标数法可以求出一共有120(种)走法.
3.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如1331, 7, 202都是回文数.而220则不是回文数.问1到6位的回文数一共有多少个?
分析与解答：
→B →A C →B
→A
C
1 1 1 1 1 1 1
2
3
4 5
7 6 3
6
10
13
6
1
4 10 20 20
39 26 1
5 15 25 55 120 81 1
一位回文数有9个;二位回文字也有9个;三位回文数有9×10=90(个);四位回文数也有90个;五位回文数有9×10×10=900(个);六位回文数也有900个.一共有9+9+90+90+900+900=1998(个).
4.如图,把A 、B 、C 、D 、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?
分析与解答：
按A ,B ,C ,D ,E 的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×2=96(种).
习题：
1.书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.
2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.
3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.
4.边长为整数的长方形，面积为693平方厘米,其周长最多可有 种不同的数值.
5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以连成几条线段?6个点可以连成 条线段.
6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人.
7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .
E
D
C
B A
8.用9枚钉子组成33⨯方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形.
9.有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,只有2名队长不排在一起,一共有 种排法.
10.在图中画出n ⨯3方格中(n 是自然数)每一列中的3个方格中分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.
习题答案：
第[1]道题答案：
60.
第一步,取一本画报,有6种方法;第二步,取一本科技书,有10种方法.根据乘法原理,一共有6×10=60(种)不同取法.
第[2]道题答案：
16384.
放第一个球,有4种方法;放第二个球,也有4种方法,…,放第七个球,还有4种方法.由乘法原理知,一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法.
第[3]道题答案：
648.
第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第二步,排十位数字,有9种方法;第三步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,一共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.
第[4]道题答案：
6.
将693分解质因数得693=7×11×32,它有(1+1)×(1+1)×(2+1)=12个约数,故它可以组成6组不同的长和宽,即周长最多有6种不同数值.
第[5]道题答案：
10;15.
每一条线段有两个端点,从五个点中选一个点作为端点有5种方法,而选第二个点有4种方法,共有5×4=20(种)方法.但是因先选A 再选B 与先选B 再选A
……
……
……
是同一条线段,故实际上是(5×4)÷2=10(条)线段.
同理,六个点可以连成(6×5)÷2=15(条)线段.
第[6]道题答案：
9.
设小组有x 人,则握手总次数为
362
)
1(=-x x ,即72)1((=-x x .相邻两个连续自然数的积为72,即9×8=72,故x =9.
第[7]道题答案：
90.
大长方形长上有6个点,共可组成152
5
6=⨯条线段;大长方形宽上有4个点,可以组成
62
3
4=⨯条线段.故图中长方形的个数为15×6=90(个).
第[8]道题答案：
72.
从9枚钉子中取3枚,先取第一枚有9种方法,再取第二枚有8种方法,最后取第三枚有7种方法,共有9×8×7种方法.但其中每个三角形顶点有6种排列次序,故实际上只有9×8×7÷6=84种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有8种,所以一共可得到84-8=72(个)三角形.
第[9]道题答案：
72.
我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有3×2×1=6(种)排法.
再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有4种方法,第二个队长有3种方法,故一共有6×4×3=72(种)排法.
第[10]道题答案：
7.
每一列的排法有3×2×1=6(种),故最少需要6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.。