数学高中学业水平测试专题十第36讲解三角形的综合应用教育精品PPT课件

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解三角形的实际应用课件-2025届高三数学一轮复习

6 4 3
= = 20 m，如图所示，则该建筑
物的高度为( B ) .
A.15 6 m
B.10 6 m
C.6 6 m
D.5 6 m
基础课26 解三角形的实际应用
解析设 = m，在Rt △ 中，∠ =
在Rt △ 中，∠ =
π
，所以
4
25
π
，所以
3
=

3
2
，
2
基础课26 解三角形的实际应用
30
（2）如图2，小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角
∠ = 4.8∘ ，在处测得楼顶在西偏北方向上，通过计算得
cos
cos
=
11
，tan
4
sin
sin
3
4
= ，
4.8∘ ≈ 0.0840，若该地图APP测出的 = 2 km是准确的，请根据以
=
20 3
，故
3−1
=
+ 3 = 30 + 11 3.
40 2
6− 2
=
40
，从而
3−1
基础课26 解三角形的实际应用
4.（人教A版必修②P51 ⋅ T3改编）甲船在处发现乙船在北偏东60∘ 的处，乙船正
以 n mile/h的速度向北匀速行驶.已知甲船的速度是 3 n mile/h，则甲船应沿着

由正弦定理得，
sin 60∘
=

，解得
sin 45∘
=
在△ 中，由余弦定理得，
=
2
2
+
6

2
2
− 2 ⋅ 2 ⋅
6

2024高中数学解三角形ppt课件

目录•三角形基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形面积公式及其应用•解三角形综合应用举例三角形基本概念与性质三角形的分类按边可分为不等边三角形、等腰三角形；按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

三角形的定义与分类三角形内角和定理01三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180°。

02证明方法通过平行线的性质或者撕拼法等方法进行证明。

三角形外角性质三角形外角的定义三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形外角的性质三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形边与角关系01正弦定理在任意三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

02余弦定理在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

03三角形的面积公式S=1/2absinC，其中a、b为两边长，C为两边夹角。

正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明推导过程通过三角形的外接圆和正弦函数的定义，推导出正弦定理的表达式。

证明方法利用三角形的面积公式和正弦函数的性质，证明正弦定理的正确性。

利用正弦定理求解三角形已知两边及夹角求第三边通过正弦定理计算出已知两边夹角对应的第三边的长度。

已知两角及夹边求其他元素利用正弦定理和三角形内角和定理，求出三角形的其他元素。

解决三角形中的角度问题通过正弦定理计算出三角形中的未知角度。

解决三角形中的边长问题利用正弦定理求出三角形中的未知边长。

解决力学问题在力学中，正弦定理可用于解决涉及三角形的问题，如力的合成与分解等。

解决光学问题在光学中，正弦定理可用于解决涉及光的反射和折射等问题。

余弦定理及其应用余弦定理的推导与证明向量法推导余弦定理通过向量的数量积和模长关系，推导余弦定理的表达式。

几何法证明余弦定理利用三角形的面积公式和正弦定理，结合相似三角形的性质，证明余弦定理。

解三角形PPT演示课件

04 三角形在实际问题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以通过构造三角形，利用已知边长和角度，通过三角函数求解未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造三角形并测量相关角度和距离，利用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定理或正弦定理求解第三边和其余两个角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高，或者通过海伦公式等方法，可以计算三角形的面积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和角度的情况下，可以利用正弦定理、余弦定理等方法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或角度，可以判断三角形的形状，如等边、等腰、直角等。

解三角形的实际应用举例ppt课件

在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
工具
第三章三角函数
栏目导引
探究点二：测量高度问题
＝γ，∠BDC＝β.
在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， ∴BC＝CDsi·ns∠in∠CBBDDC＝sibn·sβin＋βγ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝bs·sininββ＋tanγα.
注：还可以用向量法求解.
工具
第三章三角函数
栏目导引
解三角形的实际应用举例
第二课时
工具
第三章三角函数
栏目导引
探究点二：测量高度问题
测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯
角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把
立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．
2≈1.4， 3≈1.7， 7≈2.6)
分析：本题解决的关键是什么？分布在哪个三角形中？能直接利用正、余弦定理求解吗？若不能，则需要在哪几个三角形中先求出哪几条边的长度？
工具
第三章三角函数
栏目导引
解析：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，
CD＝6 000 m，∠ACD＝45°，根据正弦定理 AD＝CDsinsin604°5°＝
(1)求出发后 3 小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？
工具
第三章三角函数
栏目导引
课时小结
解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语如坡度、仰角、俯角、方位角等．

解三角形课件PPT

所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形.
利用正弦定理证明等式 பைடு நூலகம்名师指津】利用正弦定理证明等式应注意：
观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也是解三角形过程中经常遇到的. 【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.
∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.
当c＝
6－ 2
2时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋ 2×
6－ 2
2×
62－2－23＝－12. 2
∵0°<A<180°，∴A＝120°，C＝15°.
故c＝
6＋ 2
2 时，A＝60°，C＝75°或c＝
6－ 2
2 时，A＝
120°，C＝15°.
3.在△ABC中，若B=2A，a∶b 1∶ 3，则A=_______.
【解析】∵ a∶b 1∶ 3,sin A∶sin B 1∶ 3，
即sin A∶sin 2A 1∶ 3,所故以Aco=s3A0°. 3，
2
答案：30°
4.在△ABC中，A=30°，C=45°，c 2，则边a=______.
【解析】在△ABC中，由正弦定理 a 得c ,
sin A sin C a csin A 2 sin 30 1.
sin C sin 45
答案：1
5.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的
最大边长为多少？
【解析】根据三角形中“大角对大边”可知，此三角形的
最大边为b，
由B＝135°，C＝15°，可得A=30°，

解三角形ppt课件

解三角形中的最值问题
01
总结词
02
详细描述
03
示例
利用三角形性质和函数性质，解决三角形中的最值问题。
在解三角形问题中，常常会遇到需要求最值的问题。这类问题通常涉及到三角形的边长、角度等性质，需要利用三角形的基本性质和函数的基本性质进行推理和求解。
在三角形ABC中，已知a 、b、c分别为角A、B、C 所对的边，且a = 2, b = 3, C = 60度。求三角形 ABC的面积的最大值。
航海定位问题
经验积累
解决航海定位问题需要丰富的经验积累，因为在实际航行中会遇到各种复杂的情况。只有通过不断实践和经验积累，才能熟练掌握解三角形的方法，提高定位精度和航行安全
性。
建筑结构设计问题
结构设计基础
建筑结构设计问题是建筑学中的基础问题之一，涉及到建筑物的稳定性和安全性。解三角形的方法可以用来确定建筑物的结构形式和受力情况，保证建筑物的质量和安全性。
测量距离问题
实践性强
解决测量距离问题需要很强的实践能力，需要具备一定的测量和计算能力。同时，还需要对实际环境有足够的了解，能够根据实际情况选择合适的解三角形方法。
航海定位问题
重要应用
航海定位问题在航海学中非常重要，因为准确的定位是保证航行安全的前提。解三角形的方法可以用来确定船只的位置和航向，保证航行路线的准确性。
解三角形ppt课件
contents
目录
• 引言 • 三角形的基本性质 • 解三角形的方法 • 实际应用案例 • 解三角形的进阶技巧 • 总结与展望
01
引言
三角形的定义与性质
三角形是由三条边和三个角构成的二维图形。
三角形的边和角之间存在一定的关系，如两边之和大于第三边、内角和为 180度等。

解三角形的实际应用举例PPT教学课件

• 其解题的一般步骤：
• ①分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角等；
• ②根据题意，画出示意图；
• ③将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要注意算法简练、正确计算并作答；
• 2．方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．
• 3．坡度与坡角：把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度；坡面与水平面的夹角叫做坡角．
• 三、解斜三角形应用题的步骤
• 1．审题：弄清题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称和术语，如仰角、俯角、方位角等；
• 2．画图：将文字语言转化为图形语言和符号语言；
• 解三角形应用题的一般步骤是：(1)准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图；(3)将需要求解的问题归纳为数学问题，即归结到一个或几个三角形中，合理地运用正、余弦定理求解．
• [例1] 某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人距C 为31千米正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?
• 2．数学建模和运算问题
• (1)解三角形应用问题时，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边、角的大小，从而得出实际问题的解，这就是数学建模思想，即从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后经过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．

解三角形应用举例优秀课件ppt

28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.

解三角形PPT教学课件

数值积分法
采用数值积分方法对定积分进行近似计算，并讨论积分误差。
04
数值稳定性和精度保持策略
避免大数相除
在计算过程中，尽量避免大数除以小数的情况，以减少舍入误差。
选择合适的数据类型
根据计算需求选择合适的数据类型，如单精度浮点数、双精度浮点数等。
逐步细化计算步骤
将复杂计算分解为多个简单步骤，逐步细化以提高计算精度。
三角形重要性质
三角形的稳定性
01
三角形具有稳定性，是建筑、工程等领域常用的结构形状。
三角形的面积公式
02
包括底乘高的一半、海伦公式等多种计算方法。
三角形的中线、角平分线、高线等性质
03
中线平分对应边、角平分线平分对应角、高线垂直于对应底边
等。
相似与全等三角形
相似三角形定义及性质
对应角相等、对应边成比例的三角形为相似三角形，具有相似比等性质。
高度测量
解三角形也可以用于测量山峰、建筑物等高度。例如，通过在山脚和山顶各设置一个观测点，测量两个观测点之间的水平距离和仰角，再利用三角函数公式求解高度。
角度测量
在地理学中，角度测量也是非常重要的。解三角形可以通过已知三边或已知两边和夹角等条件，利用三角函数公式求解未知角度。
航海学：航向、航速、航程计算
注意事项
需确保两角为夹边的两角
应用场景
在三角形求解、角度计算等方面有广泛应用
已知三边求角度（SSS）
已知条件
三边a、b、c
求解方法
利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/2bc求解角度A，同理可求B、C
注意事项
需注意余弦定理中边长的对应关系
应用场景
在几何、测量等领域中广泛应用

高三数学总复习解三角形应用举例PPT课件

sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝ 23×17＋12×473＝5143.
由正弦定理sin∠ADACD＝sCinDA，所以 AD＝213×5143＝ 2
15 km，故这时此车距离 A 城 15 千米．
考点二测量高度问题
[例 2] 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30°，求塔高．
260 63
65
×153＝500 m.乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550 m，还需走 710 m 才能到达 C.
设乙步行的速度为 v m/min，由题意得－3≤50v0－75100≤3，解得1 42350≤v≤61245，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在1 42350，61245(单位：m/min) 范围内．
解三角形应用举例
1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)． 3．方向角相对于某一正方向的水平角
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向 (如图③)；
互动探究在本例条件下，若该人行走的速度为 6 km/h，则该人到达测得仰角最大的地方时，走了几分钟？
解：设该人走了 x m 时到达测得仰角最大的地
方，则 xtan 30°＝(40－x)tan 15°，
即 40x－x
＝
tan tan
1350°°＝
3tan 15°＝
3 tan(45°－
30°)＝2 3－3.

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AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3＝
8sin C＋ 23cos C－12sin C＋4
1 3＝82sin
C＋
3 2 cos
C＋4
3＝8sinC＋π3＋4
3，
∵∠ADC＝23π，∴0＜C＜π3，∴π3＜C＋π3＜23π，
∴当 C＋π3＝π2，即 C＝π6时，
△ADC 的周长的最大值为 8＋4 3. 答案：8＋4 3
A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 3 海里 D．20 2 海里
解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20，∠ CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
BC ＝ AB ， sin 30° sin 45° 解得 BC＝10 2(海里)．答案：A
3．一条河的两岸平行，河的宽度 d＝0.6 km，一艘
解析：如图，过点 P 作 PO⊥BC 于点 O，
连接 AO，则∠PAO＝θ.
设
CO＝x
m，则
OP＝
3 3x
m.
在 Rt△ABC 中，AB＝15 m，AC＝25 m， ∴BC＝20 m．∴cos∠BCA＝45. ∴ AO ＝ 625＋x2－2×25x×45 ＝ x2－40x＋625 (m)．
3 3x ∴tan θ＝ x2－40x＋625
专题十解三角形
第36讲解三角形的综合应用
1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°，北偏西 45°等． 3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α(如图②)．
2．求角度问题
【例 2】如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练．已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小．若 AB ＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则 tan θ 的最大值是 ______(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)．
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin
30°＝ 22× 23－ 22×12＝
6－ 4
2 ，
由正弦定理得 PB ＝ AB ，∴PB＝ 12×60 ＝
sin 30° sin0( 6＋ 2)，
∴树的高度为 PB·sin 45°＝30( 6＋ 2)× 22＝(30＋ 30 3)m.
解析：(1)由题意知，在△PMN 中，PM＝68 海里，∠ MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.
由正弦定理，得 MN ＝ 68 ，解得 MN＝34 6海 sin 120° sin 45°
里，故这只船航行的速度为344 6＝172 6海里/小时． (2)在△PAB 中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，
答案：(1)127 6 (2)30＋30 3
剖析：求距离、高度问题应注意： (1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念； (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
剖析：三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
1．在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若
∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则 A，C 两点之间的距离
为( )
A. 6 km C. 3 km
3
3
3
3
＝
＝ 1－4x0＋6x225
2x5－452＋295.
3
当2x5＝45，即
x＝1245时，tan
θ
取得最大值为
3 3
＝5
9
3 .
5
答案：5 9 3
剖析：解决测量角度问题的注意事项： (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
B. 2 km D．2 km
解析：如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB＝45°，
∴ AC ＝ 2 ，∴AC＝2 sin 60° sin 45°
2× 23＝
6.
答案：A
2．一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是( )
1．求距离、高度问题
【例 1】 (1)一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°的方向上，距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B 两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.
客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB＝1
km，水的流速为 2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所
用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )
A．8 km/h
B．6 2 km/h
3．三角形与三角函数的综合问题【例 3】如图，在△ABC 中，已知 B＝π3，AC＝4 3， D 为 BC 边上一点．若 AB＝AD，则△ADC 的周长的最大值为________．
解析：∵AB＝AD，B＝π3，∴△ABD 为正三角形．在△ADC 中，根据正弦定理，可得sAinDC＝s4in233π＝sinDπ3C－C， ∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，∴△ADC 的周长为