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F E C D B
１）求证：ＢＤ 面ＡＥＤ ２）求二面角Ｆ－ＢＤ－Ｃ的余弦值。
A
2012年天津高考理科第17题
如图，在四棱锥P ABCD中，PA 面ABCD， AC AD，AB BC，BAC=450，PA=AD=2 AC=1 1）证明PC AD； 2）求二面角A-ＰＣ-Ｄ的正弦值；
变式（一）如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， 1 D、E分别是棱AA1，B1C的中点。AB= AA1 2 DE B1C 1 ）证明AB BC 2)若二面角A-BD-C的为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
A A1 E D C B
C
1
B1
图2
变式（二）在直三棱柱ABC A1 B1C1中， D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 1 AB AC AA1。 2 1 ）证明DE B1C 2)设B1C与面BCD所成角为300， 求二面角A-BD-C的大小
一道高考题之联想
宝泉岭管理局第二高级中学 张 庭 树
题目 出处
说题
考题 变式 解题 方法 高考 连击
解题 思路
一题目出处：
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1 ）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
A1 B1
C1
D Ａ Ｂ C
1
E
Ｃ B1
变式（一）如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， 1 D、E分别是棱AA1，B1C的中点。AB= AA1 2 DE B1C 1）证明AB BC 2)若二面角A-BD-C的为60 ， 求B1C与面BCD所成角的大小。
0
A1
E
D C A B
图2
五、考题变式
B1
平行四边形的边AH⊥BC
三角形三线合一 AB=AC
Ｂ
D Ａ
E
H
Ｃ
三.解题方法
几何解法
向量解法
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
证明1）（法四）以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴， 建立空间直角坐标系，设AB长为x,AC长为y,AA1长为2z， x x 则B(x,0,0),C(0,y,0),D(0,0,z),E( , ,z) 2 2 x y DE=（ , ,0）,BC ( x, y,0) 2 2 DE 面BCC1，BC 面BCC1 , DE BC 0 解得x=y,所以得到AB=AC
Ｂ A1 B1 D E C1
Ａ
Ｃ
母题可见于人教版A版选修2-1教材118页第11题
二.解题思路
条件分析
结论分析
解题关键
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C的为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
D A
P
B C
五、考题变式
2009年全国高考Biblioteka Baidu科第18题
C
A1 B1 D Ａ E
C1
Ｂ
B1 E C A
1
Ｃ
变式练习（一）A
1
1
2009年全国
D
B1
变式练习（二）A
C B
1
图2
D C
2012年新课标黑龙江高考理科第19题
A
B 2012年黑龙江
五、考题变式 2009年全国高考题理科18题
如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1 ）证明AB BC 2)若二面角A-BD-C的为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
A1 B1 C1
D
Ａ
E
Ｂ
Ｃ
三.解题方法
几何解法
向量解法
A1 C1
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
解2）（法一）做出二面角平面角
由二面角平面角 B1C的长 侧棱和底边的关系
B1 D G Ａ Ｂ Ｃ E
等体积法求出B1点到面BCD的距离h 求出直线B1C与平面BCD所成的角
三.解题方法
几何解法
向量解法
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
A1
解2）（法二）建立空间直角坐标系
二面角的平面角 侧棱和底边的关系
C1
B1
D
Ａ
E
求出面BCD的法向量
Ｂ
Ｃ
两个向量的数量积
直线与平面所成的角
四、高考连击：
2012年山东高考理科第18题
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，
０ ＡＢ ＣＤ，ＤＡＢ＝６０，ＦＣ 面ＡＢＣＤ， ＡＥ ＢＤ，ＣＢ＝ＣＤ＝ＣＦ
Ｂ
AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。
B1 D Ａ Ｃ E
BD=DC，∴AB=AC
三.解题方法
几何解法
向量解法
A1 C1
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
证明1）（法二）连结EB。 由Rt△DEB≌Rt△DEC得到DB=DC AB=AC
B1
D Ａ Ｂ
E
Ｃ A1 C1
证明1）（法三）取BC中点H，连结EH
Ｂ B1 D Ａ Ｃ E A1 C1
二.解题思路
条件分析
结论分析
解题关键
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C的为60 ， 求B1C与面BCD所成角的大小。
Ｂ B1 D Ａ Ｃ E A1
C1
三.解题方法
几何解法
向量解法
A1 C1
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中， DE 面BCC1 1 ）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C的为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
证明1）（法一）连结DB1。 由等腰三角形三线合一 在矩形AB1BA1中，∴B1D=BD。 B1D=DC
五、考题变式
Ｂ
B1 A1 C1
D
E
Ａ Ｃ
0
二.解题思路
条件分析
结论分析
解题关键
2009年全国高考题理科第18题（立体几何）
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB AC , D、E分别是棱AA1，B1C的中点。 DE 面BCC1 1）证明AB AC 2)若二面角A-BD-C的为600， 求B1C与面BCD所成角的大小。
