整体思想解题(一)

数学解题思想——整体思想杨相云整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

一．整体代入在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形,再整体代入求值，使问题化难为易。

例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根,求代数式22211a a a a--+的值。

分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=,则21-a a -=，2=1a a +,再整体带入即可。

二．整体设元在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解.例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。

解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++，两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-;故2320141+2+2+2...2++=201521-。

请你仿照此方法计算：（1）23101+3+3+3...3++;（2）231+5+5+5...5n ++(其中n 为正整数）.分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++，再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++，再与已知等式相减,得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；三．整体构造就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造,从而解决问题。

例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。

“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。

运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。

下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。

“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。

解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。

例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。

分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。

解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。

分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。

解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。

这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。

整体思想解题例说杨鹤云 (江苏省泰州中学 225300)整体思想是从宏观上、本质上考察问题的结构,通过对问题进行整体处理,以达到简洁顺利地解决问题.1 从整体与局部的内在联系入手从观察整体与局部的结构关系、知识之间的内在联系获得问题的解决.例1 求1,2,3, ,n 这n 个正整数中每两个数乘积之和.分析 问题即求S =1 2+1 3+ +1 n+2 3+ +(n-1)n.解 因为(1+2+ +n)2=12+22+ +n2+2S,所以S =12[(1+2+ +n)2-(12+22++n 2)]=12[(n(n+1)2)2-n(n+1)(2n+1)6]=(n-1)n(n+1)(3n+2)24.评注 把握整体与局部的特征以及内在联系是解题关键.例2 求sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 的值.解 设x =sin 220 +cos 250 +sin 20 cos 50 ,y =cos 220 +sin 250 +cos 20 sin 50 ,则x +y =2+sin 70 ,x -y =-12-sin 70 ,两式相加,得x =34.评注 观察题设结构特征,联想类比式子结构,寻求整体配对,配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.另外,x -y =cos 100 -cos 40 -sin 30 =-12+cos(70 +30 )-cos(70 -30 )=-12-sin 70 ,运用了整体与局部关系解决.2 从局部向整体转化例3 等差数列{a n }中,公差d =1,S 100=150,求a 2+a 4+ +a 100.分析 已知整体S 100,求局部的问题.解 由等差数列定义,得a 1=a 2-d,a 3=a 4-d, ,a 99=a 100-d.代入S 100=150,得2(a 2+a 4+ +a 100)-50d =150,所以a 2+a 4+ +a 100=100.评注 求解过程中,由局部与局部之间的关系如a 1=a 2-d,向整体转化后求出局部a 2+a 4++a 100的值,体现了由局部向整体再向局部转化的解题过程.例4 如图1,正三角形A BC 的边长为2,A 1A ,B 1B,C 1C 都垂直于平面A BC ,且A 1A =1,B 1B =2,C 1C =3,求这个几何体的体积.图1 图2解法1(分割法) 如图1,连结A 1C,A 1B,将几何体分成两个棱锥A 1 A BC,A 1 BB 1C 1C,根据体积变换法,所求体积为V A 1A BC +V A 1BB 1C 1C =V A 1A BC +V A BB1C 1C=23.解法2(补形法) 如图2,在已知几何体上补一个同样大小的几何体,便得A 2A =B 2B =C 2C =4,所求几何体的体积为12S ABC A 2A =23.评注 对基本图形整体理解,把不规则图形相关问题通过直觉想象与判断转化成规则图形问题,便于问题的求解.这种整体补形的方法,便捷而富有创造性.3 从整体向整体转化例5 当函数f (x )=ax -bx 满足不等式1 f (1) 2,13 f (2) 20时,求f (3)的取值范围.解 f (1)=a-b,f (2)=2a-b2,f (3)=3a -b 3.令f (3)= f (1)+ f (2),得 =-59, =169,所以f (3)=-59f (1)+169f (2).又因为1 f (1) 2,13 f (2) 20,所以22 f (3) 35.评注 本题用f (1),f (2)线性表示f (3),将f (1),f (2)整体代入,利用不等式基本性质进行解答.若从1 a-b 2,13 2a-b220分别求出a,b 的范围后再求f (3)的范围,破坏了函数f (x)=ax -b x 的整体结构,容易致误.例6 已知sin x +sin 求cos x +cos y 42 中学数学月刊 2011年第3期的取值范围.解 设u=cos x+cos y,将已知式与待求式两边平方,得12=sin2x+2sin x sin y+sin2y,u2=cos2x+2cos x cos y+cos2y.+ ,得u2+12=2+2cos(x-y),即2cos(x-y)=u2-32.因为-2 2cos(x-y) 2,所以-2u2-32 2.解得-142u 142,即-142cos x+cos y 142.评注 利用整体代换构建不等式,再求出整体的取值范围,这是求解此类问题的基本方法.4 从问题结构入手例7 方程1+3-x1+3x=3的解是 .分析1 正常解法是去分母得关于3x的一元二次方程,将3x当作整体的局部作代换求解.分析2 将方程两边同乘以3x,得3x(1+3-x)1+3=3 3x,得3x+1=1,即x=-1.通过变换后将整体部分1+3x约去.分析3 作1的变换,将1=3x-x代入,得3x-x+3-x1+3x=3,3-x(1+3x)1+3x=3,得3-x=3,x= -1.评注 分析2、3中将题目本身含有整体(1+ 3x)约去,通过适当变换简化解法.例8 已知实数a b且a2+2011a+1=0,b2+2011b+1=0.求11+a+11+b的值.分析1 依题意a,b是方程x2+2011x+1= 0的两个实根,求根后直接代入求解,较繁琐.分析2 由以上分析得a+b=-2011,ab=1直接代入,得11+a+11+b=2+a+b1+a+b+ab=1.分析3 由分析2,本题只需将ab=1代入即可:1+1=ab+1=b+1 =1.从以上各例不难发现,利用整体思想解题的关键是把握整体与局部之间的关系,善于发现问题之间的内在联系,揭示转化的规律.在形式、结构、方法、特征上寻求利用整体思想解题的途径,从而创造性地解决问题.(上接第34页)题中,由{S n}为等差数列,可得S1,S2,S3成等差数列,这里就应用了一般向特殊转化的思想,将条件最终转化为对数列{a n}的前3项进行研究,应用了化归思想和方程思想.(3)数列复习应强化能力意识,促进探究创新知识的多寡、常用方法掌握的熟练程度对解题思路与解题过程的改进起到非常重要的作用,但要使解题过程更为简捷、流畅,在教学时还要强化意识,注重探究.通过对等差数列和等比数列定义及相关公式的研究,可得出一些常用性质.除此之外,还可探究得:数列{a n}为等差数列 a n=kn+ b S n=an2+bn;数列{b n}为公比q不等于1的等比数列 S n=aq n-a(a 0);若数列{a n}为等差数列,则其前n项和S n满足S2n-1=(2n-1)a n;若数列{S n}为等差数列,则数列{a n}从第2项起也为等差数列;若数列{S n}为等比数列,则数列{a n}从第2项起也为等比数列;若数列{a n}为各项为正的等比数列,则数列{log b a n}为等差数列;若数列{a n}为各项为正的等差数列,则数列{b a n}为等比数列,等等.本题第(1)问的解法4正是应用了等差数列的性质,使解题过程更为简捷.由此可见,在数学复习中,不但要重视学生基础知识、基本方法、基本技能的回顾、总结、运用,还要重视培养学生的数学意识和探究能力,这样也更有利于发展学生的创新意识.(4)数列复习中应注意纵横交叉,理解数学本质数列是一类特殊函数,可以与函数、不等式、三角等知识综合,考查学生的数学素质和综合能力.本题的第(2)问即是将数列与不等式、函数相结合,考查学生的综合能力.在复习中要注重知识的前后联系,综合运用,这样才能处变不惊,冷静处理.同时,要加强审题能力的培养,理解问题的本质,才能确保全面、逻辑地解决问题.高考试题的主要题源为教材,理解教材、吃透教材、挖掘教材,这样既能提高学生的数学素养,提升思维能力,使学生在高考中立于不败之地,又能培养学生良好的学习习惯,增强学生的探究、创新意识,为学生的终生发展打下良好的基础.参考文献[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2001.[2] 罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008.432011年第3期 中学数学月刊。

利用整体思想解题一、整体代入一类求代数式值的问题，若利用常规方法计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值，这时若将条件和结论从一个整体的角度去分析，挖掘已知式子和待求式子的整体结构特征，将已知条件进行适当的变形，或把已知关系式作为整体代入，便可能使得求值问题变得“柳暗花明”．例1 已知a 是方程x 2－2014x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2013a ＋220141a +的值． 解 由已知得a 2－2014a ＋1＝0．则得a 2－2013a ＝a －1，a 2＋1＝2014a ．显然a ≠0，所以两边同除以d ，得 a ＋12014a=， ∴a 2－2013a ＋220141a + ＝a －1＋20142014a＝a ＋1120141a-=-， ＝2013．评析 当已知方程的解时，通常把解代入方程，然后再对等式进行移项、因式分解、配方等变形，构造出待求式子的部分或整体．二、整体约减整体约减思想包含整体相减和整体约分两种，在利用整体思想变形时，须掌握一些变形公式．例2 观察下列等式： 第1个等式：111111323a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第2个等式：2111135235a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第3个等式：3111157257a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭； 第4个等式：4111179279a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭；……请回答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝_______；(2)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝_______＝_______；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．评析 本题是一道规律探究题，考查学生的观察能力、计算能力、由特殊到一般的数学思想等，解决问题的关键是发现等式中变化的数与序数的对应规律．三、整体换元整体换元思想是指将题目中的条件或结论看作一个整体，并用一个新量去替代，使问题转化为对这个新量的研究，从而起到化繁为简、化难为易的作用．例3 计算： 11111111111232014232013232014⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 111232013⎛⎫+++ ⎪⎝⎭L ． 解 仔细观察式子，发现四个括号中的式子都含有式子111232013+++L ． 不妨令a ＝111232013+++L ，则评析把111232013+++L看成一个整体，并用一个新字母a来代替，使待求的式子变成一个含有字母a的代数式，大大地简化了运算，起到了化繁为简的作用．四、整体补形整体补形思想是指根据已知图形的特点，将不规则或不完整的图形，通过简单的拼接，补充成规则的或完整的图形，再进行求解．例4 如图1，六边形ABCDEF的六个角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于_______．解分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、P，如图2．∵六边形ABCDEF的六个角都等于120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2，GH＝GP＝GC＋CD＋DP＝3＋3＋2＝8．FA＝HA＝GH－AB－BG＝8－1－3＝4．EF＝PH－HF－EP＝8－4－2＝2．所以，六边形的周长为：1＋3＋3＋2＋2＋4＝15．评析对于不规则的图形，我们常用割补法，将其转化为规则图形加以解决．五、整体改造当所求的式子不易入手时，可对已知或结论进行整体改造（如因式分解、配方等），寻求它们之间的联系，当图形比较复杂时，可对图形进行分解、平移、旋转、翻折、相似变换等．利用整体改造思想时，常用的改造途径有：数向形的改造，代数式结构的改造，条件和结论的改造，特殊和一般的改造，动和静、正和反的改造等．例5 如图3，AB⊥BC，AB＝BC＝2cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2．解连结AC，因为弧OA与弧OC关于点O成中心对称，所以点O为AC的中点．所以，AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积为S△ABC＝12×2×2＝2(cm2)．评析本题根据中心对称的性质，把所求的不规则图形通过中心对称变换改造为规则图形，即△ABC的面积，这是问题解决的关键．六、整体合并解答代数问题时，有时代数式、方程或不等式进行合并，合并之后往往能凑整、消元等，这样的解题思想叫整体合并．应用整体合并思想应根据题目的特征，合理地进行合并，常用的合并方法有首尾合并、错位合并、配方合并、根据数字特征合并等．例6 已知x，y满足方程组2100821005x yx y+=⎧⎨+=-⎩，则x2－y2的值为_______．解由于x2－y2＝（x＋y）(x－y)，因此只要求出x＋y、x－y这两个整体的值即可．将两个方程相减，得x－y＝2013；将两个方程相加整理，得3x＋3y＝3，化简得x＋y＝1．∴x2－y2＝（x＋y）（x－y）＝2013．评析若直接解方程组求出x，y的值，再代入代数式进行计算，则计算量很大．这里采用整体合并的思想，取得了事半功倍的效果．七、整体操作整体操作是指从操作性问题的整体性质出发，注重对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些对象看做一个整体，从而有慝的地整体处理．解答操作性问题，关键是要善于运用“集成”的眼光，进行有意识的整体操作，解决这类问题一般要经历观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等活动过程，需要利用已有的生活经验和感知发现结论，从而解决问题．例7 有七只茶杯，杯口朝上放在桌子上，请你把它们全部转成杯口朝下，现在要求每一次同时翻转四只茶杯，使得杯口与杯底相反．问能否经过有限次翻转后，使得所有茶杯的杯口向下？给出你的结论并加以证明．解这是不可能做到的，我们用赋值法加以证明．把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1．这样，问题就变为＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1七个数，每次翻动，就是改变其中四个数的符号，看能否经过有限次的翻动，把它们全部改为－1．改变一个数的符号，也就是把这个数乘以－1．在一次翻动中，有四个数乘以－1，七个数的乘积经过一次翻动后，应当乘以(－1)4．所以七个数的乘积经过翻动，仍然保持不变，原来的七个数的乘积是＋1，不管经过多少次翻动，七个数的乘积始终是＋1，而七个－1的乘积是－1，不可能把七个数都变成－1．评析此题若进行逐一尝试，是难以完成的，采用了赋值法——把杯口朝上的茶杯记为＋1，把杯口朝下的茶杯记为－1，从奇偶性方面做出判断，便能使问题快速得到解决．本题如果把杯子的个数改为偶数，或者每次翻动奇数个杯子，也可以用这种方法加以解决．整体化思想是解决数学问题的一种思维方法，掌握整体化思想方法有利于培养学生的直觉思维能力和发展学生的思维品质，在教学过程中，教师应该培养学生的整体化思想，寻求潜在规律，用整体化思想去解决数学问题．。

第四讲整体思想在整式加减运算中的巧用运用整体思想解题，常可化繁为简，变难为易，收到事半功倍之效，现就整式加减运算中运用整体思想解题的一些方法技巧举例如下：一、整体合并：例1：计算：43（2x－3y）+30(3y－2x)－12(2x－3y－120)+569分析：因为（2x－3y）=－(3y－2x)，所以可把（2x－3y）看作整体，先合并再去括号，这样较为简便。

解：原式=43（2x－3y）－30(2x－3y)－12(2x－3y)+1440+569=2x－3y+2009二、整体代入例2：若x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－1时，代数式ax3+bx+7 的值为（）A.7B.10C.11D.12分析：若分别求出a和b的值再代入，既无必要也不可能，故可考虑整体代入。

解：由题意可得a+b+7=4，即a+b=－3∴－（a+b）=3当x=－1时，原式=－a－b+7=－(a+b)+7=3+7=10，故选B。

三、整体加减例3：已知3x2－3xy=28，3xy－3y2=－13，求代数式x2－y2与x2－2xy+ y2的值。

分析：若由已知条件想解方程组求出x、y的值，再代入求解，则超出初一学生所学范围，仔细观察已知式和要求式，便可发现，只要将已知式整体相加减再变形，即可求解。

解：将两式分别相加得3x2－3xy+3xy－3y2=28－13可化为3（x2－y2）=15∴x2－y2=5两式相减得3x2－3xy－3xy+3y2=28+13=41∴x2－2xy+y2=41/3一、自查：1. 单项式4333y x -的系数是 ，次数是 ． 2. 若23122++-m n y x 与41135--m y n x 是同类项，则m n n m -+)(= ．3. 己知0122=++a a ，则求3422-+a a 的值为 ．4. 如果5324331+-k ab b a 是五次多项式，那么k= ． 5. 计算：()()()()2356x y z x y z x y z x y z +---+-+-+-+= ．二、梳理：1. 知识上① ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式、几次几项式系数；、次数；、概念；多项式系数、次数；、概念；单项式整式代数式4321---321--- ② 整式的加减：关键词：同类项；去括号；先化简，再求值.2. 方法上：这部分内容涉及到整体、方程、转化等数学思想，特别是运用整体思想对某些问题进行整体处理，常能化繁为简，收到事半功倍的效果．三、典型问题：例1、先化简再求值：{}a a a a a a a a 3]9)2(85[41522222-+---+--，其中51-=a例2、计算：222213344a b ab ab a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.变式1：一个多项减去2234ab a b +，差为22122a b ab -,求这个多项式.例3、已知：多项式a x b x c x 539+++，当x =3时，它的值为81，则当x =-3时，它的值为多少？变式1：设a b c b -=-=313，，求代数式()()3252a c c a -+--的值变式2：若4=+-b a b a ，求代数式)(2)(5b a b a b a b a -+-+-的值？四、巩固练习：1. 若 －3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，则a ＝________， m ＝________．2. 3)2(42-+-x m x n 是关于x 的四次二项式，则=n m ___________.3. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m +n =____________.4. 若当2x =时，代数式35ax bx -+的值是4，则当2x =-时，35ax bx -+的值是 ．5. 已知05322=--a a ，那么109124234-+-a a a =____________.6. 个位上数字是a,十位上数字是b,百位上的数字是c 的三位数与把该三位数的个位数字、百位数字对调位置后所得的三位数的差为 ____________.7. 化简：=-+--)(3)3(2b a b a a ，=---24354b ab ab ． 8. 一条铁丝正好可围成一个长方形，一边长为b a +2，另一边比它大b a -，则长方形的周长是 ____________.9. 下列代数式中，①ab ·2 ②. a ÷4 ③. －4×a ×b ④. xy 213⑤. mn 35 ⑥ . －3×6 书写正确的是____________.（填序号）10. 计算：63)(41)(21y x y x y x y x --++++-=____________. 11. 若a ＜0, 则 2a+5a = ____________.12. 代数式 2)(3a x -+- 的最小值为_______，这时x =_______.13. 已知：b a A 35+=，b a a B 2223-=，2722-+=b a a C ，当a=1,b=2时， 求C B A 32+-的值.14. 先化间，再计算： )32(35)23(61)32(21)32(31y x x y y x y x --+---++--，其中x=2，y=1.。

数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。

有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。

一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

设船往返共用x小时。

则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。

分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。

因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。

例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。

数学学习与研究2014.18一、整体代入有些问题,如果孤立地利用条件,问题虽然可以得到解决,但解题过程比较复杂,如果把一些组合式子看成一个“整体”,并把它直接代入另一式,以避免局部运算的麻烦和困难,这就是整体代入.例1当x =1时,代数式px 3+qx +1的值是2014,则当x =-1时,代数式px 3+qx +1的值是.分析对于此题,若想分别求p 和q 的值,这是不必要的,也不可能.由题设得p +q +1=2014,如果我们视p +q 为一个整体,则有p +q =2013,于是,当x =-1时,有px 3+qx +1=-p -q +1=1-(p +q )=1-2013=-2012.二、整体换元整体换元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分,从而达到化繁为简、化难为易的目的.例2解方程x x +1()2+5x x +1()+6=0.分析如果先将括号展开,题目就难解了.根据方程的结构特征,把x x +1看作整体y ,则原方程转化为y 2+5y +6=0,解得y 1=-3,y 2=-2,当y 1=-3时,x x +1=-3,解得x 1=-34;当y 2=-2时,x x +1=-2,解得x 2=-23.经检验x 1=-34,x 2=-23均为原方程的根.三、整体构造整体构造就是根据已知条件和所求,整体构造相应的式子,通过对两个式子的联合研究来解决问题.例3已知a ,b 为两个不相等的实数,且满足a 2=1-2a,b 2=1-2b,求b a +a b的值.分析根据常规,习惯于先求出a ,b ,这需分四种情况讨论,运算较繁,且容易出错.若能整体把握b a+a b =b 2+a 2ab =(a +b )2-2ab ab,只需求出a +b 与ab ,易联想到根与系数的关系.本题可构造出以a ,b 为两实数根的一元二次方程x 2+2x -1=0,∴a +b =-2,ab =-1,b a +a b =(a +b )2-2ab ab=-6.四、整体求解整体求解是将问题中的某些局部计算作整体求解,从而达到简化问题和减少计算量的目的.例4有大、小两种货车,2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨,求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨?分析设一辆大车与一辆小车一次可以各运货x 吨、y 吨,则有2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,然后用常规方法解得x 与y 的值,再代入下一步作答,非常烦琐.简便解法:由题意,可得2x +3y =15.5…①,5x +6y =35…②,①×7-②,得9x +15y =73.5,从而就有3x +5y =24.5.五、整体补形整体补形是从图形的整体性角度出发,将问题中不完整的图形补为完整的图形,从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解.从整体补形的角度去思考问题,巧妙添加辅助线,从而导致解题方向明朗化.例5如图1,AB =4,DB ⊥AB ,EA ⊥AB ,DB =3,EA =6,又点M 是DE 的中点,求BM 的长.分析由已知条件可以联想到平行四边形,故延长DB 到F ,使DF=EA =6,连接EF ,AD ,由AE ⊥AB ,DB ⊥AB ,得AE ∥DB ,∴四边形ADFE 为平行四边形.在Rt△ABD 中,AD =AB 2+DE 2√=5.∴EF =AD =5.由中位线定理得BM =12EF =52.六、化零为整化零为整就是化部分为整体,避免分散计算.在很多几何题中,如果把所求部分进行单个计算,有时不能使问题获解,只有把所有部分看作一个整体进行合理转化,才能得出结论.例6如图2,☉A,☉B,☉C 两两不相交且半径都为0.5厘米,则图中阴影部分的面积为________.分析由于各个扇形的圆心角的度数均未知,从而不能分别求各个扇形的面积.为此,将三个阴影部分整体考虑,注意到三角形内角和为180°,所以三个扇形的圆心角的和为180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积为半径为0.5厘米的圆的面积的一半,即12×π×0.52=π8(平方厘米).七、应用题中的整体思想我们在研究有关应用题时,如果能从大处着眼,从整体入手,往往可化繁为简,思路明晰.例7甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发,相向而行,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带了一只小狗,狗每小时跑10千米,小狗随甲同时出发,向乙跑去;当它遇到乙后,就立即回头向甲跑去;遇到甲后,就立即回头向乙跑去,直到甲、乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.分析本题如按常规解法,考虑“狗”的行程,不仅图无法画出,且容易导致思路曲折复杂,无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举:要求狗的行程,已知狗的速度,只需知道狗奔跑的时间;而这时间也恰是甲、乙二人走完全程所用的时间,而求甲、乙二人走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.如果设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x 小时,根据题意列方程:6x +4x =100,解之得x =10,因此狗以10千米/时的速度跑了10小时,则它一共跑了10×10=100(千米).当然,整体思想在数学解题中的应用还涉及其他的各种题型.有了整体思想的意识,从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.灵活恰当地运用整体思想,往往能帮我们走出困境,走向成功.数学解题中的一把金钥匙———整体思想◎范金伟(山东省枣庄市第三十七中学277212)图1. All Rights Reserved.。

用整体思想解题举例用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入或求值等。

这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。

例1 分解因式()()x x x x 22535121+-++-分析：若把两个二次三项式()x x 253+-与()x x 251++相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。

但若把x x 253+-（或x x 25+）视为一个整体，即把x x 253+-看成一个新变元t ，原式就变形为关于t 的二次多项式，问题就容易解决了。

解：设x x t 253+-=，则x x t 2514++=+原式=+-=+-=+-t t t t t t ()()()421421732再将t x x =+-253代入上式原式=+-++--()()x x x x 22537533 =+++-=+++-()()()()()()x x x x x x x x 2254561461 说明：由上例可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。

例2 解方程()x x x x -+--=151602解：设x x m -=1，则原方程可变为m x 2560+-= 解得m 16=-，m 21= 当x x -=-16时，解得x =67；当x x -=11时无解 经检验，x =67是原方程的解。

说明：本题是把x x -1看成一个整体，恰当换元，才能化繁就简。

例3 计算()()()(1213120051121312004112131200512+++++++-++++⋅+ 1312004++ ) 解：设a =++++1121312005，则 原式=-----()()()a a a a 112005112005 =--+-++=a a a a a a 22200512005200512005说明：这是一类规律探索型问题，看似复杂吓人，若掌握了整体换元思想，并不难解。