- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B A
在变化电磁场情况，
E
B
0
，不能像静
电场那样直接引入标量势函数。t
E
A
A
t
t
引入标量势函数
E
A
t
(E
A)
0
t
E
A
t
3
二．规范变换和规范不变性
1．矢势和标势的不唯一性
同静磁场、静电场相同，这里引入的矢势和标
势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况 下相互间有一定的关系。
t
c t
c t
J (x,t) J (x,t)
J (x,t) t
tconst
t
r r
J (x,t) 1 J (x,t) r
tc
c
t
J (x, t) J (x, t) J (x, t)
tc
16
A
0 4
1 J(x,t) dV
r
tc
[1 r
J(x,
t)
J(x,
2．规范变换
l 规范：给定一组 ( A, )称为一种规范；
l 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为
规范变换。
l 两种规范间变换关系： A A
t
4
证明：由于 A和 A， 和 不能改变电场和磁场
强度，所以 B A A A
A A
E
A t
A t
t
(
t
)
A t
40r
x点 ：
(x,
t)
Q(
x , t
r
40r
c)
可以证明上述解的形式满足
1 r2
r
(r2
)
r
1 c2
2
t 2
Q(t) (r) 0
14
2. 连续电荷分布在空间产生的电势
(x,t)
V
(x,t r c)dV 40r
3.
矢势
A
的解
由于 A满足的方程形式上与
满足的方程一样，
类比得到
A( x, t )
第五章 电磁波的辐射
1
§5.1 电磁场的矢势和标势
一．用势描述电磁场
（1）矢势的引入
由于 B 0，与静磁场 相同，可 以引入矢量 势函数（矢势）A ，使得 B A
注意：
① 与静磁场不同点：引入的矢势与时间相关；
② 意义与静磁场情况相同，即：
A dl
B dS
L
S
2
（2）标势的引入
u(r,t) f (t r ) g(t r )
c
c
(r,t) f (t r c) g(t r c)
r
r
f (t r c) 代表向外传播的球面波
r
由于讨论 辐射问题
g(t r c) 代表向内收敛的球面波
g(t r ) 0 c
r
与点电荷电势类比有：(r,
t)
Q(t
r
c
)
若点电荷不在原点而在空间
0
的解AJ(：x , t
r
c
) dV
4 V r
ห้องสมุดไป่ตู้15
二.证明 证：令 t
、A
trc
满足洛仑兹条件
t(t, x, x) A
0
A
1 c2
J(
0
x,tt )dV
4 V
r
0 4
[1r
J (x,t)
J (x,t)
1]dV r
J (x,t) J (x,t) t 1 J (x,t) r 1 J (x,t) r
取球坐标且 (r,t) 与 , 无关。标势的达朗贝
尔方程化为：
1 r2
r
(r2
)
r
1 c2
2
t 2
Q(t) (r) 0
当
r
0 时，
1 r
r
(r 2
r
)
1 c2
2
t 2
0
令 (r,t) u(r,t)
r
2u r 2
1 c2
2u t 2
0
13
这个类似于一维波动方程的解可以表示为：(r 0)
10
第五章第二节
推迟势
11
§5.2 推迟势
本节讨论空间存在电荷和电流分布情况 下达朗贝尔方程的解。
一. 标势和矢势的达朗伯方程的解
标势方程中
(x,
t)
为已知。若
(x,
t)
较
复杂，直接得到一般解比较困难。本节先
从一个点电荷出发，然后由迭加原理得到
解。
12
1. 点电荷在空间激发的标势
设点电荷处于原点，(x,t) Q(t) (x)，考虑对称性
A
t
t
l 规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力 学方程保持不变的性质（在微观世界是一条物理 学基本原理）。
l 规范场：具有规范不变性的场称为规范场。
5
3．两种规范
要使势函数减少任意性， 必须给出
A
，它的
值被称为规范的条件。 A值选择是任意的，但若
选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称
2A t 2
0 J
2
1 c2
2
t 2
0
9
l 反映了电磁场的波动性
洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程， 因此由它们求出的 ( A, ) 及 (E, B) 均为波动
形式，反映了电磁场的波动性。
l 两个方程具有高度的对称性且相互独立 求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们 将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映 出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究 辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝 尔方程。
或物理意义明显。
l 库仑规范
规 范条件： A 0
在库仑规范下，A 为 横场， 纵场。因此，电
场的横场部分完全由 A决定，而纵场部分完全由
决定。在这种情况下，由电荷、电流的瞬时分布
求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。
6
库仑规范下 满足的方程： 2 0
证明： A A 0
c2 t 2
c2 t c2 t 2
2
1 c2
2
t 2
0
7
三．达朗贝尔方程
1． 真空中的 达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
(
A
1 c2
)
t
0 J
2 ( A)
t
0
证明：将 B
斯韦方程： 并利用：
(
A
B
A)
0，(0EA)Et2 A0J得,At到达代 E朗入 贝麦尔克0
2 0
l 洛仑兹规范
规范条件：
A
1
0
c2 t
后面将看到洛仑兹规范下，A, 所满足的方程具
有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协
变性，有很重要的理论意义。
洛仑兹规范下 满足的方程： 2 1 2 0
c 2 t 2
证明：
A
1
A
1
1
2
( A
1
c2 t
) (2
1
2
)0
c2 t
t)
1]dV r
0
4
1 J (x,t)
dV
r
t const
J
( x, t ) r
dV
J (x,t) dS 0 Sr
1
c2
t
1
40c2
V
1 r
( x, t)
t
t t
dV
0 4
1 (x,t) dV
方程（详细证明略）。
8
2． 库仑规范下 的达朗贝尔方程
2A
1 c2
2 A t 2
1 c2
t
0 J
2 0
可见 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某
t t 处的 在时刻 的值由电荷在时刻 的分布给出，不
能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程
2 A
1 c2
