电动力学_郭芳侠_电磁波的辐射 (1)

第五章 电磁波辐射1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是A ． 210A c t ϕ∂∇⋅-=∂ B. 210A c t ϕ∂∇⋅+=∂ C. 22210A c tϕ∂∇⋅+=∂ D. 222210A c tϕ∂∇+=∂答案：B2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B5.严格的讲,电偶极辐射场的A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是A. 2πθ=;B. 4πθ=;C. 6πθ= D. πθ,0=答案：D7.电偶极辐射场的平均功率 A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C8.若一电流J =40ωcos x 't z e，则它激发的矢势的一般表示式为A =——————。

答案： ⎰''-'=v Z r v d e c r t x A )(cos 4040ωπμ9.变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E =—————，B=—————。

答案： tAE ∂∂--∇=φ ,A B ⨯∇=10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的p 变为—————。

答案：加速，81P 011.势的规范变换为='A ————，='φ————；答案：ψ∇+='A A ，t∂∂-='ψφφ12.洛仑兹规范辅助条件是————；在此规范下，真空中迅变电磁场的势ϕ满足的微分方程是——————.答案： 012=∂∂+⋅∇t c A φ ，022221ερφφ-=∂∂-∇tc ， 13.真空中一点电荷电量t q q ωsin 0=，它在空间激发的电磁标势为______________.答案： rc r t q 004)(sin πεωφ-=14.一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为 . 答案： 零15.真空中某处有点电荷t i e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于 . 答案： )(0),(crt i eq t r q --=ω16.已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K，则电磁场的标势等于φ答案：A K c⋅=ωφ2,17.真空中电荷）（t Q 距场点m 6109⨯,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s18.电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面19.稳恒的电流 (填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会20.已知体系的电流密度(,)J x t ',则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 . 答案：(,)vJ x t dv '⎰21.短天线的辐射能力是由 来表征的,它正比于答案：辐射电阻 ,2()lλ22.真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1R的高次项)之间的关系是 .答案： E c Bn =⨯ 23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 .答案： 辐射压力24.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场．解: 将方程组中的电场、磁场、电流、分为无旋和无散两部分．据此，可将麦克斯韦方程组写成另外一种表达形式，进一步证明电场的无旋部分对应于库仑场．（1）以角标L 和T 分别代表纵场和横场两部分，则有L T E E E =+ L T B B B =+ L T J J J =+将E 、B 、J 的分解式分别代入真空中的麦克斯韦方程组中，得0001()()()0L T L T L T L T L T L T L T B B BE E E t t t E E DH B B J J J t t tD E E B B B εμερ⎫∂∂∂∇⨯=∇⨯+∇⨯=-=-=-⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪∇⨯=∇⨯+∇⨯=+=+++⎬∂∂∂⎪⎪∇⋅=∇⨯+∇⨯=⎪∇⋅=∇⨯+∇⨯=⎪⎭① ①式可近一步化简为00000,,0L TL T L TL L T T L T L T B B E E t t E E B J B J t t E E B B εμεμρε⎫∂∂∇⨯=-∇⨯=-⎪∂∂⎪⎪∂∂∇⨯=+∇⨯=+⎪∂∂⎬⎪∇⨯+∇⨯=⎪⎪⎪∇⨯+∇⨯=⎭②由纵场和横场定义，得00L T E E ∇⨯=∇⋅=00L T B B ∇⨯=∇⋅=00L TJ J ∇⨯=∇⋅= ③并且 1C εμ=④将③④两式代入②式，得02021100TT L T L T LL L B E tE E B J t c E B J tc ρεμμ∂ ∇⨯=-∂ ∇⨯=∂ ∇⨯=+∂∂= +=∂（2）以角标L 和T 代表纵场和横场，则电场分解为L T E E E =+，并且00T L E E ∇⋅= ,∇⨯= ，再由E ϕ=-∇（ϕ为标势），得 20()L T L E E E E ρϕϕε∇⋅=∇⋅+∇⋅=∇⋅=∇⋅-∇=-∇=⑤ 由L T E E E ∇⨯=∇⨯+∇⨯，有()0T E E ϕ∇⨯=∇⨯=∇⨯-∇= ⑥由⑤⑥式可知E 的纵场部分完全由ϕ描述，ϕ即为库仑规范，E 的纵场对应于库仑场．25.若φ,A 是满足洛伦兹规范的电磁势，证明当ψ满足012222=∂∂-∇tc ψψ，那么新的矢势和标势tA A ∂∂-='∇+='ψφφψ， 仍然满足洛伦兹规范。

证明:电磁势φ，A满足洛伦兹规范012=∂∂+⋅∇tc A φ (1)作规范变换 tA A ∂∂-='∇+='ψφφψ，则 222222111tc t c A t c A ∂∂-∇+∂∂-⋅∇=∂'∂+'⋅∇ψψφφ (2) 将(1)代入(2),可看出只要ψ满足012222=∂∂-∇tc ψψ则φ''，A满足洛伦兹规范条件: 012=∂'∂+'⋅∇tc A φ 26.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若ρ=0，J ＝0，则E 和B 可 完全由矢势A 决定．若取ϕ＝0，这时A 满足哪两个方程?证明 （1）若0ρ=，0J =，对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为BE t∂∇⨯=-∂ ① EB tμε∂∇⨯=-∂ ② 0E ∇⋅= ③ 0B ∇⋅= ④将B A =∇⨯,A E tϕ∂=-∇-∂ 代入场方程①～④中，并选择洛伦兹规范0A tϕμε∂∇⋅+=∂ ⑤ 得2222220,0A A t tϕμεϕμε∂∂∇⋅-=∇-=∂∂ ⑥对单色波(,)()i t A x t A x e ω-=,(,)()i t x t x e ωϕϕ-= ⑦代入⑤式中,得iA ϕμεω=-∇⋅ ⑧于是1()AE A B A tμεω∂=∇∇⋅-=∇⨯∂ ⑨ 可见在线性均匀非导电介质中，当0ρ=，0J =时，E 、B 完全由矢势A 决定．（2）若取0ϕ=，由⑤⑥两式变为22200AA t A με⎫∂∇⋅-=⎪∂⎬⎪∇⋅=⎭⑩上式便是此时A 满足得方程．27. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势()A ωτ表示，其中/t z c τ=-，A 垂直于z 轴方向．解题思路 由于AE tϕ∂=-∇∂,B A =∇⨯，再考虑沿z 方向传播的电磁波矢势A 解析表达式，找出于ϕ与A 的关系便可证明．证明: 利用上题中得到的自由空间矢势的方程222210AA c t∂∇-=∂ ①解得平面波解为()0i k x t A A e ω⋅-= ②由于平面波沿z 轴方向传播，故z K ke =，则②式可写为 ()()000(,)ci t i kz t iT zA A e A e A e A ωωωωτ----====根据洛伦兹规范210A tc ϕ∂∇⋅+=∂ 得22c ic A K A ϕωω=-∇⋅=-⋅由已知条件z A Ae =，故0ϕ= 因此 (,)AE i A tωωτ∂=-=∂,(,)B A ωτ=∇⨯ 易犯错误 不能抓住平面电磁波的特点，未应用沿轴传播这一特定条件． 引申拓展 求解此类题目时，将E 、B 用A 、ϕ表示出来，再已知条件下分析解析式A 、ϕ及其之间的关系即可． 28.设真空中矢势(,)A x t 可用复数傅里叶展开为(,)A x t =*[()()]ik x ik x k kka t e a t e ⋅⋅+∑， 其中*k a 是k a 的复共轭．(1)证明k a 满足谐振子方程2222()()0k k d a t k c a t dt+=． (3)把E 和B 用k a 和*k a 表示出来．证明: 已知矢势(,)A x t 的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加，因此矢势(,)A x t 满足齐次达朗贝尔方程，将(,)A x t 的展开式代入达朗贝尔方程，用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论．（1）由(,)A x t 为真空中矢势可知0ρ=，0J =若采用洛伦兹规范，则(,)A x t 满足达朗贝尔方程，即222210AA c t∂∇-=∂将(,)A x t 的复数傅里叶展开式代入上式，有2**2221()()()()0ik x ik x ik x ik x k k k k k k a t e a t e a t e a t e c t ⋅-⋅⋅-⋅∂⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤∇+-+=⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦∂⎩⎭⎩⎭∑∑ 即22**222221()()()()0ik xik xik x ik x k k k k kk d d k a t ek a t ea t e a t e c dt dt ⋅-⋅⋅-⋅⎡⎤⎡⎤---+=⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 要使上式恒成立，应有2222**221()()01()()0ik xik xk k ik x ik x k k d k a t e a t e c dtd k a te a t e c dt⋅⋅-⋅-⋅--=--= 整理以上两式，有22222**222()()0()()0ik x k k ik x k k d a t e c k a t dtd a te c k a t dt ⋅⋅+=+= 故结论得证．（2）若取0A ∇⋅=，0ϕ=(,)A x t ∇⋅=*[()()]0ik x ik x k kk a t e a t e ⋅⋅⎧⎫∇⋅+=⎨⎬⎩⎭∑ 即*()()0ik x ik x k k kk a t e k a t e ⋅-⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦∑ 为使上式恒成立，则有()0k k a t ⋅= *()0k k a t ⋅= （3）由（2）有：0k A ⋅=，且0ϕ=**[()()][()()]ik x ik x k k k ik x ik x k k kB A ik Aik a t e a t e ik a t e ik a t e ⋅⋅⋅⋅=∇⨯=⨯⎧⎫ =⨯+⎨⎬⎩⎭=⨯+⨯∑∑*22*()()()()k k ik x ik x k ik x ik x k k k A E td a t d a te e dt dt ick a t e a t e ⋅-⋅⋅-⋅∂=-∂⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦∑∑ 29.设A 和ϕ是满足洛伦兹规范的矢势和标势．(1)引入一矢量函数(,)Z x t (赫兹矢量),若令ϕ＝-Z ∇⋅，证明A ＝21Zc t∂∂． (2)若令P ρ=-∇⋅证明Z 满足方程 2202Z Z c P tμ∂∇-=-∂，写出 在真空中的推迟解．(3)证明E 和B 可通过Z 用下列公式表出， 20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-， 21B Z c t∂=∇⨯∂． 证明: 由题意可知：A 和ϕ满足洛伦兹规范，且ϕ＝Z ∇⋅，只需将A 、ϕ代入其规范，化简后便可得出A ＝21Zc t∂∂，当P ρ=-∇⋅时，将A 、ϕ、ρ代入它们满足的基本方程便可求证．综合（1）和（2），通过B A =∇⨯、A E tϕ∂=-∇-∂，便可得出E 和B 的表达形式．（1）矢势A 、标势ϕ满足洛伦兹规范210A tc ϕ∂∇⋅+=∂ ① 将(,)Z x t ϕ=-∇⋅代入①式，得21()0A Z tc ∂∇⋅-=∂ 可见A 与21Ztc ∂∂最多相差一个无散场0D ，可令00D =，有 21ZA tc ∂=∂ ②结论得证．（2）由A 、ϕ满足得方程可知20A t ρϕε∂∇+∇⋅=-∂ 若P ρ=-∇⋅，结合①、②两式可得到22011()()()z Z P t t c ε∂∂⎡⎤∇-∇⋅+∇⋅=-∇⋅⎢⎥∂∂⎣⎦化简，得22201()Z PZ c t ε∂∇⋅∇-∇⋅+=∂由c =220221()Z Z c P c tμ∂∇-∇⋅+=∇⋅∂ 即202201Z P Z c P c tμε∂∇⋅-=-=-∂ ③ 次方程于达朗贝尔方程形式完全相同，故推迟解''0(,)1(,)4rP x t c Z x t dv rπμ-=⎰ （3）将Z ϕ=-∇⋅，21ZA tc ∂=∂分别代入 B A =∇⨯，A E tϕ∂=-∇-∂ 可得到B A =∇⨯ =21Ztc ∂∇⨯∂ =21Z tc ∂∇⨯∂A E tϕ∂=-∇-∂ =21()()Z Z t tc ∂∂-∇-∇⋅-∂∂ =221()zZ c t∂∇∇⋅-∂ ④ 由∇算符运算公式2()()f f f ∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇可将④化简为2221()E Z Z z c t ∂=∇⨯∇⨯+∇-∂ 再利用③式可得到20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-因此，有20()E Z c P μ=∇⨯∇⨯-21B Z tc ∂=∇⨯∂ 30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和 磁偶极辐射都不会发生．证明: 将这两个粒子看作一个系统，运用质心坐标系，则系统的总动量为零，找出两个粒子的速度、位矢关系，根据电偶极矩、磁偶极矩的定义，只要证明，便不会产生偶极辐射．设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为1'x 、2'x ，速度1v 、2v 分别为，质量为1m 、2m ，电荷量为1q 、2q ，质心系中系统总动量为零，即11220m v m v += ①由于1m =2m ，且相向而行，则有1v +2v =0 ②1'x =2'x系统的电偶极矩112212''('')0P q x q x q x x =+=+= 0P =所以不会产生电偶极矩辐射． 系统的磁偶极矩1'2m x Jdv =⨯⎰=11122211''22x q v x q v ⨯+⨯由于 11'//x v ，22'//x v 0m =，0m = 因此不会产生磁偶极矩辐射．31.证明荷质比相同的不同带电粒子 构成的体系不会产生偶极辐射.证明：设带电粒子体系有N 个粒子，第i 个粒子的质量为i m ，电荷电量为i e ，总质量为M ，体系电偶极矩：11NNii i i i i i i e P e x m x m ==''==∑∑ （1）在vc 的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心矢径为R ，111N Ni ii ii i Nii m x m x R Mm===''==∑∑∑即 1Ni i m x MR ='=∑ （2）将（2）代入（1）中，得iie P MR m =iie P MR m =由于系统不受外力，则质心加速度0R =，所以0P =，没有电偶极辐射。