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第九章 球谐函数Page 1 of 38第九章 第九章 球谐函数 128.〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。
有关这一课题的最 完备的著作，E．海恩博士的《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而F．诺依曼博士也 发表了他的《关于球谐函数理论的论著》(Beitrge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。
汤姆孙和泰特的《自然哲学》 中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的 《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions，and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》 (Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展 方面花费太多的篇幅了。
然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。
论势在那里变为无限大的奇点 论势在那里变为无限大的奇点 在那里变为 129.〕如果一个电荷A 均匀地分布在中心座标为(a，b，c)的一个球面上， 则由第125节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是0式中r ＝(x-a) +(y-b) +(z-c) ．(2) 由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如 果我们假设半径为无限小的话。
表示式的物理诠释将是，电荷A 是放在一个无 限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。
我们已经证明（第 55，81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷 放在半径小于某值的一个球上的。
球谐函数的基本性质。
1. 球谐函数Y lm(θ, φ) 是角动量平方算符L²^，和角动量的z分量算符L z^的同时本征函数。
同时满足两个本征方程：
L²^Y lm =l(l+1)ћ²Y lm，算符的本征值为l(l+1)，l = 0，1，2，...
L z^Y lm = mћ²Y lm，算符的本征值为m，m = l，l-1，l-2，...-l
2. 球谐函数Y lm(θ, φ)是正交归一的。
可以表示为两个δ函数的乘积：
3. 宇称性，需要做空间反射变换，将r变成-r。
在直角坐标系中的表示为x →-x，y→-y，z→-z。
在球坐标系中的表示为r→r，θ→π-θ，φ→π+φ。
这时候我们会发现，经过空间反射变换的球谐函数为
Y lm(π-θ, π+φ) = (-1)l Y lm(θ, φ)
两者之差一个(-1)l。
因此，Y lm(θ, φ)的宇称是(-1)l。
4. Y lm(θ,φ)是单位球面（r=1）上的完备函数系，以(θ, φ)为变量的任意函数都可以展开为Y lm(θ, φ)的线性组合。
现在回答我们前面提出的问题。
角动量平方的算符和角动量z分量组成的力学量完备集所描述的是一个什么样的量子系统呢？他所描述的量子系统就是一个固定在球面上自由运动的无自旋粒子。
这样的粒子的自由度是2，我们也看到角动量平方的算符和角动量z分量组成的完备集的自由度也是2。
吴文俊消元法及其在非线性偏微分方程求解中的应用
李志斌
【期刊名称】《甘肃科学学报》
【年(卷),期】1994(006)004
【摘要】本文简要介绍近年新发展的一种求解非线性代数方程组的理论方法——吴文俊消元法及其在非线性偏微分方程准确解研究中的应用范例。
吴方法已在定理机器证明以及数理科学、系统科学、计算机科学等领域的前沿课题和高新技术的研究中获得了成功的应用，它有着广阔的应用潜力和发展前景。
【总页数】7页(P23-29)
【作者】李志斌
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O241.7
【相关文献】
1.对称高斯消元法的快速求解及其应用 [J], 庄广宇;张洁;戴雨心;陈恳
2.变分方法在求解非线性偏微分方程(组)中的应用 [J], 高秀丽;额尔敦布和;白秀
3.Ｊａｃｏｂｉ椭圆函数展开法在求解非线性偏微分方程组中的应用 [J], 孙维君
4.吴消元法在求解潮流方程中的应用 [J], 张卿;陈陈;王维莉
5.旋量理论和消元法在类达芬奇手术机器人逆运动学求解中的应用 [J], 王文杰;陶庆;王晓华;张旭
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一类带奇异性的两点边值问题
程建纲
【期刊名称】《数学物理学报》
【年(卷),期】2000(020)001
【摘要】对一类带有奇异性的两点边值问题讨论正解的存在性.在很一般的条件下,建立了摄动问题的可解性与原问题的可解性之间的关系.做为此结论的应用,对某些特殊情形,给出正解存在的充分必要条件.
【总页数】6页(P109-114)
【作者】程建纲
【作者单位】烟台大学数学系,烟台,264005
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.一类带奇性的两点边值问题弱解存在性的证明 [J], 蒋愉;郑高峰
2.一类带奇性的椭圆型方程的正解 [J], 许勇强;阎大桂
3.一类带阻尼项的奇性Duffing方程周期解的存在性 [J], 姚绍文;程志波
4.一类带时变系数的退化抛物系统的奇性 [J], 胡丽;樊明书
5.一类带不定权函数的奇型Sturm-Liouville算子的局部可定性(英文) [J], 杨秋霞;王万义
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用球谐函数整体解算GPS应变场方法研究
武艳强;江在森;杨国华;魏文薪;刘晓霞
【期刊名称】《大地测量与地球动力学》
【年(卷),期】2009(29)6
【摘要】探讨利用球谐函数方法整体解算大区域应变场的方法.用该方法对1999-2004年中国大陆区域网GPS速度场数据进行了分析,给出了该期间的中国大陆应变率场分布,并从残差分布规律角度讨论了球谐函数方法的有效性.针对该方法产生的边缘效应问题,提出了对研究区域外部进行插值后再进行应变计算的解决办法.【总页数】6页(P68-73)
【作者】武艳强;江在森;杨国华;魏文薪;刘晓霞
【作者单位】中国地震局地震预测研究所,北京,100036;中国地震局地震预测研究所,北京,100036;中国地震局第一监测中心,天津,300180;中国地震局地震预测研究所,北京,100036;中国地震局地震预测研究所,北京,100036
【正文语种】中文
【中图分类】P227;P553
【相关文献】
1.基于多尺度球面小波解算GPS应变场的方法及应用 [J], 苏小宁;孟国杰;王振
2.利用最小二乘配置在球面上整体解算GPS应变场的方法及应用 [J], 武艳强;江在森;杨国华;方颖;王武星
3.借助最小二乘配置整体解算地壳视应变场 [J], 张希;江在森
4.隧道洞外GPS控制网引起的横向贯通误差严密解算方法研究 [J], 闫伟新
5.位移观测值协方差矩阵模拟及其在整体解算地壳应变场中的应用 [J], 张希;江在森
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利⽤球谐系数计算函数值及利⽤EGM球谐系数计算重⼒异常球谐分析（如重⼒场）是将地球表⾯观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度⼀般地，Pnm为完全归⼀化的缔合勒让德多项式，其与⽆归⼀化的缔合勒让德多项式的Pnm0的关系为：Pnm=(-1)^m*sqrt(k*(2N+1)(N-M)!/(N+M)!)Pnm0其中k=1,当 m=0k=2,当m>0在Matlab中，有现成的缔合勒让德多项式：-----------------------------------------------------------------------------------LEGENDRE Associated Legendre function.P = LEGENDRE(N,X) computes the associated Legendre functionsof degree N and order M = 0, 1, ..., N, evaluated for each elementof X. N must be a scalar integer and X must contain real valuesbetween -1 <= X <= 1.If X is a vector, P is an (N+1)-by-L matrix, where L = length(X).The P(M+1,i) entry corresponds to the associated Legendre functionof degree N and order M evaluated at X(i).There are three possible normalizations, LEGENDRE(N,X,normalize)where normalize is 'unnorm','sch' or 'norm'.The default, unnormalized associated Legendre functions are:P(N,M;X) = (-1)^M * (1-X^2)^(M/2) * (d/dX)^M { P(N,X) },where P(N,X) is the Legendre polynomial of degree N. Note thatthe first row of P is the Legendre polynomial evaluated at X(the M == 0 case).SP = LEGENDRE(N,X,'sch') computes the Schmidt semi-normalizedassociated Legendre functions SP(N,M;X). These functions arerelated to the unnormalized associated Legendre functionsP(N,M;X) by:SP(N,M;X) = P(N,X), M = 0= (-1)^M * sqrt(2*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X), M > 0因此，由sch正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm为sqrt(2*N+1)NP = LEGENDRE(N,X,'norm') computes the fully-normalizedassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions areassociated Legendre functions NP(N,M;X). These functions arenormalized such that/1|| [NP(N,M;X)]^2 dX = 1 ,|/-1and are related to the unnormalized associated Legendrefunctions P(N,M;X) by:NP(N,M;X) = (-1)^M * sqrt((N+1/2)*(N-M)!/(N+M)!) * P(N,M;X)因此，由norm正交化得到⼤地测量中的完全正交化，需要乘以renorm,其中renorm=sqrt(2)，当m=0renorm=2,当m>0下⾯的函数使⽤matlab中的缔合勒让德函数legendre来由球谐系数计算球谐函数-----------------------------------------------------------------------------------例⼦1：确定CMB地形(数据来⾃Morelli,1987,nature)下⾯%{ %}注释掉的分别为使⽤matlab legendre函数的sch正交化和norm正交化，然后进⾏modify的结果。
一种改进的基于Jacobi椭圆函数的随机平均法作者：徐文俊郑丽文马品奎来源：《振动工程学报》2019年第03期摘要：建立了改进的基于Jacobi椭圆函数的随机平均法，用于预测有界噪声激励作用下硬弹簧和软弹簧系统的随机响应。
通过引入基于Jacobi椭圆函数的变换，导出关于响应幅值和激励与响应之间相位差的随机微分方程，应用随机平均原理，将响应幅值近似为一个Markov 扩散过程，建立其平均的It随机微分方程。
响应幅值的稳态概率密度由相应的简化FokkerPlanckKolmogorov方程解出;进而得到系统位移和速度的稳态概率密度。
以DuffingVan der Pol 振子为例，研究了硬刚度及软刚度情形下的随机响应，通过与Monte Carlo数值模拟结果比较证实了此方法的可行性及精度。
由于广义调和函数是基于线性系统的精确解，Jacobi椭圆函数是基于非线性系统的精确解，研究结果表明基于Jacobi椭圆函数的随机平均法得到的结果与Monte Carlo模拟方法更接近。
因此与基于广义调和函数的随机平均相比，基于Jacobi椭圆函数更加精确，因为它是基于保守的非线性系统。
关键词：随机振动; 随机平均; 有界噪声; 硬刚度; 软刚度中图分类号： O324; O322; 文献标志码： A; 文章编号： 1004-4523（2019）03.0444.08引言随机平均法是非线性随机系统响应分析的有效方法之一。
该方法在保留系统本质非线性特性的同时降低了系统维数，应用平均原理后，系统的慢变过程近似为扩散Markov过程，通过求解相应的FokkerPlanckKolmogorov （FPK）方程得到响应概率密度，随机平均技术基于Khasminskii[12]提出的一些定理，迄今的研究可归为以下5类：标准随机平均法[3]、能量包线随机平均法[47]、拟Hamilton系统随机平均法[811]、基于广义谐和函数的随机平均法[12]、基于椭圆函数的随机平均法[13]。
球函数Legendre 多项式Helmholtz 方程球坐标下分离变量得到连带Legendre 方程21d d sin 0sin d d sin μθλθθθθΘ⎛⎫⎡⎤+-Θ= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦作变换cos x θ=，()y θ=Θ改写为()22101d dy x y dx dx x μλ⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦讨论0μ=情况：1. 三个正则奇点：1,z =±∞，其余全平面解析 z=0邻域内两个线性无关解()2210122212!22n n n n n w z n νννν∞=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫Γ-Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑21n w +n 1，-1对数发散：21ln 1z-，在设()()()11nn n w z z c z ρ∞==--∑。
得到指标方程解120ρρ==得到两个线性无关解()()()()2011112!nn n z P z n n ννν∞=Γ++-⎛⎫= ⎪Γ-+⎝⎭∑()()()()()()2211ln 22121111111 (12)2!z Q z P z z n z n n n ννγψννν+⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦Γ++-⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪Γ-+⎝⎭⎝⎭∑2. 方程条件改变球内区域Laplace 方程轴对称边值问题20|u u f ∇==∑其中∑代表球面上的变点i ii令最下两个构成本征值问题，作变换()cos ,x y θθ==Θ，()1λνν=+变为同之前的两个结果，可以得到在0或1的邻域出发求解由于0出的解对数发散，要求ν取特殊值在1邻域得到()()()12y x c P x c Q x νν=+由于Q 发散，其系数为0，令1c 为1。
P 在1收敛，在-1对数发散3. ✧ ()11l P =✧2()()33532P x x x =- ✧ ✧✧✧✧ 由此得到的Legendre 多项式在0点的值：()()()()222!02!ll ll P l =-()2100l P +=✧ Legendre 多项式为l 次多项式，最高项系数为()22!2!l l l c l =4. Legendre 多项式的正交性Legendre 多项式为前述本征值问题的解 作为本征函数有正交性：()()110lkP x P x dx -=⎰证1：由本征值问题直接证明（仿照14.1，写出两个微分方程l 和k ，交叉相乘相减，分部积分得到相似的结果，由边界条件得到为0） 证2：求解积分()11k l x P x dx -=⎰当k l ±()(()111111121112!112!l kk l l l l l k l l d x P x dx x l dxd x x l dx ------=⎡=--⎢⎢⎣⎰⎰⎰前一项为0，继续分部积分l()12211ln x x dx --⎰ ()()()p q p q ΓΓΓ+得到结果为()!221!n l n ++5. Legendre 多项式的模方由之前的结论得到乘方求积分后，低次项全部为0，得到()()()11212!!!222!21!21l l l l l l l l c x P x dx l l l +-==++⎰6. Legendre 多项式的完备性任意在区间[-1,1]分段连续的函数f(x),在平均收敛的意义下，可以展开为级数7. Legendre 多项式生成函数将生成函数函数在0()0l l l P x t ∞==∑由此得到多项式递推关系 8. Legendre 多项式递推关系 ✧ ()()()1121()1l l l l xP x l P x lP +-+=++✧()()()()11'2''l l l l P x P x xP x P x +-=-+Laplace 方程在球坐标下求解1. 一般的Laplace 方程设在电场强度为E 0的均匀电场中放进一个接地导体球，球的半径为a 。
量子力学中球谐函数递推公式新探
刘明
【期刊名称】《湖北第二师范学院学报》
【年(卷),期】2003(020)005
【摘要】本文引入方向算符、用算符的基本对易关系和代数关系推导出量子力学中常用的球谐函数的递推公式.
【总页数】4页(P12-15)
【作者】刘明
【作者单位】湖北教育学院物理系,湖北,武汉,430060
【正文语种】中文
【中图分类】O442
【相关文献】
1.引潮位展开中的面球谐函数及其递推公式 [J], 郗钦文
2.量子力学中的基本矛盾及其哲学本原--自然科学研究中“理性原则”的重新探讨
⑤ [J], 杨本洛
3.不同Legendre函数递推公式对计算球谐函数定积分的影响 [J], 邢志斌; 李姗姗; 田苗; 范雕; 张驰; 马越原
4.不同Legendre函数递推公式对计算球谐函数定积分的影响 [J], 邢志斌; 李姗姗; 田苗; 范雕; 张驰; 马越原
5.量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索 [J], 张一方
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关于球面极小子流形的一个Pinching常数
沈自飞;吴炳烨
【期刊名称】《华东师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1996(000)003
【摘要】本文利用极大值原理，研究球面紧致极小子流形的Ｐｉｎｃｈｉｎｇ性质，得到了一些结果。
【总页数】5页(P7-11)
【作者】沈自飞;吴炳烨
【作者单位】浙江师范大学;浙江师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】O186.16
【相关文献】
1.关于球面极小子流形的一个定理 [J], 李建祥
2.关于局部对称空间中极小子流形的一个Ricci曲率pinching定理 [J], 林和子;李锦堂
3.关于球面紧致子流形的一个Pinching定理 [J], 邓严林
4.球面上迷向子流形的一个整体Pinching定理 [J], 潮小李;于秀云
5.球面全脐子流形的Pinching常数 [J], 吴炳烨
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函数序列{g_(2j+1)(x)}及{f_(2j+1)(x)}的另一种求法及另一
些性质
熊振翔
【期刊名称】《北京航空航天大学学报》
【年(卷),期】1987(0)1
【摘要】在[1]与[2]中已经给出了求多项式g_(2j+1)(t)及f_(2j_1)(t)的一个方法,并论证了这些多项式的若干性质。
本文给出了求这两种多项式的一个更简单的方法和它们的一些深入的性质。
这些性质对于样条函数的误差分析是很有用的。
【总页数】9页(P1-9)
【关键词】样条函数;误差分析;定理;数值分析;多项式;调配函数;函数序列;求法【作者】熊振翔
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.一类函数不定积分的另一种求法 [J], 陆光洲
2.单峰符号序列的一些性质及单峰函数中的周期轨道 [J], 麦结华;罗智明
3.渐近周期函数和渐近周期序列的一些性质 [J], 武女则;籍明文
4.关于G_δ型集和F_σ型集的一些性质的探讨 [J], 刘旭森
5.关于由m序列构成的M序列的一些自相关函数的取值 [J], 曾凡鑫
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