(完整word版)球谐函数的性质
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球谐分析
球谐分析，带谐，田谐，瓣谐球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式的解。
球谐函数表示为：球谐分析（如重力场）是将地球表面观测的某个物理量f(theta,lambda)展开成球谐函数的级数：其中，theta为余纬，lambda：经度如重力位可表示为：带谐系数：coefficient of zonal harmonics地球引力位的球谐函数展开式中次为零的位系数。
In themathematicalstudy ofrotational symmetry, the zonal spherical harmonics are specialspherical harmonicsthat are invariant under the rotation through a particular fixed axis. （故m=0，不随经度方向变化）扇谐系数：coefficient of sectorial harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次相同的位系数。
田谐：coefficient of tesseral harmonics地球引力位的球谐函数展开式中阶与次不同的位系数。
The Laplace spherical harmonics can be visualized by considering their "nodal lines", that is, the set of points on the sphere where.Nodal lines of are composed of circles: some are latitudes and others are longitudes.One can determine the number of nodal lines of each type by counting the number of zer os of in the latitudinal and longitudinal directions independently.For the latitudinal direction, the associated Legendre polynomials possess ℓ−|m| zeros, whereas for the longitudin al direction, the trigonometric sin and cos functions possess 2|m| zeros.When the spherical harmonic order m is zero(upper-left in the figure), the spherical harm onic functions do not depend upon longitude, and are referred to as zonal. Such spherical harmonics are a special case ofzonal spherical functions.When ℓ= |m| (bottom-right in the figure), there are no zero crossings in latitude, and the functions are referred to as sectoral.For the other cases, the functionscheckerthe sphere, and they are referred to as tesseral. More general spherical harmonics of degree ℓare not necessarily those of the Laplace basis, and their nodal sets can be of a fairly general kind.[10]360阶（EGM96）分辨率为0.5分的来历：纬向180°、360=0.5°。
SphericalHarmonics球谐函数的理解与使用
SphericalHarmonics球谐函数的理解与使用球谐函数（Spherical Harmonics）是用于描述球对称性的函数。
它在数学、物理、计算机图形学等领域中具有广泛的应用。
本文将对球谐函数的理解与使用进行详细介绍。
首先，我们来了解球谐函数的定义。
给定单位球面上的点(x,y,z)，球谐函数Yₗⁿ(x,y,z)定义如下：Yₗⁿ(x, y, z) = (-1)^m * sqrt((2ℓ+1)/(4π)*(ℓ-，m，)!/(ℓ+，m，)!)*Pₗ，m，(cosθ)*e^(imφ)其中，Yₗⁿ表示度为ℓ，阶为，m，的球谐函数；ℓ是非负整数，表示球谐函数的度；，m，<=ℓ，m是整数，表示球谐函数的阶；Pₗ，m，(cosθ)是勒让德多项式；θ是点(x, y, z)相对于x轴的极角；φ是点(x, y, z)相对于x轴的方位角；e是自然对数的底。
球谐函数具有下述性质：1.球谐函数是单位球面上的正交基，即不同的球谐函数之间在单位球面上的内积等于0。
2.Yₗⁿ(x,y,z)关于极角θ是奇函数，关于方位角φ是偶函数。
3.在单位球面上，球谐函数Yₗⁿ(x,y,z)的绝对值平方是一个常数，即，Yₗⁿ(x,y,z)，²在球面上处处相等。
在物理学中，球谐函数被广泛应用于描述球对称的物理场。
例如，在量子力学中，球谐函数用于描述原子中的电子波函数；在电动力学中，球谐函数用于展开电磁场的球谐分量；在量子力学中，球谐函数用于描述自旋等。
在计算机图形学中，球谐函数也被广泛应用于实时渲染、全局光照以及球形图像处理等领域。
通过将光照场或图像投影到球谐函数系数上，可以实现基于球面光照的实时渲染。
球谐函数还可以用于创建全局光照环境贴图，用于增强场景的真实感。
此外，球谐函数还可以用于球形图像处理，例如球形全景图像的压缩和展开。
值得注意的是，球谐函数展开的精度和复杂度有一定的关系。
一般来说，较高阶的球谐函数能够更准确地近似光照场或图像，但计算复杂度也会增加。
球谐函数ylm
球谐函数ylm1. 什么是球谐函数球谐函数（Spherical Harmonics）是描述在球面上的物理和数学问题的一组函数。
球谐函数可以用于描述轴对称的空间分布，例如电荷分布、电磁场等。
球谐函数是平面波的三维推广，它描述了球对称下的波函数形式。
它在物理学、数学和计算机图形学等领域有广泛的应用。
球谐函数通常用Ylm(θ, φ)表示，其中θ是极角，φ是方位角。
2. 球谐函数的性质球谐函数具有以下一些重要的性质：2.1 正交性球谐函数在单位球面上是正交的，即不同的球谐函数之间的内积为零。
这个性质在解决物理和数学问题的时候是非常有用的，可以用来展开复杂的函数。
2.2 归一性球谐函数在单位球面上是归一的，即其平方的积分等于1。
这个性质保证了球谐函数在描述物理问题时的准确性，可以确保物理量的总能量是保持不变的。
2.3 奇偶性球谐函数具有奇偶性。
对于函数Ylm(θ, φ)，当l为偶数时，其函数值是关于θ对称的；当l为奇数时，其函数值是关于θ反对称的。
2.4 旋转对称性球谐函数具有旋转对称性，即在球面上进行旋转变换后，球谐函数的形式不变。
这个性质保证了球谐函数在描述旋转对称系统时的准确性，如原子轨道和电磁场分布。
3. 球谐函数的计算球谐函数的计算可以通过递推关系或者数值方法来进行。
3.1 递推关系球谐函数Ylm(θ, φ)可以通过递推关系来计算，公式为：Ylm(θ, φ) = (-1)^m sqrt((2l+1) / (4π) (l-m) / (l+m)) Pnm(cosθ) e^(imφ)其中，Pnm(x)是勒让德多项式，可以通过递推关系Pnm(x) = (2n-1) * x * Pn-1m(x) - (n+m-1) * Pn-2m(x)来计算。
3.2 数值方法除了递推关系，还可以使用数值方法来计算球谐函数。
常用的数值方法包括插值法和数值积分法，可以根据具体问题的要求来选择合适的方法进行计算。
4. 球谐函数的应用球谐函数广泛应用于物理学、数学和计算机图形学等领域。
sh球谐函数
sh球谐函数
球谐函数（Spherical Harmonics，SH）是限制在球上的解，已被广泛用于解决各个领域中的问题。
它们是单位圆上傅里叶基的球面模拟，由于球谐函数形成了一组完整的正交函数，形成了正交基，因此定义在球面上的每个函数都可以写成这些球谐函数的总和。
球谐函数是球面S上的正交基，基函数的定义为其中是极坐标，是对应的Legendre多项式，是正则化常数。
在图形学中用到的实值基的为：表示“波段(band)”，每个波段等价于该度数的多项式，包括个函数。
基本性质有旋转不变性，与傅里叶变换中的平移不变性类似，给定一个函数，它代表函数f(s)由一个旋转矩阵Q旋转，所以，g的投影与旋转f的投影再重新投影是相同的。
由于SH基的正交性，给定任何两个SH函数a和b，积的积
分是系数向量的点积。
卷积：给定一个具有圆对称性的核函数，可以生成一个新的SH函数，它是核与原始函数 f 的卷积结果。
必须具有圆对称性，卷积的结果也可以在球体S
上表示，而不是在旋转组SO(3) 上表示。
可以使用以下等式直接在频域中进行
卷积：这相当于简单地将的每个带按中相应的 m=0 项缩放。
以上信息仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅数学或物理专业书籍或咨询相关专家。
数学物理方法--球函数
l
再求导L次可得
积分表示
1 1 P ( x) l 2i 2l
( z 1) dz l 1 ( z x)
2 l
5
常用的勒让德多项式
P0 ( x ) 1 P1 ( x ) x cos P2 ( x ) 1 (3 x 2 1) 1 (3 cos 2 1) 2 4
k 0
( 1) k (2l 2k )! xl 2 k 2l k !(l k )!(l 2k )!
微分表示
1 d 2 l P ( x) l ( x 1) l l 2 l! dx
展开
1 1 l l! 2 l ( x 1) l ( x 2 ) ( l k ) ( 1) k 2l l ! 2 l ! k 0 (l k )! k !
2
2 (l m)! (N ) 正交性公式 2l 1 (l m)!
m相同的连带勒让德函数是完备的 模
f ( x) f l P m ( x) l
l 0
完备性
1 fl ( Nlm ) 2
1
1
f ( x) P ( x)dx l
m
19
一. 球函数
10.3
球函数
2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 r r r sin r sin
完备性
f ( , ) [ Alm cos m Blm sin m ]Pl m (cos )
m 0 l m
例1. 用球函数把下列函数展开 1.sin cos , 2.sin sin 例2. 用球函数把 3sin 2 cos 2 1展开
地 磁场球谐系数
地磁场球谐系数地球是一个巨大的磁球体，周围环绕了一个强大的磁场。
这个磁场驱动了地球上每一粒磁性物质的运动，同时还起到了保护地球免受太阳风暴和宇宙射线的影响的作用。
但是，地球磁场的复杂性和变化性导致我们难以完全理解它的本质。
地磁场可以用球谐函数来展开，这种方法可以将地磁场分解成不同频率的振动。
球谐函数是一种标准的数学工具，它可以分解出几乎所有交换对称性球形界面上的函数。
球谐函数是球坐标系下的函数，它们可以描述任何一个旋转对称的物理场。
用球谐函数展开地磁场，可以帮助我们更好地研究地球磁场的性质和变化。
地磁场球谐系数表示每个球谐函数的振幅，它们可以用来描述地球磁场的强度、方向和形状等特性。
地磁场球谐系数可以通过在地球表面或磁层中的磁力计观测得到。
在地球磁场的球谐系数中，一些重要的系数被称为“国际地球磁场参考场（IGRF）”，它们被广泛应用于地球物理、导航和卫星通信等领域。
IGRF包括10个球谐系数，分别是g1^0、g2^0、g3^0、g4^0、g5^0、h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1。
其中g1^0表示零阶球谐系数，表征地球磁场在赤道上的强度。
g2^0和g3^0表示一级和二级球谐系数，表征地磁场在磁北极和磁南极附近的强度。
g4^0和g5^0表示三级和四级球谐系数，表征地磁场在高纬度区域的强度。
h1^1、h2^1、h3^1、h4^1和h5^1都是一级球谐系数，它们表示地磁场的方向和形状等特性。
地磁场球谐系数的测量和研究对于深化我们对地球磁场的认识有着重要的作用。
通过测量和观察球谐系数的变化，我们可以更好地理解地球磁场的演化过程，甚至可以为我们预测太阳爆发和地球磁暴等天文事件带来的可能影响。
总之，地球磁场球谐系数是地球磁场研究中至关重要的参数。
它们可以帮助我们更好地了解地球磁场的本质和变化，为我们研究地球磁场的机理和应用地球磁场提供基础和依据。
除了帮助我们理解地球磁场的本质和变化，地球磁场球谐系数还可以在很多应用中发挥着关键作用。
球谐函数
第九章 球谐函数Page 1 of 38第九章 第九章 球谐函数 128.〕球谐函数的数学理论曾被当作若干专著的主题。
有关这一课题的最 完备的著作，E．海恩博士的《球谐函数手册》(Handbuch der Kugelfunctionen)现在(1878)已经出了两卷本的第二版，而F．诺依曼博士也 发表了他的《关于球谐函数理论的论著》(Beitrge zur Theorie der Kugelfunctionen，Leipzig，Teubner，1878)。
汤姆孙和泰特的《自然哲学》 中对这一课题的处理在第二版(1879)中得到了颇大的改进，而陶德洪特先生的 《关于拉普拉斯函数、拉梅函数和贝塞耳函数的初等论著》(Elementary Treatise on laplace’s Functions，Lamé’s Functions，and Bessel Functions)以及弗勒尔斯先生的《关于球谐函数及其有关问题的初等论著》 (Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subject connected with them)已经使得没有必要在一部关于电的书中在这一课题的纯数学的发展 方面花费太多的篇幅了。
然而我却保留了用它的极点来对球谐函数作出的确定。
论势在那里变为无限大的奇点 论势在那里变为无限大的奇点 在那里变为 129.〕如果一个电荷A 均匀地分布在中心座标为(a，b，c)的一个球面上， 则由第125节可知，球外任一点(x，y，z)上的势是0式中r ＝(x-a) +(y-b) +(z-c) ．(2) 由于V的表示式不依赖于球的半径，这个表示式的形式就将是相同的，如 果我们假设半径为无限小的话。
表示式的物理诠释将是，电荷A 是放在一个无 限小的球的表面上的，这个小球近似地和一个数学点相同。
我们已经证明（第 55，81节）电的面密度有一个极限，从而在物理上是不可能把一个有限的电荷 放在半径小于某值的一个球上的。
球谐函数小结
球谐函数小结
球谐函数是描述球面上的函数，球面上的函数可以表示为一组基函数的线性组合，球谐函数是一组正交归一的基函数。
球谐函数在物理学和数学中有广泛的应用，特别是在量子力学、电磁学和地球物理学中。
球面上的函数可以表示为球谐函数的线性组合，球谐函数是一个连续谱，其参数为两个整数l和m，其中l表示角向量的长度，m表示角向量的方向。
球谐函数是通过对球面上的函数进行积分得到的。
球谐函数满足正交归一性的特性，即两个不同的球谐函数的内积为0，同一个球谐函数的内积为1。
这使得球谐函数可以用于展开球面上的函数，类似于傅里叶级数可以用于展开周期函数。
球谐函数具有良好的旋转不变性，即对球面上的旋转操作保持不变，这是由于球谐函数是由球面上的函数通过积分得到的。
这一特性使得球谐函数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述自旋和轨道角动量的量子力学问题中。
球谐函数在电磁学中的应用包括描述电磁波的传播和散射，以及描述电磁场的边界条件。
球谐函数在地球物理学中的应用包括描述地球重力场和地球磁场的分布。
球谐函数还在计算机图形学中有广泛的应用，特别是在渲染和图像处理中。
球谐函数可以用于描述光照和材质的反射性质，
用于计算全局光照和间接光照的效果。
球谐函数也可以用于图像压缩和图像编辑等任务。
总结起来，球谐函数是一组正交归一的基函数，用于描述球面上的函数。
球谐函数具有正交归一性、旋转不变性和良好的连续性等特性，广泛应用于物理学、数学、计算机图形学等领域。
通过对球谐函数的理解和应用，可以更好地理解和解决与球面上的函数相关的问题。
球谐函数定义
球谐函数定义球谐函数是一种描述球面上的函数，它在计算机图形学、物理学和音频处理等领域具有广泛的应用。
在这些领域中，球谐函数被用来表示球面上的光照、声音、形状等属性。
为了更好地理解球谐函数的概念，我们可以将其比喻为一个球面上的音符。
就像音符可以组合成美妙的旋律一样，球谐函数可以组合成复杂的图像或声音。
每个球谐函数都有一个特定的频率和振幅，类似于音符的音调和音量。
通过调整这些参数，我们可以创造出不同的视觉或听觉效果。
想象一下，一个画家正在绘制一幅球面上的景象。
他使用球谐函数来模拟光照效果，使画面更加逼真。
通过调整每个球谐函数的参数，画家可以控制光线的强度和方向，从而营造出不同的光影效果。
当画家将这些球谐函数组合在一起时，画面就会呈现出令人惊叹的真实感。
在音频处理领域，球谐函数也发挥着重要的作用。
想象一下，一个音频工程师正在制作一首音乐作品。
他使用球谐函数来调整音频信号的频谱分布，以增强音乐的立体感和空间感。
通过调整每个球谐函数的振幅和相位，工程师可以控制音频信号在各个方向上的分布，从而创造出立体声效果。
除了在计算机图形学和音频处理中的应用，球谐函数还被广泛应用于物理学研究中。
球谐函数可以用来描述原子和分子的电子云分布，以及地球的重力场分布。
通过分析和计算球谐函数的系数，科学家们可以研究这些系统的性质和行为。
球谐函数是一种非常有用的数学工具，它可以描述球面上的各种属性和现象。
无论是在计算机图形学、音频处理还是物理学研究中，球谐函数都发挥着重要的作用。
通过调整球谐函数的参数，我们可以创造出各种令人惊叹的视听效果，使我们的世界更加丰富多彩。
球谐函数定义
球谐函数定义球谐函数是一种数学函数，通常用于描述三维空间中与球对称相关的问题。
在物理、工程和天文学等领域，球谐函数被广泛用于描述和分析各种现象，如电磁波、量子力学和天体物理学等。
本文将介绍球谐函数的定义、特点、形式、应用领域以及函数组合等方面的内容。
一、函数定义球谐函数是定义在三维空间中的函数，具有球对称性。
具体来说，如果一个函数满足对于空间中任意一点P和单位球心O有相同的函数值，即f(r, θ, φ) = f(r', θ', φ')，其中r、θ和φ分别是点P与球心O的距离、极角和方位角，则称该函数为球谐函数。
其中，r'、θ'和φ'分别是点P'与球心O的距离、极角和方位角。
二、特点1.球对称性：球谐函数描述的函数图像在三维空间中具有球对称性，即函数值在球面上均匀分布。
2.无奇异性：球谐函数在球面上没有奇异点，即函数值在整个球面上连续且可微。
3.完备性：在一定的边界条件下，球谐函数的集合是完备的，即任何具有球对称性的函数都可以由球谐函数展开。
三、形式球谐函数有多种形式，其中最常用的是连带勒让德函数。
连带勒让德函数的一般形式为P(n, m)(θ, φ)或P(n, m)(θ, φ)，其中n和m是整数，θ和φ分别是极角和方位角。
这些函数的性质与普通的勒让德函数类似，但适用于球面坐标系。
四、应用领域1.电磁波：在电磁波传播过程中，球谐函数被用于描述电磁波的电场和磁场分量。
2.量子力学：在量子力学中，波函数通常是球谐函数的形式，用于描述粒子的波状行为。
3.天体物理学：在天体物理学中，球谐函数被用于描述天体的磁场、电场以及其它物理量。
4.其他领域：除了上述领域外，球谐函数还被应用于地球物理学、声学等领域。
五、函数组合在某些情况下，两个或多个球谐函数可以组合在一起形成一个新的球谐函数。
这些组合方式通常是基于特定的数学关系和物理规律，例如线性组合、乘积等。
通过合理的组合，可以构造出满足特定需求的球谐函数，进一步拓展了其在各个领域的应用范围。
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正交变换：
现在假设函数 构成一个正交集，即
（13）
如果 是一个正交矩阵，而 是一个次数为 的球谐多项式，在 上如果 具有这种属性，以至于 是一个 次球谐波。特别地，
（14）
因此，对于每一个正交矩阵 对应于一个矩阵 ，根据（13）和（14）我们得到：
（15）
正交变换 可以视为 中的一个坐标变换，它离开表面元素 不变，这就意味着
因此，在 中对于任意两个向量 和 我们有
这意味着 不依赖于 。因此，这是一个关于 的单独的函数。这与（18）式结合我们得到：
引理5：假设 是 中一组球谐的正交集合，然后在 中对任意的两点（或向量） 和 ，函数 只依赖于 和 的数量积。
———————————
在一维正交群构成的只有两个转换： 。
从左边很清楚这个函数是 或 的次数为 的球谐。从右边可得它对所有的离开 固定的正交转换是对称的。从而我们需要介绍一种具有同样对称性的特殊的球谐。
现在由（7）得：
，
因此 ，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: ，所以 。
由此我们得到以下引理：
引理3n阶线性无关的球面调和函数的数量 由以下幂级数
决定，特别地当 时有
（10） 。
由引理3我们可以很精确地得到 ，当 时，由二项式展开可得
因此
（11）
如果我们设 （12）
我们得到
引理4：在 维空间存在 的线性无关次数为 的球谐 而且每个无关次数为 的球谐可以被看成 的一个线性组合。
得到
（5）
由系数相等我们的得到： ，因此，若已知 和 ，则所有的多项式 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与 和 的系数的数量相等。定义 为关于 的 阶齐次多项式的系数的个数，则 有如下形式：
（6）
显然 ，因此 ， 和 的系数的数量满足:
(7)
幂级数
（8）
当 时收敛。由（6）和（7）得：
（9）
我们假设
和
现在我们用通常的方法引入极坐标系
即有
通过上面两个式子我们得到一个正交集合
勒让德函数现在通过齐次调和多项式得到，这个齐次调和多项式关于 轴对称，并且在 处等于1.我们有
或者
现在令 是 和 的标量积.由（19）式，我们有
在二维的情形，函数 又被称为切比雪夫多项式.
如果点 和 有坐标 和 ，由下面的式子，我们分别有
因为函数 只可能与函数 成正比。
为了决定常数 ，我们令 ，然后得到 。
在 上积分得到 并且得到
定理2（加法定理）让 做n阶q维的求新调和函数 的正交集合。
那么
是n阶q维的Legendre多项式。
这个定理被称为加法定理归纳为 函数在二维情形中引入了极坐标以后推导出来的。
为了求出 情况下的球函数，根据这个定理我们首先求出两个n阶齐次线性无关的多项式函数。
并且有一下关系成立
因此定理2转化为函数 在二维情形的补充公式，这也解释了为什么这个结果称为球体调和函数的补充定理.
表示定理
众所周知,对于所有的三角函数都可以用一个简单的函数来代替.如果在一般的球面调和定理存在一个相关结果,那么问题就产生了.根据勒让得函数加法原理显示了它可能表示所有的球面调和.这可由定理给出，
定义2：假设 是均匀的调和的 次多项式具有下列性质：
a）对于所有的离开 不变项式。
根据这一定义，函数 是唯一确定的，根据表达式(4)，由同类多项式 和 ，函数 是唯一确定的。条件(a)说明这类多项式只由表式 确定。
因此我们得到
当 。
和
当 。
除了一系列的常数。函数 是由条件(a)确定的。常数 可以由条件(b)来确定。用参数表示(2)我们得到函数 只由 决定，因为 。
一般背景及注示
正交变换
加法定理
表示定理
加法定理的应用
Rodrigues公式
Funk-Hecke公式
球谐函数的积分表示
连带勒让德函数
勒让德函数的性质
微分方程
球谐函数的拓展
参考文献
基本背景和记号：
令 是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有
。
表达式
这里 1)
表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为 ，它的曲面元素为 ，其全部曲面为 ，是由 表示出来的。
由定义我们设 ，接着我们有 。
如果向量 可以构成一个正交系，我们可以用
<1>
来表示 上的点,而 是由 张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成
我们由上面可以得到
上面积分式子的右边可以转化为
，当q=2,3,…。
<2>
记
<3>
为拉普拉斯算子，这时我们引入
定义1:令 为q维的n次齐次多项式，同时满足
我们有
定理一：勒让德函数 可以写成如下形式 。
其中 是一个最高次数为n的多项式且满足 ； 。
定理的后两个关系式很容易证明：
当 时，对应的 ，第一个式子就是定义二的条件(b)，第二个等式可由推论一得到。
增加定理
我们现在能得出推论5的函数 ，因为我们知道这个函数是关于 的 次球简谐函数。如果 是由保持 不变的直角变换得到的话会变得更难改变，所以
现在我们由（15）可得
（16）
因此系数 是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到
（17）
对于 中的任意两点 和 我们可得方程
由于（17）对于任意的正交矩阵A
因此方程 具有重要的性质就是对 和 同时进行正交变换方程不变.
用下面的正交变换的性质进一步去研究方程 ：
a)对每个单位向量 存在一个正交变换满足 .
这时称 为q维的n次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：
引理1:
令 和 是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到
，
同样地，在 上 和 的法向导数分别为
因此由定义（1）我们可以得到
引理2:对于m≠n时，有 ，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替
（4）
其中 是在点 的 阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式
定理3：对于任意的阶数n，都有点组 ，使得任一球面调和函数 能用下述形式表达
由上可看出，任意的球面调和函数都可可写成
所以必须用Legendre函数来表示 。
b)对任意两个向量 和 有
c)对任意的单位向量 存在正交变换群的一个子群，使 固定不变
把这些向量 转化成已给的单位向量 即
勒让德函数：
我现在使用这些属性去研究我们的函数 。从形式（a）中我们将 转换为 。然后通过（2）式， 将被表示为下列形式：
（18）
通过（b）式，在进行转换之前我们知道 的只也是 和 的数量积的值。通过（18）式，可以看出不动点子群 同构于 维正交群。
现在假设函数 构成一个正交集，即
（13）
如果 是一个正交矩阵，而 是一个次数为 的球谐多项式，在 上如果 具有这种属性，以至于 是一个 次球谐波。特别地，
（14）
因此，对于每一个正交矩阵 对应于一个矩阵 ，根据（13）和（14）我们得到：
（15）
正交变换 可以视为 中的一个坐标变换，它离开表面元素 不变，这就意味着
因此，在 中对于任意两个向量 和 我们有
这意味着 不依赖于 。因此，这是一个关于 的单独的函数。这与（18）式结合我们得到：
引理5：假设 是 中一组球谐的正交集合，然后在 中对任意的两点（或向量） 和 ，函数 只依赖于 和 的数量积。
———————————
在一维正交群构成的只有两个转换： 。
从左边很清楚这个函数是 或 的次数为 的球谐。从右边可得它对所有的离开 固定的正交转换是对称的。从而我们需要介绍一种具有同样对称性的特殊的球谐。
现在由（7）得：
，
因此 ，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: ，所以 。
由此我们得到以下引理：
引理3n阶线性无关的球面调和函数的数量 由以下幂级数
决定，特别地当 时有
（10） 。
由引理3我们可以很精确地得到 ，当 时，由二项式展开可得
因此
（11）
如果我们设 （12）
我们得到
引理4：在 维空间存在 的线性无关次数为 的球谐 而且每个无关次数为 的球谐可以被看成 的一个线性组合。
得到
（5）
由系数相等我们的得到： ，因此，若已知 和 ，则所有的多项式 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与 和 的系数的数量相等。定义 为关于 的 阶齐次多项式的系数的个数，则 有如下形式：
（6）
显然 ，因此 ， 和 的系数的数量满足:
(7)
幂级数
（8）
当 时收敛。由（6）和（7）得：
（9）
我们假设
和
现在我们用通常的方法引入极坐标系
即有
通过上面两个式子我们得到一个正交集合
勒让德函数现在通过齐次调和多项式得到，这个齐次调和多项式关于 轴对称，并且在 处等于1.我们有
或者
现在令 是 和 的标量积.由（19）式，我们有
在二维的情形，函数 又被称为切比雪夫多项式.
如果点 和 有坐标 和 ，由下面的式子，我们分别有
因为函数 只可能与函数 成正比。
为了决定常数 ，我们令 ，然后得到 。
在 上积分得到 并且得到
定理2（加法定理）让 做n阶q维的求新调和函数 的正交集合。
那么
是n阶q维的Legendre多项式。
这个定理被称为加法定理归纳为 函数在二维情形中引入了极坐标以后推导出来的。
为了求出 情况下的球函数，根据这个定理我们首先求出两个n阶齐次线性无关的多项式函数。
并且有一下关系成立
因此定理2转化为函数 在二维情形的补充公式，这也解释了为什么这个结果称为球体调和函数的补充定理.
表示定理
众所周知,对于所有的三角函数都可以用一个简单的函数来代替.如果在一般的球面调和定理存在一个相关结果,那么问题就产生了.根据勒让得函数加法原理显示了它可能表示所有的球面调和.这可由定理给出，
定义2：假设 是均匀的调和的 次多项式具有下列性质：
a）对于所有的离开 不变项式。
根据这一定义，函数 是唯一确定的，根据表达式(4)，由同类多项式 和 ，函数 是唯一确定的。条件(a)说明这类多项式只由表式 确定。
因此我们得到
当 。
和
当 。
除了一系列的常数。函数 是由条件(a)确定的。常数 可以由条件(b)来确定。用参数表示(2)我们得到函数 只由 决定，因为 。
一般背景及注示
正交变换
加法定理
表示定理
加法定理的应用
Rodrigues公式
Funk-Hecke公式
球谐函数的积分表示
连带勒让德函数
勒让德函数的性质
微分方程
球谐函数的拓展
参考文献
基本背景和记号：
令 是q维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有
。
表达式
这里 1)
表示的是q维单位球面上的笛卡尔系的点，记为 ，它的曲面元素为 ，其全部曲面为 ，是由 表示出来的。
由定义我们设 ，接着我们有 。
如果向量 可以构成一个正交系，我们可以用
<1>
来表示 上的点,而 是由 张成的空间的单位向量。
这时单位球面上的曲线元素可以写成
我们由上面可以得到
上面积分式子的右边可以转化为
，当q=2,3,…。
<2>
记
<3>
为拉普拉斯算子，这时我们引入
定义1:令 为q维的n次齐次多项式，同时满足
我们有
定理一：勒让德函数 可以写成如下形式 。
其中 是一个最高次数为n的多项式且满足 ； 。
定理的后两个关系式很容易证明：
当 时，对应的 ，第一个式子就是定义二的条件(b)，第二个等式可由推论一得到。
增加定理
我们现在能得出推论5的函数 ，因为我们知道这个函数是关于 的 次球简谐函数。如果 是由保持 不变的直角变换得到的话会变得更难改变，所以
现在我们由（15）可得
（16）
因此系数 是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到
（17）
对于 中的任意两点 和 我们可得方程
由于（17）对于任意的正交矩阵A
因此方程 具有重要的性质就是对 和 同时进行正交变换方程不变.
用下面的正交变换的性质进一步去研究方程 ：
a)对每个单位向量 存在一个正交变换满足 .
这时称 为q维的n次（规则）球面调和函数。
由此我们马上可以得到：
引理1:
令 和 是两个次数分别为n和m的齐次调和多项式，由格林定理我们可以得到
，
同样地，在 上 和 的法向导数分别为
因此由定义（1）我们可以得到
引理2:对于m≠n时，有 ，任何q维的齐次多项式可以由下面式子代替
（4）
其中 是在点 的 阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形式
定理3：对于任意的阶数n，都有点组 ，使得任一球面调和函数 能用下述形式表达
由上可看出，任意的球面调和函数都可可写成
所以必须用Legendre函数来表示 。
b)对任意两个向量 和 有
c)对任意的单位向量 存在正交变换群的一个子群，使 固定不变
把这些向量 转化成已给的单位向量 即
勒让德函数：
我现在使用这些属性去研究我们的函数 。从形式（a）中我们将 转换为 。然后通过（2）式， 将被表示为下列形式：
（18）
通过（b）式，在进行转换之前我们知道 的只也是 和 的数量积的值。通过（18）式，可以看出不动点子群 同构于 维正交群。