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北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 含解析

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昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案.【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ） A. 2x - B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=rr因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=m =（ ）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-== 解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r rm n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】 (1). 2(2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos 5c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪-⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ=【分析】(1)按照比例求解即可；(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望. 【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值； (2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()3sincossin 222xxxf x ωωω=+31cos sin 2x x ωω-=+311sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=. （2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥.【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PMPC的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2（3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u uu r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD 因为PA ⊂平面PAD 所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB 因为PA PD = 所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 因为PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD 所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥= 所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形 所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P -- (2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==. 所以(1,1,1)n =r.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r，所以3cos ,.3n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v vu u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角， 所以二面角C PA D --的余弦值为3.（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==- 所以(,2,1)M λλλ--. 所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r.因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r是平面PCD 的一个法向量. 若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r.所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .【点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，点(0,2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程； （2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析【解析】 【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.可得222c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C的焦点为12(F F ． 所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ， 设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+. 因为直线l 与圆O 相切， 所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x km x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+． 又2266m k =+， 所以232(2)0k ∆=->. 所以22k >. 又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OABS AB d ∆=⋅=⨯=． 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++ 因为()h u 在1(0,)9上单调递减， 所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； （2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ． 【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞ 【解析】 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程； (2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+. 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<； 当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-. （3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-， 所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++.因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==.又因为2k <， 所以120,1x x <>. 取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >； 所以()h x 在0(1,)x 上单调递增. 所以()(1)0h x h >=. 即()(1)>-f x k x . 所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。

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北京市昌平区2020届高三数学上学期期末考试试题理新人教A版

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昌平区2020－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟） 2020.1 考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4112俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736(D) 29（8）已知函数221, 0,()4,40⎧+>⎪=---≤≤x x f x x x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A ）[8,425)--+ （B ）(45,425)---+ （C ）(425,8]-+ （D ）(45,8]---第二卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） (9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ . (10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____.（12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ . (13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n L =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） (15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.D CBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a . (Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；(Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2020－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2020.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

【解析】北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学(理)试题

【解析】北京市昌平区新学道临川学校2020届高三上学期期末考试数学(理)试题

2019~2020学年临川学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =( )A. {|0}x x ≤B. {|12}x x ≤<C. {|0x x ≤或12}x ≤<D.{|01}x x ≤≤【答案】C 【分析】首先求得集合M ，然后进行交集运算即可.【详解】求解二次不等式20x x -≥可得{}|10M x x x =≥≤或， 结合交集的定义可得：{|0M N x x ⋂=≤或12}x ≤<. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.复数51i i-的虚部是( )A.12B.2i C. 12-D. 2i -【答案】A 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.0x ∃≥ ，使20x x a +-≤ ，则实数的取值范围是( ) A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤【答案】B 【分析】由题意得，问题转化为()min2xa x≥+的问题，设函数2xy x =+，利用该函数的单调性即可求出参数范围【详解】由题意可知：0x ∃≥，使2x a x ≥+，则()min2xa x≥+.由于函数2xy x =+是定义域内的单调递增函数， 故当0x =时，函数取得最小值0201+=， 综上可得，实数a 的取值范围是1a ≥. 本题选择B 选项.【点睛】思路点拨：1.由题意分离参数，然后结合函数的单调性确定实数a 的取值范围；2.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x …恒成立()a f x ax =…max ()a f x ⇔…；(2)()a f x …恒成立min ()a f x ⇔….4.设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=r r( )A. 2C.【答案】B 【分析】由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】由题意结合向量的运算法则可知：()2224314a b a b a b -=+-⋅=+-=.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A. -2 B. -1C. 1D. 2【答案】A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A. 154-B.154C. 38-D.38【答案】C【详解】因为1r T +=66((2rrr C -⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.【此处有视频，请去附件查看】7.某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为( )A.83B.43C. 8D. 4【答案】A 【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其体积即可.【详解】如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，三视图所对的几何体为图中的四棱锥11A BDD B -，其体积()18233V =⨯=. 本题选择A 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 8.已知F 是抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点，抛物线C 的准线与双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的两条渐近线交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则Γ的离心率e =（ ）A.2B.3C.7【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a ，b 的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值． 【详解】解：抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：2p x =-，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，解得2pb y a =±，可得||pbAB a=， ABF ∆为等边三角形，可得pbp a=，即有b a =，则3c e a ====． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．9.将甲、乙等6位同学平均分成正方，反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( ) A.310B.12C.35D.25【答案】C 【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.【详解】由题意可知，甲乙被分在不同组的分组组数为：1224C C ，所有的分组组数为：36C ，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：12243635C C p C ==. 本题选择C 选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 10.若函数()()sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><≤的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解ω的值即可.【详解】函数()()sin sin f x x x ϕωϕωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象是由函数()sin f x x ω=的图象向左平移ϕω个单位得到的， 函数()sin f x x ω=在x 轴右侧的第一个最高点横坐标为2πω， 由于函数()()(0,0)2f x sin x πωϕωϕ=+><≤的图像关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故02πϕωω-≤， 据此可得：2πϕ≥，结合题意可知：2πϕ=，从而26πππωω-=，解得3ω=. 本题选择C 选项本题主要考查三角函数的性质，三角函数图像的变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.已知点P 在圆224x y +=上，(2,0)A -，(2,0)B ，M 为BP 中点，则sin BAM ∠的最大值为( ) A.14B.C.13D.12【答案】C 【分析】由圆的特征可确定BAM ∠为锐角，因此只需求出BAM ∠的正切值的最大值即可. 【详解】设(),P x y ，因为为BP 中点，所以2M ,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 2622yy BAM x x ∠==+++，因为点P 在圆224x y +=上，则22x -≤≤,不妨令0y >，则tan 6yBAM x ∠====+ 令111t ,684x ⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则tan BAM ∠== 所以当且仅当316t =时，tan BAM ∠取最大值4，故1sin 3BAM ∠=.故选C. 【点睛】本题主要考查函数的综合，通常情况下，需要依题意表示出所求的量，通过求函数的值域来确定结果，属于中档试题.12.已知()()(31)x f x e a ax =-+，若()0()f x x R ≥∈成立，则满足条件的a 的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D由题意结合函数的解+析式分类讨论确定满足条件的a 的个数即可. 【详解】分类讨论：很明显当0a =时，()0xf x e =>恒成立，当0a >时，应有130ae a --=，此方程的根即函数y x =与函数13xy e-=在区间()0,∞+上的交点的个数，注意到13x y e -=过坐标原点的切线方程为3y x e =，且31e>，故函数y x =与函数13x y e -=在区间()0,∞+上有2个交点，函数图象如图所示.当0a <时，不存在满足题意的实数a ， 综上可得，满足条件的a 的个数是3. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，导函数研究函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x ，y 满足约束条件10,10,310,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩则2x y +的最大值为__________．【答案】2 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程：1010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,1A ，据此可知目标函数的最大值为：0212+⨯=.【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.已知函数2,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩则不等式()1f x <的解集为__________． 【答案】(1,1)e -- 【分析】由题意结合函数的解+析式分类讨论求解不等式的解集即可. 【详解】结合函数的解+析式分类讨论：当0x <时，21x <，解得：11x -<<，此时10x -<<， 当0x ≥时，()ln 11x +<，解得1x e <-，此时01x e ≤<-， 综上可得，不等式()1f x <的解集为()1,1e --.【点睛】本题主要考查分段函数不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，122n n S a +=-，若212a =，则5S =__________． 【答案】3116【分析】由题意首先求得1S ，然后结合递推关系求解5S 即可. 【详解】由题意可知：12221S a =-=， 且：()122n n n S S S +=--，整理可得：()11222n n S S +-=-， 由于121S -=-，故()455113121,21616S S ⎛⎫-=-⨯=-∴= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，前n 项和与通项公式的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点.设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则s i n α的最大值为__________．1 【分析】由题意建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论和均值不等式确定sin α的最大值即可. 【详解】以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设4SA AB ==，则：(()0,,,,0M C x y -，如图所示，由对称性不妨设0,0x y ><且224x y +=，则(,1,MC x y =+，易知平面SAB 的一个法向量为()1,0,0m =， 据此有：sin MC m MC mα⋅=⨯=)1284⎤=-+⎥≤1=，当且仅当4y =时等号成立，综上可得：sin α1.【点睛】本题主要考查空间向量及其应用，学生的空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，60A ∠=︒，M 为AD 上一点，22AM MD ==，60BMC ∠=︒.（1）若MCD ∆为等腰三角形，求BC ； （2）设DCM θ∠=，若4MB MC =，求tan θ.【答案】（1）3（2【分析】(1)由题意结合几何性质和余弦定理求解BC 的长度即可；(2)由题意结合正弦定理得到关于θ的等式，然后求解tan θ的值即可. 【详解】（1）由AB CD ，60A ∠=︒可得，120D ∠=︒， 又MCD ∆为等腰三角形，所以30DMC DCM ∠=∠=︒，从而MC ==，90AMB ∠=︒，所以MB =在MBC ∆中，由余弦定理得，2BC = 2229BM MC BM MC cos BMC +-⋅⋅∠=，即3BC =.（2）因为DCM θ∠=，所以60ABM θ∠=︒-，060θ︒<<︒.在MCD ∆中，由正弦定理得，MC =；在MAB ∆中，由正弦定理得，()60MB sin θ=︒-，由4MB MC =，得()602sin sin θθ=︒-，解得2tan θ=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，O 为BC 中点，1C O ⊥底面ABC ，点M 在线段1BB 上，且11C M BB ⊥.（1）证明：11A M BB ⊥；（2）若AC BC =，1MB MB =，求二面角11C A M C --的余弦值.【答案】（1）详见解+析（2）10【分析】(1)由题意结合线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后证明线线垂直即可； (2)结合几何图形的特征建立空间直角坐标系，然后利用法向量求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）∵1C O ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴1C O AC ⊥，又AC BC ⊥，1BC C O O ⋂=， ∴AC ⊥平面11BCC B ，而1BB ⊂平面11BCC B ，∴1AC BB ⊥， 又11ACAC ，则有111AC BB ⊥，又11C M BB ⊥，1111A C C M C ⋂=，∴1BB ⊥平面11A C M ，而1A M ⊂平面11A C M ， ∴11BB A M ⊥，（2）连接1C B ，如图所示，建立空间直角坐标系， 因1MB MB =，且11C M BB ⊥，所以111C B C B =，又1C O ⊥底面ABC ，有1C O BC ⊥，所以11C C C B =，设2AC =，则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，(1C ，由（1）可知平面11A MC的法向量为(1CC =，(11CA CA CC =+=，1150,22CM CB BM CB CC ⎛=+=+= ⎝⎭， 设平面1CA M 的法向量为(),,n x y z =，则120CA n x y ⋅=+=，5022CM n y z ⋅=+=， 可取()23,5n =-，11143,10240CC n cosCC n CC n⋅-===-，而二面角11C A M C --为锐二面角， 所以二面角11C A M C --的余弦值为10． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.近年来，我国工业经济发展迅速，工业增加值连年攀升，某研究机构统计了近十年（从2008年到2017年）的工业增加值（万亿元），如下表：依据表格数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（1）根据散点图和表中数据，此研究机构对工业增加值y （万亿元）与年份序号x 的回归方程类型进行了拟合实验，研究人员甲采用函数vxy e μ=，其拟合指数20.93R =；研究人员乙采用函数ny mx =，其拟合指数20.95R =；研究人员丙采用线性函数y bx a =+，请计算其拟合指数，并用数据说明哪位研究人员的函数类型拟合效果最好.（注：相关系数r 与拟合指数2R 满足关系22R r =）.（2）根据（1）的判断结果及统计值，建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）； （3）预测到哪一年的工业增加值能突破30万亿元大关.附：样本(),i i x y ()1,2,,i n =的相关系数()()nx x y y r --=，132.1≈，()()()121niii n ii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-. 【答案】（1）见解+析（2） 1.5711.96y x ∧=+（3）2019【详解】（1）129.60.981132.1r =≈，220.962R r =≈. 因为2R 越大，拟合效果越好，所以丙的拟合效果最好． （2）129.61.5782.5b ∧=≈， 20.6 5.511.96a b ∧∧=-⨯≈.因此y 关于x 的线性回归方程为 1.5711.96y x ∧=+． （3）从2008年开始计数，2018年是第11年，其工业增加值y 的预报值：1.571111.9629.2330y ∧=⨯+=<.2019年是第12年，其工业增加值y 的预报值：1.571211.9630.8030y ∧=⨯+=>.故可以预测到2019年的工业增加值能突破30万亿元大关． 【点睛】本题主要考查回归方程的求解与应用，相关系数的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，离心率e =过点(1,1)M -的动直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点.当l x ⊥轴时，||AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知N 为椭圆C 的上顶点，证明NA NB k k +为定值.【答案】（1）22:14x C y +=（2）详见解+析【分析】(1)先由离心率得到a b ，的关系，再由题中l x ⊥轴时，AB =，即可求出a b ，，进而可得结果;(2)分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆的方程，由根与系数关系，表示出直线NA,NB 的斜率，从而可证明结论成立.详解】解：（1）由e =c a =12b a =，即224a b =，从而椭圆222:4x C y b +=．当l x ⊥轴时，:1l x =，由AB =，不妨取A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，代入椭圆222:4x C y b +=，得21b =，故椭圆22:14x C y +=．（2）依题意，()0,1N ．当l 的斜率存在时，设()11y k x =--，()11,A x y ，()22,B x y ， 将()11y k x =--代入C 的方程，得()()2221481480k xk k x k k +-+++=，当0∆>时，()1228114k k x x k ++=+，212248·14k kx x k +=+． 121211NA NB y y k k x x --+=+， 因为111y kx k =--，221y kx k =--， 所以()()121222NA NB k x x k k k x x +++=-()2212k k =-+=-．由（1）得，当l的斜率不存在时，A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，所以112NA NB k k +=-=-． 综上，2NA NB k k +=-．【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的几何性质，通常情况下联立直线与椭圆方程，由根与系数关系，结合题意求解，属于中档试题.21.已知函数22()4ln 32(0)2x f x ax a x a a a =-+++>.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，当a 变化时，求12()()f x f x +的最大值.【答案】（1）答案见解+析；（2）1 【分析】(1)首先求得导函数，然后结合导函数的解+析式分类讨论函数的单调性即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为单变量函数的问题，然后结合导函数研究函数的最值即可.【详解】（1）()244a x ax a f x x a x x-='+=-+，0a >．(ⅰ)当104a <≤时，()0f x '≥ ，()f x 在()0,+∞上单调递增；(ⅱ)当14a >时，()0f x '=的根为12x a =22x a =，所以()f x 在(0,2a ，()2a +∞上单调递增；在(2a a 上单调递减．（2）由（1）得14a >，12x a =，22x a =， 所以124x x a +=，12x x a = ， 从而()()12f x f x +=()()22212121214642x x a x x alnx x a a +-++++ ()22121211042x x x x a a alna =+--++ 223alna a a =-+．令()223g a alna a a =-+，则()44g a lna a -'=+，令()44h a lna a =-+，则()14h a a'=-， 因为14a >，所以()0h a '<，所以()h a 在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()10h =，从而1,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h a > ，()0g a '> ，()g a 单调递增； ()1,a ∈+∞时，()0h a < ，()0g a '< ，()g a 单调递减，所以1a =时，()g a 取得最大值1．故()()12f x f x +的最大值为1．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解+析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+=，圆:4s i n C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy .（1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值. 【答案】（1）直线l的80y +-=；圆C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<）；（2）7 【分析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可； (2)结合(1)中的结论得到关于12d d +的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可. 【详解】（1）由:43l sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得，1422sin cos ρθρθ+=； 所以直线l 80y +-=；由圆:4C sin ρθ=得，24sin ρρθ= ，因为x cos ρα=，y sin ρα= ，222x y ρ=+，所以圆C 直角坐标方程为：()2224x y +-= 由()2224x y +-=得，圆C 的参数方程为2,22x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数，且02απ≤<），（2）设点P 坐标为()2,22cos sin αα+，则1d ==3sin αα-，222d sin α=+．那么125253d d sin sin πααα⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当56πα=时，12d d +取得最大值7． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知()|1||1|1f x x x =++--. （1）解不等式()1f x x ≤+； （2）证明：3()(2)f x f x ≥.【答案】（1）{|02}x x ≤≤（2）详见解+析 【分析】(1)由题意零点分段确定不等式的解集即可；(2)结合(1)中的结论绘制函数()3y f x =和()2y f x =的图象，结合函数图像可知题中的不等式成立.【详解】（1）不等式1111x x x ++--≤+等价于1,211,x x x >⎧⎨-≤+⎩或11,11,x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或1,21 1.x x x <-⎧⎨--≤+⎩解得，12x <≤ ，或01x ≤≤，或x ∈∅． 所以，不等式()1f x x ≤+的解集是{|02}x x ≤≤．（2）由（1）得，()21,1,1,11,21, 1.x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩21 所以()63,1,33,11,63, 1.x x y f x x x x --≤-⎧⎪==-<<⎨⎪-≥⎩()141,,21121,,22141,.2x x y f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪==-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩如图所示，画出函数()3y f x =和()2y f x =的图象，观察图象，可得()()32f x f x ≥．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2020北京昌平高三(上)期末数学答案

2020北京昌平高三(上)期末数学答案

2020北京昌平高三（上）期末 数 学 2020.1本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考生结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}=|21=|0A x x B x x -<<>，，则集合A B ⋃=-（A ）（2,1）0（B ）（,1）0∞（C ）（,+）-2∞（D ）（,+）（2）在复平面内，复数i i （-1） 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）已知命题:R ,ln 0p x x +∀∈>，那么命题p ⌝为（A ）R ,ln 0x x +∃∈≤ （B ）R ,ln 0x x +∀∈<（C ）R ,ln 0x x +∃∈<（D ）R ,ln 0x x +∀∈≤ （4）设,,R a b c a b ∈<，且，则（A ）ac bc <（B ）11a b<（C ）22a b <（D ）33a b < （5）已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()=f x（A ）-2x（B ）-2x（C ）2log x -（D ）2log x（6）已知向量(1,0),)a b c k ==-=.若-2a b c 与共线，则实数k =（A ）（B ）1（C（D ）3（7）已知双曲线221x y m-=，则m =（A ）14（B ）12（C（D ）2 （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）13（B ）23（C ）1（D ）2 （9）设,m n 为非零向量，则“=-1m n λλ≤，”是“+=m n m n -”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 （10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A B C D ，，，四个派送点准备某种商品各50个，根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A B C D ，，， 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品. 为完成调整，则（A ）最少需要16次调动，有2种可行方案 （B ）最少需要15次调动，有1种可行方案 （C ）最少需要16次调动，有1种可行方案（D ）最少需要15次调动，有2种可行方案 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（11）在52x -（）的展开式中，3x 的系数为_________.（用数字作答） （12）各项均为正数的等比数列{}n a 中，61233=1+=6S a a a S =，，则_________. （13）抛物线22y px =上一点M 到焦点F （1,0）的距离等于4，则p =_________；点M 的坐标为_________. （14）在△ABC 中，2sin 3sin cos a b C B B ===，，则 _________.（15）2019年11月5日，第二届中国国际进出口博览会在国际会议中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位，在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三家企业两两互不相邻的排法共有_________种. （16）已知函数()sin -2cos .f x x x =①()f x 的最大值为_________.②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=_________.三、解答题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算过程或证明过程. （17）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足1342+=84a a a a -=，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值.（18）（本小题13分）为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：学生编号 1 2 3 4 5 跳绳个数 179 181 168 177 183 踢毽个数8578797280（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？；（Ⅱ）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟，当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；.②从高二年级抽取的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.（19）（本小题14分）已知函数2()3sincos+sin 222xxxf x ωωω=，其中0ω>.（Ⅰ）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围.（20）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,AD BC CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,.PA PD PA PD ⊥=（Ⅰ）求证CD PA ⊥；（Ⅱ）求二面角C PA D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM PCD ⊥平面？若存在，求PMPC的值？若不存在，请说明理由.（21）（本小题13分）已知椭圆2222:10x y C a b a b+=>>（）的离心率为3，点2M （0，）在椭圆C 上，焦点为12F F ，，圆O 的直径为12F F .（Ⅰ）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.记△OAB 的面积为S ，证明：3S <.（22）（本小题13分）已知函数2()3ln f x x x x =-+.（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； （Ⅱ）证明：()22f x x ≤-；（Ⅲ）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >，当0x x ∈（1，） 时，恒有()(1)f x k x >-.2020北京昌平高三（上）期末数学参考答案本试卷共6页，150分。

北京昌平区第五中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析

北京昌平区第五中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析

北京昌平区第五中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．2. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 在ΔA BC中，“”是“cosA<cosB的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C略4. 设为等比数列的前n项和，，则(A)11 (B)5 (C)-8 (D)-11参考答案：D略5. 设非空集合满足：当时，有。

给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。

其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3（二）参考答案：D6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．112参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×故该几何体的体积是64+8=72故选B点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．7. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此以求出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1，0，2，3}，B={y|y=x2﹣1，x∈A}={﹣1，0，3，8}，∴A∩B={﹣1，0，3}，∴A∩B中元素的个数是3．故选：B．8.已知曲线y=x2-1在x=x o点处的切线与曲线y=l-x3在x=x o点处的切线互相平行，则x o的值为（）。