三角函数问题的常见错解分析

结合本人教学实践，浅析学生在学习三角函数的图形与性质中的常见典型错误与矫正策略由于三角函数一章的性质多样，图象变换复杂，再加上运用公式进行恒等变形所带来的定义域的改变，常常会引起解题的失误，下面就一些常见问题进行分析。

例1、求函数)32tan(π-=x y 的对称中心。

错解：该函数图象与x 轴的交点为对称中心，由ππk x =-32得对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,62ππk 。

正解：图象以及渐近线与x 轴的交点为对称中心，由232ππk x =-得对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,64ππk 。

例2、求函数xx y 2tan 1tan 2-=的周期。

错解：因为x x x y 2tan tan 1tan 22=-=，所以所求函数的周期为2π。

正解：所求函数应化为⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠=22tan ππk x x y ，画出图象（注意挖去⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk ），则可得所求函数的周期为π。

例3、求函数x y tan =的周期。

错解：因为x y tan =的周期为π，所以x y tan =的周期为2π。

正解：由图象可知，x y tan =的周期仍为π。

例4、求函数()21sin +=x x f 的周期。

错解：因为x sin 周期为2π，所以()21sin +=x x f 的周期为π。

正解：由图象可知，()21sin +=x x f 的周期仍为2π。

例5、求函数()x x x f tan cot -=的周期。

错解：因为函数x cot 和函数x tan 的周期均为π，所以()x f 的周期为π。

正解：因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛≠=-=22cot 2cos sin sin cos πk x x x x x x x f ，所以()x f 的周期为2π 例6、判断函数()xx x x x f cos sin 1cos sin 1-+++=的奇偶性。

错解：该函数可化简为2cot x y =，所以所求函数为奇函数。

3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积.诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________错解：两边同时平方，由，与51cos sin 2512cos sin =+-=⋅θθθθ得57cos sin 2549cos sin 4)cos (sin cos sin 4cos cos sin 2sin )cos (sin 2222±=-∴=-+=-+⋅+=-θθθθθθθθθθθθθθ ∴.cot 53cos 54sin θθθ，进而可求，-==解得：43cot -=θ 或.cot 54cos 53sin θθθ，进而可求，=-=解得：34cot -=θ 错因：没有注意到条件),0(πθ∈时，由于0cos sin <⋅θθ 所以θθcos sin -的值为正而导致错误.正解： ），，（，πθθθ051cos sin ∈=+ 两边同时平方，有联立，与51cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴43cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 错解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin 得tan A=batan B 错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1∴cos 2B=2221b a a -- ∴sin 2B=2221b a b -- ∴tan 2B=1122--a b∵B 为锐角 ∴tan B=1122--a b②①得tan A=b a tan B =1122--a b b a [例3]（05年高考重庆卷）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值..15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ点评：本试题将三角函数“απαπ-+,2”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础. [例4] （05年高考北京卷）已知tan2α=2，求（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()414cos()414sin(z n n n ∈-++--απαπ错解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n)4cos()4sin(απαπ--+=)4cos()]4(2sin[απαππ----=0)4cos()4cos(=---=απαπ错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误. 正解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n（1）当)(12z k k n ∈+=，时原式)]4(2sin[απππ+-+=k +)]4(2cos[απππ-++k )4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4cos(απ--=0（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4(2sin[αππ+-=k +)]4(2cos[αππ-+k)]4sin(απ+-=+)4cos(απ-=0[例6]（05年高考江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97错解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=)23cos(απ-=1—2)6(sin 2απ-=97错因：诱导公式应用符号错. 正解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A. [例7]．（05年高考福建卷）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （1）求sin x －cos x 的值；（2）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 解法一：（1）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .57cos sin -=-x x（2）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x解法二：（1）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或 故.57cos sin -=-x x（2）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++- x x x xsin cos 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x 点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8] (1)化简： sin 2αsec 2α－1＋1csc cos 22-αα+cos 2αcsc 2α (2)设sin(α+π2)=－14,且sin2α＞0求sinα,t an α解：原式=sin 2αtan 2α＋cos 2αcot 2α+cos 2αcsc 2α=cos 2α+sin 2α+cos 2αcsc 2α①②=1+cot 2α=csc 2α(2)解：由sin(α+π2 )=-14 ∴cosα=- 14∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+π2(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角∵cosα=- 14＜0 ∴α为第三角限角sinα=-1－cos 2α＝154 tan α= sin αcos α= 15点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.[例9] 求函数y x x =-+162sin 的定义域. 解：由题意有 2244k x k x πππ≤≤+-≤≤⎧⎨⎩(*)当k =-1时，-≤≤-2ππx ；当k =0时，0≤≤x π； 当k =1时，23ππ≤≤x∴函数的定义域是[][]--40，，ππ点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数. [例10] （05年高考天津卷） 已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求. 解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α= 即57cos sin =α-α ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin 212cos 257解得53sin ,259sin 2±=α=α即 由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得 由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且， 故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α（以下同解法一）.点评：ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 22=+αα），在求值过程中要注意符号的讨论. 四、典型习题导练1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6лл B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32л 2．（05年高考全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是A ．①③ B.②④ C.①④ D.②③3．（05年全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则A. 0x π≤≤B. 744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤4．函数y x =+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥sin()πππ222在，上是（）A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数5．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 6．已知，且，则的值为sin cos cos sin θθπθπθθ⋅=<<-18427．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (1) 求f (4π)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2α)sin α的值． 8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 9．（06年高考安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （1）求tan α的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。

然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。

下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。

一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。

例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。

很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。

2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。

在进行换算时，要注意系数的转换。

有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。

3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。

在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。

有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。

二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。

在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。

很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。

2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。

例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。

有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。

3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。

高中数学中三角函数解题错误的成因分析及解决方法高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，但是在学习和解题过程中，学生们经常会犯一些错误。

本文将从三角函数解题错误的成因进行分析，并提出相应的解决方法，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握三角函数知识。

一、错误成因分析1. 知识理解不够深刻很多学生在学习三角函数时，只是停留在记忆公式和计算值的层面上，对三角函数的本质和特性理解不够深刻。

导致在解题时容易混淆使用不同公式，甚至无法正确运用三角函数的性质进行分析和计算。

2. 概念理解不清晰三角函数中的概念十分重要，如正弦、余弦、正切等概念的理解对于解题至关重要。

但是很多学生对于这些概念的理解不够清晰，容易混淆或者搞混各个概念的具体含义和作用，导致在解题时产生错误。

3. 缺乏实际问题解题能力三角函数在解决实际问题时经常会用到，但是很多学生缺乏实际问题解决的能力，对于实际问题中的三角函数的运用和转化不够熟练，容易在解题时产生错误。

二、解决方法1. 深入理解三角函数的本质和特性在学习三角函数时，不仅仅是记忆三角函数的公式和数值，更重要的是要深入理解三角函数的本质和特性。

要理解正弦、余弦、正切等函数代表的是什么，它们有什么特性和作用，这样才能在解题过程中深入思考，正确运用。

2. 多做概念梳理和归纳要加强对于三角函数概念的理解和应用，在学习过程中要多做概念梳理和归纳，把不同的概念联系起来，归纳出它们的共性和区别，这样才能在解题过程中避免混淆或搞混。

3. 多做实际问题的练习三、例题分析1. 例题一已知∠A是锐角，sinA=cosA，求∠A的度数。

解析：根据已知条件sinA=cosA，可知tanA=1，所以∠A=45°。

错误分析：很多学生在这种题目中容易混淆sinA和cosA的关系，导致无法正确运用三角函数的性质求解。

解决方法：要深入理解sinA、cosA的含义和性质，掌握它们的关系和转化方法，这样在解题时才能正确应用三角函数的性质。