第1部分第二章21211椭圆及其标准方程

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《椭圆及其标准方 程》ppt课件
目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。

教
学 教 法 分 析
当 堂 双 基
达
课
标
前
自
主
课
导
后
学
知
能
课
检
堂
测
互
动
探
教
究
师
备
易
课
错
资
易
源
误
辨
析
2．1 椭圆 2．1.1 椭圆及其标准方程
●三维目标 1.知识与技能
(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型 的过程．
(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过 程．
2．过程与方法 (1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求 曲线方程的方法和数形结合的思想． (2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几 何问题的能力．
1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件 确定焦点位置，设出方程，再设法求出 a2，b2 代入所设方程，也可 以简记为：先定位，再定量．
之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)已知 F1、F2 分别为椭圆1x62 ＋y92＝1 的左、右焦点，椭圆的弦
DE 过焦点 F1，若直线 DE 的倾斜角为 α(α≠0)，则△DEF2 的周长
为( )
A．64
B．20
C．16
D．随 α 变化而变化
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定 义求△DEF2 的周长？
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的 定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数．
当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．

(D)( , )

2

解析:把椭圆 x sin α-y cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,可得

椭圆的焦点在 y 轴上,所以


-







+

-
=1.因为


> ,



> , 所以 0<-cos α<sin α.又因为 0≤α<
<-

,
且 k-1≠9-k,联立求得 k∈(1,5)∪(5,9),故 A 错误;
- > 0,
2
2
2
2
2
2
当 9-k>k-1,即 k∈(1,5)时,焦点在 x 轴上,c =a -b =9-k-(k-1)=10-2k,

+ =1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上.

数学
知识点2:椭圆的标准方程

方程 + =1(a>b>0)叫作椭圆的标准方程.它的焦点在 x 轴上,两个焦点分别是


2
2
2
F1(-c,0), F2(c,0) ,其中 b =a -c .

方程 + =1(a>b>0)也叫作椭圆的标准方程.它的焦点在 y 轴上,两个焦点分别是
数学
提示:以点 F1,F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,
则 F1(-c,0),F2(c,0),则点 P 的坐标(x,y)满足 ( + )



+ +

这 样,我 们 把 方 程2 叫 做椭圆的标准
方程 .它 的 焦 点 在x 轴 上,两 个 焦 点 分
别 是F1 c,0, F c,0,这 里c2 a2 b2.
思考 如图2.1 4,如果焦点
y
F1 , F2在y轴上,且F1 , F2的坐 标
F2
分别为0,c,0, c, a,b 的意
M
x
义同上,那么 椭圆的方程是
解 设点M的坐标为x, y, 因为点 A 的坐标是 5,0 ,
y M
所以,直线 AM 的斜率
k AM
y x5
x
5
;
A O
B x
同理,直线 BM 的斜率
图2.1 6
kBM
x
y
5
x
5.
由已知中有
x
y
5
x
y
5
4 9
x
5,
化简, 得点M的轨迹方程为2x52
y2 100 /
9
1x
5.
本节内容结束
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