哈三中2020届高三综合题（七）数学试卷（理工类）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}1,3,5,7,9,11U =，{}3,5,9M =，{}7,9N =，则集合{}1,11=（ ） A. M N ⋃ B. M N ⋂C. ()U M N U ðD. ()U M N I ð【答案】C 【解析】 【分析】由集合运算的定义判断．【详解】由题意{3,5,7,9}M N =U ，∴(){1,11}U M N =U ð． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2.设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件. 故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.3.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为（ ）A. 12B. 36C. 16D. 48【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知原几何体是一个四棱锥，由此可求得体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，底面是矩形，高为3， ∴其体积为1343123V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原出原几何体．4.已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点将线段12F F 三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y x =±【答案】A 【解析】 【分析】由已知得3c a =，结合222c a b =+可得ba，得渐近线方程． 【详解】∵左、右顶点将线段12F F 三等分，∴232c a =⨯，即3c a =，∴22229a c a b ==+，ba=y =±． 故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是得出,a b 的关系．5.如图，若输入n 的值为4，则输出m 的值为（ ）A. -3B.13C. 2D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】程序运行时，变量值变化如下：1,2i m ==，开始循环，3m =-，满足4i <，2i =； 12m =-，满足4i <，3i =；13m =，满足4i <，4i =；2m =，不满足4i <，输出2m =．故选：C ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，得出结论、 6.函数()ln 25f x x x =+-的零点个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断出函数()f x 零点个数.【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()13,240f f e e =-=->，()()10f f e ⋅<，故函数在()1,e 上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点. 故选:B【点睛】本小题主要考查函数单调性的判断，考查零点存在性定理的运用，属于基础题.7.在直角梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB AD ⊥，4AB =，2BC =，4=AD ，若P 为CD 的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 A. 5- B. 4-C. 4D. 1【答案】D 【解析】【详解】分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则A(0,0),D(4,0),B(0,4),C(2,4),则(2,3)P ,(2,3),(2,1),(2)(2)(3)11PA PB PA PB =--=-∴⋅=-⨯-+-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r.8.若6x ⎛- ⎝⎭的展开式中常数项为10π，则直线0x =，x a =，x 轴与曲线cos y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A. 22-B.C.1D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理求出a ，再由微积分基本定理求出面积．【详解】62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的通项为663166((r r r r r r r T C x C x --+==，由630r -=，得2r =．∴常数项为226(1510C a π==，23a π=， 由于cos y x =与x 轴有一个交点为(,0)2π，∴23202223cos cos sin sin (sin 0)sin sin 2223202S xdx xdx x x πππππππππ=+=+=-+-=⎰⎰．故选：A ．【点睛】本题考查二项式定理，考查微积分基本定理，在用微积分基本定理求面积时，要注意函数()f x 的图象是在x 轴上方还是在x 轴下方．9.函数()sin()f x A x ωϕ＝＋（其中0A >，2πϕ<图象如图所示，为了得到()sin g x x ω＝的图象，可以将()f x 的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：由题意，,所以，令，则，即向右平移可以得到.考点：正弦型函数解析式 函数图像平移变换 点评：在求解的图像时，核心是理解各变量对图像的影响，另外，函数平移口诀“左加右减，上加下减”是快速准确解题的关键.10.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 为左、右焦点，1A ，2A ，1B ，2B 分别是其左、右、上、下的顶点，直线12B F 交直线22B A 于P 点，若12B PA ∠为直角，则此椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由12B PA ∠是直角，得斜率乘积为－1，由此可得,,a b c 关系，从而得离心率． 【详解】由题意122(0,),(0,),(,0),(,0)B b B b F c A a -， ∵12B PA ∠为直角，∴1221FB A B k k =-，即1b bc a-⋅=-，即222b ac a c ==-，∴2()10c c aa +-=，210e e +-=，∴e =（12--舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是得出,,a b c 的等式，本题中由直线垂直得斜率乘积为－1易得．11.已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且2AB =，4APC BPC π∠=∠=，若球O 的体积为323π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A. C.2D.2【答案】B 【解析】 分析】由球体积求出球半径为2，从而可得APC ∆和BPC ∆都是等腰直角三角形，从而,AO PC BO PC ⊥⊥，PC ⊥平面AOB ，这样A PBC -的体积易求．【详解】由343233R ππ=，得2R =，如图，由PC 为球O 的直径，∴2OP OC OA OB AB =====，2PAC PBC π∠=∠=，4APC BPC ACP BCP π∠=∠=∠=∠=，,AO PC BO PC ⊥⊥，∴PC ⊥平面AOB ，AOB S∆212sin 23π=⨯=，∴1()3A PBC P AOB C AOB AOB V V V S PO OC ---∆=+=+143==． 故选：B ．【点睛】本题考查球的体积和棱锥的体积，解题关键证得PC ⊥平面AOB ，用两个小棱锥体积相加得所求体积．12.已知函数()323sin f x x x x π=--，则12402440252013201320132013f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L （ ） A. 4025 B. -4025 C. 8050 D. -8050【答案】D 【解析】 【分析】应用倒序相加法求和．详解】∵3232(2)()(2)3(2)sin (2)3sin f x f x x x x x x x ππ-+=-----+--232(8126)3(44)sin x x x x x x π=-+---++323sin x x x π+--4=-，记1240244025()()()()2013201320132013S f f f f =+++L ， 则4025402421()()()()2013201320132013S f f f f =++++L ， ∴244025S =-⨯，8050S =-． 故选：D.【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生的分析问题与解决问题的能力．观察求值式，首尾自变量和为2，因此考虑计算(2)()f x f x -+，从而得解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）【13.已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________∥ 【答案】92【解析】分析∥利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b ++∥展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解∥因为2a b +=∥所以12a b+=∥所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立∥∥则14y a b =+的最小值是92∥总上所述，答案为92. 点睛∥该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1∥要做除法运算. 14.已知(),x y 满足：()00,0x y m m x y ⎧+≤>⎨≥≥⎩，若2z x y =+的最大值为2，则m =______.【答案】1 【解析】 【分析】作出可行域（示意图），作直线:20l x y +=，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图OAB ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，l 向上平移时，z 增大，易知当直线l 过点(,0)A m 时，z x y =+取得最大值2m ，所以22m =，1m =． 故答案为：1．【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键．15.某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表， 则大约有_________%的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】【解析】试题分析：由列联表，可得：，所以大约有99．5%的把握认为主修统计专业与性别有关系；故填．考点：独立性检验的应用．【方法点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题；独立性检验的一般步骤是：第一步，根据样本数据制作或完善列联表；第二步，根据公式，计算的值；第三步，利用临界值表，比较与临界值的大小关系，作出统计判断．16.ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在边AC 上，DB =()0sin sin BA BC BD BA A BC C λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u uu r u u u r ，则AC AB +的最大值为______. 【答案】 【解析】【分析】由sin sin BA A BC C =u u u r u u u r，结合向量的加法运算法则，由向量共线定理可得D 点就是AC 边中点，这样在ABD ∆中应用正弦定用角理表示出,AB AD ，利用三角函数性质可求得+AB AC 的最大值．【详解】如图，作BE AC ⊥于E ，取AC 中点F 连接BF ，()()sin sin BA BC BA BC BD BE BE BA A BC Cλλ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 2()BA BC AF BE BE λλ=+=u u u r u u u r u u u r ，∴BD u u u r 与BF u u u r共线，从而D 与F 重合，即D 是AC 中点．ABD ∆中，603A π==，记ABD α∠=，则203πα<<，sin sin()3ADB πα∠=+， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =∠∠sin BD A =，即sin sin()sin33ABADππαα==+，∴2sin()3AB πα=+，2sin AD α=，22sin()4sin 3AB AC AB AD παα+=+=++2(sin coscos sin )4sin 5sin 33ππααααα=++=+，)αθ=+，其中θ为锐角，cos θ=，sin θ=， ∴2παθ=-时，+AB AC取得最大值故答案为：【点睛】本题考查向量共线定理，考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和正弦函数的性质，掌握三角函数辅助角公式是解题关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 满足∥*22()n n S a n N =-∈∥∥1∥求数列{}n a 的通项公式；∥2∥令(1)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ∥【答案】∥1∥2nn a =∥∥2∥1(2)24n n T n +=-+【解析】 【分析】∥1）利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】∥1）当1n =时，1122S a =-，解得12a =∥由22n n S a =-，可得1122n n S a ++=-，上述两式相减可得1122n n n a a a ++=-∥所以12n na a +=∥120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =∥ ∥2）由（1）可知(1)22n nn n b n a n =-=⋅-∥所以123123(1222322)(2222)n nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++L L ∥令1231222322n M n =⨯+⨯+⨯++⋅L ∥∥ 则234121222322n M n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ∥∥ ①－②得123112(12)222222(22)2212n nn n n M n n n ++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--L ∥所以(22)22nM n =-⋅+，所以12(12)(22)22(2)2412n nn n T n n +-=-⋅+-=-+-∥【点睛】∥1）本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.18.小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请.根据统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请A 大，B 大，C 大成功的频率分别为12，23，34.若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算. （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率；（Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为X ，试求X 的分布列和期望.【答案】（Ⅰ）2324；（Ⅱ）分布列见解析，2312EX = 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求其对立事件即三所学校都不成功的概率，然后由对立事件概率性质可得； （Ⅱ）X 的取值为0,1,2,3，分别计算概率得分布列，由期望公式计算期望即可．【详解】（Ⅰ）小建申请A 大，B 大，C 大都不成功的概率为123111123424⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则小建至少申请成功一所大学的概率2324. （Ⅱ）()1024P X ==， 1111211131(1)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，12111312311(2)23423423424P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()123132344P X ==⨯⨯=，X 的分布列如下：2312EX =. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列和期望，掌握独立事件的概率公式是解题关键．19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，且1==PA AB ，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若2AD =，求二面角D EC B --的平面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由PA ⊥面ABCD ，得PA BC ⊥，再结合矩形可证得BC ⊥面PAB ，从而得BC AE ⊥，再由等腰三角形性质得线线垂直，从而得线面垂直；（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，由空间向量法求出二面角，注意二面角判断是钝角还是锐角．【详解】（Ⅰ）∵1==PA AB ，E 为中点，∴AE PB ⊥， ∵ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥且BC AB ⊥，PA AB A =I ，∴BC ⊥面PAB ，AE ⊂平面PAB ，∴BC AE ⊥，BC PB B =I ，∴AE ⊥面PBC .（Ⅱ）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系.()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,1P ，11,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面DEC 的法向量(),,n x y z =r ，则1120220n DE x y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令2z =，得10,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ， 设平面BEC 的法向量()',','m x y z =u r ，则11''0222'0m BE x z m BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，得()1,0,1m =u r ，则cos ,17n m <>=r u r ，∵二面角D EC B --的平面角为钝角，∴二面角D EC B --的平面角的余弦值为17-.【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求二面角问题．证明线面垂直，需要两个线线垂直，这里线线垂直一是可以从平面几何角度证明，另外就是从线面垂直的性质定理考虑．而用向量法求二面角（或线面角，异面直线所成的角）一般都是用空间向量法求解．关键是建立空间直角坐标系．20.已知抛物线2:2C y px =(0)p >，过焦点F 作动直线交C 于,A B 两点，过,A B 分别作圆22:()12pD x y -+=的两条切线，切点分别为,P Q ，若AB 垂直于x 轴时，114sin sin PAF QBF +=∠∠. （1）求抛物线方程；（2）若点H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且OA OB tOH +=，8HA HB -<，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）24y x =；（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ．如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ．在Rt △APF 中，sin ∠P AF1p =，同理可得sin ∠QBF 1p=．即可解出p ． （Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，．直线方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式由|HA HB -u u u r u u u r |＜8，8BA u u u r ＜，8，m 2＜1．由OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r ，t ≠0．利用向量坐标运算可得22121214y y OH y y t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭u u u r ，，把点H 的坐标代入抛物线方程即可得出．【详解】解：（Ⅰ）AB 垂直于x 轴时，|AF |＝|BF |＝p ． 如图所示，由切线的性质可得PF ⊥AP ． 在Rt △APF 中，sin ∠P AF 1p=， 同理可得sin ∠QBF 1p=． ∵11sin PAF sin QBF+=∠∠4， ∴2p ＝4，解得p ＝2． ∴抛物线方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）设直线AB 的方程为x ﹣1＝my ，A 2114y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 2224y y ⎛⎫⎪⎝⎭，． 联立214x myy x-=⎧⎨=⎩，化为y 2﹣4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4．∵|HA HB -u u u r u u u r|＜8，∴8BA u u u r ＜，=8，化为1+m 2＜2，即m 2＜1．∵222121212()2y y y y y y +=+-=16m 2+8．OA OB +=u u u r u u u r t OH u u u r，t ≠0．∴222121214244y y m m OH y y t t t ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，，． ∵点H 也在曲线C 上，∴()22244216m m t t+=． 化为t 22221m m =+，t ≠0．∵0≤m 2＜1．∴t ∈203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴t 的取值范围是：203，⎛⎫ ⎪⎝⎭．考点：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，其中把直线的方程代入圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系，借助韦达定理和判别式，运算、化简是解答此类问题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，同时助于向量的运算与化简，试题有一定的难度，属于难题. 21.已知函数()()2xf x exax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为640x y ++=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若方程()()f x kx k R =∈有三个实根，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()224xf xx ex =--，增区间：(,-∞，)+∞；减区间：(；（Ⅱ）()2222,5,0e e e ⎛⎫--- ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，然后由(0)6f '=-，(0)4f =-可求得,a b ，由导数确定单调区间；（Ⅱ）对()224xe x x kx --=，由0x =不是方程的根，可变形为224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究()g x 的单调性，求出极值后可得结论．【详解】（Ⅰ）()()22'x e x x ax a x b f =++++，由切线方程可得：()()'062044f a b a f b b ⎧=+=-=-⎧⎪⇒⎨⎨==-=-⎪⎩⎩，∴()()224xf xx ex =--，()f x增区间：(,-∞，)+∞；减区间：(.（Ⅱ）()224xe x x kx --=，∵0x =不是方程的根，∴224xx x k e x--=⋅，令()42x e x g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()212'2xx x x x e x g -+-=，∴()g x 在(),2-∞-递减，()2,0-递增，()0,1递增，()2,+∞递增.且()0g x =的根为1x =±()222g e-=-，()15g e =-，()222g e =-，()g x 的大致图象如图，∴k 的取值范围为()2222,5,0e e e ⎛⎫---⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求单调区间，考查用导数研究方程根的分布，解题时利用分离参数法把方程根据的分布转化为直线与函数图象交点个数问题．从而再由导数研究新函数的性质．特别是单调性、极值，由数形结合思想得出结论．请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.极坐标与参数方程已知曲线1C：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），2C：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． （1）将1C 、2C 的方程化为普通方程；（2）若2C 与1C 交于M 、N ，与x 轴交于P ，求PM PN ⋅的最小值及相应α的值． 【答案】（1）x 2+12y 2=1,02x sin ycos αα⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭（2）124，2k k Z παπ=+∈， 【解析】 【分析】∥1）利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可将曲线1C 化为普通方程；消去参数t ，即可得出2C 普通方程.∥2∥C 2与x 轴交于P 02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，把C 2的参数方程代入曲线1C 化为普通方程，整理等关于t 的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM |•|PN |=﹣t 1t 2，进而求出最小值.【详解】解：（1）由曲线C 1：x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），利用sin 2θ+cos 2θ=22x +=1，化为x 2+12y 2=1． 由C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数），消去参数t可得：0x sin ycos αα⎛-= ⎝⎭．（2）C 2与x 轴交于P 0⎫⎪⎪⎝⎭， 把C 2：2x t cos y t sin αα⎧=+⋅⎪⎨⎪=⋅⎩（t 为参数）． 代入曲线C 1可得：（2+22sin 2α）t 2+α﹣1=0． ∴|PM |•|PN |=﹣t 1t 2=21222sin α+≥124，∴|PM |•|PN |的最小值124，此时2k k Z παπ=+∈，．【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力. 23.设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围．的【答案】（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞U 【解析】【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．（∥）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （∥）()f x (,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，，由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->， 解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．。
