【超人数学】几何概型

一、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．二、几何概型的概率公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)例1：在长为6m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2m 的概率是()A.14 B.13 C.12 D.23解：将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A 、B 的距离大于2m ，∴P ＝26＝13.是()A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1解：试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0.1升，故所求概率为P ＝0.12＝120＝0.05.A.34 B.32 C.34π D.334π解：∵S 圆＝πR 2，S 正三角形＝3×12R 2sin120°＝33R 24，∴所求的概率P ＝33R 24πR2＝334π.点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为()A.113B.19C.14D.12解：由已知条件可得，此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为P ＝π×22π×62＝19.答案：B 36cm 2与81cm 2之间的概率为()A.14B.13C.427D.415解：面积为36cm 2时，边长AM ＝6，面积为81cm 2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14.答案：A xOT 解：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠xOT 内的概率为60360＝16.解：区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的区间长度为2，∴|x |≤1的概率为23.)A.45B.15C.13D.12解：依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15.答案：B 【高考数学】几何概型1．几何概型的特点几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型的常见类型在几何概型中，当基本事件只受一个连续的变量控制时，这类几何概型是线型的；当基本事件受两个连续的变量控制时，这类几何概型是面型的，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．例9：已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解：根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.本例条件变为“已知圆C ：x 2＋y 2＝12，设M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN .”求弦MN 的长超过26的概率．解：如图，在图上过圆心O 作OM ⊥直径CD .则MD ＝MC ＝2 6.当N 点不在半圆弧CMD 上时，MN ＞26；∴P (A )＝π×232π×23＝12.例10：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为()A.π12B ．1－π12 C.π6D ．1－π6解：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.答案：B 例11：若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率不_____。

解：直线与两个坐标轴的交点分别为(1m ＋2，0)，(0，13－m )，又当m ∈(0,3)时，1m ＋2＞0，13－m ＞0，∴12·3m ＋2·13－m ＜98，解得0＜m ＜2，∴P ＝2－03－0＝23.例12：如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于()A.14B.13C.12D.23解：由题意知，该题考查几何概型，故P ＝S △ABE S 矩形ABCD ＝12AB ·BC AB ·BC ＝12例13：若实数a ，b 满足a 2＋b 2≤1，则关于x 的方程x 2－ax ＋34b 2＝0有实数根的概率是()A.16B.14C.13D ．1解：由原方程有实根得a 2－3b 2≥0⇔(a －3b )(a ＋3b )≥0，则整个基本事件空间可用点(a ，b )所在图形的面积来度量，为以原点为圆心，以1为半径的圆，事件“方程有实根”可用不等式组对应平面区域的面积来度量，如图易知两扇形面积占面积的13，由几何概型可知其概率即为13.例14：有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一解：先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A.127B.2627C.827D.18解：正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率为P ＝V 1V ＝127.22为()A.25B.25C.35D.3210解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.答案：B 例17：在区域M ＝{(x ，y 0＜x ＜20＜y ＜4}内随机撒一把黄豆，落在区域N ＝{(x ，y x ＋y ＜4y ＞x x ＞0}解：画出区域M 、N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．S 阴影＝12×4×2＝4，故所求概率P ＝44×2＝12.答案：12(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足a·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}；画出图形如下图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a·b ＜0的概率为2125.例19：设x ∈[0，π]，则sin x ＜12的概率为()A.16 B.14 C.13 D.12解：由sin x ＜12且x ∈[0，π]借助于正弦曲线可得x ∈[0，π6]∪[5π6，π]∴P ＝π6×2π－0＝13.例20：小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________.解：设A ＝{小波周末去看电影}，B ＝{小波周末去打篮球}，C ＝{小波周末在家看书}，D ＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P (D )＝1－()()221124ππ⎡⎤-⎣⎦＝1316.例21：已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .Ω＝{12,11x x y y -≤≤⎧⎫⎨⎬-≤≤⎩⎭B ＝1211,202x y x y x y x y ⎧-≤≤⎧⎫⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪⎪⎨⎨⎬+<⎪⎪⎪⎪⎪⎪≠⎩⎭⎩则P (B )＝12×12＋32×23×2＝13.例22（理科）：如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f (x )＝sin x (x ∈(0，π))及直线x ＝a (a ∈(0，π))与x 轴围成的，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为316，则a 的值是________．解：依题意，矩形OABC 的面积为a ×8a ＝8，设图中阴影部分的面积为S ，则由几何概型知识可得向矩形OABC 内随机投掷一点，落在阴影部分的概率为P ＝S 8，于是316＝S 8，解得S ＝32.而S ＝∫a 0sin x d x ，所以∫a 0sin x d x ＝32，即(－cos x )|a 0＝32，所以1－cos a ＝32，cos a ＝－12，又因为a ∈(0，π)，所以a ＝2π3.答案：2π3例23：已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2，，0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组；x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤30≤y ≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.。